精品解析：四川省内江市威远县凤翔中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

凤翔中学2025年下学期半期检测九年级数学试题 考试时间：120分钟 【A卷 满分100分】 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 化为最简二次根式是（ ） A. B. 6 C. D. 2. 已知（，），下列等式中变形不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（ ） A. B. C. D. 0 5. 如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 计算的结果是（ ） A. 1 B. -1 C. D. 7. 如图，在中，，，若，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. 若，则代数式的值为（ ） A. 2005 B. 2006 C. 2007 D. 2008 9. 新定义：《，，》为一元二次方程(其中为实数)的“共同体数”，如：的“共同体数”为《1，2，》，以下“共同体数”中能让一元二次方程有两个不相等的实数根的是( ) A. 《3，2，1》 B. 《3，4，5》 C. 《，，》 D. 10. 如图，在四边形中，，与相交于点O，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 11. 设，，其中a为实数，则M与N的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 12. 如图，在正方形中，点是的中点，点是上的一点，且，连接、、，下列结论：①，②，③，其中正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 若，则___________． 14. 如果最简根式与是同类二次根式，那么__________． 15. 如图，用120米长的围网围建一个面积为560平方米的矩形养殖场．为了节省材料，养殖场的一边靠墙（墙足够长），并在如图的两个位置各开出一个1米宽的门（门不用围网做）．设矩形AB边长为x米，请依题意列方程：_____． 16. 如图，中，，，取边中点，作，，得到四边形，它的面积记作；取中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律作下去，则____________（为正整数）. 三、解答题（有5个小题，共48分） 17. 计算或解方程： （1） （2） 18. 先化简，再求值：，其中x，y满足等式 19. 某超市经销一种优质蔬菜，进货价为30元/千克． （1）当售价为40元/千克时，经过连续两次降价后售价为25.6元/千克，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率． （2）经市场调查发现，当蔬菜售价为38元/千克时，每天可售出400千克，在进货价不变的情况下，超市决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该超市要保证每天售出这种蔬菜盈利3840元，那么每千克应涨价多少元？ 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，此方程总有实数根． （2）若m为大于1的正整数，且该方程的根都是正整数，求m的值． 21. 感知：如图①，在四边形 ABCD 中，ABCD，∠B=90°，点 P 在 BC 边上，当∠APD=90°时，△ABP 与△PCD 是否相似？ （填“是”或“否”）． 探究：如图②，在四边形 ABCD 中，点 P 在 BC 边上，当∠B=∠C=∠APD 时，求证：△ABP∽△PCD． 拓展：如图③，在△ABC 中，点 P 是边 BC 的中点，点 D、E 分别在边 AB、AC 上．若∠B=∠C=∠DPE=45°， BC=，CE=9，则 DE 的长为 ． 【B卷 满分60分】 一、填空题（每小题6分，共24分） 22. ，则点在平面直角坐标系中的第________象限． 23. 如图，直线与反比例函数的图象的一部分交于点，与轴、轴分别交于点、，若，则的值为______． 24. 若关于x的一元二次方程的两个根为，则，．利用以上关系及所学知识，解决以下问题 ①若一元二次方程的两根分别为m，n，则=_______． ②若一元二次方程的两个根为，则最小值为_______ 25. 如图，矩形，连接，平分交于点E，过点E作交于点F，，，则线段为______ 二、解答题（每小题12分，共36分） 26. 阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：，． 解答下列问题： （1）与______互为有理化因式，将分母有理化得______； （2）①比较大小：______（填，，，或中的一种） ②计算以下式子的值：； （3）已知整数a，b满足，求a，b的值． 27. 如图所示，在平面直角坐标系中直线为分别与坐标轴交于A、C两点，点P从点A开始向终点B以速度移动，点Q从B点向终点C以的速度移动，P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． （1）几秒后，的长度等于？ （2）线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． （3）若与相似，求t的值． 28. 已知，在中，，点D为边上一动点，且，连接，，其中． 问题发现：（1）如图1，若，求k的值 类比探究：（2）如图2，若，点D在的延长线上，k的值为多少？请说明理由． 拓展应用：（3）如图3，在中，，，D为上一点，以为边，在如图所示位置作正方形，点O为正方形的对称中心，且，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凤翔中学2025年下学期半期检测九年级数学试题 考试时间：120分钟 【A卷 满分100分】 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 化为最简二次根式是（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式必须同时满足以下条件：“被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式”，是解题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 2. 