精品解析：山东省青岛市即墨区2025-2026学年上学期期中质量检测八年级数学试题

2025-2026学年度第一学期期中质量检测 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 本试题共24道题．第1-10题为选择题，共30分；第11-16题为填空题，共18分；第17-24题为解答题，共72分．要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分） 下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1. 实数﹣的绝对值是（ ） A. B. ﹣ C. ﹣ D. 2. 在（每两个5之间依次增加1）中，无理数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 《热辣滚烫》电影展现了角色坚韧不拔的精神面貌，小明、小强和小华也去观看了电影，如图是利用平面直角坐标系绘制的影院内平面图，若分别以正东、正北为轴、轴正方向，小明在，小强在，那么小华的位置是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 6. 如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（ ） A. B. 3.8 C. D. 7. 在平面直角坐标系内有一点到轴的距离是4，到轴距离是2，且点在第四象限内，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，阴影部分是两个正方形，其他三个是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积为（ ） A. 8 B. 25 C. 49 D. 64 9. 下列图形中，表示一次函数与正比例函数，为常数，且的图象的是（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，已知点，，线段的中点是，则点的坐标为，例如：点，点，则线段的中点的坐标为，即请利用上面的结论解决问题：在平面直角坐标系中，已知点，，线段的中点恰好位于轴的正半轴上，且 到轴的距离是2，则的值为（     ） A. B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11. 的算术平方根是______． 12. 在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第二、三、四象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式：________． 13. 比较大小：______（填“”“ ”“ ”）． 14. 已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度（单位：）与滑行时间（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，则飞机在着陆后滑行_____停下． 15. 如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为________． 16. 在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶和谐点”（为常数，且）．例如：点的“2阶和谐点”为点，即点的坐标为．若点的“阶和谐点”到轴的距离为7，则的值为______． 三、解答题（本题满分72分） 17. 计算或解方程： （1） （2） （3） （4） 18. 如图，已知是同一平面直角坐标系中的三个点，它们的坐标分别为． （1）请在示意图中建立平面直角坐标系． （2）顺次连接点得到，并作出关于y轴对称的． （3）的面积为___________． 19. 某小区在规划建设时，准备在住宅楼和临街的拐角处规划一块绿化用地（如图中的阴影部分所示）已知，技术人员通过测量确定了． （1）为了方便居民出入，技术人员计划在绿化用地中开辟一条从点A到点的小路，请问这条小路的最短长度是多少m？ （2）这块绿化用地的面积是多少？ 20. 某次气象探测活动中，在一广场上同时释放两个探测气球．1号探测气球从距离地面5米处出发，以1米/分的速度上升，2号探测气球距离地面的高度y（单位：米）与上升时间x（单位：分）满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求y关于x的函数解析式； （2）探测气球上升多长时间时，两个气球位于同一高度？此时它们距离地面多少米？ 21. 阅读下列材料，然后解答下列问题： 以上这种化简的方法叫分母有理化． （1）（为正整数）___________． （2）___________．（结果不含根号） （3）比较与的大小，并说明理由． 22. 在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离， （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 23. 某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为元，并且多买都有一定的优惠．各商场的优惠条件如下表所示： 商场 优惠条件 甲商场 第一台按原价收费，其余的每台优惠 乙商场 每台优惠 （1）设学校购买台电脑，选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元，请分别求出，与之间的关系式． （2）什么情况下，两家商场的收费相同？ （3）现在因为急需，计划从甲乙两商场一共买入台电脑，已知甲商场的运费为每台元，乙商场的运费为每台元，设总运费为元，从甲商场购买台电脑，在甲商场的库存只有台的情况下，怎样购买，总运费最少？最少运费是多少？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线相交于点． （1）求直线的解析式． （2）求的面积． （3）在直线上是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中质量检测 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 本试题共24道题．第1-10题为选择题，共30分；第11-16题为填空题，共18分；第17-24题为解答题，共72分．要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分） 下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1. 实数﹣的绝对值是（ ） A. B. ﹣ C. ﹣ D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用绝对值的性质分析得出答案． 【详解】解：实数﹣的绝对值是：． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的性质是解题关键． 2. 在（每两个5之间依次增加1）中，无理数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的概念，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断每个数是否为无理数． 【详解】解：是分数，属于有理数； 3.14159是有限小数，属于有理数； 是开方开不尽的数，属于无理数； ，是整数，属于有理数； 含有无理数π，属于无理数； 0.515115111...（每两个5之间依次增加1）是无限不循环小数，属于无理数． 无理数有、、0.515115111... （每两个5之间依次增加1），共3个． 故选：C． 3. 《热辣滚烫》电影展现了角色坚韧不拔的精神面貌，小明、小强和小华也去观看了电影，如图是利用平面直角坐标系绘制的影院内平面图，若分别以正东、正北为轴、轴正方向，小明在，小强在，那么小华的位置是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实际问题中确定位置，正确建立平面直角坐标系是关键； 根据小明在，小强在建立平面直角坐标系，进而得解. 【详解】解：根据题意，建立平面直角坐标系如下： 所以小华的位置是； 故选：B. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方根、算术平方根与立方根的定义，熟知这三者的概念是关键； 根据平方根、算术平方根与立方根的定义逐一验证各选项的正确性，即可判断 【详解】解：A、被开方数为，算术平方根，故运算正确； B、负数的奇次幂为负数，，故运算错误； C、，而表示9的三次方根，显然不等于3，故运算错误； D、算术平方根的结果为非负数，即，故本选项运算错误； 故选：A 5. 的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理的应用是解题关键．根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； C、设，则，， ∵， ∴，解得 ∴，，， ∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； D、∵，， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 6. 如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（ ） A. B. 3.8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，正确得出正方形的边长是解题的关键； 先根据正方形的面积得出，进而得到，结合点A表示的数为1即可得到答案 【详解】解：∵正方形的面积为7， ∴， ∵， ∴， ∵点在数轴上，且表示的数为1， ∴点所表示的数为； 故选：A 7. 在平面直角坐标系内有一点到轴的距离是4，到轴距离是2，且点在第四象限内，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征及点到坐标轴的距离，根据第四象限点的符号特征及距离确定坐标即可． 【详解】解：第四象限内点的横坐标为正，纵坐标为负， ∵到x轴的距离为4，即纵坐标的绝对值为4， ∴故纵坐标 ， ∵到y轴的距离为2，即横坐标的绝对值为2， ∴横坐标（因第四象限横坐标为正）， ∴点A的坐标为， 故选：C． 8. 如图，阴影部分是两个正方形，其他三个是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积为（ ） A. 8 B. 25 C. 49 D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理可求出空白的正方形的面积，即可求出阴影部分面积． 【详解】解：如图： 根据勾股定理可知：， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了正方形面积的计算，本题中根据勾股定理求阴影部分的边长是解题的关键． 9. 下列图形中，表示一次函数与正比例函数，为常数，且的图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数图象，注意：一次函数的图象有四种情况：①当，，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象．根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 【详解】解：根据一次函数的图象分析可得： A、由一次函数图象可知，，，与正比例函数的图象可知矛盾，故此选项不符合题意； B、由一次函数图象可知，，即，正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； C、由一次函数图象可知，，即，与正比例函数的图象可知矛盾，故此选项不符合题意； D、由一次函数图象可知，，即，与正比例函数的图象可知矛盾，故此选项不符合题意； 故选：B． 10. 在平面直角坐标系中，已知点，，线段的中点是，则点的坐标为，例如：点，点，则线段的中点的坐标为，即请利用上面的结论解决问题：在平面直角坐标系中，已知点，，线段的中点恰好位于轴的正半轴上，且 到轴的距离是2，则的值为（     ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，中点坐标公式，先求出的中点的坐标，再根据点满足的条件列出方程求出、的值，最后代入代数式计算即可． 【详解】解：根据题意可得：点， ∴线段的中点 ∵点恰好位于轴的正半轴上，且到轴的距离是2， ∴ 解得： ∴ 故选：C． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11. 的算术平方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 12. 在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第二、三、四象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，先根据一次函数的图象经过二、三、四象限判断出及的符号，再写出符合条件的一次函数解析式即可，根据题意判断出的符号是解答此题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴，， ∴符合该条件的一次函数的表达式为， 故答案为：． 13. 比较大小：______（填“”“ ”“ ”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较和无理数的估算的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 通过比较分子的大小来确定分数的大小，由于分母相同，只需比较分子和1的大小，然后即可求解 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 14. 已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度（单位：）与滑行时间（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，则飞机在着陆后滑行_____停下． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意是解题的关键． 先求出速度降为0时所用时间，再把此时求出的时间代入，即可求解． 【详解】解：当时，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，求阴影部分面积等．根据题意设，则，根据勾股定理列式，继而得到，即可得到本题答案． 【详解】解：由“赵爽弦图”可知， ∴设，则， ∵，的长为5， ∴，解得：， ∴阴影部分的面积：， 故答案为：15． 16. 在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶和谐点”（为常数，且）．例如：点的“2阶和谐点”为点，即点的坐标为．若点的“阶和谐点”到轴的距离为7，则的值为______． 【答案】 或 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征、新定义 “阶和谐点” 的理解与应用，绝对值方程，掌握新定义的运算规则是解决问题的关键．解题思路是先根据 “ 阶和谐点” 的定义求出点的“ 阶和谐点”的坐标，再根据点到轴的距离为7列方程求解． 【详解】解：根据题意点的“阶和谐点”为： 横坐标：， 纵坐标：， ∵点的“阶和谐点”到轴的距离为7， ∴， ①得 ， ②得 ， 综上所述，值为 或 ． 故答案为： 或 ． 三、解答题（本题满分72分） 17. 计算或解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，平方根，立方根，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先将分子中的二次根式化简，再进行分母有理化； （2）分别计算二次根式的乘法和完全平方，再合并同类项； （3）利用直接开平方法，先移项再开平方求解； （4）根据立方根的定义进行计算． 【小问1详解】 解：计算 【小问2详解】 解：计算 ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 如图，已知是同一平面直角坐标系中的三个点，它们的坐标分别为． （1）请在示意图中建立平面直角坐标系． （2）顺次连接点得到，并作出关于y轴对称的． （3）的面积为___________． 【答案】（1） 建立平面直角坐标系，如图： （2） 如图，和即为所作： （3） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换-轴对称、网格中求三角形的面积，掌握轴对称性质是解答的关键． （1）根据，即可建立平面直角坐标系； （2）顺次连接点得到，根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同得到对应点，再顺次连接即可作出图形； （3）利用割补法求解面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的面积为：， 故答案为：． 19. 某小区在规划建设时，准备在住宅楼和临街的拐角处规划一块绿化用地（如图中的阴影部分所示）已知，技术人员通过测量确定了． （1）为了方便居民出入，技术人员计划在绿化用地中开辟一条从点A到点的小路，请问这条小路的最短长度是多少m？ （2）这块绿化用地的面积是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识，正确应用勾股定理以及勾股定理逆定理是解题的关键． （1）连接，利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明，然后根据计算即可求解． 【小问1详解】 解：连接， ，，， ， 答：这条小路的最短长度是； 【小问2详解】 解：∵，， ， ， ， 答：这块绿化用地的面积是． 20. 某次气象探测活动中，在一广场上同时释放两个探测气球．1号探测气球从距离地面5米处出发，以1米/分的速度上升，2号探测气球距离地面的高度y（单位：米）与上升时间x（单位：分）满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求y关于x的函数解析式； （2）探测气球上升多长时间时，两个气球位于同一高度？此时它们距离地面多少米？ 【答案】（1） （2）探测气球上升20分钟时，两个气球位于同一高度，此时它们距离地面25米 【解析】 【分析】（1）设关于的函数解析式为，将点代入计算即可得； （2）先求出1号气球上升分时，高度为米，再根据两个气球位于同一高度建立方程，解方程即可得． 【小问1详解】 解：由题意，设关于的函数解析式为， 将点代入得：， 解得， 则关于的函数解析式为． 【小问2详解】 解：由题意可知，1号气球上升分时，高度为米， 则， 解得， 此时， 答：探测气球上升20分钟时，两个气球位于同一高度，此时它们距离地面25米． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． 21. 阅读下列材料，然后解答下列问题： 以上这种化简的方法叫分母有理化． （1）（为正整数）___________． （2）___________．（结果不含根号） （3）比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2）22 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的混合运算，平方差公式， 对于（1），根据分母有理化的定义解答； 对于（2），先根据平方差公式将分母有理化，再合并同类二次根式； 对于（3），先求出两个数的倒数，再比较可得答案. 【小问1详解】 解：原式. 故答案为：； 【小问2详解】 解：原式 ； 故答案为：22； 【小问3详解】 解：,理由如下：； . ∵， ∴， ∴. 22. 在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离， （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，则，利用勾股定理列出方程，求解即可； （2）利用勾股定理求出的长，即可解决问题． 本题考查了勾股定理的应用，熟悉掌握勾股定理是解题的关键． 【小问1详解】 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ， 答：绳子的总长度为27； 【小问2详解】 如图2， 由（1）得：， 由题意可知，，，， ， 由勾股定理得：， ， ， 答：此时物体C升高了 23. 某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为元，并且多买都有一定的优惠．各商场的优惠条件如下表所示： 商场 优惠条件 甲商场 第一台按原价收费，其余的每台优惠 乙商场 每台优惠 （1）设学校购买台电脑，选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元，请分别求出，与之间的关系式． （2）什么情况下，两家商场的收费相同？ （3）现在因为急需，计划从甲乙两商场一共买入台电脑，已知甲商场的运费为每台元，乙商场的运费为每台元，设总运费为元，从甲商场购买台电脑，在甲商场的库存只有台的情况下，怎样购买，总运费最少？最少运费是多少？ 【答案】（1），； （2）当购买台时，两家商场的收费相同； （3）从甲商场购买台，从乙商场购买台时，总运费最少，最少运费是元． 【解析】 【分析】本题考查了求函数关系，一元一次方程的应用，一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设学校购买台电脑，根据题意分别求出（元），选择乙商场时，所需费用为元； （）当时，，然后解方程即可； （）设总运费为元，从甲商场购买台电脑，则从乙商场购买台电脑，可得，则根据题意得，然后通过一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设学校购买台电脑（为正整数）， 选择甲商场时，所需费用为 （元）； 选择乙商场时，所需费用为（元）， ∴选择甲商场时，所需费用为（元），选择乙商场时，所需费用为（元）； 【小问2详解】 解：当时，， 解得， 答：当购买台时，两家商场的收费相同； 【小问3详解】 解：设总运费为元，从甲商场购买台电脑，则从乙商场购买台电脑， ∵从甲商场购买台，甲商场库存只有台， ∴， 根据题意得，， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当取最大值时，最小，最小运费（元）， 答：从甲商场购买台，从乙商场购买台时，总运费最少，最少运费是元． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线相交于点． （1）求直线的解析式． （2）求的面积． （3）在直线上是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出点C坐标，根据计算求解即可； （3）求出的面积，进而可得点M的横坐标，进而可求出点M的坐标． 【小问1详解】 解：∵直线：与直线相交于点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵的面积是的面积的， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，当时，， ∴点M的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $