第一章 有理数 大单元 学历案 2025-2026学年青岛版七年级数学上册

该初中数学有理数单元学历案以“气象数据分析师”为核心任务，通过气温数据识别分类、可视化、特征分析等子任务支架，引导学生掌握有理数概念、数轴、相反数与绝对值及大小比较等知识点。 资料特色在于任务驱动情境培养应用意识，如用气象数据引入负数，数轴可视化气温发展几何直观，分类讨论有理数提升抽象能力，分层作业与评价任务促进学生自主构建知识，体现以学生为主体、教师引导的教学方法，落实核心素养。

第一章 有理数 单元概览 一、你愿意接受挑战吗？ 下表是东昌府区2025年1月17日至23日每天的关键气温数据。 1月17日 1月18日 1月19日 1月20日 1月21日 1月22日 1月23日 最低气温 （单位：°C） -3 -2 -4 -2 0 -2 -3 最高气温 （单位：°C） 9 11 10 12 12 9 9 作为新上任的气象数据分析师，你需要对这些数据进行处理和分析，找出规律和特点，为气象预报提供参考。 要解决以上问题，你知道需要做哪些知识储备吗？让我们一起来了解一下本单元的地位与作用。概念 无理数 实数 概念 有理数 数与代数 数与式 方程与不等式 函数 数 式 用 字 母 表 示 数 分式 整式 有理式 代数式 运算 无理式 运算 初中数学“数与代数”板块知识架构 本章是初中数学“数与代数”部分的起始内容，小学阶段学习的自然数、分数和小数是本章学习的前备知识。有理数是“数与代数”领域中的重要概念之一，在现实生活中有广泛的应用，是维续学习实数、代数式、方程、不等式、平面直角坐标系、函数、统计等数学内容以及相关学科知识的基础。从数系扩充的角度看，本章是继小学由自然数扩充到非负有理数后，数的范围的又一次扩充。以后还要学习从有理数扩充到实数，从实数扩展到复数等。“你愿意接受挑战吗？”中的实际问题可以帮助你了解本单元学习的意义。为帮助同学们实现从算术到代数的平稳过渡，本章在教学内容的组织上高度重视与学生已有认知和生活实际的关联，通过引入丰富的生活实例、科学情境和社会案例，展现正负数、数轴、绝对值等概念在刻画现实世界中的价值，并说明数学为解决不断涌现的新问题而不断发展，我们的数学视野也需相应拓宽。在学习过程的设计中，我们始终坚持以学习者为中心，明确设定可观测的学习目标，配套相应的评价任务以检测目标的达成。围绕每一条目标，我们精心设计层层递进的问题串，引导同学们主动探索数学概念背后的原理与方法。学历案中预留的书写空间是供你思考、推理和总结的园地。每课时后配备的作业与检测题均经过精心设计，分为A组（基础巩固）和B组（能力提升），你可根据自身情况选做B组题，勇于挑战更高层次的数学思维。 二、你需要学什么 本单元学习内容与课时安排 大任务 子任务 课时内容 指向学科核心素养 课时 分析“你愿意接受挑战吗？”中东昌府区的天气数据，写一份气象分析报告。 - 单元导学 - 1 气温数据的识别与分类 有理数 抽象能力、应用意识、推理能力 1 气温数据可视化 数轴 几何直观、模型观念 1 气温数据特征分析 相反数与绝对值 几何直观、推理能力 2 数据规律总结 有理数的大小 几何直观、模型观念、推理能力 1 单元小结与拓展学习 - 抽象能力、应用意识、几何直观、模型观念、推理能力 2 三、你将学会什么？ 1.体会从实际生活中具有相反意义的量引人负数的必要性，理解负数的意义，会用正数、负数表示具体情境中具有相反意义的量。 2.能对有理数进行分类，并能借助生活中的实例理解有理数的意义。 3.理解数轴的意义，能用数轴上的点表示有理数。能比较有理数的大小。 4.借助数轴理解相反数、绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道（这里a表示有理数）的含义。 5.在学习用数轴上的点表示有理数、借助数轴理解相反数和绝对值的意义的过程中，初步体会数形结合思想，发展几何直观。 四、给你支招 1.有理数是初中数学的基石，贯穿整个初中数学学习的全过程，也是中考的重要基础。相关的学习资源非常丰富，许多网站上有关于有理数的课件、动画、视频和试题，各种教辅资料也都有详尽的讲解和练习，可供同学们预习和巩固时参考。 2.有理数的学习需要从算术思维向代数思维初步转变，这是从小学到初中数学学习的一个重要跨越。通过本单元的学习，你将体会到小学所学的数（正数和0）在表示具有相反意义的量（如零上/零下、收入/支出）时的局限性，感悟引进负数、拓展数系的必要性和巨大意义；数轴概念的引入，能让你体会用数轴上的点直观表示数在研究数的大小、相反关系、绝对距离时的优越性。本单元介绍的数形结合（数与数轴）研究数的方法具有开创性，为我们后续学习整个代数知识提供了一种重要的思维模式。 3.本单元的学习路径是：从实际情境中抽象出正、负数的概念→在数轴上直观地表示有理数→借助数轴探究相反数、绝对值的几何与代数意义→最终比较有理数的大小。判断你是否学会的依据是能否熟练运用数轴这一工具，完成“城市气象站”大任务及本章的各类习题。 4.本单元的重点是：有理数的意义、数轴的三要素与画法、相反数与绝对值的概念。难点是：负数的概念、有理数大小的比较和绝对值的概念的理解。 学习进程 第一课时 单元导学 【学习目标】 1.通过生活实例认识负数的意义，感悟引入负数的必要性，体会本单元内容在“数与代数”领域的地位与作用。 2.通过实例了解本单元的知识体系、学习方法和注意事项，初步构建本单元的知识图谱，增强学习适应力。 【评价任务】 1.完成任务一中的思考1-1，1-2，1-3，1-4,例1（检测目标1） 2.完成任务一中的思考2-1（检测目标2） 3.完成任务一中的思考3-1（检测目标2） 【学习过程】 任务一：认识负数（指向目标1） 阅读下面几句话，体会引入负数的必要性： （1）消防战士在零上70℃的火场中救援，边防战士在零下40℃的严寒天气中巡逻。 （2）小亮妈妈某一天的账户记录显示收入92元，支出63.8元。 （3）小亮从天安门出发向东骑行了4km，小莹从天安门出发向西骑行了4km。 思考1-1.找出上述每句话中具有相反意义的量： （1）_____________________________________（2）_____________________________________ （3）_____________________________________ 思考1-2.如何表示具有相反意义的量？ （1）_____________________________________（2）_____________________________________ （3）_____________________________________ 提示：思考1-2无法用小学的知识表示，所以需要引入新的表示方法。为了表示具有相反意义的量，可以把其中一种意义的量规定为正，用符号“+”表示，把与其意义相反的量规定为负，用符号“—”表示。需要注意的是，意义相反的量必须是同一类量，表示意义相反的量时要带单位。 思考1-3.你还能举出具有相反意义的量的例子吗？ ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 思考1-4.正数和负数的定义 像__________________这样的数叫作正数。符号“+”称为正号,读作“正”,如“+70”读作“正七十”。一般来说, “+”可以省略。 像__________________这样的数叫作负数。符号“-”称为负号,读作“负”,如“-40”读作“负四十”。 提示：0既不是正数也不是负数。0可以表示没有，也可以表示一个确定的量。 练习1-1.下列各数哪些是正数? 哪些是负数?（填入括号内，将各数用逗号分开） -37, +81, -0.005, -23, 0, +4.23, -16.3, 0.618, +94, -11.57 正数:{ …}; 负数:{ …}。 例1.（检测目标1） （1）神舟飞船在太空飞行时，向阳的一面舱外温度超过100℃，背阳的一面舱外温度低于-100℃。-100℃表示_____________________。 （2）我国“极目一号”Ⅲ型浮空艇最大升空高度高于海平面9032m，“奋斗者”号载人潜水器最深潜水深度低于海平面10909m。如果用正数表示高于海平面的高度，那么高于海平面9032m可表示_____________________，低于海平面10909 m可表示_____________________。 阅读材料：为了记录物体的个数和顺序，产生了自然数；为了表示分配、测量的结果，产生了分数和小数。由于生产和生活的需要，人们对数的认识不断深入。最先认识并应用负数的是中国古代数学家。当时人们在筹算时，用红筹表示正数，黑筹表示负数。因用笔记录时换色不便，宋末数学家李冶(1192-1279)首创在数字上加斜划表示负数。如右图所示，即表示4.12x2-x+136-248x-2。西方对负数的认识较晚，17世纪后才正式应用负数，使用的符号也是多种多样的。例如，威尔金斯于1800年用a.v.表示-a;温特费尔德于1809年用前加“˨”或“”表示该数为负数。后来亦有多种形式表示负数。直到20世纪初，亨廷顿开始采用接近现在形式的符号:-3，-2，-1，0，+1，+2，+3，逐渐成为现在的形式。 例2.筷子是我国的传统餐具。某种筷子的长度为240mm,该产品合格的标准为240mm±2mm。这里的 “240mm±2mm”表示___________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ 思考1-4.请用1分钟的时间与同学分享自己对本单元学习意义的认识。 任务二：了解本单元的知识框架（指向目标2） 1.知识结构 正数、零的大小 正数、零 数轴 相反数 有理数 绝对值 有理数的大小 2.单元大任务 学完本单元后大家要去做一件事：完成“单元概览”中的大任务。 3.育人意义：本单元学习对发展抽象能力、应用意识、推理能力、几何直观、模型观念等核心素养具有重要意义。 有理数 正数和负数 有理数的大小 相反数与绝对值 数轴 有理数 抽象能力 模型观念 几何直观 推理能力 应用意识 思考2-1.你是否明确本单元要学习的内容？请画出本单元的知识图谱。（检测目标2） 任务三：了解本单元的思想方法。（指向目标2） 1.思想方法：本单元学习常用的方法有：数形结合、分类讨论和数学模型。研究有理数的性质时，可以从“形”的角度去研究，借助数轴，用“点”的位置来解释“数”的大小、相反和绝对意义，非常直观；也可以从“数”的角度去研究，通过有理数的代数运算和符号法则，用“计算”来分析“关系”，推理严密。数学的许多概念具有相似性，如果理解了正数在数轴上的位置，那么负数的许多性质可以通过与正数进行类比和对照来学习。 2.注意事项： （1）要重视概念的理解。理解一个概念要做到“三会”：会表述（能说出定义）、会举例（能举出正例和反例）、会判断（能判断一个数是否属于某类）。例如，对于“绝对值”，不仅要会计算，更要能用自己的语言解释其几何意义（距离）和代数意义（非负性）。 （2）要树立“数形结合”的观点。数轴是本单元乃至整个代数的核心工具，它建立了数与形的桥梁。学习时不能只在脑中抽象想象，要养成勤画数轴的习惯，将抽象的数转化为直观的点，通过观察点的位置关系来理解数的大小、相反和绝对距离。 （3）要强化“分类”意识。有理数本身就是一个需要分类的数系（正数、零、负数）。在涉及绝对值、比较大小（尤其是负数）等问题时，分类讨论是关键思路。必须清晰地明确所研究的数属于哪一类别，再应用相应的法则，避免出现混淆和错误。 （4）要联系实际背景。正负数的产生源于实际需要。学习时要时常将数学概念（如负数、绝对值）与它们所代表的实际意义（如亏损、温度、距离）相联系，这能加深理解，并体会到数学的应用价值，完成从算术思维到代数思维的过渡。 思考3-1.你是否已经清楚学习本单元将用到的哪些方法，注意事项是什么？（检测目标2） 任务四：小结与反思 1.通过本节课的学习，你对数学学习的意义有何新的认识？ 2.通过本节课的学习，你对学好初中数学有何感悟？请举例说明。 作业与检测 A组 1.用正数、负数表示下列问题中具有相反意义的量。 （1）如果将增长记为正,那么超市零售额同比增长9.8%记作_______,同比下降0.4%记作_______； （2）如果将弹簧伸长记为正,那么弹簧伸长5cm记作_______,缩短3cm记作_______； （3）水文站在记录水位变化时,如果将水位上升记为正,那么水位上升25cm记作_______cm,水位下降18cm记作_______cm。 （4）向油罐车里注入汽油4t_________,放出汽油18t_________; （5）某小微企业去年亏损20万元_________,今年盈利35万元_________; （6）7月原油价格较上月下降0.4%_________,较上年同期上涨9.6%_________。 2.把下列各数分别填在相应的大括号里(将各数用逗号分开): -8, 4.7, +63, -56, 3.14, 12%, -0.85, -200。 正数:{ …}; 负数:{ …}。 3.“一个数不是正数就是负数。”这句话对吗? 为什么? ____________________________________________________________________________________ B组 4.古筝是我国的民族乐器之一。为了保持音准,弹奏者常使用调音器对每根琴弦进行调音(调音器指针指在0处为标准音)。下图是某古筝调音器软件的界面,指针指向40表示音调偏高,需放松琴弦。当指针指向-30时,需________(拧紧/放松)琴弦。 5.一个点在水平直线上移动,如果规定向右移动为正,那么: （1）该点向右移动3cm应记作__________________ （2）该点向左移动5cm应记作__________________ （3）该点移动-3.5cm表示_____________________ （4）该点移动0cm表示________________________ 6. “一只闹钟的指针走动一昼夜误差不超过2s”的含义是____________________________________用正、负数把它表示出来____________________________________________________________________ 7.下表给出了某班级6名同学的身高数据(单位:cm):159, 162, 160, 154, 166, 165。 （1）这6名同学的平均身高是_________ （2）以平均身高为标准,用正数表示高于平均身高的部分,用负数表示低于平均身高的部分,将它们对应的数填在下面表格内: 身高/cm 159 162 160 154 166 165 高于（低于）平均身高/cm 第二课时 有理数 【学习目标】 1.通过实例分析，能说出有理数的定义及其相关概念，理解有理数的意义,提升抽象能力。 2.在理解有理数概念的基础上，能按不同标准对有理数进行分类，并说明分类依据，提升模型观念和推理能力。 【评价任务】 1.完成任务一中的思考1-5（检测目标1） 2.完成任务二中的思考2-1，思考2-2，例1（检测目标2） 【学习过程】 任务一：有理数的概念（指向目标1） 下面是我们在前面见过的一些数-3,9，-63.8，-2,12，+5.99%，-4，0，,- 思考1-1.请你再列举一些数：___________________________________________________________ 思考1-2.对以上的数和你列举出来的数进行分类，写在下面空白处，并与同桌交流。 思考1-3.说一说你分类的依据是什么？ 思考1-4.按照你的分类标准，能不能做到分类不重合？分类之后不遗漏？ 思考1-5.归纳有理数的定义 ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 任务二：有理数的分类（指向目标2） 思考2-1.根据有理数的概念，对有理数进行分类。 例1.观察下列的数：+4,-8,，11,+4.2, 0,79, -33,74,-0.5,-99（检测目标2） _________________________________是整数；________________________________是分数。 思考2-2.你还有其他的分类标准吗？（小组讨论） 任务三：小结与反思 1.学完本节课，你能否清晰地说出有理数的定义，并正确地将一个给定的数填入有理数分类框架图（整数、分数、正数、负数）中的正确位置？ 2.你是否理解分类标准不同，结果也不同？能否举例说明同一个数在不同分类标准下的身份？ 3.你能否列举出生活中3个以上可以用有理数表示的实际量，并说明其正负号的意义？ 作业与检测 A组 1.把下列有理数分别填在相应的大括号里(将各数用逗号分开):-8, 10.5, -32, 0,13, -0.5, 6,+11, -0.6,-7,38,-19,76.5,-52,0,2030。 整数:{_____________________________…};分数:{_____________________________…}。 正数:{_____________________________…};负数:{_____________________________…}。 2.有没有这样的有理数,它既不是正数,也不是整数? 如果有,请写出一个:________________。 B组 3.下列各数：-13,76,-33,57,18%,-3.6,-0.12,0.58,0,-365。 正整数是___________,负整数是_____________,正分数是_____________,负分数是_____________。 4.把下列各数按照不同的标准进行分类:-3.4,-75,0.4,13%,0,19,-16,-7,13。 第三课时 数轴 【学习目标】 1.通过观察和操作，能正确画出数轴并说明其三要素，理解数轴的意义，提升几何直观和抽象能力。 2.在理解数轴的基础上，能将给定的有理数用数轴上的点准确表示出来，体会数与形的对应关系，提升几何直观和模型观念。 【评价任务】 1.完成任务一中的思考1-1,思考1-2,思考1-3，思考1-4，思考1-5，练习1-1。（检测目标1） 2.完成任务二中的练习2-1，思考2-1,思考2-2，思考2-3，练习2-1，练习2-2。（检测目标2） 【学习过程】 任务一：数轴的画法（指向目标1） 气象站记录了一组温度数据：+5℃, -2℃, 0℃, -5℃。为了更直观地比较它们的高低，我们需要一把特殊的“尺子”。 思考1-1.你认为这把“尺子”上，哪一个温度值最适合作为起点和比较的基准？为什么？ 思考1-2.为了区分零上温度和零下温度，我们该如何规定这条“尺子”的方向？ 思考1-3.每个小格代表多少度（℃）合适？如果1小格代表1℃，那么+5℃和-5℃应该分别在起点（原点）的哪边？距离起点几个小格？ 思考1-4.尝试总结数轴的概念：_________________________________________________________ 练习1-1：请独立、规范地画出一条数轴，并标出原点、正方向和单位长度。（检测目标1） 思考1-5.总结数轴的画法： （1）_________________________________________ （2）_________________________________________ （3）_________________________________________ （4）_________________________________________ 任务二：有理数与数轴 练习2-1.请为你手中的温度数据，规范地画出一条“温度数轴”。 思考2-1.请在你刚画好的温度数轴上，标出0℃的位置。它有什么特殊意义？ 思考2-2.请尝试标出+5℃和-5℃的位置。 1.它们位于原点的 ______ 侧。 2.它们到原点的距离都是 ______ 个单位长度。 3.它们是一组具有什么关系的数？（为后续学习相反数做铺垫） 思考2-3.如何标出-2.5℃这类非整数的温度值？它应该在哪两个整数刻度之间？ 提示：建立了数轴之后，我们会发现任何一个有理数（温度值）都可以用数轴上的一个点来表示。并且正数用原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示。 练习2-2.气象站记录了周一至周三的最低气温分别为：-3℃, +1℃, -1.5℃。（检测目标2） （1）请在你的温度数轴上，准确地标出这三个温度值对应的点A、B、C。 （2）观察数轴，将这三天的最低气温按从低到高的顺序排列：______<______< ______。 练习2-3.画出数轴,并用数轴上的点表示下列各数: 2, -2.5, 0,, -4。（检测目标2） 任务三：小结与反思 1.通过本节课的学习，谈谈你是怎么认识数轴的意义的？ 2.通过本节的学习，你觉得正确理解数轴的概念，必须掌握哪三个要素？ 3.通过本节课的学习，你觉得对哪些数学核心素养（如几何直观、模型观念）的养成有帮助？ 作业与检测 A组 1.写出下图中数轴上的点A,B,C,D,E 表示的有理数: A表示________,B表示________,C表示________,D表示________,E表示________ 2.如图,写出数轴上的点A,B,C,D,E 表示的有理数: A表示________,B表示________,C表示________,D表示________,E表示________ 3.画出数轴,并用数轴上的点表示下列各数:-2, , -1,, 3.5。 4.画出数轴,并用数轴上的点表示下列各数:-6, +3, 4.5,0, , -3。 B组 5.点A在数轴上距原点4个单位长度,且位于原点左侧。若一个点从点A向右移动5个单位长度,再向左移动3个单位长度到达点B,写出点B所表示的数。 6.小亮、小莹、大刚三位同学的家和学校都在一条东西走向的马路上。小莹家在学校东侧1.2km处,大刚家在小莹家西侧3km处,小亮家在小莹家东侧0.8km处。以学校为原点,以向东为正方向建立数轴,分别写出表示三位同学家和学校的点所表示的数。如果以小莹家为原点,以向东为正方向呢(1个单位长度表示实际距离1km)? 第四课时 相反数与绝对值 【学习目标】 1.借助数轴理解相反数的几何意义与代数意义，能求一个数的相反数，能化简多重符号，发展几何直观与推理能力。 2.借助数轴理解绝对值的几何意义（距离），掌握求一个数的绝对值的方法，知道｜a｜的含义，发展几何直观与推理能力。 3.能运用相反数和绝对值的知识解决简单的实际问题（如计算温差、评估偏差），体会数学的应用价值，发展应用意识。 【评价任务】 1.完成任务一中的思考1-1至思考1-3，例1，例2。（检测目标1） 2.完成任务二中的思考2-1至思考2-4，练习2-1，练习2-2。（检测目标2） 3.完成任务三中的思考3-1，思考3-2。（检测目标3） 【学习过程】 任务一：相反数（指向目标1） 气象站数据显示，周一最高气温为+5℃，最低气温为-5℃。在数轴上表示这两个数。 （1）在数轴上标出表示+5和-5的点。 （2）观察这两个点，它们与原点有怎样的位置关系？与原点的距离各是___________。 思考1-1：像+5和-5这样，只有__________________不同的两个数，叫作互为相反数。请你再写出三组互为相反数的例子：____________________________________。（指向目标1） 思考1-2：在数轴上，表示互为相反数的两个点具有怎样的特征？0的相反数是什么？（指向目标1） 思考1-3：如何求一个数a的相反数？请化简下列各式：（指向目标1） （1）-(+5)=________； （2）-(-5)=________； （3）+(+5)=________； （4）+(-5)=________。 例1：在数轴上表示下列各数的相反数（检测目标1）：2，-3， 例2：化简： （1）-(-81)=________；（2）-(+3.6)=________；（3）+(+)=________。 任务二：绝对值（指向目标2） 思考2-1：在数轴上，表示数a的点与______的距离，叫作数a的绝对值，记作|a|。请根据此定义，说出|+5|和|-5|的几何意义，并求出它们的值。（指向目标2） 思考2-2：求下列各数的绝对值，并思考其中规律： |4| = ______； |-4| = ______； |2.5| = ______； |-2.5| = ______； |0| = ______。 思考2-3：由此，你能归纳出求一个正数、负数和0的绝对值的方法吗？（指向目标2） ___________________________；____________________________；____________________________ 思考2-4：回答下列问题： （1）绝对值等于6的数有______个，它们是什么关系______。 （2）有没有绝对值等于-3的数？为什么？________________________________________________ （3）一个数的绝对值可能是负数吗？为什么？由此可知，绝对值具有什么性质？（指向目标2） 练习2-1：求下列各数的绝对值：5,-9,-4.2,0,。（检测目标2） 练习2-2：判断下列说法是否正确？如果不正确,请举例说明： （1）一个数的绝对值一定是正数；（ ） （2）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远。（ ） （3）有理数的绝对值都是正数;（ ） （4）符号不同且绝对值相等的两个数互为相反数; （ ） （5）如果两个数的绝对值相等,那么这两个数相等; （ ） （6）如果两个数互为相反数,那么这两个数的绝对值相等。（ ） 任务三：知识应用（指向目标3） 下表是气象站记录的某周部分天数的最低气温： 日期 周一 周二 周三 周四 最低气温 -2℃ 3℃ -5℃ 0℃ 思考3-1：周一和周三的最低气温的绝对值分别是多少？哪个绝对值大？这说明了什么实际意义？（冷的程度） _____________________________________________________________________________________ 思考3-2：若已知周二最高温为+8℃，周三最高温为-1℃，请计算这两天的日温差（即最高温与最低温之差的绝对值），并比较哪天的温差更大。 _____________________________________________________________________________________ 任务四：小结与反思 1.通过本节课的学习，请你谈谈对“相反数”和“绝对值”这两个概念有什么新的认识？ 2.你觉得“数轴”对于理解相反数和绝对值有什么帮助？体现了什么数学思想？ 3.通过本节课的学习，你觉得对哪些数学核心素养（如几何直观、推理能力、应用意识）的养成有帮助？ 作业与检测 A组 1.写出下列各数的绝对值: （1）5的绝对值是_____; 9的绝对值是_____;4.2的绝对值是_____;的绝对值是_____; （2）0的绝对值是_____;的绝对值是_____;80的绝对值是_____;5.8的绝对值是_____; （3）的绝对值是_____;120的绝对值是_____;的绝对值是_____; 2.回答下列问题: （1）绝对值等于4的数有_____个； （2）绝对值等于0的数有_____个； （3）绝对值是12的数为________； （4）绝对值是8.5的负数为__________。 3.填表 a a 0 13 4.化简 （1）-（+）=________;（2）-(-25)=________;（3）+|-17|=________;（4）-|+6.1|=________。 B组 5.如图,数轴上的点A,B,C,D 分别表示有理数-3,x,3,y。 （1）在数轴上画出原点O; （2）在数轴上画出表示-x的点E; （3）四个数-3,x,3,y中,哪个数的绝对值最大? 6.某天上午,一辆出租车以人民公园为出发点,在南北走向的公路上运营。如果规定向北为正,向南为负,那么该出租车这天上午的行程如下(单位:km): -14, +13, +13, -18, -16, +21, -13, +15。已知该出租车平均每千米油耗的费用为0.6元,则这天上午油耗的费用共多少元? 第五课时 有理数的大小 【学习目标】 1.知道比较有理数大小的三种方法（数轴比较法、法则比较法、绝对值比较法），能根据不同的情况选择适当的方法比较有理数的大小，体会数形结合思想，发展几何直观与推理能力。 2.通过实例，掌握有理数大小比较的法则，特别是两个负数比较大小的方法，会熟练比较有理数的大小。 3.能运用有理数大小比较的知识解决简单的实际问题，体会数学的应用价值，发展应用意识。 【评价任务】 1.完成任务一中的思考1-1至思考1-3，练习1-1。（检测目标1） 2.完成任务二中的思考2-1至思考2-2，练习2-1。（检测目标2） 3.完成任务三中的思考3-1，练习3-1。（检测目标3） 【学习过程】 任务一：借助数轴比较有理数的大小（指向目标1） 下表是某日五个城市的最低气温： 城市 北京 济南 乌鲁木齐 兰州 上海 最低气温 -6℃ 0℃ -10℃ -5℃ 4℃ （1）将这些气温表示在数轴上： （2）观察数轴，这些点的排列顺序有什么规律？ 思考1-1：观察数轴，你发现数轴上点的位置与数的大小有什么关系？（指向目标1） 思考1-2：利用数轴比较下列各组数的大小：（指向目标1） （1）-10和-6； （2）-5和0； （3）-6和4 思考1-3：不画数轴，能否根据数的特征直接比较大小？（指向目标1） 练习1-1：在数轴上表示下列各数：-3.5，3，0，，-2（检测目标1） 用“<”号连接这些数：______ < ______ < ______ < ______ < ______ 任务二：有理数大小比较的法则（指向目标2） 思考2-1：请根据数轴特征和任务一中五个城市气温的比较结果，归纳有理数大小比较的法则：（指向目标2） （1）正数______0，负数______0，正数______负数 （2）两个负数，绝对值大的______ 思考2-2：用上述法则比较下列各组数的大小：（指向目标2） （1）_______；（2）_______0；（3）1.1_______1.09 练习2-1：比较下列各组数的大小：（检测目标2） （1）-(-1)_______-8；（2）-||_______+() 任务三：综合应用与解决实际问题（指向目标3） 某年2月我国几个城市的月平均气温如下表，请按从高到低的顺序排列。 城市 北京 太原 哈尔滨 武汉 上海 南京 气温/℃ -2.2 -3.1 -15.4 7 4.6 5 思考3-1：在用不同方法比较有理数大小时，各需要注意什么？（检测目标3） 练习3-1：将上表中的气温按从高到低排列（检测目标3） 练习3-2：回答下列问题： （1）有没有最小的正整数？有没有最小的正有理数？ _______________________________________________ （2）有没有最大的负整数？有没有最大的负有理数？ _______________________________________________ （3）有没有绝对值最小的数？有没有绝对值最大的数？ _______________________________________________ 任务四：小结与反思 1.通过本节课的学习，谈谈你是怎么认识有理数大小比较的三种方法的？ 2.通过本节的学习，你觉得正确理解两个负数比较大小的方法，关键是什么？ 3.通过本节课的学习，你觉得对哪些数学核心素养的养成有帮助？ 作业与检测 A组 1.比较下列数的大小,并用 “<”把它们连接起来: 0, -3,,-1, 1.5 B组 2.（1）写出所有绝对值小于5的整数:_______________________________________; （2）写出所有大于并且小于4的整数:_______________________________________。 3.如图,在数轴上,点A表示有理数a,点B 表示有理数b。把a,-a,b,-b用“<”连接起来。 _______________________________________________ 第六课时 单元小结与拓展练习（1） 【学习目标】 1.通过对本单元的知识梳理，构建有理数相关知识的结构化体系，感悟从实际情境抽象出数学概念（正负数、数轴、相反数、绝对值）的研究方法，提升抽象能力与模型观念。 2.通过有理数概念与性质的简单应用（识别、表示、计算、比较），加深对核心概念的理解，体会数形结合思想，巩固几何直观与推理能力。 3.通过有理数知识的综合应用，能运用本章知识解决“气象数据分析”中的实际问题，提高分析问题、解决问题的能力，发展应用意识。 【评价任务】 1.完成任务一中的知识框架图填空及思考题。（检测目标1） 2.完成任务二中的练习1，练习2-1，练习2-2。（检测目标2） 3.完成任务三中的练习3。（检测目标3） 【学习过程】 前备知识：正数与负数、数轴、相反数、绝对值、有理数的大小比较 任务一：梳理本单元知识。（指向目标1）有理数 规定了____、______、______的直线叫作数轴 画______定______、定______、 定______、定______ 任何一个___________________ ___________________________但数轴上的点不都表示有理数。 数轴 概念 画法 数轴上的点与有理数的关系 在数轴上______的点所表示的数比______的点所表示的数______ 正数______0，负数______0，正数______负数 大小比较 利用法则 利用数轴 两个负数，__________________ 绝对值 性质 表示方法 概念 数a的绝对值记作______ 相反数 几何意义 表示方法 概念 a的相反数是_______ ______________的两个数叫做互为相反数，0的相反数是_____ 在数轴上，表示一个______与它的相反数的两个点分别位于______两侧，并且____________ 在数轴上，________________________ 具有相反意义的量 有理数 分数 整数 有关概念 分类 按符号分 按定 义分 研究有理数的意义：完成从算术到代数的关键过渡，通过数系扩充和数形结合，为方程、不等式和函数的学习奠定基石。 研究有理数的路径：相反意义的量→负数→有理数→构建数轴实现数与形的结合→借助数轴探究相反数、绝对值的几何与代数意义→综合运用所有工具与性质比较有理数大小→并解决实际问题 任务二：应用有理数概念、性质解决简单问题。（指向目标2） 一、选择题 1．中国空间站位于距离地面约400km的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上150℃，其背阳面温度可低于零下100℃．若零上150℃记作+150℃，则零下100℃记作（　　） A．+100℃ B．﹣100℃ C．+50℃ D．﹣50℃ 2．在实际生产生活中，经常用正数、负数表示具有相反意义的量，如果把收入20元记作+20元，那么支出10元记作（　　） A．+10元 B．﹣10元 C．+20元 D．﹣20元 3．有下列说法：①一个有理数不是正数就是负数；②一个有理数不是整数就是分数；③正整数、0、负整数统称整数；④0既不是正数，也不是负数；⑤有理数是指整数、分数、零、正有理数、负有理数这五类；⑥3.14是小数，也是分数．其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．乒乓球国际比赛用球直径标准为40mm．质检员检测4个乒乓球的直径，超过标准的毫米数记为正数，不足标准的毫米数记为负数，则下列记录中所对应的乒乓球直径最接近标准的是（　　） A．﹣0.21mm B．+0.08mm C．+0.10mm D．﹣0.12mm 5．下列说法正确的是（　　） A．如果a是有理数，那么a一定大于﹣a B．若a，b都是有理数，且a＞b，那么|a|＞|b| C．如果|a|＞|b|，那么a＞b D．绝对值等于它本身的是非负数 二、填空题 6．把下列各数分别填入相应的大括号里． ﹣3.1，3.14159，﹣3，+31，，，0.618，，0，﹣0.2020． 正数：{ 　 　 …}；整数：{ 　 　 …}； 非负数：{ 　 　 …}；负分数：{ 　 　 …}． 7.写出下列各数的相反数与绝对值： （1） 的相反数是________，绝对值是________（2）﹣3的相反数是________，绝对值是________ （3）0的相反数是________，绝对值是________（4）﹣6的相反数是________，绝对值是________． 8．比较下列各组数的大小： （1）﹣100______0；（2）______；（3）||______||；（4）﹣（）______﹣|﹣2|． 9．________的相反数等于它本身，________的相反数小于它本身，________的相反数大于它本身。 10．________的绝对值等于它本身，_______绝对值大于它本身，_______有没有绝对值小于它本身的数。 11．已知A，B是数轴上的两点，它们与原点的距离分别是4和5，A，B两点间的距离是______________ 三、解答题 12．在数轴上画出表示下列各数的点，并把它们按从小到大的顺序用“＜”连接起来： ﹣3，3.5，0，，﹣4，1.5． 13．写出符合下列条件的数： （1）大于﹣3且小于2的所有整数：____________________________________； （2）绝对值大于2且小于5的所有负整数：____________________________________； （3）在数轴上，与表示﹣1的点的距离为2的数：____________________________________。 14．如图1所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是﹣3，已知A，B是数轴上的点，请参照下图并思考完成下列各题． （1）如果点A表示的数是﹣1，将点A向右移动4个单位长度，那么终点B表示的数是 　 　 ，A、B两点间的距离是 　 　 ．如果点A表示的数是2，将点A向左移动6个单位长度，再向右移动3个单位长度，那么终点B表示的数是 　 　 ，A、B两点间的距离是 　 　 ． （2）如图2，点A表示的数是﹣2，点B在原点的右边，且到原点的距离与点A到原点的距离相等，动点P从A出发，以1单位/秒的速度向左运动；动点Q从点B出发，以2单位/秒的速度向左运动，设动点时间为t秒，当t的值为 　 　 时，P，Q两点相遇？ （3）在（2）的基础上，当t的值为 　 　 时，P，Q两点相距3个单位长度？ 15．如果a，b都是有理数，且a＞b，那么|a|一定大于|b|吗？如果|a|＞|b|，那么a一定大于b吗？举例说明． 例1. 任务三：应用有理数知识解决综合性实际问题。（指向目标3） 例1.气象站记录的一周内每天的最高气温与最低气温如下表（单位：℃）：(指向目标3) 星期 一 二 三 四 五 最高气温 +5 +3 0 -2 +1 最低气温 -3 -5 -4 -6 -2 （1）本周内　 　 的日温差最大，最大日温差是　 　 ； （2）将本周的最低气温按从低到高的顺序排列：　 　 　　 　　 　　 　 。 （3）点A在数轴上表示的数是周三的最高气温，点B在数轴上表示的数是周六的最低气温。求A、B两点之间的距离。 练习3：(检测目标3)某检修小组乘一辆检修车沿一条东西走向的铁路线检修，规定向东为正，某天从A地出发到收工时，行走记录为（单位：千米）： +15, -2, +5, -1, +10, -3, -2, +12, +4, -5, +6 （1） 收工时，检修小组在A地的哪一边？距A地多远？ （2）若每千米耗油0.1升，则从出发到收工共耗油多少升？ 任务四：小结与反思。 1.通过本单元的学习，你对“数”有了哪些新的认识？为什么要引入“负数”和“有理数”？ 2.“数轴”在本单元的学习中起到了什么作用？它如何帮助我们理解和解决有关有理数的问题？ 3.在研究有理数的性质（如相反数、绝对值、大小比较）时，我们一般遵循怎样的路径？ 第七课时 单元小结与拓展学习（2） 【学习目标】 1.经历完整的数学建模过程，综合运用有理数的概念、性质和运算解决“城市气象站”单元大任务，发展数学建模和应用意识。 2.通过解决复杂的实际问题和探索性问题，提升对有理数知识的深度理解和综合运用能力，发展推理能力和运算能力。 【评价任务】 1.完成任务一中的思考1-1至思考1-3。（检测目标1） 2.完成任务二中的例1-4。（检测目标2） 【学习过程】 任务一：数学建模入门——解读“大任务” （指向目标1） 你已接收一周的气象数据，包括每日最高气温、最低气温。你的最终目标是撰写一份数据分析报告。 思考1-1：如何将“分析一周气温变化规律”这一实际需求，转化为一个可以运用有理数知识解决的数学问题？（已知什么？求什么？需要用到哪些概念？）（指向目标1） 思考1-2：解决这个大任务，需要建立哪些数学模型或使用哪些数学工具？ 提示：用正负数模型表示数据；用数轴模型直观表示和比较大小；用绝对值模型计算温差和偏差程度（指向目标1） 思考1-3：简述你计划如何分步骤地解决这个任务，最终形成报告。（指向目标1） 任务二：能力提升训练——解决复杂问题 （指向目标2） 例1．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点．例如：如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣7，点N所表示的数为2． （1）点E，F，G表示的数分别是﹣3，6.5，11，其中【M，N】美好点的是 　 　 ；写出【N，M】美好点H所表示的数是 　 　 ． （2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？ 例2.同学们都知道：|3﹣（﹣2）|表示3与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为3与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，请你借助数轴进行以下探索： （1）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为 　 　 ． （2）如果|x﹣2|＝5，则x＝　 　 ． （3）同理|x+2|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣2和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+2|+|x﹣1|＝3，这样的整数是 　 　 ． （4）由以上探索猜想对于任意有理数x，|x﹣3|+|x﹣2|+|x﹣1|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． 例3.请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法：若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，，所以，所以． （1）上述方法是先通过找中间量 　 　 来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，　 　 大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； （2）利用上述方法比较大小： 　． 例4.数轴上表示有理数a，b，c的点的位置如图所示： （1）请将有理数a，b，c按从小到大的顺序用“＜”连接起来：　 　 ； （2）如果|a|＝2，|c|＝1，表示数b的点到原点的距离为3，则a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ． （3）在（2）的情况下，如果有一蚂蚁位于有理数c表示的点的位置，要爬行到距离原点两个单位长度的位置，请说明这只蚂蚁应该如何爬行？ 任务三：小结与反思 1.通过完成单元大任务，你认为数学在理解和分析现实世界问题中扮演着什么角色？ 2.在解决涉及有理数的复杂问题时，你最常使用的数学思想方法是什么？（数形结合、分类讨论、建模）请举例说明。 3.回顾整个《有理数》单元的学习，你最大的收获是什么？在哪些数学核心素养方面觉得自己得到了提升？ 学科网（北京）股份有限公司 $