专题4.2 画线段的和、差与线段的中点（8大题型+能力训练） 2025-2026学年 沪教版（五四制） 六年级数学上册

本讲义聚焦线段的和差、中点及相关计算与作图，从定义表示（和差、中点概念）到作图方法（度量法、尺规作图），再到单中点、双中点、三等分点计算，最后到动点问题综合应用，构建递进式学习支架。 资料通过分层题型（基础例问到综合提升）培养几何直观与推理意识，如尺规作图发展空间观念，双中点问题强化逻辑推导。课中辅助教师精准教学，课后助力学生查漏补缺，提升运算能力与知识应用能力。

2025-2026学年六年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题4.2 画线段的和、差与线段的中点 知识点一、线段的和、差 1.定义 ：如果一条线段的长度等于另外两条线段长 度的和(或差),那么称这条线段就是另外两条线段的和(或差). 2.表示：如图 线段AB 、BC 、AC有如下的数量关系：AB+BC=AC,AC—BC=AB,AC—AB=BC. 如图,点B 、C 在线段AD上 .如果线段AB与线段CD一样长，那么线段AC 、BD 有怎样的关系?为什么? 因为AB=CD, 所以AB+BC=CD+BC. 所以AC=BD. 知识点二、画线段的和、差 1.度量法：用刻度尺画一条线段等于已知线段.画一条线段等于两条 线段的和或差，可以先用刻度尺量出两条线段的长度，再计算线段的和或差， 最后利用刻度尺画. 2.用直尺和圆规画线段的和与差. 知识点三、线段的倍分与线段的中点 1.定义：如果一条线段b 是 n 条线段a 的和，就说线段b 是线段a的n倍，或线段a 是线段b的n分之一，记作b=na或特别地，将一条线段分成两条相等线段的点叫作这条线段的中点. 2.表示：如图M是线段AB 的中点，那么,AB=2AM=2BM. 题型01：线段的和与差 【例1】线段上有1个点。如线段AB上有一点M 和：AB= AM + MB 差：AM= AB — MB BM= AB — AM 【例2】如图，请根据图形完成下列填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离，正确的计算线段的和差是解题的关键．根据线段的和差即可得到结论． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 故答案为：，，，，． 【例3】如图，线段在线段上，且，，则图中以，，，这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和与差，首先确定以，，，这四点中任意两点为端点的线段有：线段、、、、、，根据，，可知，，再根据线段之间的关系求解即可． 【详解】解：图中以，，，这四点中任意两点为端点的线段有：线段、、、、、， ，， ， ， ， ， 图中以，，，这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是． 故答案为：． 【跟踪训练】 1.三点在同一直线上，线段，，那么、两点的距离是(   ) A． B． C．或 D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离，渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．分点C在的延长线上和点C在线段的延长线上两种情况，根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：①如图，当点C在的延长线上时， ∵，， ∴、两点的距离是； ②如图，当点C在线段的延长线上时， ∵，， ∴、两点的距离是； 综上所述：、两点的距离是：或， 故选：C． 2.线段上有2个点。如点M、N是线段AB上的两个点。 和：AB= AM + MN + BN ； AN= AM + MN ； MB= MN + BN 差：AM=AB— BM ; AM=AN— MN ; MN=AB— AM — BN ; MN=AN— AM MN=MB— BN ; NB=AB— AN ; NB=MB— MN 。 3.如图， ， ，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查线段的和差关系，解题的关键是等量代换得出，再结合即可列式求解． 【详解】解：，，， ， ，， ， ， ∴． 故选：C． 4.如图，C是线段的中点，D为线段上一点，下列等式（1）；（2）；（3），（4）．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差，熟练掌握线段的和差关系是解题的关键． 根据线段的和差关系逐句判断即可． 【详解】解：∵是线段的中点， ， （1），故（1）正确； （2）不能证明，故（2）错误； （3），故（3）正确； （4），故（4）正确， ∴正确的有 3 个． 故选：C． 5．点C、点D在线段上，． (1)如图1，请判断和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，点M是的中点，，，求线段的长度． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，线段的和与差，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用线段的和求解； （2）先利用线段中点的意义得出，利用线段的和差得出，再得出，然后结合，，得出，从而可得，求得，再求得线段的长度． 【详解】（1）解：∵点C、点D在线段上，， ∴， 即； （2）解：∵点M是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，解得：， ∵，， ∴， ∴，解得：， ∴，解得：， 即． 题型02：作线段的和差倍（尺规作图） 【例4】已知线段a、b. (1)用直尺和圆规画一条线段，使它等于a+b; (2)用直尺和圆规画一条线段，使它等于a-b. 解 (1)如图4- 1- 13, ① 画射线OP; ②在射线OP 上从点O 起，顺次截取OA=a,AB=b. 线 段OB 就是所要画的线段. (2)如图4-1-14, ①画射线OP; ②在射线OP上截取OC=a, 在线段OC上截取CD=b.线段OD就是所要画的线段. 从图4-1-13可知，线段OB 的长度就是线段OA的长度加上线段AB 的 长度，即有OB=OA+AB. 因 为OA=a,AB=b, 所以OB=a+b. 从图4-1-14可知，OC=a,CD=b, 线 段OD的长度就是线段OC的长度减去线段CD 的长度，即有OD=OC-CD. 因为OC=a,CD=b, 所以OD=a—b. 【跟踪训练】 1.已知线段a，b，c，画出线段CD，使CD=a+2b-c。 a b C 2．如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于． 【答案】画图见解析，线段 【分析】本题考查的是作线段的和差，先作射线，在射线上依次截取，再在线段上截取，则线段. 【详解】解：如图，线段即为所求； 3.．已知线段、、，画一条线段，使（请写出作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查画与已知线段相等的线段，关键是根据题意得到所画线段跟已知线段的关系． 先作射线，再在射线上依次截取，，再截取，则线段即为所作． 【详解】解：如图：先作射线，再在射线上依次截取，，再截取，则线段即为所作． 题型03：线段中点的概念与画图 【例5】如图下列说法中不能判定C是线段中点的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查线段的中点，掌握知识点是解题的关键． 根据线段的中点，结合图形逐一分析即可． 【详解】解：A．∵， ∴C是线段中点． 故A正确，不符合题意； B．∵， ∴C是线段中点． 故B正确，不符合题意； C．由，无法判定C是线段中点， 故C错误，符合题意； D．∵， ∴C是线段中点． 故D正确，不符合题意； 故选C． 【跟踪训练】 1．如图，小莹利用圆规在线段上截取线段，使．若点D恰好为的中点，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了线段中点和线段的和差倍分，由点D为CE的中点，可得，再结合，再逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：∵点D为的中点， ∴，，故A错误，B正确； ∵， ∴，故C、D错误； 故选：B． 2．下列说法正确的是（   ） A．若，则点C是的中点 B．若，则点C是的中点 C．若，则点C是的中点 D．若，则点C是的中点 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段中点的定义，熟练掌握线段中点的定义是解题的关键． 【详解】解：A. 若，则点C可能在上，也可能不在上，故选项A错误； B. 若，则点C可能在上，也可能不在上，故选项B错误； C. 若，则点C可能在上，也可能不在上，故选项C错误； D. 若，则点C是的中点，故选项D正确； 故选：D． 3.．如图，已知点C在线段上，则下列等式；； ；．能说明点C是线段的中点的等式有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据线段中点的定义进行判断即可． 【解析】解：∵点C在线段上， ∴当时，， ∴点C是线段的中点； 当时，不能说明， ∴不能说明点C是线段的中点； 当时，， ∴点C是线段的中点； ∵点C在线段上，， ∴点C是线段的中点； 综上分析可知，能说明点C是线段的中点的等式有3个，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了线段中点的定义，解题的关键是理解定义，数形结合． 题型04：线段中点有关的计算 【例6】如图，，是线段上两点，若，是的中点，则的长（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了两点之间的距离，线段的中点，熟知各线段之间的和差及倍数关系是解答此题的关键． 根据线段中点的定义得出，计算即可得到答案． 【详解】解：是的中点， ， ， 故选：C ． 【例7】如图，点C、D在线段上，点C为中点，若，，则 ． 【答案】3 【分析】根据线段图，先求出的长，就可以求出的长． 【详解】解：∵点C为中点， ∴， ∴． 故答案为：3 【点睛】本题考查了两点间的距离，掌握线段中点的性质，得出是解本题的关键． 【例8】如图，点C在线段的延长线上，，点D是线段的中点，，则的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段中点的定义、线段的和差． 先求出的长，再根据中点的定义求出的长，最后根据即可得解． 【解答】解：∵，， ∴， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴． 故选：D． 【跟踪训练】 1.如图，，C为的中点，点D在线段上，且，则的长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了线段中点的定义、线段的和差，熟练掌握线段中点的定义是解题的关键．根据线段中点的定义、线段的和差即可求解． 【详解】解：∵C为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：15． 2.如图，点在线段上，且，点在线段的延长线上，且，为的中点．若，则线段 cm． 【答案】12 【分析】本题考查了线段的中点及线段的和差计算．根据已知求出，的长是解题的关键． 根据题意得出设可求出长，再求出长，即可得出答案． 【详解】解：由设． ， ． 解得：． ． 为的中点， ∴． （）. 故答案为：． 3.如图，C，D为线段上两点，cm，cm，D为线段的中点，则线段= cm．    【答案】4 【分析】本题主要考查了线段的和、差及中点的定义，准确理解线段之间的数量关系是解题的关键．根据题意，可得cm，再代入数据即可求解． 【详解】解：∵D为线段的中点，cm， ∴cm， ∵cm， ∴cm， 故答案为：4． 4.．已知线段，点C在线段上，，点M是线段的中点，则线段的长（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题考查了两点之间的距离，能求出和的长度是解题的关键． 求出，根据中点可以求出． 【解答】解：∵，， ∴， ∵点M为线段中点， ∴， ∴， 故选：A． 知识点五：线段双中点问题 C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则 【例9】如图，点是线段上一点，点是的中点，点是的中点，若长，则长（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线段的中点判断，，再证明，结合，可得长． 【解析】解：∵点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了两点间的距离、线段中点的性质，由图得出是解答本题的关键． 【例10】已知点B在直线上，点P为的中点，点Q为的中点，，则为 ． 【答案】13或5 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，再根据正确画出的图形解题． 【详解】解：①当点C在点A左侧时， ∵点P为的中点，点Q为的中点， ∴，， ∴． ②当点C在点B右侧时， ∵点P为的中点，点Q为的中点， ∴，， ∴． 故答案为：13或5． 【跟踪训练】 1.如图，三点共线，分别是、的中点，若，，则（  ） A．7 B．8 C．7.5 D．6 【答案】A 【分析】此题考查了线段的中点，线段的和差，熟练掌握线段的中点，线段的和差是解题关键． 根据题意可得，，由即可求解． 【详解】解：分别是、的中点， ，， ． 故答案为：A． 2.如图，线段，点C为线段上一点，，点D，E分别为和的中点，则线段的长为 ． 【答案】1.5 【分析】本题考查了线段的和差关系，线段中点的定义及线段的计算．根据题意先计算的长度，再求出和的长度，最终求得的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点D为中点，点E为中点， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：1.5． 3．如图，点为线段上的一点，，、两点分别为、的中点，若线段为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，线段的和与差．明确线段之间的数量关系是解题的关键． 由题意知，，由中点可知，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵M、N两点分别为的中点， ∴， ∴， 解得，， 故答案为：． 题型05：线段三等分点的有关计算 【例11】如图，点C是线段的中点，点N是线段的三等分点．若线段的长为12，则线段的长度是 ． 【答案】8或10 【分析】本题主要考查了线段和差倍分的计算，解题关键是熟练掌握线段与线段之间的和差倍分关系．先根据已知条件求出和的长，然后根据点的位置，分两种情况讨论，画出图形，利用已知条件，求出的值即可． 【详解】解：，点是中点， ， 分两种情况讨论： ①点的位置如图所示： 点是线段的三等分点， ， ； ②点位置如图所示： 点是线段的三等分点， ， ； 综上可知：的长度为8或10， 故答案为：8或10． 【跟踪训练】 1．如图，已知点M、N为线段的三等分点，点P为线段的中点，若，则线段的长度是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的和与差，明确题意，准确得到线段间的数量关系是解题的关键．根据点M、N为线段的三等分点，可得，再由点P为线段的中点，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵点M、N为线段的三等分点， ∴， ∵点P为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：12． 2．已知，点是线段的一个三等分点，点为线段的中点，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的中点和三等分点的性质，熟练掌握分情况讨论点的位置是解题的关键． 分点靠近点和靠近点两种情况，利用线段中点和三等分点的性质求解的长度． 【详解】解：情况一：当点靠近点时， ∵点为线段的中点，， ∴． 又∵点是线段的一个三等分点， ∴． 情况二：当点靠近点时， ∵点为线段的中点，， ∴． 又∵点是线段的一个三等分点， ∴． 故答案为：9或18． 3．如图，点是线段上一点，且，点是线段的中点．求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查了线段之间的数量关系，线段中点的计算． 先根据求出，进而求出，再根据是线段的中点求出即可求解． 【详解】解： ； 是的中点 4．已知点是线段的三等分点，点是的中点，，则线段的长为 ． 【答案】或/4cm或2cm 【分析】分两种情况，当M为靠近A的三等分点时，当M为靠近B的三等分点时，分别画出图形，求出结果即可． 【解析】解：当M为靠近A的三等分点时，如图所示： ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴； 当M为靠近B的三等分点时，如图所示： ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴； 综上分析可知，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了线段中点的计算，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． 5.．若线段，点C是线段的中点，点D是线段的三等分点，则线段的长为 ． 【答案】或 【分析】根据线段中点的定义和线段三等分点的定义即可得到结论． 【解析】解：是线段的中点，， ， 点是线段的三等分点， ①当时，如图， ； ②当时，如图， ． 所以线段的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，分类讨论思想的运用是解题的关键． 6.．如图，线段，点C在线段AB上，P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点，则线段的长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离，n等分点的定义，数形结合是解题的关键．由三等分点的定义得，，然后由两点间的距离求解即可． 【解答】解：∵P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点， ∴，， ∴． 故选C． 7．已知线段，点P在直线上，直线上共有三条线段：，和．若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称P为线段的“奇妙点”，那么线段的“奇妙点”的个数是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据“奇妙点”的定义即可求解．本题主要考查了新定义，以及线段的数量关系，正确理解题意是解答本题的关键． 【解答】解：线段的个三等分点与线段的中点都是线段的“奇妙点”，同理，在线段延长线和反向延长线也分别有个“奇妙点”． 线段的“奇妙点”的个数是个． 故选：C． 题型08：与线段有关的动点问题 【例12】如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了线段的中点，利用总体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类． 点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点，据此解答即可． 【解答】解：根据题意可知： 当点P经过任意一条线段中点时会发出红光， ∵图中共有线段、、、、、， ∵四点之中相邻两点之间的距离相等 ∵和中点是同一个， ∴光点P发出红光的次数为5． 故选：C． 【跟踪训练】 1.如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；             ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变；                 ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【解答】解：运动后，，， M为的中点， ， ，故①错误； 设运动t秒，则，， M为的中点，N为的中点， ， ， 的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ，， ， 的值不变，故③正确； ，， ， 解得：，故④正确； 故选：D 2.如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为． (1)当时，，请求出的长； (2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查线段的和差运算，动点问题，熟练掌握数形结合，并会分类讨论是解题的关键． （1）由题意，当时，，，得出，结合，得出，可得，结合即可求解； （2）设运动时间为，则，，得，同（1）方法即可求解； （3）分类讨论，当点在线段上时和点在的延长线上时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， 则， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， 则； （2）解：设运动时间为， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， 则； （3）解：当点在线段上时， ∵， ∴, ∵， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴； 当点在的延长线上时， ． 综上所述，或． 3．如图，是线段上的点，，两点分别从同时出发，以个单位长度/秒，个单位长度/秒的速度沿直线向左运动，当点和点分别在线段上时，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离,线段的和差，设，则，设运动的时间为，则，，可得，，进而得到，即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：如图，设，则， 设运动的时间为，则，， ∴，， ∴， ∴． 题型09：综合提升 【例13】如图，点C是线段的中点，且，若，则线段（   ）． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的和差、两点间的距离、线段的中点等知识点，掌握两点间的距离、线段中点的定义是解题的关键． 由点C是线段的中点，，则，再根据可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵点C是线段的中点，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【例14】如图，线段上两点B、C将分成三部分，M是的中点，若，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查线段的中点，线段的和差，掌握知识点是解题的关键。 先求出,推导出，,再由M是的中点，得到,则，即可解答。 【详解】解：∵线段上两点B、C将分成三部分，， ∴, ∴,, ∴, ∵M是的中点， ∴, ∴. 答：线段的长为1. 【例15】如图：四点在同一直线上． (1)若． ①比较线段的大小： ______（填“”、“”或“”）； ②若且，则的长为______； (2)若线段被点分成了三部分，且的中点P和的中点Q之间的距离是，求的长． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查线段及其中点的有关计算，理解线段中点的意义是正确计算的关键． （1）①根据等式的性质，得出答案；②求出的值，再求出的长，进而求出的长即可； （2）根据线段的比，线段中点的意义，设未知数，列方程求解即可． 【详解】（1）①∵， ，即：， ②， 且， ∴， （2）如图所示， 设每份为x,则， 是的中点，点Q是的中点， ， 又， ， 解得，， ． 【例16】如图，点C在线段上，，． (1) ； ． (2)若点D、E在过线上，点D在点E的左侧，线段DE在线段上移动，． ①如图1，当E为中点时，求的长； ②点F（异于A，B，C点）在线段上，，，画出图形，求的长； 【答案】(1)12，6 (2)①7；②的长为3或5． 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的性质，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． （1）根据，，可求得，； （2）①根据中点定义求出，由线段的和差即可得到的长； ②点（异于，，点）在线段上，，，确定点是的中点，即可求的长． 【解析】（1）∵，， ，； （2）如图1， 为中点， ， ， ， ； ②Ⅰ、当点在点的左侧，如图2， ，， 点是的中点， ， ， ； ，故图2（b）这种情况求不出； Ⅱ、如图3，当点在点的右侧， ，， ， ， ． ，故图3（b）这种情况求不出； 综上所述：的长为3或5． 一、选择题 1．已知点C在线段上，则下列条件中，不能确定点C是线段中点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段的中点的定义依次分析各项即可判断． 【解析】A、，则点C是线段中点； B、，则点C是线段中点； C、，则点C是线段中点； D、，则C可以是线段上任意一点； 故选D． 【点睛】此题考查了线段中点的定义：线段中点将线段分为相等的两部分，熟练掌握线段中点定义是解题的关键． 2.如图，延长线段至点，使，若点恰好为线段中点，且，则线段的长度是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查两点间的距离，理解线段中点以及线段和差关系是正确解答的前提．根据线段中点以及线段和差关系进行计算即可． 【解析】解：点为线段的中点，， ， ． ， ∴， 故选B． 3．如图，点，在线段上，且，，下列结论正确的是（   ） A．点是线段的中点 B．点是线段的中点 C．点是线段的三等分点 D．点是线段的三等分点 【答案】D 【分析】本题考查了线段中点的定义，线段等分点的计算．根据线段中点的定义可以得出点是线段的中点，点是线段的中点，即可判断A选项和B选项说法错误；根据线段等分点的定义，可以得出点是线段的三等分点，点是线段的四等分点，即可判断C选项说法错误，D选项说法正确． 【解答】解：∵点在线段上，且， ∴点是线段的中点，故B选项说法错误； ∵点在线段上，且， ∴点是线段的中点，故A选项说法错误； 即， ∴， ∴，， 即点是线段的三等分点，故D选项说法正确； 点是线段的四等分点，故C选项说法错误． 故选：D． 4．如图，线段的长为，点为上一动点（不与，重合），为中点，为中点，随着点的运动，线段的长度（   ） A．随之变化 B．不改变，且为 C．不改变，且为 D．不改变，且为 【答案】D 【分析】把DE的长度转化为DC与CE的长度之和，转化为AB的长度即可求解． 【解答】∵为中点，为中点， ∴DC= AC，CE= BC ∴DE=DC+CE =AC+BC =AB =m 故选：D． 【点评】本题主要考查的是线段动点问题以及线段中点的定义，熟练掌握线段中点的定义是解答本题的关键． 5.如图，已知是线段中点，延长线段至，使，则下列结论中①；②；③；④；⑤；⑥，正确的有（　　） A．①②④⑥ B．①②⑤⑥ C．①②③④ D．②③⑤⑥ 【答案】B 【分析】本题考查了两点间的距离，线段线段中点的定义．根据线段中点的定义以及线段的和差逐一判断即可得到结论． 【详解】解：是线段中点， ，故①正确； ， ，故②正确； ，，故③④错误； 是线段中点， ， ， ，故⑤正确； ，， ，故⑥正确； 故选：B． 6．如图，点，在线段上，且，，下列结论正确的是（   ） A．点是线段的中点 B．点是线段的中点 C．点是线段的三等分点 D．点是线段的三等分点 【答案】D 【分析】本题考查了线段中点的定义，线段等分点的计算．根据线段中点的定义可以得出点是线段的中点，点是线段的中点，即可判断A选项和B选项说法错误；根据线段等分点的定义，可以得出点是线段的三等分点，点是线段的四等分点，即可判断C选项说法错误，D选项说法正确． 【详解】解：∵点在线段上，且， ∴点是线段的中点，故B选项说法错误； ∵点在线段上，且， ∴点是线段的中点，故A选项说法错误； 即， ∴， ∴，， 即点是线段的三等分点，故D选项说法正确； 点是线段的四等分点，故C选项说法错误． 故选：D． 二、填空题 7．如图，点，，，在数轴上的位置如图所示，为原点，，，若点表示的数为，则点表示的数为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了数轴，数形结合思想是解题的关键．先根据图形结合题意得到A所表示的数，再根据相反数的位置关系求出结果． 【详解】解：∵，点C表示的数为， ∴点A表示的数为， ∵， ∴点B所表示的数为6． 故答案为：6． 8.已知点是线段的中点，点是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若，则的长为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查线段的中点有关的计算，先根据线段中点定义求得，再分和两种情况，画出图形，分别求解即可． 【详解】解：∵，点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的三等分点， 若，如图，则；    若，如图，则，    综上，的长为或， 故选：D． 9．定义：在直线l上的三点A，B，C，若满足，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图，若M，N，P三点在同一直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，，则____ ． 【答案】或 【分析】本题考查线段的和差，熟练找出已知条件中线段的和差关系是解题的关键． 对点P在线段之间和在的反向延长线上时的情况，分别画出示意图，再据此进行计算即可． 【详解】解：由题知， 当点P在线段之间时，如图所示， 点P是点M关于点N的“半距点”， 当点P在的反向延长线上时，如图所示， 因为点P是点M关于点N的“半距点”， 综上所述，或 ． 故答案为：或． 三、解答题 10．点A，B，C在同一条直线上，若，． （1）AC的长为 cm； （2）若点C在线段AB的延长线上，且D是线段AB的中点，E为线段BC的中点，则AD的长为 cm，DE的长为 cm． 【答案】 2或4 1.5 2 【分析】（1）（2）根据线段的和与差的关系求解； 【详解】解：（1）如图：当点C在线段AB的延长线上， ； 当点C在线段AB上， ； 故答案为：2或4； （2）如图： ； ， ， ； 故答案为：，． 【点睛】本题考查了线段的和与差，正确的运算是解题的关键． 11．如图，点是线段的中点，点是线段的中点，线段． (1)求线段的长； (2)如果点在线段上，且，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查线段中点的有关计算，线段n等分点的有关计算，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题． （1）根据线段中点的特点得到对应线段之间的数量关系进行求解，即可解题； （2）根据得到的长，再根据求解，即可解题． 【详解】（1）解：点是线段的中点，线段， ， 点是线段的中点， ； （2）解：由（1）得，， ， ， ． 12．如图，点C为线段AB的中点，． (1)求BC的长； (2)在射线AB上有一点M，，求线段CM的长． 【答案】(1) (2)CM长为3或7 【分析】本题考查线段和差、线段中点的知识，掌握线段中点的有关计算是解题关键； （1）根据线段中点的性质计算即可； （2）分点M在点B的左侧和右侧两种情况，再根据线段和差性质计算，即可得到答案． 【详解】（1）∵C是AB的中点，， ∴； （2）∵， ∴ 当点M在点B的左侧时， ∵， ∴； 当点M在点B的右侧时， ∵， ∴． 综上所述，CM长为3或7． 13．如图，已知线段a，b ． (1)用尺规作一线段，使； (2)若线段，，点D是线段的中点，则线段的长为________． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查作图-复杂作图． （1）作射线，在射线上截取，在线段上截取，线段即为所求； （2）先根据、求出的长度，再根据中点的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图1，线段即为所求； （2）解：如图2：， ∵点D是线段的中点， ∴． 故答案为：2． 14．如图，已知线段，点是线段的中点，点是线段的中点． (1)求线段的长； (2)若点是线段上一点，且，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据线段中点的性质求得，的长即可； （2）先求出，再根据求出结果即可． 【详解】（1）解：∵点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴； ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了线段中点的性质，两点间的距离，线段的和差定义，灵活掌握线段中点性质以及线段和差定义是解题的关键． 15.如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为． (1)当时，，请求出的长； (2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查线段的和差运算，动点问题，熟练掌握数形结合，并会分类讨论是解题的关键． （1）由题意，当时，，，得出，结合，得出，可得，结合即可求解； （2）设运动时间为，则，，得，同（1）方法即可求解； （3）分类讨论，当点在线段上时和点在的延长线上时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， 则， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， 则； （2）解：设运动时间为， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， 则； （3）解：当点在线段上时， ∵， ∴, ∵， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴； 当点在的延长线上时， ． 综上所述，或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题4.2 画线段的和、差与线段的中点 知识点一、线段的和、差 1.定义 ：如果一条线段的长度等于另外两条线段长 度的和(或差),那么称这条线段就是另外两条线段的和(或差). 2.表示：如图 线段AB 、BC 、AC有如下的数量关系：AB+BC=AC,AC—BC=AB,AC—AB=BC. 如图,点B 、C 在线段AD上 .如果线段AB与线段CD一样长，那么线段AC 、BD 有怎样的关系?为什么? 因为AB=CD, 所以AB+BC=CD+BC. 所以AC=BD. 知识点二、画线段的和、差 1.度量法：用刻度尺画一条线段等于已知线段.画一条线段等于两条 线段的和或差，可以先用刻度尺量出两条线段的长度，再计算线段的和或差， 最后利用刻度尺画. 2.用直尺和圆规画线段的和与差. 知识点三、线段的倍分与线段的中点 1.定义：如果一条线段b 是 n 条线段a 的和，就说线段b 是线段a的n倍，或线段a 是线段b的n分之一，记作b=na或特别地，将一条线段分成两条相等线段的点叫作这条线段的中点. 2.表示：如图M是线段AB 的中点，那么,AB=2AM=2BM. 题型01：线段的和与差 【例1】线段上有1个点。如线段AB上有一点M 和：AB= + 差：AM= — BM= — 【例2】如图，请根据图形完成下列填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【例3】如图，线段在线段上，且，，则图中以，，，这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是 ． 【跟踪训练】 1.三点在同一直线上，线段，，那么、两点的距离是(   ) A． B． C．或 D．以上答案都不对 2.线段上有2个点。如点M、N是线段AB上的两个点。 和：AB= + + ； AN= + ； MB= + 差：AM=AB— ; AM=AN— ; MN=AB— — ; MN=AN— MN=MB— ; NB=AB— ; NB=MB— 。 3.如图， ， ，，则（    ） A． B． C． D． 4.如图，C是线段的中点，D为线段上一点，下列等式（1）；（2）；（3），（4）．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．点C、点D在线段上，． (1)如图1，请判断和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，点M是的中点，，，求线段的长度． 题型02：作线段的和差倍（尺规作图） 【例4】已知线段a、b. (1)用直尺和圆规画一条线段，使它等于a+b; (2)用直尺和圆规画一条线段，使它等于a-b. 【跟踪训练】 1.已知线段a，b，c，画出线段CD，使CD=a+2b-c。 a b C 2．如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于． 3.．已知线段、、，画一条线段，使（请写出作法） 题型03：线段中点的概念与画图 【例5】如图下列说法中不能判定C是线段中点的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．如图，小莹利用圆规在线段上截取线段，使．若点D恰好为的中点，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A．若，则点C是的中点 B．若，则点C是的中点 C．若，则点C是的中点 D．若，则点C是的中点 3.．如图，已知点C在线段上，则下列等式；； ；．能说明点C是线段的中点的等式有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型04：线段中点有关的计算 【例6】如图，，是线段上两点，若，是的中点，则的长（    ） A． B． C． D． 【例7】如图，点C、D在线段上，点C为中点，若，，则 ． 【例8】如图，点C在线段的延长线上，，点D是线段的中点，，则的长度是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.如图，，C为的中点，点D在线段上，且，则的长为 ． 2.如图，点在线段上，且，点在线段的延长线上，且，为的中点．若，则线段 cm． 3.如图，C，D为线段上两点，cm，cm，D为线段的中点，则线段= cm．    4.．已知线段，点C在线段上，，点M是线段的中点，则线段的长（　　） A． B． C． D． 知识点05：线段双中点问题 C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则 【例9】如图，点是线段上一点，点是的中点，点是的中点，若长，则长（　　） A． B． C． D． 【例10】已知点B在直线上，点P为的中点，点Q为的中点，，则为 ． 【跟踪训练】 1.如图，三点共线，分别是、的中点，若，，则（  ） A．7 B．8 C．7.5 D．6 2.如图，线段，点C为线段上一点，，点D，E分别为和的中点，则线段的长为 ． 3．如图，点为线段上的一点，，、两点分别为、的中点，若线段为，则的长为 ． 题型06：线段三等分点的有关计算 【例11】如图，点C是线段的中点，点N是线段的三等分点．若线段的长为12，则线段的长度是 ． 【跟踪训练】 1．如图，已知点M、N为线段的三等分点，点P为线段的中点，若，则线段的长度是 ． 2．已知，点是线段的一个三等分点，点为线段的中点，若，则 ． 3．如图，点是线段上一点，且，点是线段的中点．求线段的长． 4．已知点是线段的三等分点，点是的中点，，则线段的长为 ． 5.．若线段，点C是线段的中点，点D是线段的三等分点，则线段的长为 ． 6.．如图，线段，点C在线段AB上，P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点，则线段的长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 7．已知线段，点P在直线上，直线上共有三条线段：，和．若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称P为线段的“奇妙点”，那么线段的“奇妙点”的个数是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 题型07：与线段有关的动点问题 【例12】如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪训练】 1.如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；             ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变；                 ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 2.如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为． (1)当时，，请求出的长； (2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长． 3．如图，是线段上的点，，两点分别从同时出发，以个单位长度/秒，个单位长度/秒的速度沿直线向左运动，当点和点分别在线段上时，求的值． 题型08：综合提升 【例13】如图，点C是线段的中点，且，若，则线段（   ）． A．7 B．8 C．9 D．10 【例14】如图，线段上两点B、C将分成三部分，M是的中点，若，求线段的长． 【例15】如图：四点在同一直线上． (1)若． ①比较线段的大小： ______（填“”、“”或“”）； ②若且，则的长为______； (2)若线段被点分成了三部分，且的中点P和的中点Q之间的距离是，求的长． 【例16】如图，点C在线段上，，． (1) ； ． (2)若点D、E在过线上，点D在点E的左侧，线段DE在线段上移动，． ①如图1，当E为中点时，求的长； ②点F（异于A，B，C点）在线段上，，，画出图形，求的长； 一、选择题 1．已知点C在线段上，则下列条件中，不能确定点C是线段中点的是（　　） A． B． C． D． 2.如图，延长线段至点，使，若点恰好为线段中点，且，则线段的长度是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，点，在线段上，且，，下列结论正确的是（   ） A．点是线段的中点 B．点是线段的中点 C．点是线段的三等分点 D．点是线段的三等分点 4．如图，线段的长为，点为上一动点（不与，重合），为中点，为中点，随着点的运动，线段的长度（   ） A．随之变化 B．不改变，且为 C．不改变，且为 D．不改变，且为 5.如图，已知是线段中点，延长线段至，使，则下列结论中①；②；③；④；⑤；⑥，正确的有（　　） A．①②④⑥ B．①②⑤⑥ C．①②③④ D．②③⑤⑥ 6．如图，点，在线段上，且，，下列结论正确的是（   ） A．点是线段的中点 B．点是线段的中点 C．点是线段的三等分点 D．点是线段的三等分点 二、填空题 7．如图，点，，，在数轴上的位置如图所示，为原点，，，若点表示的数为，则点表示的数为 ． 8.已知点是线段的中点，点是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若，则的长为（　　） A． B． C．或 D．或 9．定义：在直线l上的三点A，B，C，若满足，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图，若M，N，P三点在同一直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，，则____ ． 三、解答题 10．点A，B，C在同一条直线上，若，． （1）AC的长为 cm； （2）若点C在线段AB的延长线上，且D是线段AB的中点，E为线段BC的中点，则AD的长为 cm，DE的长为 cm． 11．如图，点是线段的中点，点是线段的中点，线段． (1)求线段的长； (2)如果点在线段上，且，求线段的长． 12．如图，点C为线段AB的中点，． (1)求BC的长； (2)在射线AB上有一点M，，求线段CM的长． 13．如图，已知线段a，b ． (1)用尺规作一线段，使； (2)若线段，，点D是线段的中点，则线段的长为________． 14．如图，已知线段，点是线段的中点，点是线段的中点． (1)求线段的长； (2)若点是线段上一点，且，求线段的长． 15.如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为． (1)当时，，请求出的长； (2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $