精品解析：上海市松江2022-2023学年高三下学期区学业诊断第三次模拟练习数学试卷

2022学年第二学期区学业诊断第三次模拟练习 高三年级数学练习卷 （完卷时间：120分钟 满分：150分） 考生注意： 1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效； 2.答卷前，考生务必将姓名､准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3.本试卷共21道试题. 一､填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1. 已知全集，，则 _________ 【答案】 【解析】 【分析】根据补集的定义直接求解. 【详解】由题全集，，所以. 故答案为：. 2. 不等式的解集是____________． 【答案】 【解析】 【详解】分析：把分式不等式转化为整式不等式，再利用二次不等式的结论得解． 详解：原不等式等价于且，解为， 故答案为 点睛：分式不等式，，这里容易出错，要注意． 3. 若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦的二倍角公式即可计算. 【详解】. 故答案为：. 4. 设，，是等差数列的前项和，若，则的值为____________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据等差数列数列的性质结合通项公式、求和公式，可直接求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， . 所以，， 所以：. 故答案为： 5. 设，拋物线上的点到的焦点的距离为5，点到轴的距离为3，则的值为____________. 【答案】9 【解析】 【分析】根据给定条件，求出点的纵坐标，再利用抛物线的定义列式求解. 【详解】拋物线的准线为， 由点到轴的距离为3，得点的纵坐标， 由点到的焦点的距离为5，得，解得或，而， 所以. 故答案为：9 6. 设，若的展开式中项的系数为10，则____________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据二项式定理求项的系数即可. 【详解】项为， 由. 故答案为：2 7. 已知函数且)的图像经过定点，则点的坐标为____ 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的图象与性质求解即可. 【详解】令，可得. 所以定点的坐标为. 故答案为：. 8. 已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱的底面积和侧面积公式求出圆柱的底面圆半径和高，再根据圆柱的体积公式即可得解. 【详解】设圆柱的底面圆的半径为，高为， 由题意可得，解得， 所以圆柱的体积. 故答案为：. 9. 已知中，，，点在线段上，且，则的值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据确定，从而可得，从而用向量数量积的运算律即可求解. 【详解】设等腰在边上的高为， 因为，所以， 所以， 所以， 所以 . 故答案为：. 10. 已知，且，则的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】因为，，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是． 故答案为：. 11. 从m个男生和n个女生（）中任选2个人当队长，假设事件A表示选出的2人性别相同，事件B表示选出的2人性别不同．如果事件A的概率和事件B的概率相等，那么的可能值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，可得，易得，从而可得出，再分和两种情况讨论即可. 【详解】因为，所以， 即，整理得， 因为，所以，即， 所以，又因为都是正整数， 所以， 当时，此时， 所以（舍去）， 当时，此时， 所以， 综上所述，， 所以. 故答案为：. 12. 在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，若沿线段DE折叠该三角形时，顶点A恰好落在边BC上．则线段AD的长度的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，求出、、关于所设参数的表达式，在中应用正弦定理求，再根据的取值范围求最值． 【详解】由题意可得两点关于折线对称，连结， 设， 则，，． 在中，． 在中，， 由正弦定理知：，即， 所以． 因为，即， 当，即时，， 此时取得最小值，且． 所以的最小值为． 故答案为：. 二､选择题（本大题共有4题，满分18分.其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分. 13. 若是实数，则“”是“”的（ ）条件. A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分性和必要性的定义求解即可. 【详解】“”即“或”， 故“”不能推出“”， “”可以推出“”， 故“”是“”的必要非充分条件. 故选：C 14. 设，在平面直角坐标系xOy中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，若角的终边经过点，且，则角属于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式和二倍角公式可得，再根据角的终边经过点，即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 所以，异号， 所以在第二、四象限， 又，所以在第二象限. 故选：. 15. 甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示如左下图，茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图完好（右下图），则下列结论正确的是（ ） A. 甲得分的极差小于乙得分的极差 B. 甲得分的第25百分位数大于乙得分的第75百分位数 C. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数 D. 甲得分的方差小于乙得分的方差 【答案】C 【解析】 【分析】利用极差、百分位数和平均数的计算公式可以判断A、B、C三个选项，对于D选项，利用数据的分散程度判断方差的大小即可. 【详解】对于A选项，甲得分的极差为：，乙得分的极差为：， 因为，所以甲得分的极差大于乙得分的极差，故A错误； 对于B选项，因为，所以甲得分的第25百分位数为， 又，所以乙得分的第75百分位数为， 因为，所以甲得分的第25百分位数小于乙得分的第75百分位数，故B错误； 对于C选项，由折线图可知，在茎叶图中甲得分中丢失的数据一个为，另一个设为，其中， 所以甲的平均数为， 乙的平均数为， 因，所以，所以， 所以甲得分的平均数大于乙得分的平均数，故C正确； 对于D选项，方差是刻画数据离散程度或波动幅度的指标. 从茎叶图中可以看到，甲的得分分布比乙的得分分布分散， 所以甲得分的方差大于乙得分的方差，故D错误. 故选：C 16. 设函数的定义域为，若，且对任意，满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 以上答案均不对 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，从而可得出，再利用累加法即可得解. 【详解】由，可得， 因为， 所以， 又因为， 所以， 则， 所以． 故选：A. 三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知函数的表达式为，. （1）解不等式：； （2）若存在实数，使得，，成等比数列，求实数的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用对数函数和指数函数的单调性解不等式即可； (2)利用复合函数思想，由内到外分别求正弦型函数和对钩函数的值域，从而可求最小值. 【小问1详解】 由已知代入可得不等式：， 根据对数函数的单调性可得：且， 则且， 解得： 【小问2详解】 由已知可得： 则 令， 因为，所以，即， 则， 此时在上单调递增，则， 要使得等式，则， 故的最小值为. 18. 如图，在三棱柱中，，且. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连结，结合已知证明为菱形，以及.进而即可根据线面垂直以及面面垂直的判定定理得出证明； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，进而得出相关点以及向量的坐标，然后求出平面的法向量以及，然后根据向量法求解即可得出答案. 【小问1详解】 连结，连结CO 在中，， 故是等边三角形，所以为菱形， 所以，且是的中点. 因为， 所以. 因为， 所以平面. 又平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 以为原点，为轴，为轴，OC为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，. 设平面的一个法向量， 则有，即. 令，可得平面的一个法向量为， 所以，直线与平面所成的角的正弦值为 . 19. 一盒子中有大小与质地均相同20个小球，其中白球个，其余为黑球． （1）当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用表示事件“第一次取到白球”，用表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件与是否相互独立； （2）某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量？ 【答案】（1），不独立； （2）当时，获奖的可能性最大；当时，获奖的可能性最小. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率及条件概率公式求解，再利用全概率公式求出，利用相互独立事件定义判断即可. （2）求出获奖的概率，再构造函数，结合组合数公式探讨单调性确定概率最大、最小值. 【小问1详解】 当时，盒中有6个白球，14个黑球，，， ， ，则，所以事件与相互不独立. 【小问2详解】 从20个球中取10个球，恰有3个白球的概率， 设，当时，， ，当时，， 当时，，因此， 而，则， 所以当时，参与者获奖的可能性最大；当时，参与者获奖的可能性最小. 20. 已知双曲线分别是其左、右焦点，直线与双曲线的右支交于两点. （1）当直线过点，且时，求的周长； （2）已知点，若直线的斜率之和为，且，当分别与轴交于点时，求的面积； （3）已知直线过点，是双曲线上一点且位于第一象限，且满足的点在线段上，若，求点的坐标. 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）由双曲线的定义，根据整体思想，可得答案； （2）由斜率之和为零，可得倾斜角的大小，从而求得直线方程，利用三角形面积公式，可得答案； （3）分斜率存在与不存在两种情况，表示出直线方程，联立双曲线方程，写出韦达定理，结合题意建立方程，可得答案. 【小问1详解】 根据双曲线定义得：，， 两式相加得，即， 由已知得，所以的周长为， 【小问2详解】 设直线的倾斜角分别为， 由已知得，不妨设，则， 则可求得，， 所以直线解得， 直线解得， 所以的面积为. 【小问3详解】 设，由知 若直线斜率不存在，则，此时与点重合，不符题意，舍去； 设直线方程为：， 与双曲线联立化简得， 显然成立，设交点， 由韦达定理： 由得， 从而，即， 将韦达定理代入 化简得（※）， 因为，即， 由已知在双曲线上，得， 从而得代入（※）式， ， 化简得，即， 解得，则点的坐标为. 21. 若存在实数常数k，m，对任意，不等式恒成立，则称直线是函数和函数在上的分界线． （1）请写出函数和函数在上的一条斜率为1的分界线；（不必证明） （2）求证：函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条； （3）试探究函数（e为自然对数的底数）和函数在上是否存在分界线．若存在，求出分界线方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（答案不唯一，满足的均可） （2）证明见解析 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由题意直线是函数和函数在上的一条分界线，则在上恒成立，利用分离参数法，再构造函数，利用导数求出其最值，即可得解； （2）由题意，设是函数和函数在上过坐标原点的分界线，则在上恒成立，再分离参数，求出函数的最值，进而可求出的值，即可得证； （3）由题意可得恒成立，令，求出，则恒成立，再利用根的判别式求出，再构造函数，利用导数求出其最小值即可得出结论. 【小问1详解】 由题意直线是函数和函数在上的一条分界线， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，所以， 令，则， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 综上所述，， 所以满足题意的直线可以是；（答案不唯一，满足的均可） 【小问2详解】 由题意，设是函数和函数在上过坐标原点的分界线， 则在上恒成立，即在上恒成立， 因为，所以， 因，所以， 综上所述， 所以函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条； 【小问3详解】 若存在，则恒成立， 令，则，所以， 因此，恒成立，即恒成立， 由得，， 现在只要判断是否恒成立， 设，则， 当时，，，， 当时，，， 所以，即恒成立 所以函数和函数在上存在分界线， 其方程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022学年第二学期区学业诊断第三次模拟练习 高三年级数学练习卷 （完卷时间：120分钟 满分：150分） 考生注意： 1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效； 2.答卷前，考生务必将姓名､准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3.本试卷共21道试题. 一､填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1. 已知全集，，则 _________ 2. 不等式的解集是____________． 3. 若，则___________. 4. 设，，是等差数列的前项和，若，则的值为____________. 5. 设，拋物线上的点到的焦点的距离为5，点到轴的距离为3，则的值为____________. 6. 设，若的展开式中项的系数为10，则____________. 7. 已知函数且)的图像经过定点，则点的坐标为____ 8. 已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为_________. 9. 已知中，，，点在线段上，且，则值为_________. 10. 已知，且，则的最小值是_________． 11. 从m个男生和n个女生（）中任选2个人当队长，假设事件A表示选出的2人性别相同，事件B表示选出的2人性别不同．如果事件A的概率和事件B的概率相等，那么的可能值为______． 12. 在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，若沿线段DE折叠该三角形时，顶点A恰好落在边BC上．则线段AD的长度的最小值为______． 二､选择题（本大题共有4题，满分18分.其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分. 13. 若是实数，则“”是“”的（ ）条件. A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 14. 设，在平面直角坐标系xOy中，角顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，若角的终边经过点，且，则角属于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 15. 甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示如左下图，茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图完好（右下图），则下列结论正确的是（ ） A. 甲得分极差小于乙得分的极差 B. 甲得分的第25百分位数大于乙得分的第75百分位数 C. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数 D. 甲得分的方差小于乙得分的方差 16. 设函数的定义域为，若，且对任意，满足，，则的值为（ ） A B. C. D. 以上答案均不对 三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知函数的表达式为，. （1）解不等式：； （2）若存在实数，使得，，成等比数列，求实数的最小值. 18. 如图，在三棱柱中，，且. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 19. 一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球． （1）当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用表示事件“第一次取到白球”，用表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件与是否相互独立； （2）某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量？ 20. 已知双曲线分别是其左、右焦点，直线与双曲线的右支交于两点. （1）当直线过点，且时，求的周长； （2）已知点，若直线的斜率之和为，且，当分别与轴交于点时，求的面积； （3）已知直线过点，是双曲线上一点且位于第一象限，且满足的点在线段上，若，求点的坐标. 21. 若存在实数常数k，m，对任意，不等式恒成立，则称直线是函数和函数在上的分界线． （1）请写出函数和函数在上的一条斜率为1的分界线；（不必证明） （2）求证：函数和函数在上过坐标原点分界线有且只有一条； （3）试探究函数（e为自然对数的底数）和函数在上是否存在分界线．若存在，求出分界线方程；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $