精品解析：河南省南阳市镇平县2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷

2025年秋期八年级学业质量监测 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 中国清代学者华蘅芳与英国人傅兰雅合译的《代数术》卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，则2的平方根用符号可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义．根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数，因此2的平方根应表示为正负两个值． 【详解】解：2的平方根用符号表示为 ． 故选：D． 2. 下列实数中，不是无理数的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，立方根与算术平方根；无理数是无限不循环小数．选项A中，，是有理数；选项B、C、D均为无理数． 【详解】解：∵，为整数，∴是有理数，不是无理数； ∵不是整数，且为无限不循环小数，∴是无理数； ∵是无限不循环小数，∴是无理数； ∵是无限不循环小数，∴是无理数． 故选：A． 3. 我们曾这样“做一做”：如图1，已知、和线段，试作，使，，．我们用尺规作图得到如图2所示的，又发现我们所作的三角形和其他同学所作的三角形能够完全重合，于是得到判定三角形全等的方法是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作三角形，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法． 【详解】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即ASA． 故选C． 4. 下列各式中，运算结果为的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的运算法则．根据同底数幂的乘除法法则和幂的乘方法则，直接计算各选项即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴选项C运算结果为． 其他选项：A为，B为无法合并，D为，均不等于． 故选：C． 5. 如图，点是线段的中点，且，若使，需添加一个条件，你认为添加的条件不能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：．添加时注意：不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 要使，已知，，则可以添加一个边从而利用来判定其全等，或添加一个角从而利用、来判定其全等． 【详解】解：∵是的中点， ∴， 又， 若添加，不能证明，故A符合题意； 若添加，，故B不符合题意； 若添加，，故C不符合题意； 若添加，则，，故D不符合题意； 故选：A． 6. 小琪同学做了4道练习题如下，若答对一道题得10分，你认为她的得分是( ) （1）的小数部分是；（2）命题“同位角相等”的条件是“两个角是同位角”； （3）若，则；（4）要说明命题“是负数”是假命题，可举反例． A. 10分 B. 20分 C. 30分 D. 40分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的小数部分，无理数的小数部分，平方运算，反例的举法，根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵，小数部分为精确值，∴第（1）题错误． ∵命题“同位角相等”的形式为“如果两个角是同位角，那么它们相等”，条件确是“两个角是同位角”，∴第（2）题正确． ∵，则，∴第（3）题正确． ∵命题“是负数”不是总成立，当时，不是负数，反例正确，∴第（4）题正确． ∴共答对题，得分分． 故选：C． 7. 已知，，之间满足数量关系，若，，则（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法；由已知条件，可得，代入和，利用运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 代入，， ∴， 故，对应选项B． 故选：B． 8. 如图，，，的延长线交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角度的计算和邻补角的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据角度的计算和邻补角的知识，进行作答，即可求解 【详解】解：由题意可得：， ∵， ∴， ∴， 故选：B 9. 若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是( ) A. 5 B. 7 C. 5或7 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，三角形的三边关系；将给定方程整理成完全平方形式，求出和的值，再根据等腰三角形的性质和三角形三边关系讨论可能的边长组合，排除无效情况后计算周长． 【详解】解： ， ， 即 ， ，， 解得 ，． 是等腰三角形，分两种情况讨论： ①若腰长为，底边为，则三边为、、， ，不满足三角形三边关系； ②若腰长为，底边为，则三边为、、， ，，，均成立． ∴周长为 ． 故选：B． 10. 一个大正方形和四个全等的小正方形按图1、图2两种方式摆放，则在图2的大正方形中，未被小正方形覆盖部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，完全平方公式在几何图形中的应用，根据图形可知大正方形的边长加上小正方形的边长的2倍等于a，大正方形的边长减去小正方形的边长的2倍等于b，据此列出方程组可求出大正方形和小正方形的边长，再根据图②中未被小正方形覆盖部分的面积等于大正方形面积减去4个小正方形面积计算求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为m，小正方形的边长为n， 由题意得，， ∴， ∴大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是 ， 故选：D． 二、填空（每小题3分，共15分） 11. 比较大小：_____．(填“”、“”或“”) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较；由于为负数，为正数，根据正数大于负数，即可比较大小． 【详解】解：因为，所以，因此． 而，所以． 故答案为：． 12. 已知一个长方形的长、宽分别为、，若它的周长为18，面积为20，则代数式的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用．根据长方形的周长和面积公式，得出和的值，然后将代数式因式分解后代入求值． 【详解】解：长方形的周长为，面积为， ，即，． 则． 故答案为：． 13. 如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：如图所示， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 14. 掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量与震级的关系为（为大于0的常数），那么震级为6级的地震所释放的能量是震级为2级的地震所释放能量的_____倍． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法、同底数幂的除法的应用；根据能量公式，分别计算震级6和震级2的能量，然后利用同底数幂的除法计算倍数． 【详解】解：由能量公式 ，震级为6级时，； 震级为2级时，． 所以． 故答案为． 15. 如图，在和中，，，，，连接，，与相交于点，连接．有下列4个结论：①；②；③；④，其中正确的是_____．（填序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、证明三角形全等是解题的关键． 根据题意可得，根据可证明，根据全等三角形的性质得出，即可判断①和③正确；根据全等三角形的性质得出，根据三角形的外角性质推得，即可判断④正确，由，不能证明不能得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，即①③正确； ∵， ∴，， 由三角形的外角性质得：， ∴，④正确； ∵，不能得出，则不成立故②不正确， 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）33；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，平方差公式以及单项式乘以多项式； （1）根据算术平方根、有理数的乘方、立方根的定义分别化简，再合并即可求解； （2）根据平方差公式以及单项式乘以多项式进行计算，即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 阅读下面这位同学的解答过程，并完成任务． 先化简，再求值：，其中，． 解：原式 第一步 第二步 第三步 当，时，原式 第四步 任务： （1）第一步运用到了乘法公式：____________________________； （2）以上步骤从第_____步开始出现了错误，错误的原因是___________________________________； （3）请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）完全平方公式 （2）一，去负括号时括号内的第二项没有变号 （3） ， 当，时，原式． 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，完全平方公式，单项式乘以多项式，多项式除以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据题意可得第一步运用了完全平方公式； （2）第一步去负括号时括号内的第二项没有变号； （3）先根据完全平方公式和单项式乘以多项式去小括号，然后合并同类项，接着计算多项式除以单项式化简，最后代值计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，第一步运用了完全平方公式； 故答案为：完全平方公式； 【小问2详解】 解：观察解题过程可知，第一步开始出现错误，错误原因是去负括号时括号内的第二项没有变号； 故答案为：一，去负括号时括号内的第二项没有变号； 【小问3详解】 略 18. 如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“偶智数”如：，，，，因此，4，12，20都是“偶智数”． （1）28_____“偶智数”，40_____“偶智数”；（填“是”或“不是”） （2）设两个连续偶数为和（其中为非负整数），它们构造的“偶智数”是4的倍数吗？请说明理由． （3）我发现：“偶智数”_____是4的倍数，4的倍数_____是“偶智数”（填“一定”或“不一定”） 【答案】（1）是，不是 （2） 是，理由如下： 又为非负整数，是4的倍数，即构造的“偶智数”是4的倍数． （3）一定，不一定 【解析】 【分析】本题考查了实数新定义运算，平方差公式的计算； （1）根据“偶智数”的定义，只需看能否把28和40这两个数写成两个连续偶数的平方差即可判断； （2）运用平方差公式进行计算，进而判断即可； （3）根据（1）（2）的结论，进而判断即可． 【小问1详解】 解：∵，不能表示成两个连续偶数的平方差， ∴28是偶智数，不是偶智数． 故答案为：是，不是． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据（1）（2）可得“偶智数”一定是4的倍数，4的倍数不一定是“偶智数” 故答案为：一定，不一定． 19. 课间，小明拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉到均垂直于地面的两堆砖之间，如图所示． （1）求证：； （2）已知，请你帮小明求出砖块的厚度的大小（每块砖的厚度相同）． 【答案】（1） 证明：由题意得：，，，， ，，， ， 在和中， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： （1）利用，证明即可； （2）根据全等三角形的性质，结合线段的和差关系，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意得，一块墙砖的厚度为， ，， 由（1）得：， ，， ， ， 答：砌墙砖块的厚度为． 20. 一个正方形边长为（为常数且），记它的面积为，将这个正方形的一组邻边长分别增加2和减少2，得到一个长方形，记该长方形的面积为． （1）求（用含的代数式表示，需化简）； （2）小丽说无论为何正数，与的差都不变，你同意她的意见吗？为什么？ 【答案】（1） （2） 同意；理由如下： ， 无论为何正数，与的差都不变 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，多项式乘法与面积问题；完全平方公式的应用； （1）根据长方形的面积公式进行计算即可求解； （2）根据完全平方公式以及整式的加减进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：得到的长方形的两邻边长分别为：， ； 【小问2详解】 略 21. 阅读与思考 下面是小朋同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应任务． ×年×月×日 星期日 晴 巧用中线构造全等数学问题 数学课上，老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，，求边的取值范围． 解决问题： 我通过小组交流，得到了如下解决方法： 如图2，延长至点，使，连接． 因为是边上的中线，所以． 在和中， 因为，，， 所以．所以． 在中，根据三边关系…… 感悟： 题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以通过倍长中线构造全等三角形，从而将已知线段和角进行转化． 任务： （1）小朋判断的依据是_______________； （2）若按小朋的思路继续推理计算，容易得到边的取值范围是________________________； （3）迁移应用：如图3，在中，，，延长到，使，作交的延长线于点，连接．求的取值范围． 【答案】（1）边角边（或） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质． （1）根据过程可得已知“两边一夹角”，故为； （2）在中，根据三边关系即可求解； （3）先证明，则，，在中，根据三边关系，即可求解． 【小问1详解】 解：小朋判断的依据是边角边（或） 【小问2详解】 在中，根据三边关系 即， ∵， ∴ 【小问3详解】 ， 在和中， ， 在中， ，即 22. 我们曾用数形结合的方法在数轴上找到一些表示无理数的点，如图1，依次连接方格四边的中点，，，得到一个阴影正方形．每一个小方格的边长为1． 【基础尝试】 （1）图1得到的阴影正方形的面积为_____，它的边长就是小方格的对角线长，则小方格对角线长是_____，由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法； 【画图探究】 （2）如图2，以1个单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于，两点，则点表示的数为___________，其绝对值为___________，点表示的数为___________，其相反数为___________； 【问题解决】 （3）如图3中的网格是由9个边长为1的小方格组成． ①画出面积是5的正方形，使它的顶点在网络的格点上； ②请借鉴（2）中的方法在数轴上找到一点，使它表示实数．（不写作法，只保留作图痕迹并标出必要线段长） 【答案】（1），； （2），，，； （3）作图如下图： 如图点就是的位置． 【解析】 【分析】此题考查了无理数与数轴上的点的对应关系，算术平方根的应用． （1）根据小正方形的对角线长等于阴影部分的面积的算术平方根，可得小正方形的对角线长； （2）依据图中小正方形对角线长为，原点与之间的距离为，从而可得到点表示的数为； （3）①先根据大正方形的面积为，可得大正方形的边长为， ②在数轴上找到表示的点即可； 【详解】解：（1）∵图1得到的阴影正方形的面积为大正方形的面积的一半，即， ∴小正方形的对角线长等于阴影部分面积的算术平方根，即 故答案为：，； （2）如图，小正方形的对角线长为， ∴原点与之间的距离为， ∴点表示的数为，其绝对值为，点表示的数为，其相反数为 故答案为：，，，； （3）∵大正方形的面积是， ∴大正方形的边长为； 略 23. 如图，是经过顶点的一条直线，、分别是直线上两点，且，． （1）若直线经过的内部，且、在射线上． 【观察猜想】①如图1，若，则、、之间的数量关系是__________； 【类比探究】②如图2，若时，（1）中的结论仍然成立，求的度数； （2）若直线经过的外部． 【拓展提升】如图3，若，直接写出、、三条线段的数量关系． 【答案】（1）①，②；（2） 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，外角定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定定理． （1）首先证明出，然后利用全等三角形的性质求解即可； （2）首先证明， ，而，则，再由三角形内角和定理求解即可； （3）首先证明出，然后利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：．理由如下： ∵ ∴． 又∵， ∴． 在和中， ∴ ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期八年级学业质量监测 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 中国清代学者华蘅芳与英国人傅兰雅合译的《代数术》卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，则2的平方根用符号可表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列实数中，不是无理数的是（） A. B. C. D. 3. 我们曾这样“做一做”：如图1，已知、和线段，试作，使，，．我们用尺规作图得到如图2所示的，又发现我们所作的三角形和其他同学所作的三角形能够完全重合，于是得到判定三角形全等的方法是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，运算结果为的是（） A. B. C. D. 5. 如图，点是线段的中点，且，若使，需添加一个条件，你认为添加的条件不能是（ ） A. B. C. D. 6. 小琪同学做了4道练习题如下，若答对一道题得10分，你认为她的得分是( ) （1）的小数部分是；（2）命题“同位角相等”的条件是“两个角是同位角”； （3）若，则；（4）要说明命题“是负数”是假命题，可举反例． A. 10分 B. 20分 C. 30分 D. 40分 7. 已知，，之间满足数量关系，若，，则（ ） A. 5 B. C. D. 8. 如图，，，的延长线交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是( ) A. 5 B. 7 C. 5或7 D. 无法确定 10. 一个大正方形和四个全等的小正方形按图1、图2两种方式摆放，则在图2的大正方形中，未被小正方形覆盖部分的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空（每小题3分，共15分） 11. 比较大小：_____．(填“”、“”或“”) 12. 已知一个长方形的长、宽分别为、，若它的周长为18，面积为20，则代数式的值为_____． 13. 如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，______． 14. 掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量与震级的关系为（为大于0的常数），那么震级为6级的地震所释放的能量是震级为2级的地震所释放能量的_____倍． 15. 如图，在和中，，，，，连接，，与相交于点，连接．有下列4个结论：①；②；③；④，其中正确的是_____．（填序号） 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 阅读下面这位同学的解答过程，并完成任务． 先化简，再求值：，其中，． 解：原式 第一步 第二步 第三步 当，时，原式 第四步 任务： （1）第一步运用到了乘法公式：____________________________； （2）以上步骤从第_____步开始出现了错误，错误的原因是___________________________________； （3）请你写出正确的解答过程． 18. 如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“偶智数”如：，，，，因此，4，12，20都是“偶智数”． （1）28_____“偶智数”，40_____“偶智数”；（填“是”或“不是”） （2）设两个连续偶数为和（其中为非负整数），它们构造的“偶智数”是4的倍数吗？请说明理由． （3）我发现：“偶智数”_____是4的倍数，4的倍数_____是“偶智数”（填“一定”或“不一定”） 19. 课间，小明拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉到均垂直于地面的两堆砖之间，如图所示． （1）求证：； （2）已知，请你帮小明求出砖块的厚度的大小（每块砖的厚度相同）． 20. 一个正方形边长为（为常数且），记它的面积为，将这个正方形的一组邻边长分别增加2和减少2，得到一个长方形，记该长方形的面积为． （1）求（用含的代数式表示，需化简）； （2）小丽说无论为何正数，与的差都不变，你同意她的意见吗？为什么？ 21. 阅读与思考 下面是小朋同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应任务． ×年×月×日 星期日 晴 巧用中线构造全等数学问题 数学课上，老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，，求边的取值范围． 解决问题： 我通过小组交流，得到了如下解决方法： 如图2，延长至点，使，连接． 因为是边上的中线，所以． 在和中， 因为，，， 所以．所以． 在中，根据三边关系…… 感悟： 题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以通过倍长中线构造全等三角形，从而将已知线段和角进行转化． 任务： （1）小朋判断的依据是_______________； （2）若按小朋的思路继续推理计算，容易得到边的取值范围是________________________； （3）迁移应用：如图3，在中，，，延长到，使，作交的延长线于点，连接．求的取值范围． 22. 我们曾用数形结合的方法在数轴上找到一些表示无理数的点，如图1，依次连接方格四边的中点，，，得到一个阴影正方形．每一个小方格的边长为1． 【基础尝试】 （1）图1得到的阴影正方形的面积为_____，它的边长就是小方格的对角线长，则小方格对角线长是_____，由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法； 【画图探究】 （2）如图2，以1个单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于，两点，则点表示的数为___________，其绝对值为___________，点表示的数为___________，其相反数为___________； 【问题解决】 （3）如图3中的网格是由9个边长为1的小方格组成． ①画出面积是5的正方形，使它的顶点在网络的格点上； ②请借鉴（2）中的方法在数轴上找到一点，使它表示实数．（不写作法，只保留作图痕迹并标出必要线段长） 23. 如图，是经过顶点的一条直线，、分别是直线上两点，且，． （1）若直线经过的内部，且、在射线上． 【观察猜想】①如图1，若，则、、之间的数量关系是__________； 【类比探究】②如图2，若时，（1）中的结论仍然成立，求的度数； （2）若直线经过的外部． 【拓展提升】如图3，若，直接写出、、三条线段的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $