第15章 轴对称图形与等腰三角形-【期末必刷卷】2025-2026学年八年级上册数学(沪科版·新教材·安徽专版)

HK 数学期末必刷卷 p44444p0 第15章轴对称图形与等腰三角形 第一部分 回归教材·考点梳理 考点一轴对称图形 1.在非物质文化遗产展区，小明看到如下作品，其中作品主体图案是轴对称图形的是 2.下面图形中，对称轴数量最多的是( A./ B D. 3.如图，点A在直线l上，△ABC与△AB'C'关于直线1对称，连接BB',分别交AC,AC于 点D,D',连接CC,下列结论不一定正确的是 () A.∠BAC=∠B'AC' B.CC∥BB C.BD=B'D' D.AD-DD B462° 第3题图 第4题图 第5题图 4.如图，在△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB,AC为对称轴，画出对称点E,F,并 连接AE,AF.根据图中标示的角度，则∠EAF的度数为 () A.113 B.1249 C.129 D.134° 5.如图，直线l经过点(1,0)且垂直于x轴，若点A(一3，一1)与点B(a,b)关于直线1对称， 则a+b的值为 6.已知点M(2a十b,4),P(x,y),N(3,a一2b),其中点M与点P关于x轴对称，点N与点 P关于y轴对称，则(a+b)2025= 7.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,0),B(2,一3)，C (4,-2). (1)画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B,C1. (2)画出△ABC1向左平移4个单位长度后得到的△A2B2C2. (3)若AC上有一点P(m,n)经过上述两次变换，则对应点P的坐标为 4 3 2 A 5-4-3-2-9 又345 2 - 5 17 八年级上册 94 考点二线段的垂直平分线的性质和判定 8.如图，某公园的三个出口A,B,C构成△ABC,想要在公园内修建一个公共厕所，要求到 三个出口的距离都相等，则公共厕所应建在 () A.三个角的角平分线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点 C.三角形三条高的交点 D.三角形三条中线的交点 第8题图 第10题图 第11题图 9.如图，△ABC中，AB<AC<BC,用尺规作图在BC上确定一点P,使PA+PB=BC,那 么符合要求的作图痕迹是 () 10.如图，在△ABC中，AB=AC=8,DE垂直平分AB,△BDC周长为13，则BC的长为 () A.4 B.5 C.6 D.7 11.如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点.若AB=6, AC=4,BC=7,则△APC周长的最小值是 12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，BD=BC,ED⊥AB于点D,CD 交BE于点F.求证：BE垂直平分CD, 考点三角的平分线的性质和判定 13.点P在∠ABC的平分线上，点P到AB边的距离等于5，D是BC边上的任意一点，则 下列选项正确的是 () A.PD>5 B.PD≥5 C.PD<5 D.PD≤5 14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，且CD=3,△ABD中AB边上的高也 为3，若∠CAB=35°，则∠CAD的度数为 () A.55° B.35° C.27.5 D.17.5 -18 一 HK 数学期末必刷卷 p小*44050p 15.如图，若AB∥CD,AP,CP分别平分∠BAC和∠ACD,PE⊥AC于点E,且PE=4cm, 则AB与CD之间的距离为 () A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.无法确定 第15题图 第16题图 第17题图 16.如图，在△ABC中，∠A=76°，∠C=24°，且有如图的尺规作图痕迹，则∠1= 17.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D,连接AD,下 列结论：①AD平分∠BAC的外角；②AD平分∠BAC;③AD⊥DC;④AD=CD,其中正 确的是 (填序号). 18.如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB,AC,BC的距离OF=OE=OD,若∠BAC= 70°，则∠BOC= 第18题图 第19题图 第20题图 考点四等腰三角形的性质与判定 19.如图，直线1∥l2,AB=BC,CD⊥AB于点D,若∠1=65°，则∠DCA的度数为() A.65 B.25 C.159 D.359 20.如图，在△ABC中，点D,E,F分别在边BC,AB,AC上，且BD=BE,CD=CF,∠A= 70°，那么∠FDE等于 () A.40° B.45° C.55° D.35° 21.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB,AC为边在△ABC的外侧作等边△ABE和等边 △ACD,且∠EDC=40°，则∠ABC的度数为 () A.75 B.85° C.70° D.80° 第21题图 第22题图 22.如图，等边三角形ABC中，BD=CE,AD与BE交于点P,∠APE的度数为() A.45 B.60 C.55° D.75 -19 八年级上册 4…404 23.如图，△ABC是等边三角形，AC=4,AD⊥BC于点D,则BD等于 A.2 B.4 C.6 D.8 30°B 第23题图 第24题图 第25题图 24.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=2.5,∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可 能是 () A.3 B.3.5 C.4.8 D.5.2 25.如图，在等边△ABC中，D为边AB的中点，DE⊥AC于点E,EF∥AB交BC于点F, 已知AE=3,则EF的长为 () A.12 B.9 C.6 D.3 26.以下条件中：①一条边上的高线与这条边上的中线重合：②一条边上的高线与这条边所 对的角的角平分线重合；③一条边上的中线与这条边所对的角的角平分线重合，能够判 定一个三角形是等腰三角形是 () A.只有①和②可以 B.只有①和③可以 C.只有②和③可以 D.①②③全部都可以 27.已知∠BAC=30°，点P在∠BAC内部，点P1是点P关于AB的对称点，点P2是点P 关于AC的对称点，则△PAP2是 () A.锐角三角形B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.等边三角形 28.等腰三角形的周长为14cm,若一边长为6cm,则底边为 29.如图，在△ABC中，AB=AC,AD=BD,DE⊥AB于点E,若BC=4,△BDC的周长为 10,则AE的长为 第29题图 第30题图 第31题图 30.如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个 动点，当PC十PE的和最小时，∠ACP= 31.如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC上的一点，∠BAD=28°，在AD的右侧作 △ADE,使得AE=AD,∠DAE=∠BAC,连接CE,DE,DE交AC于点O,若CE∥ AB,则∠DOC的度数为 —20 HK 数学期末必刷卷 4+4p 32.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，点E为边AC上一 点，连接CD,DE,以DE为边在DE的左侧作等边三角形DEF,连接BF. (1)求证：△BCD为等边三角形. (2)求证：∠DBF=∠DCE. 33.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB,垂足为E,过点B 作BF∥AC交DE的延长线于点F,连接CF,交AD于点G. (1)求证：E是线段DF的中点 (2)求证：AD⊥CF. (3)连接AF,试判断△ACF的形状，并说明理由. 21- 八年级上册 40… 第二部分进阶融合·考点巩固 1.已知，如图，等边三角形ABC中，AB=4,点P为AB边上的任意一点（点P可以与点A 重合，但不与点B重合)，过点P作PE⊥BC,垂足为E,过点E作EF⊥AC,垂足为F,过 点F作FQ⊥AB,垂足为Q,设BP=x,AQ=y. (1)写出y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量范围）. (2)当BP的长等于多少时，点P与点Q重合. 2.如图1，等腰△ABC中，AB=AC,点D是AC上一动点，点E,P分别在BD延长线上，且 AB=AE,CP=EP. (1)求证：∠BPC=∠BAC. (2)如图2，若∠BAC=60°，探究线段AP,BP,EP之间的数量关系，并证明你的结论. 图1 图2 22数学·期末卷 (2)如图，延长DE和BA相交于点M, AB=CB ∠BAP=∠BCK AP=CK ∴.△BPA≌△BCK(SAS), B .∠ABP=∠CBK,BP=BK, .CD∥AB,DE平分∠ADC, PQ=AP+CQ,QK=CK+CQ, ∴.∠AME=∠EDC=∠EDA,∠B=∠C, .PQ=QK, ∴.△DAM是等腰三角形，即DA=AM, 在△PBQ和△BKQ中， 又，AB+AD=CD BP=BK ∴.AB+AM=CD,即BM=CD, QP-QK ∴.在△EDC和△EMB中， BQ=BQ .△PBQ≌△BKQ(SSS), ∠EDC=∠EMB CD=BM ∴.∠PBQ=∠KBQ=∠CBK+∠QBC N∠C=∠B =∠ABP+∠QBC. ∴.△EDC≌△EMB(ASA), 3∠PBQ=90+3∠ADC .EB-EC. 第15章轴对称图形与等腰三角形 2.证明：(1)∠ABC+∠ADC=180°， .∠BCD+∠BAD=180°， 第一部分回归教材·考点梳理 :∠BAD=90°， 1.B2.C3.D4.D5.46.-1 .∠BCD=∠BAD=90°， 7.解：(1)如图，△A1B1C1即为所求. 在Rt△BAD和Rt△BCD中， (2)如图，△A2B2C2即为所求. BD=BD AB=BC B ∴.Rt△BAD≌Rt△BCD(HL), ∴.AD=CD. (2)如图，延长DC至点K,使CK= 2-10 2343 AP,连接BK, D (3)(m-4,-n) O 8.B9.D10.B11.10 C 12.证明：，ED⊥AB, B ∴.∠EDB=90°， K 在Rt△EDB和Rt△ECB中， .∠ABC+∠ADC=180°， BD=BC ∴.∠BAD+∠BCD=180°， BE=BE .∠BCD+∠BCK=180°， .Rt△EDB≌Rt△ECB(HL), ∴.∠BAD=∠BCK, :.DE=CE, 在△BPA和△BCK中， 点E在CD垂直平分线上， 八年级上册·HK版 .'BD=BC, ..BD=BF, .点B在CD垂直平分线上， .DE⊥AB, BE垂直平分CD .DE=EF, 13.B14.D15.C16.26°17.① 即E是线段DF的中点. 18.125°19.B20.C21.D22.B (2)由(1)得∠CBF=90°，BD=BF, 23.A24.D25.B26.D27.D ,∠ACB=90°，D为BC的中点， 28.2cm或6cm29.330.3031.92 ∴.∠CBF=∠ACB,CD=BD, 32.证明：(1)，在Rt△ABC中，∠ACB ∴.CD=BF =90°，∠A=30°， .AC=BC, ∴.∠ABC=90°-∠A=90°-30°= ∴.△ACD≌△CBF, 60,BC-2AB. .∠CAD=∠BCF, :∠ACB=90°， 又点D是AB的中点， ∴.∠ACF+∠BCF=90°， ∴BD=2AB, ∴.∠ACF+∠CAD=90°， ∴.BC=BD, ∴.∠AGC=180°-（∠ACF+∠CAD) ∴△BCD为等腰三角形， =90°， 又∠CBD=60°， 即AD⊥CF. △BCD为等边三角形 (3)△ACF为等腰三角形，理由如下： (2)由(1)可知△BCD为等边三角形， 如图，连接AF, .BD=CD,∠BDC=60°， ,△DEF为等边三角形， .DE=DF,∠EDF=60°， ∠BDC=∠EDF, ∴.∠BDC-∠CDF=∠EDF-∠CDF, 即∠BDF=∠CDE, ,E是线段DF的中点，DE⊥AB, 在△BDF和△CDE中， ..AD=AF, BD=CD 由(2)，得△ACD≌△CBF, ∠BDF=∠CDE ..AD=CF, DF-DE ..AF-CF, ∴.△BDF≌△CDE(SAS), ∴.△ACF为等腰三角形. ∠DBF=∠DCE. 第二部分进阶融合·考点巩固 33.证明：(1)：∠ACB=90°，BF∥AC, 1.解：(1)△ABC是等边三角形，BP=x, ∴.∠CBF=90°， ∴.∠A=∠B=∠C=60°， .'AC=BC, PE⊥BC,EF⊥AC,FQ⊥AB, .∠ABC=45°， ∴.∠BEP=∠EFC=∠FQA=90°， DE⊥AB,即∠BED=90, ,在Rt△PBE中，∠B=60°， ∴.∠BDE-180°-∠ABC-∠BED=45, ∴.∠BPE=30°， ∴.∠BFD=180°-∠CBF-∠BDE45°， .∠BDE=∠BFD, BE=, 数学·期末卷 则BC=4-, 由(1)，得∠BPC=∠BAC, :∠BAC=60°， 在Rt△EFC中，∠C=60°， .∠BPC=60°， ∴.∠FEC=30°， ∴△GPC为等边三角形， ∴FC-=5EC=2- ∴.PG=PC=CG,∠GCP=60°， .AB=AC, AF=4-FC=4-(2-)=2+ .△ABC为等边三角形， ∴.∠ACB=60°，BC=AC, .∠ACB=∠GCP, .在Rt△FAQ中，∠A=60°， ∴.∠ACB-∠ACG=∠GCP-∠ACG, ∴.∠AFQ=30°， 即∠BCG=∠ACP, 4-1 又，BC=AC,GC=PC, ∴.△BCG≌△ACP, y-1+g ..BG=AP, .EP=CP, (2)当点P与点Q重合时，BP+AQ =4, ..EP=GP, ..BP=BG+GP=AP+EP. 即x+(1+名女)=4， 安徽省各地市（近三年）期末真题改编卷（一） 解得一 1.B2.B3.B4.A5.C6.D 7.D8.B9.A10.D ∴当BP-号时，点P与点Q重合 11.气温12.(2,3)13.4 2.证明：(1)，AB=AC,AB=AE, 14.(2号) (2)(2,2)或(1,4)或(4,3) .AC=AE,∠ABE=∠E, 15.解：(1)：y是x的正比例函数， 又CP=EP,AP=AP, ∴.m-3=0, ∴.△ACP≌△AEP, 解得m=3. ∴.∠ACP=∠E, (2)当m=7时， .∠ACP=∠ABE, ,∠ADB=∠CDP, 该函数的表达式为y=4x十4， .180°-∠ADB-∠ABE=180°- 令y=0,得4x+4=0, 解得x=-1, ∠CDP-∠ACP, ∴∠BPC=∠BAC ∴.当m=7时，该函数图象与x轴的 交点坐标为(-1,0). (2)AP+EP=BP,证明如下： 如图，在BP上取点G,使PG=PC,连 16.解：①当腰长与底边的比为2：5时， 设腰长为2xcm,底边长为5.xcm, 接GC, 则2x+2x+5.x=36, 解得x=4, ∴.2x=8,5x=20, .此时腰长为8cm,底边长为20cm, .8+8<20,