已知（，），下列等式中变形不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质逐项分析即可得解，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵（，）， ∴，，，故ABD正确，C不正确， 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键； 根据二次根式的运算法则，逐一验证各选项的正确性． 【详解】A：与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； B：，故本选项符合题意； C：， ， ， 故本选项不符合题意； D：，故本选项不符合题意； 故选：B． 4. 关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且，特别要注意的条件 ． 本题根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故选：B． 5. 如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D、这两个三角形两边成比例且夹角相等（比值均为，夹角为公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意． 6. 计算的结果是（ ） A. 1 B. -1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意根据二次根式有意义的条件得到x≤2，根据二次根式的性质即可求出答案． 【详解】解：由题意得：2-x≥0， 解得：x≤2， =2-x+|x-3| =2-x-（x-3） =2-x-x+3 =5-2x 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，熟练掌握二次根式有意义的条件以及二次根式的性质是解题的关键． 7. 如图，在中，，，若，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．先求出，再证明，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 故选：C． 8. 若，则代数式的值为（ ） A. 2005 B. 2006 C. 2007 D. 2008 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，根据题意得到，进而根据完全平方公式得到，由此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9. 新定义：《，，》为一元二次方程(其中为实数)的“共同体数”，如：的“共同体数”为《1，2，》，以下“共同体数”中能让一元二次方程有两个不相等的实数根的是( ) A. 《3，2，1》 B. 《3，4，5》 C. 《，，》 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根据一元二次方程根的判别式进行计算，即可求解． 【详解】解：A.当“共同体数”为《3，2，1》时，一元二次方程为 ∵， ∴没有实数根，故该选项不符合题意； B.当“共同体数”为《3，4，5》时，一元二次方程为 ∵， ∴没有实数根，故该选项不符合题意； C.当“共同体数”为《，，》时，一元二次方程为 ∵， ∴有两个不相等实数根，故该选项符合题意； D.当“共同体数”为时，一元二次方程为 ∵， ∴没有实数根，故该选项不符合题意； 故选：C． 10. 如图，在四边形中，，与相交于点O，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，可证明，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 故选：D． 11. 设，，其中a为实数，则M与N的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法，用完全平方公式，得，结合非负性解答即可． 本题考查了大小比较，完全平方公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， 故 ． ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 12. 如图，在正方形中，点是的中点，点是上的一点，且，连接、、，下列结论：①，②，③，其中正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定等等，设正方形的边长为，则，据此得到，再由，可证明，得到，，进而证明，则可证明得到，，由勾股定理得到，则，可得，，可得，据此可得答案． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ∵点是的中点，， ∴， ∴， 由正方形的性质可得， ∴，故①正确； ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，故②正确； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确， 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 若，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，解题的关键是掌握其性质． 根据题意得到，然后代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故答案为：． 14. 如果最简根式与是同类二次根式，那么__________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式叫做同类二次根式． 根据给出的两个根式既是最简根式又是同类二次根式，由此可得出关于a、b的方程，进而可求出a、b的值． 【详解】解：∵最简根式与是同类二次根式， ∴，， 解得：， ∴， 故答案为：10． 15. 如图，用120米长的围网围建一个面积为560平方米的矩形养殖场．为了节省材料，养殖场的一边靠墙（墙足够长），并在如图的两个位置各开出一个1米宽的门（门不用围网做）．设矩形AB边长为x米，请依题意列方程：_____． 【答案】x（120+2﹣2x）＝560 【解析】 【分析】根据题意得养殖场的宽为，则长为，再根据面积为560平方米列方程即可． 【详解】∵围网的总长为120米，两个位置有两个一米宽的门，且矩形AB边长为x米， ∴矩形BC边长为（120+2﹣2x）米． 依题意得：x（120+2﹣2x）＝560． 故答案为：x（120+2﹣2x）＝560． 【点睛】本题考查了根据实际问题列出一元二次方程，解决本题的关键是找准等量关系，正确列出方程． 16. 如图，中，，，取边中点，作，，得到四边形，它的面积记作；取中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律作下去，则____________（为正整数）. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类规律探索，相似多边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似图形的判定与性质是解题的关键． 根据已知条件可得，然后可证得，利用相似三角形的性质可得，同理可得，于是可求得；根据已知条件，易证得四边形四边形，且相似比为，可推出，同理可得，，发现并总结出一般规律，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：， 为的中点， ， ， ， ， ， 同理可得， ， 取中点，作，，得到四边形， 易证得四边形四边形，且相似比为， ， ， 同理可得：， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（有5个小题，共48分） 17. 计算或解方程： （1） （2） 【答案】（1）11 （2） 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，化简绝对值，乘方，解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简乘方，负整数指数幂，绝对值，再运算加减法，即可作答． （2）运用配方法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得． 18. 先化简，再求值：，其中x，y满足等式 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，算术平方根的非负性，先通分括号内，再运算除法，化简得，根据算术平方根的非负性，得出，，再分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵ ∴ ∴， ∴ 当，时，原式． 19. 某超市经销一种优质蔬菜，进货价为30元/千克． （1）当售价为40元/千克时，经过连续两次降价后售价为25.6元/千克，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率． （2）经市场调查发现，当蔬菜售价为38元/千克时，每天可售出400千克，在进货价不变的情况下，超市决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该超市要保证每天售出这种蔬菜盈利3840元，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1） （2）4元或8元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每次下降的百分率为m，根据经过两次降价后的价格=原价每次下降的百分率，列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值； （2）设每千克应涨价y元，则每千克盈利元，每天可售出千克，根据现该超市要保证每天售出这种蔬菜盈利3840元，列出关于y的一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为m， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：每次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设每千克应涨价y元，则每千克盈利元，每天可售出千克， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：每千克应涨价4元或8元． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，此方程总有实数根． （2）若m为大于1的正整数，且该方程的根都是正整数，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴无论m取何值，此方程总有实数根； （2）2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，已知方程的解求参数等知识. （1）求出判别式，证明判别式恒大于或等于零即可； （2）利用因式分解法求出方程的根，根据m为大于1的正整数，且该方程的根都是正整数即可求出m的取值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：方程可化为， ∴，， ∵m为大于1的正整数，且该方程的根都是正整数， ∴，解得， ∴． 21. 感知：如图①，在四边形 ABCD 中，ABCD，∠B=90°，点 P 在 BC 边上，当∠APD=90°时，△ABP 与△PCD 是否相似？ （填“是”或“否”）． 探究：如图②，在四边形 ABCD 中，点 P 在 BC 边上，当∠B=∠C=∠APD 时，求证：△ABP∽△PCD． 拓展：如图③，在△ABC 中，点 P 是边 BC 的中点，点 D、E 分别在边 AB、AC 上．若∠B=∠C=∠DPE=45°， BC=，CE=9，则 DE 的长为 ． 【答案】感知：是； 探究：∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠CPD， ∴∠BAP+∠B=∠APD+∠CPD． ∵∠B=∠APD， ∴∠BAP=∠CPD． ∵∠B=∠C， ∴△ABP∽△PCD， 拓展：5 【解析】 【分析】感知：先证明∠BAP=∠CPD，然后根据平行线的性质证明∠B=∠C，即可证明△ABP∽△DCP； 探究：根据三角形外角的性质可得∠BAP+∠B=∠APD+∠CPD．由∠B=∠APD，推出∠BAP=∠CPD，据此即可证明△ABP∽△DCP； 拓展：同探究的方法得出，△BDP∽△CPE，得到，继而求出BD=8，再证明∠A=90°，，AD=AB﹣BD=4，AE=AC﹣CE=3，即可利用勾股定理求出答案． 【详解】解：感知：∵∠APD=90°， ∴∠APB+∠DPC=90°， ∵∠B=90°， ∴∠APB+∠BAP=90°， ∴∠BAP=∠CPD， ∵AB∥CD，∠B=90°， ∴∠C=180°-∠B=90°=∠B， ∴△ABP∽△DCP， 故答案为：是； 探究： 略 拓展：同探究的方法得出，△BDP∽△CPE， ∴， ∵点P是边BC的中点， ∴BP=CP=， ∵CE=9， ∴， ∴BD=8， ∵∠B=∠C=45°， ∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=90°，即AC⊥AB且AC=AB， ∴， ∴AD=AB﹣BD=4，AE=AC﹣CE=3， 在Rt△ADE中，DE=． 故答案是：5． 【点睛】此题是相似三角形综合题．主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理以及三角形外角定理．解本题的关键是证明△ABP∽△PCD． 【B卷 满分60分】 一、填空题（每小题6分，共24分） 22. ，则点在平面直角坐标系中的第________象限． 【答案】三 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，判断点所在的象限，根据题意可推出，则，即点P的横纵坐标都为负，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴点的横纵坐标都为负数， ∴点在平面直角坐标系中的第三象限， 故答案为：三． 23. 如图，直线与反比例函数的图象的一部分交于点，与轴、轴分别交于点、，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合．熟练掌握一次函数的性质，待定系数法求反比例函数的解析式以及平行线分线段成比例定理，求出点A的坐标是解题的关键． 过点A作轴于点，设点，表示出，求出，然后根据平行线分线段成比例定理列式计算，求出x得到A点坐标即可解决问题． 【详解】解：如图，过点A作 轴于点M，设点， 则，， 当时，； 当时，即． 解得：． ∴． ∴，． ， ∴． 即． 解得． ∴． ∴． 故答案为：． 24. 若关于x的一元二次方程的两个根为，则，．利用以上关系及所学知识，解决以下问题 ①若一元二次方程的两根分别为m，n，则=_______． ②若一元二次方程的两个根为，则最小值为_______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法、韦达定理以及根的判别式，熟记公式并整体代入是解题关键．①利用根与系数的关系求出两根和与积，再代入所求式化简计算；②利用根与系数的关系将表达式转化为，再利用配方法变形为，由即可解答． 【详解】解：①对于方程，由根与系数的关系，得，， 则， 故答案为：； ②对于方程，由根与系数的关系，得，， 则， ∵， ∴， 则的最小值为． 故答案为：． 25. 如图，矩形，连接，平分交于点E，过点E作交于点F，，，则线段为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质定理、相似三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点解题的关键． 根据矩形的性质得到，，利用角平分线的性质得到，利用勾股定理求出，通过证明得到，求出的长，再证明得到，求出的长，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵矩形， ∴，， 又∵平分，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 二、解答题（每小题12分，共36分） 26. 阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：，． 解答下列问题： （1）与______互为有理化因式，将分母有理化得______； （2）①比较大小：______（填，，，或中的一种） ②计算以下式子的值：； （3）已知整数a，b满足，求a，b的值． 【答案】（1）， （2）①；②44 （3）的值是，的值是 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．也考查了数字规律型问题的解决方法． （1）根据有理化因式的定义和分母有理化求解； （2）①利用因式因式得到，，然后比较与的大小即可； ②先分母有理化，然后合并即可； （3）先分母有理化，再移项变形得到，接着根据有理数和无理数的性质得到，，然后解方程组即可． 【小问1详解】 解：与互为有理化因式，将分母有理化得； 故答案为：，； 【小问2详解】 ①，， 而， ， 故答案为：． ②， 原式 ； 【小问3详解】 ， ， 即， ，， 解得，． 即的值是，的值是． 27. 如图所示，在平面直角坐标系中直线为分别与坐标轴交于A、C两点，点P从点A开始向终点B以速度移动，点Q从B点向终点C以的速度移动，P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． （1）几秒后，的长度等于？ （2）线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． （3）若与相似，求t的值． 【答案】（1）秒或秒 （2）3秒 （3）秒或秒 【解析】 【分析】本题考查直角三角形中的动点问题，涉及一元二次方程的应用以及相似三角形的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意分类思想的运用； （1）在中，利用勾股定理，列出方程进行求解即可； （2）分的面积为面积的和的面积为面积的，列出方程进行求解即可． （3）设经过t秒时，与相似，分① 时，②当时，两种情况进行讨论即可求解． 【小问1详解】 解：对于， 当时，；当时，， ∴， 设经过秒后，的长度等于， 由题意，得：， ∴， 在中，， ， ， 整理，得：， 解得：； ∴秒或秒后，的长度等于． 【小问2详解】 解：设经过秒，线段能将分成面积的两部分， 依题意有：的面积， ①当的面积为面积的时， 则：， 整理，得：， 解得：； ②当的面积为面积的时， 则：， 整理，得：， ， ∴方程无实数根； ∴经过3秒时，线段能将分成面积的两部分． 【小问3详解】 解：设经过秒时，与相似， 时， ， ， ． ②当时， ， ， ， 综上所述，秒或秒时，与相似． 28. 已知，在中，，点D为边上一动点，且，连接，，其中． 问题发现：（1）如图1，若，求k的值 类比探究：（2）如图2，若，点D在的延长线上，k的值为多少？请说明理由． 拓展应用：（3）如图3，在中，，，D为上一点，以为边，在如图所示位置作正方形，点O为正方形的对称中心，且，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）证明，得即可得解； （2）先证明，结合，根据对应边成比例且夹角相等可证明，即可得出结论； （3）连接，通过证明，再根据相似三角形对应边成比例，求出，进而求出，再利用勾股定理求，则． 【详解】解：（1）∵， ∴为等边三角形， ， 又 ∵且， ∴为等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ． （2）． 理由如下：∵， ， ， ， 又 ∵， 即， ∴（对应边成比例，夹角相等）， ． （3）如图，连接， ∵四边形为正方形，点为正方形的对称中心， ， ∵为等腰直角三角形， ， ， ， ， 即， ， ， ， 故的长为：． 【点睛】本题为三角形综合题型，通过由浅入深的探究，开拓思维．主要考查知识点有三角形全等的性质与判定，三角形相似的性质与判定，正方形的性质，勾股定理等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $