专题4.4 画角的和、差与角的平分线 余角、补角（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024六年级上册

专题4.4 画角的和、差与角的平分线 余角、补角 教学目标 1. 了解角的和、差关系，并学会计算； 2. 学会角的平分线的定义、作图及有关计算； 3. 掌握余角、补角的概念及计算。 教学重难点 1.重点 （1）作图—角平分线，角的和、差； （2）角的平分线在角的和、差计算中的应用； （3）余角、补角及其应用； 2.难点 （1）分类讨论思想； （2）角的计算有关的综合应用。 知识点1 角的和、差 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 要点： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 【即学即练】 1．已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=∠α+2∠β．（不写作法，标明字母）    知识点2 角平分线 1.角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 要点：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 2.角平分线的画法：①用量角器作角平分线 例 如 图 4 - 2 - 1 9 , 已 知 ∠ABC, 画出它的平分线. 解如图4 - 2 - 20, ①用量角器量得∠ABC=48°,所 以 ② 以B 为顶点，射线 BA为一边，在∠ABC的内部用量角器画∠ABM=24. BM 就是所要画的∠ABC的平分线. ②尺规作角的平分线 下面我们探究用尺规作角的平分线． 已知：∠AOB. 求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC. 作法： (1)在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE； (2)分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C； (3)作射线OC. OC就是∠AOB的平分线(如图)． 【即学即练】 1．如图，在下面的四个等式中，不能表示“是的平分线”的是（         ） A． B． C． D． 2．如图，，则平分 ，平分 ， ． 3．如图所示，是的角平分线，平分，且，则为（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知点A、O、B在同一条直线上，射线和射线分别平分和，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 知识点3 余角和补角 1.定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 2．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等． 要点： (1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关． (2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。 【即学即练】 1．已知，则的余角的大小为 ． 2．若与互补，，则 ． 3．一个角的补角是它的余角的倍，则这个角是 ． 4．是直角，是位于内的一条射线，平分，平分，则补角的度数为 ． 5．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，射线、、、分别表示东、南、西、北方向，已知． (1)图中与互余的角是______； (2)图中与互补的角是______； (3)如果，那么点在点的______方向． 题型01 尺规作图 【典例1】．根据图形，写出OC与∠AOB的位置关系，并用数学符号写出∠AOB与∠COB的大小关系． 【变式1】．已知射线BC，∠β，用直尺和圆规作∠ABC，使∠ABC=∠β（不写作法，保留作图痕迹）． 【变式2】．已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=2∠α-∠β．（不写作法，标明字母） 题型02 角平分线的概念辨析 【典例1】．下列关于角平分线的说法正确的是（　　） A．角的平分线是一条线段 B．角的平分线是平分这个角的直线 C．在角的内部，以角的顶点为端点的一条直线 D．在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线 【变式1】．已知是内的一条射线，下列条件中不能确定射线平分的是（   ） A． B． C． D． 题型03 角平分线的有关计算Ⅰ 【典例1】．如图已知是的角平分线，如果，那么 ．（结果用度表示） 【变式1】．如图，直线、交于点，若，射线平分，那么 ． 【变式2】．如图， ，，平分．则是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．如图，已知：平分，，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 题型04 角平分线的有关计算Ⅱ 【典例1】．已知，，平分，平分，则的度数是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式1】．已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 题型05 角的n等平分线 【典例1】．如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为(   ) A． B． C． D．4a 【变式1】．如图，已知射线OC平分∠AOB，射线OD，OE三等分∠AOB，又OF平分∠AOD，图中等于∠BOE的角共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型06 三角板问题 【典例1】．一副三角板按如图方式摆放，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，将一副三角板按不同位置摆放，其中和互为余角的是（   ） A． B． C． D． 题型07 余角、补角及其有关计算 【典例1】．的余角为 【变式1】．已知与互余，与互补．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如果，，那么与的关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【变式3】．与它的余角相等，与它的补角相等，则 °． 【变式4】．如果一个锐角的补角是它的余角的3倍，则这个角为（　　） A． B． C． D． 【变式5】．一个角的补角是它的余角的倍，则这个角是 ． 【变式6】．如果两个角互为补角，而其中一个角比另一个角的4倍少，那么这两个角的度数是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型08 余角、补角的综合应用 【典例1】．如果和互补，且，则下列表示的余角的式子正确的有 个． ①；②；③；④ 【变式1】．如图，，则图中互余的角有 对． 【变式2】．如图，已知，在的内部，      (1)用直尺和圆规作出的平分线（不写作法，保留作图痕迹）； (2)如果，在完成画图后所得的图形中，与互余的角有________； (3)如果的补角与的2倍互补，那么________， 【变式3】．如图，已知，点O为垂足，是内任意一条射线，，分别平分，下列结论： ①； ②与互补； ③； ④与互余， 其中正确的有 ．（只填写正确结论的序号） 一、单选题 1．已知，则的补角是（    ）． A． B． C． D． 2．如果一个角的补角为，那么这个角的余角是（   ） A． B． C． D． 3．如图，射线平分．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线AB，CD交于点O，，若，则为（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，点为直线上一点，，那么下列互为余角的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 6．如图，已知∠AOB=∠BOC=∠COD，下列结论中错误的是（　　） A．OB、OC分别平分、 B． C． D． 二、填空题 7．若，且平分，则 ． 8．若，则的余角为 ． 9．如图，．    （1）是 的平分线，是 的平分线，是 的平分线； （2） ， = ； （3） ； ， （4）若，则 ． 10．如图所示，已知是直线上一点，，平分．    （1）图中与相等的角有 ； （2）图中与互余的角有 ； （3）图中与互补的角有 ． 11．如图，直线与相交于点，，射线平分，则的度数为 ． 12．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点，则 ． 13．如图所示，为直线上的一点，在直线的同侧做射线，使得，过点做射线，使得，另做射线，使得平分角，当时，则 ． 14．如图，钟表的秒针因故障停滞不动，时针与分针正常运行．小晶发现3点整时，秒针正好是时针与分针夹角的角平分线，经过m分钟后，秒针又一次成为时针与分针夹角的角平分线，则m的最小值是 ．    三、解答题 15．利用一副三角尺能画出下列度数的角吗？如何画？试试看．（不要写出做法，要保留作图痕迹） (1)． (2) 16．如图，已知，，若，求的度数．    17．如图,已知∠BOC = 2∠AOB，OD平分∠AOC，∠BOD = 14°，求∠AOB的度数． 18．如图，和都是直角． (1)判断与图中哪个角相等，并简单写出理由； (2)若，过点O作的平分线，求的度数． 19．如图，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC． （1）求∠MON的度数； （2）若题干中的∠AOB=，其他条件不变，求∠MON的度数； （3）若题干中的∠BOC=(为锐角），其他条件不变，求∠MON的度数； （4）综合（1）（2）（3）的结果，你能得出什么结论？ 20．如图，点O在直线上，从O点引一条射线，平分，． (1)如图1，若，，求； (2)如图2，若为直角，求n的值； (3)如图3，若，设（用含m的代数式表示的度数）． 21．如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（） (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则 °； (2)如图②，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由； (4)将直角三角板绕点O转动一周，如果在的外部，且，请直接写出的度数． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.4 画角的和、差与角的平分线 余角、补角 教学目标 1. 了解角的和、差关系，并学会计算； 2. 学会角的平分线的定义、作图及有关计算； 3. 掌握余角、补角的概念及计算。 教学重难点 1.重点 （1）作图—角平分线，角的和、差； （2）角的平分线在角的和、差计算中的应用； （3）余角、补角及其应用； 2.难点 （1）分类讨论思想； （2）角的计算有关的综合应用。 知识点1 角的和、差 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 要点： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 【即学即练】 1．已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=∠α+2∠β．（不写作法，标明字母）    【答案】见解析 【分析】根据用尺规作图作角等于已知角作图即可． 【详解】解：分别以∠α、∠β的顶点为圆心，任意长度为半径作弧，分别交∠α、∠β的边于P、Q、M、N； 作射线OB，以O为圆心，以相同长度为半径作一个优弧，交射线OB于点C，以C为圆心，PQ的长度为半径作弧，交优弧于点D，作射线OD，再以D为圆心，MN的长为半径作弧，交优弧（∠DOB外部）于点E，作射线OE，然后以E为圆心，MN的长为半径作弧，交优弧（∠EOB外部）于点A，作射线OA，如图所示：∠AOB=∠α+2∠β，∠AOB即为所求．    【点睛】此题考查的是用尺规作图作角等于已知角，掌握用尺规作图作角等于已知角是解决此题的关键． 知识点2 角平分线 1.角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 要点：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 2.角平分线的画法：①用量角器作角平分线 例 如 图 4 - 2 - 1 9 , 已 知 ∠ABC, 画出它的平分线. 解如图4 - 2 - 20, ①用量角器量得∠ABC=48°,所 以 ② 以B 为顶点，射线 BA为一边，在∠ABC的内部用量角器画∠ABM=24. BM 就是所要画的∠ABC的平分线. ②尺规作角的平分线 下面我们探究用尺规作角的平分线． 已知：∠AOB. 求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC. 作法： (1)在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE； (2)分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C； (3)作射线OC. OC就是∠AOB的平分线(如图)． 【即学即练】 1．如图，在下面的四个等式中，不能表示“是的平分线”的是（         ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义；根据角平分线的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，可得是的平分线，不符合题意； B、，则，可得是的平分线，不符合题意； C、，则，可得是的平分线，不符合题意； D、，不能表示“是的平分线”， 符合题意； 故选：D． 2．如图，，则平分 ，平分 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，根据并结合角平分线的定义可得平分，平分，即可得解，熟练掌握角平分线的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴平分，平分，， 故答案为：，，，． 3．如图所示，是的角平分线，平分，且，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，熟练掌握“一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线”是解题的关键． 根据角平分线的定义先求得，即可求出． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵平分， ∴． 故选：A． 4．如图，已知点A、O、B在同一条直线上，射线和射线分别平分和，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，根据题意得出，是解题的关键． 根据角平分线的概念得出，，从而得出． 【详解】解：∵，分别平分和， ∴，， ∴ ． 故选：C． 知识点3 余角和补角 1.定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 2．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等． 要点： (1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关． (2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。 【即学即练】 1．已知，则的余角的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个角的余角，根据和为的两个角互余，求解即可． 【详解】解：∵， ∴的余角的大小为； 故答案为：． 2．若与互补，，则 ． 【答案】45 【分析】本题考查了余角和补角，根据补角的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵与互补， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：45． 3．一个角的补角是它的余角的倍，则这个角是 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角和补角的定义，掌握余角与补角的概念是解答本题的关键． 设这个角是，则它的补角为，余角为，根据题意得，即可求解． 【详解】解：设这个角是，则它的补角为，余角为， 根据题意得， 解得， 故答案为：． 4．是直角，是位于内的一条射线，平分，平分，则补角的度数为 ． 【答案】/135度 【分析】先根据题意得出，再根据角平分线的定义得出，于是问题得解． 本题考查了余角和补角，角平分线，熟练掌握角之间的和差计算是解题的关键． 【详解】解：是直角，是位于内的一条射线， ， 平分，平分， ，， ， ， 补角的度数为， 故答案为：． 5．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，同角的余角相等，根据三角板中角度的特点可求出第一幅图和的度数；第二幅图中，根据同角的余角相等可得；根据三角板中角度的特点可求出第三幅图和的度数；第四幅图中，，且，则；据此可得答案． 【详解】解：左边起，第一幅图中，，则； 第二幅图中，根据同角的余角相等可得； 第三幅图中，； 第四幅图中，，且，则； 则的有3个， 故选：C． 6．如图，射线、、、分别表示东、南、西、北方向，已知． (1)图中与互余的角是______； (2)图中与互补的角是______； (3)如果，那么点在点的______方向． 【答案】(1)， (2)， (3)北偏东 【分析】本题考查了余角和补角，方向角，角的计算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据已知易得∶ ，从而可得，，再根据余角定义即可解答； （2）根据已知易得∶ ，再根据等式的性质可得．然后利用平角定义可得．从而可得，再根据平角定义可得，最后根据补角定义即可解答； （3）利用角的和差关系可得∶ ，然后根据方向角的定义，即可解答． 【详解】（1）解∶ ， ，， 图中与互余的角是，， 故答案为∶ ，； （2）解∶ ， ， ， ， ， ， 图中与互补的角是，， 故答案为∶ ，； （3）解：，， ， 点在点的北偏东方向． 故答案为∶北偏东． 题型01 尺规作图 【典例1】．根据图形，写出OC与∠AOB的位置关系，并用数学符号写出∠AOB与∠COB的大小关系． 【答案】OC在∠AOB内部，∠AOB>∠COB，OC在∠AOB外部，∠AOB<∠COB，OC与∠AOB的边射线OA重合，∠AOB=∠COB 【分析】根据图形及角度大小关系即可判断． 【详解】如图①，OC在∠AOB内部，故∠AOB>∠COB； 如图②，OC在∠AOB外部，故∠AOB<∠COB； 如图③，OC与∠AOB的边射线OA重合，∠AOB=∠COB． 【点睛】此题主要考查角度之间的关系，解题的关键是根据图形数形结合进行求解． 【变式1】．已知射线BC，∠β，用直尺和圆规作∠ABC，使∠ABC=∠β（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】根据尺规作角的方法即可求解． 【详解】如图，∠ABC为所求． 【点睛】此题主要考查尺规作图，解题的关键是熟知尺规作角的方法． 【变式2】．已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=2∠α-∠β．（不写作法，标明字母） 【答案】见解析 【分析】根据用尺规作图作角等于已知角作图即可． 【详解】解：分别以∠α、∠β的顶点为圆心，任意长度为半径作弧，分别交∠α、∠β的边于P、Q、M、N； 作射线OB，以O为圆心，以相同长度为半径作一个优弧，交射线OB于点C，以C为圆心，PQ的长度为半径作弧，交优弧于点D，作射线OD，再以D为圆心，PQ的长为半径作弧，交优弧（∠DOB外部）于点E，作射线OE，然后以E为圆心，MN的长为半径作弧，交优弧（∠EOB内部）于点A，作射线OA，如图所示：∠AOB=2∠α-∠β，∠AOB即为所求． 【点睛】此题考查的是用尺规作图作角等于已知角，掌握用尺规作图作角等于已知角是解决此题的关键． 题型02 角平分线的概念辨析 【典例1】．下列关于角平分线的说法正确的是（　　） A．角的平分线是一条线段 B．角的平分线是平分这个角的直线 C．在角的内部，以角的顶点为端点的一条直线 D．在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的平分线‌是从一个角的顶点引出一条射线，将这个角分成两个完全相同的角，这条射线称为该角的角平分线，根据角平分线的定义逐项分析即可得解，熟练掌握角平分线的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、角的平分线是一条射线，故原说法错误，不符合题意； B、角的平分线是平分这个角的射线，故原说法错误，不符合题意； C、在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线，故原说法错误，不符合题意； D、在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式1】．已知是内的一条射线，下列条件中不能确定射线平分的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，正确把握角平分线的定义是解题关键．直接利用角平分线的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A、，能确定平分，故此选项不合题意； B、，能确定平分，故此选项不合题意； C、，能确定平分，故此选项不符合题意； D、不能确定平分，故此选项符合题意． 故选：D．    题型03 角平分线的有关计算Ⅰ 【典例1】．如图已知是的角平分线，如果，那么 ．（结果用度表示） 【答案】/41度 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，直接根据角平分线的定义即可得到答案． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， 故答案为：． 【变式1】．如图，直线、交于点，若，射线平分，那么 ． 【答案】/122度 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，根据角的和差关系以及角平分线的定义，求出的度数，再根据平角的定义，求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式2】．如图， ，，平分．则是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，先根据角的和差关系求出的度数，然后根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解∶∵ ，， ∴， ∵平分， ∴， 故选∶A． 【变式3】．如图，已知：平分，，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角的和差关系、角平分线的定义．熟练掌握角的和差关系、角平分线的定义是解决本题的关键． 由已知求出，根据角平分线的定义即得． 【详解】解：∵，且， ∴． ∵平分， ∴． 故选：B． 题型04 角平分线的有关计算Ⅱ 【典例1】．已知，，平分，平分，则的度数是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线定义的应用，用了分类讨论思想．分为两种情况，当在内部时，当在外部时，分别求出和度数，即可求出答案． 【详解】解：分为两种情况： 如图1，当在内部时， ，， ， 平分，平分， ，， ； 如图2，当在外部时， ，， ， 平分，平分， ，， ； 综上，的度数是或． 故选:C． 【变式1】．已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当位于内部时和当位于外部时，解答即可． 【详解】解：如图1，当位于内部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 如图2，当位于外部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 综上可知或． 故选：A． 题型05 角的n等平分线 【典例1】．如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为(   ) A． B． C． D．4a 【答案】A 【分析】本题考查了角度的计算，角的数量问题，根据题意可得每一个小角的度数为，进而将所有角的度数相加即可求解． 【详解】∵四条射线五等分， ∴每个小角的度数为．如图， 图中所有锐角的和为 ， 故选：A． 【变式1】．如图，已知射线OC平分∠AOB，射线OD，OE三等分∠AOB，又OF平分∠AOD，图中等于∠BOE的角共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义和三等分线分析求解即可. 【详解】解：∵射线OD，OE三等分∠AOB， ∴ ∵OF平分∠AOD，OC平分∠AOB， ∴ 又∵射线OD，OE三等分∠AOB， ∴ ∴,共3个 故选C. 【点睛】利用角平分线和角的三等分点证明角的等量关系是本题的解题关键. 题型06 三角板问题 【典例1】．一副三角板按如图方式摆放，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了余角和补角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据三角板可得，根据，可得，然后代入，进而得到的度数． 【详解】∵，， ∴， 解得：， 根据题意可得：，即， 即：， 解得：， 故选：B． 【变式1】．如图，将一副三角板按不同位置摆放，其中和互为余角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对余角和补角的应用、三角板中角度的计算问题，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．根据图形和余角的定义，只需满足即可． 【详解】解：A、∵， ∴与互余，故本选项符合题意． B、由同角的余角相等可得：与相等，不互余，故本选项不合题意． C、由等角的补角相等可得：与相等，不互余，故本选项不合题意． D、和互补，故本选项不符合题意． 故选：A． 题型07 余角、补角及其有关计算 【典例1】．的余角为 【答案】 【分析】本题考查了余角的求解，角度制的换算，根据余角定义进行求解即可． 【详解】解：， 的余角为， 故答案为：． 【变式1】．已知与互余，与互补．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了补角、余角，熟练掌握补角与余角的定义是解题关键．先根据余角的定义可得，再根据补角的定义即可得． 【详解】解：与互余，， ， 与互补， ， 故选：D． 【变式2】．如果，，那么与的关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了余角的知识，用到的知识点为：等角的余角相等．根据等角的余角相等，即可判断∠1=∠3． 【详解】解：，， ， 故选：C． 【变式3】．与它的余角相等，与它的补角相等，则 °． 【答案】135 【分析】本题考查了余角和补角的意义，如果两个角的和等于，那么这两个角互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角；如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角． 先根据余角和补角的概念求出和，再相加即可． 【详解】∵与它的余角相等， ∴． ∵与它的补角相等， ∴， ∴ 故答案为135． 【变式4】．如果一个锐角的补角是它的余角的3倍，则这个角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查余角和补角的定义，一元一次方程的应用，结合已知条件列出方程是解题的关键． 设这个角为，结合已知条件列得方程，解方程即可． 【详解】解：设这个角为，那么其补角为，余角为， 根据题意，得， 解得：， 即这个角为， 故选：A． 【变式5】．一个角的补角是它的余角的倍，则这个角是 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角和补角的定义，掌握余角与补角的概念是解答本题的关键． 设这个角是，则它的补角为，余角为，根据题意得，即可求解． 【详解】解：设这个角是，则它的补角为，余角为， 根据题意得， 解得， 故答案为：． 【变式6】．如果两个角互为补角，而其中一个角比另一个角的4倍少，那么这两个角的度数是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】此题考查了补角的性质，一元一次方程的应用，设一个角的度数为x，则另一个角的度数为，根据互为补角的两个角的度数相加为列方程求解即可． 【详解】解：设一个角的度数为x，则另一个角的度数为， 根据题意得：， 解得， ∴， ∴这两个角的度数是，． 故选：B． 题型08 余角、补角的综合应用 【典例1】．如果和互补，且，则下列表示的余角的式子正确的有 个． ①；②；③；④ 【答案】3 【分析】本题考查了余角，补角的定义，根据余角，补角的定义逐项判断即可求． 【详解】解：∵， ∴是的余角，故①正确； ∵和互补， ∴，， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③错误，不合题意； ∵， ∴，故④正确． 故答案为：3 【变式1】．如图，，则图中互余的角有 对． 【答案】4 【分析】本题考查了互余的定义，如果两个角的和等于，就说这两个角互为余角．根据互余的定义求解即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴和互余，和互余，和互余， ∴ ∴和互余， ∴图中互余的角有4对． 故答案为：4． 【变式2】．如图，已知，在的内部，      (1)用直尺和圆规作出的平分线（不写作法，保留作图痕迹）； (2)如果，在完成画图后所得的图形中，与互余的角有________； (3)如果的补角与的2倍互补，那么________， 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）作的平分线即可； （2）根据互余的定义解答； （3）由补角定义得到，再根据角平分线的性质和余角定义得到，据此解答即可． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求；      （2） ， ∵平分， ∴， ∴， ∴ 与互余的角有，； 故答案为：，； （3）的补角与的2倍互补， 平分 故答案为：． 【点睛】本题考查基本作图、角平分线的性质、余角、补角等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 【变式3】．如图，已知，点O为垂足，是内任意一条射线，，分别平分，下列结论： ①； ②与互补； ③； ④与互余， 其中正确的有 ．（只填写正确结论的序号） 【答案】/④① 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，与余角，补角有关的计算，几何图形的角度运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合角平分线的定义得，即可得；因为，，得，故，则与不一定互补，结合，，故与不一定相等，整理得，结合，故与互余，即可作答． 【详解】解：①∵，分别平分， ∴， 设， ∴，， ∴， 故①正确； ②∵，， ∴， ∴， ∵ 与不一定相等 ∴与不一定互补， 故②不正确； ③∵，， ∴， ∵且与不一定相等 ∴与不一定相等， 故③不正确； ④∵， ∴， ∵， ∴ ∴与互余， 故④正确， 故答案为：①④． 一、单选题 1．已知，则的补角是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接将180°减去∠α即可． 【详解】解：∵∠α=， ∴∠α的补角为， 故选A． 【点睛】本题考查了补角的定义，即如果两个角的和是180°，那么其中一个角就是另一个角的补角，因此，已知一个角，那么它的补角就等于180°减去这个已知角，解题的关键是牢记概念和公式等． 2．如果一个角的补角为，那么这个角的余角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查余角，补角，解题的关键是熟练掌握补角和余角的概念． 根据补角和余角的定义，先求出原角的度数，再计算其余角即可． 【详解】解：∵一个角的补角为， ∴这个角的度数为， ∴这个角的余角为， 故选：． 3．如图，射线平分．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，根据角平分线的定义可得． 【详解】解：∵射线平分，， ∴， 故选：C． 4．如图，直线AB，CD交于点O，，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据，可求出∠AOC的度数，再根据邻补角的性质即可求得答案. 【详解】解：∵，， ∴设∠AOC=4x,∠COE=5x. ∵， ∴4x+5x=90°. 解得：x=10° ∴∠AOC=40°. ∵∠AOD+∠AOC=180°， ∴∠AOD=140°. 故选C. 【点睛】本题考查了邻补角的性质，正确根据比例关系求出∠AOC的度数是解题的关键. 5．如图所示，点为直线上一点，，那么下列互为余角的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】根据，从而得∠AOD+∠DOC=90°，∠DOC+∠COE=90°， ∠COE+∠EOB=90°，∠AOD+∠BOE=90°即可解答． 【详解】解：∵， ∴∠AOD+∠DOC=90°，∠DOC+∠COE=90°，∠COE+∠EOB=90°， ∠AOD+∠BOE=90°， ∴∠AOD=∠COE，∠DOC=∠EOB， ∴互余的角是与， 故选：A． 【点睛】本题考查余角及平角的定义，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 6．如图，已知∠AOB=∠BOC=∠COD，下列结论中错误的是（　　） A．OB、OC分别平分、 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义和角的和差逐一进行判断即可． 【详解】A、∵∠AOB=∠BOC=∠COD， ∴OB、OC分别平分∠AOC、∠BOD，故正确； B、∵∠AOB=∠BOC=∠COD， ∴∠AOC=∠BOD， ∵∠AOD=∠AOB+∠BOD， ∴∠AOD=∠AOB+∠AOC，故正确； C、∵∠BOC═∠AOC-∠AOB， ∵∠AOB=∠BOC=∠COD， ∴∠AOC=∠AOD， ∴∠BOC=∠AOD-∠AOB，故错误； D、∵∠AOB=∠COD， ∴∠COD=∠AOD-∠BOC-∠AOB， ∴2∠COD=∠AOD-∠BOC， ∴∠COD=(∠AOD-∠BOC)，故正确， 故选C． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义和角的和差是解题的关键． 二、填空题 7．若，且平分，则 ． 【答案】 10 8 24 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，度、分、秒的换算，先由角平分线的定义得到，再根据角度制的进率为60进行求解即可． 【详解】解：∵，且平分， ∴， 故答案为：10；8；24． 8．若，则的余角为 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角的定义，根据互余两角之和为求解即可． 【详解】解：， 的余角为， 故答案为：． 9．如图，．    （1）是 的平分线，是 的平分线，是 的平分线； （2） ， = ； （3） ； ， （4）若，则 ． 【答案】 和 【分析】（1）根据角平分线的定义进行解答即可； （2）根据角度之间的关系进行解答即可； （3）根据角度之间的关系进行解答即可； （4）根据，，求出结果即可． 【详解】解：（1）∵， ∴是或的角平分线；是的角平分线；是的角平分线； 故答案为：或；；． （2）； ； 故答案为：；；． （3）∵，，， ∴； 故答案为：；． （4）∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角度之间的关系，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的定义． 10．如图所示，已知是直线上一点，，平分．    （1）图中与相等的角有 ； （2）图中与互余的角有 ； （3）图中与互补的角有 ． 【答案】 ，， ， 【分析】（1）根据同角的余角相等，即可得解； （2）根据互余的两角之和为，进行求解即可； （3）根据互补的两角之和为，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴与互余的角有，， 故答案为：，，； （3）∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴与互补的角有，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查与余角和补角有关的运算，与角平分线有关的计算．解题的关键是掌握互余的两角之和为，互补的两角之和为． 11．如图，直线与相交于点，，射线平分，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了角平分线的有关计算及邻补角定义，熟练掌握角平分的定义是解题的关键，因为，所以先根据角平分线得定义得出，，再根据邻补角即可得出． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点，则 ． 【答案】/180度 【分析】由图可知，，根据角之间的和差关系，即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查角的和差．结合图形找出是解题的关键． 13．如图所示，为直线上的一点，在直线的同侧做射线，使得，过点做射线，使得，另做射线，使得平分角，当时，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的相关计算，根据图中角的和差关系和角平分线的定义分类讨论求解即可，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】设 当在下方时， ∴ ， ∵， ∴ ， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， 当在上方时，， ∴， ， ∴， ∴（舍去）， 当在的右方时， ∴， ， ∴， ∴， ∴ 故答案为：或． 14．如图，钟表的秒针因故障停滞不动，时针与分针正常运行．小晶发现3点整时，秒针正好是时针与分针夹角的角平分线，经过m分钟后，秒针又一次成为时针与分针夹角的角平分线，则m的最小值是 ．    【答案】 【分析】根据题意可得当分针转一圈再回到秒针左侧时，秒针再次平分时针与分针夹角，此时经过的时间最少，分针每分钟走，时针每分钟走，根据题意得：，经过m分钟后，，，列出方程，即可得出答案． 【详解】解：    ∵3点整时，秒针正好是时针与分针夹角的角平分线，分针在秒针的左侧，秒针不动， ∴当分针转一圈再回到秒针左侧时，秒针再次平分时针与分针夹角，此时经过的时间最少， 分针每分钟走，时针每分钟走， 根据题意得：， 经过m分钟后，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，角平分线的定义，正确理解题意列出方程是解题的关键． 三、解答题 15．利用一副三角尺能画出下列度数的角吗？如何画？试试看．（不要写出做法，要保留作图痕迹） (1)． (2) 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）选用三角尺画一个的角，再在这个角的外部画一个有公共顶点，有一个公共边的的角即可求解； （2）先用三角尺画一个的角，再在这个角的内部画一个有公共顶点、一条公共边的的角即可求解． 【详解】（1）解：如图，， （2）解：如图，， 16．如图，已知，，若，求的度数．    【答案】 【分析】根据题意得出，，从而得出． 【详解】解：，， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了角的计算，是基础知识要熟练掌握． 17．如图,已知∠BOC = 2∠AOB，OD平分∠AOC，∠BOD = 14°，求∠AOB的度数． 【答案】28° 【详解】此题可以设∠AOB=x，∠BOC=2x，再进一步表示∠AOC=3x，根据角平分线的概念表示∠AOD，最后根据已知角的度数列方程即可计算． 18．如图，和都是直角． (1)判断与图中哪个角相等，并简单写出理由； (2)若，过点O作的平分线，求的度数． 【答案】(1)与图中的相等，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据等角的余角相等求解即可； （2）先求得，进而求得，再根据角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：与图中的相等，理由为： ∵和都是直角， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵平分∠， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的定义、等角的余角相等、几何图形中的角的运算，会根据图形进行角之间的运算是解答的关键． 19．如图，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC． （1）求∠MON的度数； （2）若题干中的∠AOB=，其他条件不变，求∠MON的度数； （3）若题干中的∠BOC=(为锐角），其他条件不变，求∠MON的度数； （4）综合（1）（2）（3）的结果，你能得出什么结论？ 【答案】（1）∠MON=45°；（2）∠MON=；（3）∠MON=45°；（4）∠MON的大小始终等于∠AOB的一半，与∠BOC的大小没有关系. 【分析】（1）根据题意，易得∠MOC∠AOC，∠NOC∠BOC进而结合∠MON=∠MOC﹣∠NOC的关系，易得答案； （2）由（1）的结论，易得当∠AOB=α°时，总有∠MON∠AOB的关系，即得答案； （3）由（1）的结论，易得当∠BOC=β°（∠BOC为锐角）时，总有∠MON∠AOB的关系，即得答案； （4）分析（1）（2）（3）的结论，易得答案． 【详解】（1）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC∠AOC，∠NOC∠BOC． 又∵∠AOB=90°，∠BOC=30°，∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC∠AOC∠BOC（∠AOC﹣∠BOC）∠AOB=×90°=45°． （2）当∠AOB=α，其他条件不变时，∠MON∠AOBα． （3）当∠BOC=β，其他条件不变时，∠MON∠AOB90°=45°． （4）由（1）（2）（3）的结果，可得出结论：∠MON总等于∠AOB的一半，而与∠BOC的大小无关． 【点睛】本题考查了角平分线的定义与运用，注意结合图形，发现角与角之间的关系，利用角的和差关系解题． 20．如图，点O在直线上，从O点引一条射线，平分，． (1)如图1，若，，求； (2)如图2，若为直角，求n的值； (3)如图3，若，设（用含m的代数式表示的度数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了角的计算、角平分线的定义等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键． （1）已知平分，可得的度数，因为，可得的度数，再根据即可解答； （2）因为为直角，即，因为平分，所以，即可得n的值； （3）已知平分，可得的度数，因为，可得的度数，再根据即可解答． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵为直角， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（） (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则 °； (2)如图②，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由； (4)将直角三角板绕点O转动一周，如果在的外部，且，请直接写出的度数． 【答案】(1)20 (2) (3)，理由见解析 (4)的度数为或 【分析】本题考查了角的和差运算、角平分线的定义，能根据图形求出各个角的度数是解此题的关键． （1）根据图形得出，代入求出即可； （2）由角平分线的定义可得，再由进行计算即可； （3）由图形可得，，相减即可得出答案． （4）先画出图形，分两种情况讨论：当在的上方，当在的下方，再结合角的和差运算计算即可． 【详解】（1）解：，， ， （2）解：平分，， ， ， ； （3）解：， 理由如下： ，， ， ， ． （4）解：如图，当在的上方，，    ∴， ∴； 如图，当在的下方，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 综上，的度数为或． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $