精品解析：山东省滨州市惠民县2025-2026学年高二上学期期中阶段性质量检测数学试题

2026学年第一学期高二数学阶段性质量检测 2025.11 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】变形后得到的方向向量是，，求出答案. 【详解】变形为， 故的方向向量是，， 当时，一个方向向量为，其他选项均不合要求. 故选：D 2. 已知直线，且，则实数a的值为（ ） A. 5 B. 1 C. 5或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，列出方程求解，再验证判断作答. 【详解】直线，，由解得或， 当时，直线与重合，不符合题意， 当时，直线与平行， 所以实数a的值为. 故选：D 3. 在平行六面体中，与的交点为，设，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由，又,，可得答案. 【详解】 故选：D 4. 方程表示椭圆，则的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程表示椭圆列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由于方程表示椭圆， 所以，解得或. 故选：B 5. 在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点到直线的距离的向量公式即可求解． 【详解】由题意可得与同向的单位向量 点到直线的距离． 故选：D 6. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图象由直线与圆的位置关系求解. 【详解】 依题意，则为直线的斜率， 结合图象可知，当直线与半圆相切时，斜率最小， 设，则，解得或（舍去）， 即的最小值为. 故选：C 7. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得动直线过定点，再由已知得到圆心到顶点的距离为最大半径，由圆心，半径可确定满足条件的圆的标准方程. 【详解】解：直线，变形可得， 所以该动直线过定点， 则以点为圆心且与直线相切的所有圆中，圆心到定点的距离为最大半径， 所以半径的最大值为， 则半径最大的圆的标准方程为定点． 故选：A 8. 如图，曲线由三部分构成：半圆，半圆，半椭圆，直线交于，动点在曲线上，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求，再求点到直线的距离，表示出的最大面积. 【详解】如图： ， 故. 显然当点在半圆上且时，面积最大. 因为点到直线：的距离为：. 所以点到直线的距离 故. 故选：B 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）． A. 若，则向量、的夹角是锐角 B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C. 若对空间中任意一点P，有，则P，A，B，C四点共面 D. 若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 【答案】BC 【解析】 【分析】考虑，的夹角为0可判断A；根据空间向量共面定理可判断BCD. 【详解】对于A，当，的夹角为0时，，故A错误， 对于B，由空间向量共面定理得，对于空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确； 对于C，因为，则向量共面， 又有公共点，所以P，A，B，C四点共面，故C正确； 对于D，由向量平移性质可得，空间中任意两个向量一定共面，故D错误． 故选：BC． 10. 已知圆和圆，则（ ） A. 两圆的圆心间的距离为5 B. 两圆相交 C. 两圆的公共弦所在直线方程为 D. 两圆的公共弦长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】配方求出圆心和半径，然后计算圆心距，判断两圆位置关系，判断AB，两圆方程相减可求得公共弦所在直线方程，判断C，由勾股定理求得公共弦长（求出圆心到公共弦所在直线的距离后计算），判断D． 【详解】圆的标准方程为，，半径， 圆的标准方程为，，半径． ，，两圆相交，AB正确 两圆方程相减得，C错误， 到直线的距离为， 公共弦长为，D正确． 故选：ABD． 11. 在正方体中，，为正方形内（包括边界）一动点，为的中点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使得 C. 若，则的最大值为 D. 满足的点的轨迹长度为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用锥体体积公式可判断A选项；以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，设点，其中、，利用空间向量法可判断BC选项；根据可得出、的关系式，确定点的轨迹，并求其长度，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为平面平面，平面， 所以点到平面的距离等于， 因为四边形是边长为的正方形，故， 因此为定值，A对； 对于B选项，取的中点，的中点，连接． 以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、． 设，其中、，则，， ， 因为，所以， 所以，不存在点，使得，B错； 对于C选项，，， 所以，即， 因为，所以， 故当时，的最大值为，C错； 对于D选项，，， 由得，即， 又因为、，所以、， 所以点的轨迹为平面内的线段， 即图中的线段，由图知， 故满足的点的轨迹长度为，D正确． 故选：AD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，已知，关于z轴对称，则________． 【答案】－5 【解析】 【分析】根据其关于z轴对称的点的坐标即可求出的值，则可求. 【详解】∵其关于z轴对称的点的坐标为， 又对称点为，则，， ∴， 故答案为：－5． 13. 已知圆的圆心为，且有一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，若直线与交于两点，，则实数__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据直线与圆相交，圆心到直线的距离与半径的关系，即可求解. 【详解】圆的一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，该圆一定过原点，半径为， 又圆心为，故圆的方程为 圆心到直线的距离为即，解得或． 故答案为：-1或-11 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为2，若直线与椭圆交于点M，满足，则离心率是________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，结合椭圆的定义及离心率公式求解即可. 【详解】依题意，直线经过椭圆的左焦点，且， 由，得，则， 因此，所以离心率. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，. （1）求的值. （2）若，求实数的值. （3）若，求实数的值. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】根据空间向量的数量积运算和共线向量的坐标运算即可得到答案. 【详解】（1）由题意， ， （2）易知 ， 解得； （3）， ， 即， 解得 16. 如图，长方体的底面是正方形，，，点在棱上，平面. （1）求证：为的中点； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 连接， 因为底面是正方形，所以是的中点，点在棱上，因为平面，平面， 且平面平面，所以，所以为的中点. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理平面得出即可得证； （2）求出平面与平面两个面的法向量，用平面夹角的向量公式即可求出余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设， 则， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17. 已知椭圆离心率为，直线与椭圆相交于A，B两点. （1）若椭圆的焦距为，求椭圆的方程; （2）若，求椭圆的长轴长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用焦距、结合离心率求出即得. （2）由离心率可得，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及向量垂直的坐标表示求出即可. 【小问1详解】 由椭圆的焦距为，得半焦距， 由椭圆的离心率为，得，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由椭圆的离心率为，得，则，椭圆， 由消去得：，， 设，则， 由，得， 则，解得，符合题意，，， 所以椭圆的长轴长为. 18. 已知中，，，动点满足. （1）求动点的轨迹的方程； （2）设所在直线与轨迹的另一个交点为，当的面积最大且点在第一象限时，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据条件得，化简即可求解； （2）根据条件得，进而求出直线的方程，再利用弦长公式，即可求解. 【小问1详解】 设，由，得， 整理得到，又点不能在轴上， 所以点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 由题意可得，当到x轴距离最大时，即纵坐标最大时满足题意， 此时，所以， 所在直线方程为，即， 又圆心到直线的距离，半径， 可得. 19. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆的上顶点，且．直线l：交椭圆于，两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线的斜率为，直线的斜率为，求的值； （3）若，证明：当时，为锐角三角形． 【答案】（1） （2） （3） 直线的方向向量为，所以由锐角三角形知， ①，②，③， 由、， 由①得： ，则④； 由②③得，， 即， 进而化简得： ， 即，解得⑤， 由，， 故当时，同时满足④⑤， 所以此时为锐角三角形. 【解析】 【分析】（1）借助向量数量积计算可得，再利用离心率即可得解； （2）利用韦达定理结合斜率公式计算即可得； （3）借助锐角三角形定义结合向量数量积计算可得为锐角三角形时的范围，再判断所给范围是否符合要求即可得. 【小问1详解】 由题意知，，则， 所以，即， 又，所以， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 直线，， 由，得， 则， 所以， 因为椭圆的左，右顶点分别为， 所以， 所以； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期高二数学阶段性质量检测 2025.11 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，且，则实数a的值为（ ） A. 5 B. 1 C. 5或 D. 3. 在平行六面体中，与的交点为，设，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 4. 方程表示椭圆，则的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 5. 在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 6. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. -1 7. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，曲线由三部分构成：半圆，半圆，半椭圆，直线交于，动点在曲线上，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）． A. 若，则向量、的夹角是锐角 B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C. 若对空间中任意一点P，有，则P，A，B，C四点共面 D. 若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 10. 已知圆和圆，则（ ） A. 两圆的圆心间的距离为5 B. 两圆相交 C. 两圆的公共弦所在直线方程为 D. 两圆的公共弦长为 11. 在正方体中，，为正方形内（包括边界）一动点，为的中点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使得 C. 若，则的最大值为 D. 满足的点的轨迹长度为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，已知，关于z轴对称，则________． 13. 已知圆的圆心为，且有一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，若直线与交于两点，，则实数__________． 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为2，若直线与椭圆交于点M，满足，则离心率是________. 四､解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，. （1）求的值. （2）若，求实数的值. （3）若，求实数的值. 16. 如图，长方体的底面是正方形，，，点在棱上，平面. （1）求证：为的中点； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知椭圆离心率为，直线与椭圆相交于A，B两点. （1）若椭圆的焦距为，求椭圆的方程; （2）若，求椭圆的长轴长. 18. 已知中，，，动点满足. （1）求动点的轨迹的方程； （2）设所在直线与轨迹的另一个交点为，当的面积最大且点在第一象限时，求的值. 19. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆的上顶点，且．直线l：交椭圆于，两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线的斜率为，直线的斜率为，求的值； （3）若，证明：当时，为锐角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $