专题02 二次函数（5大考点）（期末真题汇编，江西专用）九年级数学上学期人教版

专题02 二次函数 5大高频考点概览 考点01 二次函数与其他函数图象共存问题 考点02 二次函数中字母系数问题 考点03 二次函数的图象和性质综合问题 考点04 二次函数中求图象面积问题 考点05 利用二次函数解决实际问题 地 城 考点01 二次函数与其他函数图象共存问题 1．(24-25九上·江西吉安青原区·期末)函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据得知二次函数与轴的交点为，从而可以排除B、C选项，再根据的取值即可得出答案 【详解】解：二次函数的解析式为， 二次函数与轴的交点为， 故B、C选项错误，不符合题意； 当时，反比例函数的图象经过一、三象限，二次函数开口向上，故A选项错误，不符合题意； 当时，反比例函数的图象经过二、四象限，二次函数开口向下，故D选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与二次函数图象的综合判断，熟练掌握图象与系数的关系，采用数形结合的思想解题，是解题的关键． 2．(23-24九上·江西宜春高安·期末)已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象与系数的关系，由二次函数图象判定系数大小、由系数正负决定一次函数与反比例函数的图象，牢记各函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：由二次函数的图象开口向下 对称轴在轴左侧，由左同右异得 函数图象与轴交点位于轴正半轴 则反比例函数的图象位于一、三象限 一次函数图象的图象位于二、三、四象限 所以选项符合题意． 故选：． 地 城 考点02 二次函数中字母系数问题 1．(24-25九上·江西吉安万安县·期末)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（    ） A．a＞0 B．a＋b＝3 C．抛物线经过点（－1，0） D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根 【答案】C 【分析】根据抛物线的图像与性质，根据各个选项的描述逐项判定即可得出结论． 【详解】解：A、根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧可知，该说法正确，故该选项不符合题意； B、由抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3）可知，解得，该说法正确，故该选项不符合题意； C、由抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0），对称轴在y轴的左侧，则抛物线不经过（－1，0），该说法错误，故该选项符合题意； D、关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1根的情况，可以转化为抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与直线的交点情况，根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），，结合抛物线开口向上，且对称轴在y轴的左侧可知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与直线的有两个不同的交点，该说法正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，涉及到开口方向的判定、二次函数系数之间的关系、方程的根与函数图像交点的关系等知识点，根据题中条件得到抛物线草图是解决问题的关键． 2．(24-25九上·江西吉安安福县·期末)二次函数的图象如图所示，其对称轴，有以下结论：①，；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象与系数符号的关系，对称轴的计算方法，图象与x轴交点的意义，根与系数的关系等知识的综合运用是解题的关键．由抛物线开口向下得到，然后利用抛物线与轴的交点可得到、的符号，可以对①进行判断；利用时，可以对②进行判断；利用判别式的意义和抛物线与轴有2个交点可以对③进行判断；利用抛物线的对称轴方程得到，加上时，，即，可以对④进行判断． 【详解】解：抛物线开口向下，抛物线与轴交于正半轴， ，， 故①正确； 由函数图象可得，对称轴为, 是的对称点， 根据图象可知当时，， ， 故②错误； 抛物线与轴有2个交点， ， ， 故③正确； 抛物线的对称轴为直线， ， 当时，， 即， ， 故④正确； 故选：C． 3．(24-25九上·江西吉安·期末)二次函数的图象经过，对称轴是直线，给出下列说法中：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，根据图象的开口可确定，再结合对称轴，可确定，根据图象与轴的交点位置，可确定，根据图象与轴的交点个数可确定，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质、以及二次函数的图象的特点． 【详解】解：∵图象开口向下， ∴ ， ∵抛物线对称轴， ∴， ∴，， ∵抛物线交轴正半轴， ∴， ∴，故正确； ∵当时，， ∴，故正确； ∵图象和轴交于两点， ∴，故正确； ∵对称轴是直线，且二次函数的图象经过， ∴二次函数的图象经过， ∴当时，，故正确； 所以正确的序号是，共5个． 故选：D 4．(24-25九上·江西赣州大余县·期末)已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据抛物线的顶点公式可得，结合，，由此可判断①；由二次函数的增减性可判断②；用a表示b、c的值，再解方程即可判断③，由平移法则即可判断④． 【详解】解：根据题意可得：， ， ， 即， ， ， 的值可正也可负， 不能确定的正负；故①错误； ， 抛物线开口向下，且关于直线对称， 当时，随的增大而减小；故②正确； ， 抛物线为， ， ，故③正确； 抛物线， 将向左平移1个单位得：， 抛物线是由抛物线向左平移1个单位得到的，故④错误； 正确的有②③， 故选：B． 5．(23-24九上·江西九江都昌县·期末)如图，已知抛物线的部分图像如图所示，则下列结论： ①；②关于x的一元二次方程的根是；③；④y的最大值． 其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用抛物线开口方向、对称轴以及图像与y轴交点位置可以判定①；根据抛物线的对称性可以得知与x轴的另一个交点坐标，于是可以判定②；利用的函数值与对称轴可以判定③④；于是可以得出答案． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线与y轴的交点在x轴上方， ， ， 故①正确； 抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， 抛物线与x轴另一个交点为， 关于x的一元二次方程的根是； 故②正确； 当时，， ， ， 即， 即， 故③正确； 当时，函数有最大值， ， 故④正确； 故正确的结论有①②③④共4个； 故选：D． 【点睛】此题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与性质、二次函数与一元二次方程的关系是解答此题的关键． 6．(24-25九上·江西赣州章贡区·期末)如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣ ，结合图象分析下列结论： ①abc＞0； ②3a+c＞0； ③当x＜0时，y随x的增大而增大； ④＜0； ⑤若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2． 其中正确的结论有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及过特殊点时相应a、b、c之间的关系，进行综合判断即可． 【详解】解：由抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣可得， 9a﹣3b+c＝0，﹣＝﹣，即a＝b，与x轴的另一个交点为（2，0），4a+2b+c＝0， 抛物线开口向下，a＜0，b＜0， 抛物线与y轴交于正半轴，因此c＞0， 所以，abc＞0，因此①正确； 由9a﹣3b+c＝0，而a＝b， 所以6a+c＝0，又a＜0， 因此3a+c＞0，所以②正确； 抛物线的对称轴为x＝﹣，a＜0，因此当x＜﹣时，y随x的增大而增大， 所以③不正确； 由于抛物线的顶点在第二象限，所以＞0，因此＜0，故④正确； 抛物线与x轴的交点为（﹣3，0）（2，0）， 因此当y＝﹣3时，相应的x的值应在（﹣3，0）的左侧和（2，0）的右侧， 因此m＜﹣3，n＞2，所以⑤正确； 综上所述，正确的结论有：①②④⑤， 故选：B． 7．(24-25九上·江西赣州寻乌县·期末)如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图，下列结论：①；②方程的两个根是，；③；④当时，的取值范围是；⑤当时，随增大而增大．其中正确结论的序号是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象和性质是解答关键． 利用抛物线与轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的一个交点坐标为，则可对②进行判断；由对称轴方程得到，然后根据时函数值为可得到对③进行判断；根据抛物线在轴的两个交点坐标来对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断． 【详解】解：抛物线与轴有两个交点， ， ∴，故正确； 抛物线的对称轴为直线， 而点关于直线的对称点的坐标是， 方程的两个根是，，故正确； ∵抛物线对称轴为直线， 即． 而当时，， 即， ， 即，故错误； 抛物线与的两个交点为、， 当时，的取值范围是，故错误； 抛物线的对称轴为，抛物线开口向下， 当时，随增大而增大，故正确. 综上所述，正确的有． 故答案为：． 地 城 考点03 二次函数的图象和性质综合问题 1．(24-25九上·江西吉安峡江县·期末)如图所示，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，过点作轴交抛物线的对称轴于点，连接，已知点的坐标为．求该抛物线的函数解析式． 【答案】 【分析】此题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，将A坐标代入抛物线解析式，求出a的值，即可确定出解析式． 【详解】解：将代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． 2．(24-25九上·江西赣州上犹县·期末)如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，与轴其中一个交点坐标为． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，请结合图象直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析、二次函数的性质、确定x的取值范围等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先根据二次函数图像得求得抛物线与x轴的交点坐标，然后结合函数图象即可确定的取值范围． 【详解】（1）解：该抛物线的顶点坐标为， 设该二次函数表达式为 将，代入得：；即 将代入得：． （2）解：∵二次函数的解析式， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵与轴其中一个交点坐标为． ∴与轴其中一个交点坐标为． 由函数图象可得当时，的取值范围为． 3．(24-25九上·江西吉安安福县·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线与x轴的正半轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在第二象限的抛物线上，且与面积相等，求D点坐标； (3)若P为线段上一点，，求的长； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查待定系数法，函数图图象与坐标轴的交点，相似三角形的判断及性质． （1）在直线中，令，则，得到点B的坐标为，采用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）在中，令，得到，，因此点A的坐标为，，根据与面积相等，得到D到x轴的距离为4，将代入，即可解答； （3）由， ，得到，根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：在直线中，令，则， ∴点B的坐标为， ∵抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：在中，令，则， 解得，， ∴点A的坐标为， ∴， ∵与面积相等， ∴D到x轴的距离为4， 将代入，得， 解得， ∴点D坐标； （3）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∵，且， ∴， ∴，即， ∴； 4．(23-24九上·江西吉安峡江县·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线与x轴的正半轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在第二象限的抛物线上，且与面积相等，求D点坐标； (3)若P为线段上一点，，求的长； (4)在（3）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)存在，、、 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可； （2）易求的面积为6，，故D到x轴的距离为4，把代入即可得，即可得到点D坐标； （3）求出，，，利用相似三角形的性质求解即可； （4）分两种情况：①为平行四边形的边时，点的横坐标可以为，求出点的坐标即可；②当为平行四边形的对角线时，点的横坐标为，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：令直线中，则， ∴点B的坐标为， 抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：令中，则，， ∴点A的坐标为， ∴， ∵与面积相等， ∴D到x轴的距离为4， 将代入，得， ∴点D坐标； （3）解：令，则， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴，，， ∴， ∵，且， ∴， ∴，即， ∴； （4）解：存在， 过作轴于， ∵，，， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴点的坐标为， 当在的上方时，过点作轴于点，如图： ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 当时，， ∴点N的坐标， 当在的下方时，过点作轴于点，如图： 同理可得：， ∴， 当时，， ∴点N的坐标， 当为平行四边形的对角线时，点的横坐标为， ∴， 综上，点N的坐标为或或． 5．(24-25九上·江西赣州瑞金·期末)在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点是． (1)有下列结论，其中正确的是__________．填写序号 ①抛物线的对称轴为直线； ②； ③； ④当时，随的增大而增大． (2)若抛物线的顶点在直线上． ①求抛物线的解析式： ②若直线分别与抛物线，抛物线相交，交点自左向右依次为，求的值 【答案】(1)①③ (2)①抛物线的解析式为②，详见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数与一元二次方程的联系，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键， （1）根据二次函数的性质逐一判断即可； （2）①运用待定系数法求函数解析式即可；设点的横坐标分别为，则有，令，得，则有，，得，它对应的两个根应为，代入即可解题， 【详解】（1）解：①抛物线的对称轴为直线，故①正确，符合题意； ②对称轴为直线，则，故②错误，不符合题意； ③把，代入得到，则，故③正确，符合题意； ④开口方向不确定，故增减性无法确定，故错误，不符合题意； 故答案为：①③； （2）解：①由题意知，，即， 当时，，， ，即，解得， ， 抛物线的解析式为， ②，理由：设点的横坐标分别为， ，， ， ， 如图所示， 令，得，它对应的两个根应为：， ， 令，得，它对应的两个根应为 ， ． 6．(24-25九上·江西赣州大余县·期末)如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．      (1)求该抛物线的表达式； (2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值； (3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，进而得到的最小值为的长，利用两点间距离公式进行求解即可； （3）分，，分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴，解得：， ∴； （2）∵， ∴， 设直线， 则：，解得：， ∴， 当时，， ∴； 作点关于轴的对称点，连接， 则：，， ∴当三点共线时，有最小值为的长，      ∵，， ∴， 即：的最小值为：； （3）解：存在； ∵， ∴对称轴为直线， 设，， 当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时： ①为对角线时：，      ∴， 当时，， ∴， ∴； ②当为对角线时：，      ∴， 当时，， ∴， ∴； ③当为对角线时：，      ∴， 当时，， ∴， ∴； 综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或． 7．(24-25九上·江西吉安遂川泉江中学·期末)定义：如果两个二次函数的图像的开口大小相同，方向相反且顶点的横、纵坐标都互为相反数，则称其中一个二次函数为另一个二次函数的伴随函数．如与互为伴随函数． (1)的伴随函数的表达式为 ； (2)若的图像的顶点为，且过它的伴随函数的图像顶点． 求证：这两个函数图像的交点为； 如图，点是在之间的图像的动点，轴交的图像于点，求长度的最大值． 【答案】(1)； (2)详见解析；最大值为． 【分析】（）根据“伴随函数”的定义和二次函数的定义即可求解； （）由，则顶点，求出它的伴随抛物线解析式为，然后当时，，则点在图象上，当时，，从而求证； 设，则， 故有，然后根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴顶点为， ∴伴随抛物线的顶点为， ∴伴随抛物线的解析式为； （2）证明：∵， ∴顶点， ∴它的伴随抛物线的顶点为， ∴， 当时，， ∴点在图象上， 当时，， ∴点在图象上， ∴这两个函数图像的交点为，； 解：由可知：，，，， 设， ∵轴交的图像于点， ∴， ∴， ∵点在，之间， ∴， 当时，值最大，最大值为． 8．(24-25九上·江西赣州安远县·期末)抛物线：（其中）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）． (1)①填空：当时，点A的坐标为______，点B的坐标为______；当时，点A的坐标为______，点B的坐标为______； ②随t值的变化，抛物线是否会经过某一个定点，若会，请求出该定点的坐标；若不会，请说明理由； (2)若将抛物线经过适当平移后，得到抛物线：，A，B的对应点分别为，，求抛物线的解析式； (3)设抛物线的顶点为P，当，为直角三角形时，求方程的根______． 【答案】(1)①， ；，；②会经过定点 (2)或 (3)， 【分析】（1）①分别把，代入函数解析式，再令，再建立方程求解即可；②把函数化为，从而可得答案； （2）根据平移的性质可得，再求解即可得到答案； （3）求解顶点P的坐标，如图，当为直角三角形时，结合抛物线的性质可得：为等腰直角三角形，可得，，，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①当时，函数为， 当时，， 解得：，， ∴， 当时，函数为， 当时，， 解得：，， ∴，， ② 当时，， ∴抛物线会经过定点； （2），解得， ∴ ∵A，B的对应点分别为， ∴ ∴   ∴， ∴抛物线的解析式为：或 （3）方程的根， ∵ ∴顶点P的坐标，如图， 当为直角三角形时，结合抛物线的性质可得：为等腰直角三角形， ，，， ∴， 解得，，， ∵且， ∴， ∴， 解得，． 地 城 考点04 二次函数中求图象面积问题 1．(24-25九上·江西赣州瑞金·期末)如图，二次函数的图象与轴交于点（点在点左侧），点坐标为，对称轴为直线，顶点为，连接． (1)求点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)，； (2)8 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征及抛物线与x轴交点，能根据点A坐标及抛物线的对称轴求出抛物线的函数解析式是解题的关键． （1）根据点A坐标和对称轴，可求出抛物线的函数解析式，进而可解决问题． （2）由，，得出，再结合以及面积公式列式计算，即可解决问题． 【详解】（1）解：将A点坐标代入函数解析式得， ， 又因为抛物线的对称轴为直线， 所以②． 由①②解得， ，． ∴抛物线的解析式为． 令得，， 解得，． ∴B点坐标为． 将代入函数解析式得， ， ∴C点坐标为． （2）解：∵，， ∴， 又因为点C坐标为， ∴． 2．(24-25九上·江西赣州章贡区第三中学·期末)如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象分别经过点A(1，0)，B(0，3)， (1)求该函数的解析式； (2)在抛物线上是否存在一点P，使△APO的面积等于4?若存在，求出点P的坐标若不存在，说明理由．    【答案】（1）y=x2-4x+3；（2）P（5，8）或P（-1，8）． 【分析】（1）分别将A、B的坐标代入二次函数解析式，构成二元一次方程组，解出b、c的值，进而得出二次函数的解析式； （2）设P（a，b），根据△APO的面积等于4可以计算出b的值，然后再利用二次函数解析式计算出a的值即可得到P点坐标． 【详解】解：（1）分别将A、B点的坐标代入函数解析式， 得出二元一次方程组，解得 所以，该二次函数的解析式为y=x2-4x+3； （2）设P（a，b）， ∵△APO的面积等于4， ∴OA•|b|=4， ∵OA=1， 解得：b=±8， 当b=8时，a2-4a+3=8， 解得：a=5或-1， ∴P（5，8）或（-1，8）； 当b=-8时，a2-4a+3=-8， ∵△=16-4×1×11＜0， ∴不存在这样的P点； 故P（5，8）或（-1，8）． 3．(24-25九上·江西吉安·期末)如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)如图1，当点P的坐标为时，求的面积． (3)如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点F，使是直角三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)6 (3)或或或 【分析】对于（1），用待定系数法求出关系式即可； 对于（2），先求出直线的关系式，再作轴交于点G，可得点G，再求出面积即可； 对于（3），设点F的坐标，再表示出，，，然后分三种情况讨论，再根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）将点，代入，得 ， 解得， 所以函数关系式为； （2）当时，， ∴． 设直线的关系式为， 将代入，得 ， 解得， 所以直线的关系式为． 过点P作交于点G，如图所示． ∵， ∴， ∴； （3）存在点F，使使直角三角形，理由如下： ∵， ∴抛物线得对称轴为直线． 设， ∴，，． 当时，， 解得， ∴或； 当时， ， 解得， ∴； 当时， ， 解得， ∴． 综上所述，点F的坐标为或或或． 4．(23-24九上·江西永修县县城片区·期末)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点C（0，－3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点． （1）求二次函数解析式； （2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形．是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积． 【答案】（1）；（2）存在这样的点，此时P点的坐标为（，）；（3）P点的坐标为(，−)，四边形ABPC的面积的最大值为． 【分析】（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值； （2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标； （3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标． 【详解】（1）将B、C两点的坐标代入，得 ， 解得． ∴二次函数的解析式为． （2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；． 设P点坐标为（x，x2-2x-3），PP′交CO于E． 若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；． 连接PP′，则PE⊥CO于E， ． ∵C（0，-3）， ∴CO=3， 又∵OE=EC， ∴OE=EC=． ∴y=−； ∴x2-2x-3=−， 解得（不合题意，舍去）． ∴存在这样的点，此时P点的坐标为（，）． （3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2-2x-3）， 设直线BC的解析式为：y=kx+d， 则， 解得： ． ∴直线BC的解析式为y=x-3， 则Q点的坐标为（x，x-3）； 当0=x2-2x-3， 解得：x1=-1，x2=3， ∴AO=1，AB=4， S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ． =AB•OC+QP•BF+QP•OF． =×4×3+ (−x2+3x)×3． =− (x−)2+． 当x＝时，四边形ABPC的面积最大． 此时P点的坐标为(，−)，四边形ABPC的面积的最大值为． 5．(24-25九上·江西吉安万安县·期末)如图1，在矩形中，为的中点，点沿折线运动，以为边作正方形，设点运动的路线为，在运动过程中正方形的面积为． 初步感知： （1）当点在上运动时，若，则______；关于的函数关系式为______． （2）当点在上运动时，经探究发现，是关于的二次函数，请求出关于的函数解析式． 延伸探究： （3）图2为点在运动过程中关于的函数关系图象，请结合图象信息解决如下问题： ①当点运动到的延长线过点时，______，______；若图象上点和点的横坐标分别为和，根据点的运动过程可知，当时，点的坐标为______． ②点在上运动的过程中，是否存在点的两个位置，（均为整数），使得对应的，满足？如果存在，求出，的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）3，；（2）；（3）①4或6，8或20；，②存在， 【分析】本题考查点的运动和画函数图象，相似三角形的判定和性质，勾股定理，能利用分类讨论是解题的关键． （1）根据正方形的面积公式得到函数关系式，代入自变量的值即可解题； （2）利用勾股定理解题即可； （3）①利用得到，进而得到方程解题即可； ②运用分类讨论，利用方程解题即可． 【详解】解：（1）当点在上运动时，， 当时，， 故答案为：3，； （2）当点在上时，即当时， ． ． ， 当时，关于的函数解析式为． （3）①解：如图，当运动到的延长线过点时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或， 当时，； 当时，； 由图可知，点的横坐标为， 又∵， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：4或6；8或20；； ②当点在上运动时，． ①当时，． ． 解方程，得（负值舍去）， 不是整数， 这种情况不存在． ②当时，． ． 解方程，得（负值舍去）． ，符合题意． ③当时，． ， 解方程，得（负值舍去）． 不是整数， 这种情况不存在． ④当时，． ． 解方程，得（负值舍去）． ，且不是整数，舍去． 综上所述，当时，． 6．(24-25九上·江西赣州龙南·期末)如图（1），在菱形中，，点在边上，且．点是上一个动点，以为边在的左侧作正方形；设，正方形的面积为，是关于的函数图象是抛物线如图（2）所示． (1)的长为 ，自变量的取值范围是 ； (2)求关于的函数解析式； (3)当正方形的面积为时，试判断点是否落在上？并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)当时，点在上；当时，点不在上，见解析． 【分析】（）由图象可知，当取最大值时，此时点和点重合，正方形的面积为，求出正方形边长，从而求出的长，根据解直角三角形即可求出自变量的取值范围； （）当时，最小，即正方形的面积最小，求出函数的顶点，然后利用待定系数法即可求解； （）过点作的垂线，当正方形的面积为时，解得，，然后分别代入即可求解； 本题考查了二次函数的应用和解直角三角形，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由图象可知，当取最大值时，此时点和点重合，正方形的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴自变量的取值范围为， 故答案为：，； （2）解：当时，最小，即正方形的面积最小， ∵，， 此时，， 由（）可知， ∴此时， ∴时，正方形的面积为， ∴点是函数的顶点， ∴可设函数解析式为， 又点在函数图象上，即，解得， ∴关于的函数解析式； （3）解：当正方形的面积为时，解得，， 如解图，过点作的垂线， 由（）得，， 当时，， ∴， ∴， 由正方形的对称性可知，此时点在上； 当时，正方形在上方，此时点不在上， ∴当时，点在上；当时，点不在上． 7．(23-24九上·江西赣州石城县·期末)已知二次函数、为常数的图象与轴交于点，两点，与轴的正半轴交于点，过点的直线与轴交于点． (1)求此二次函数的解析式； (2)如图，点是二次函数图象在第一象限内的一个动点，试探究的面积是否存在最大值，若存在，请求出点此时点的坐标，并求出最大面积；若不存在，请说明理由． (3)如图，点是二次函数图象上轴右侧上一动点，过点作于点， 轴交直线于点，是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当点P位于直线的右侧时，有最大值，此时 (3)存在，或 【分析】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，全等三角形的性质是解题的关键． （1）将，代入，即可求解； （2）设，则，，且，分情况：①当点P位于直线的右侧时，则；②当点P位于直线的左侧及其上时，则，分别化简求得对应的二次函数最值，综合求得最大值即可； （3）由题意可得，设，则，再由点在直线上，即可求的值，进而确定点的坐标． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ； （2）解：的面积存在最大值；理由如下： 设，则， ， 令，则，解得， ， ①当点P位于直线的右侧时，如图，过点作轴交直线于点， 则 ， 当时，有最大值，此时； ②当点P位于直线的左侧及其上时，如图，过点作轴交直线于点， 则 ， ∵点是二次函数图象在第一象限内的一个动点，且位于直线的左侧及其上， ∴， 当时，有最大值，此时； 综上所述，当点P位于直线的右侧时，有最大值，此时； （3）解：存在点，使得，理由如下： 如图2， ， ， 轴， ， ， ， ，， ， ， 设， ∵在右侧， 则， 点在直线上， ， 解得：或， 或； 综上，的坐标为或． 地 城 考点05 利用二次函数解决实际问题 1．(24-25九上·江西赣州瑞金·期末)如图，是一个抛物线形拱桥，以拱顶O为坐标原点建立平面直角坐标系，当拱顶O离水面的高时，水面宽． (1)求该抛物线表示的二次函数解析式； (2)当水面下降到达时，求水面宽度增加多少？ 【答案】(1) (2)水面宽度增加 【分析】（1）先求出，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求出，进而求出，．得到，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：设该抛物线表示的二次函数解析式为， ∵， ∴抛物线经过点． ∴． ∴． ∴该抛物线表示的二次函数解析式为． （2）解：∵当水面下降到达时， ∴．即． ∴． ∴，． ∴． ∴水面宽度增加． 2．(24-25九上·江西赣州南康区·期末)某服装厂生产一批服装，2022年该服装的出厂价是300元/件，2023年、2024年连续两年改进技术降低成本，2024年该服装的出厂价调整为243元/件． (1)若这两年此类服装的出厂价下降的百分率相同，求平均下降率； (2)2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以300元/件销售时，平均每天可销售10件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出2件，如果该商场想每天盈利1920元，那么单价应降低多少元？ 【答案】(1)平均下降率为 (2)单价应降低27元 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，正确列出方程是解题关键． （1）设平均下降率为x，然后根据题意可直接列方程求解； （2）设单价应降低m元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，然后根据题意可列方程，求解即可． 【详解】（1）设平均下降率为x， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：平均下降率为； （2）设单价应降低m元，则每件的销售利润为元，每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． ∵要减少库存， ∴． 答：单价应降低27元． 3．(24-25九上·江西赣州寻乌县·期末)某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为（如图），养殖场的总面积为． (1)求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围； (2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1) (2)当x为时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 【分析】本题考查了二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意可得，矩形养殖场的长为，矩形养殖场的宽为，从而养殖场的总面积为，再结合墙的长度为10，可得，进而可得自变量的取值范围； （2）依据题意，由，从而当时，随的增大而增大，又，进而由二次函数的性质可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，∵较小矩形的宽为，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形， ∴较大矩形的宽为． ∴矩形养殖场的长为，矩形养殖场的宽为． ∴养殖场的总面积为． ∵墙的长度为10米， ∴， ∴． ∴关于的函数关系式为． （2）解：由题意，∵， ∴当时，随的增大而增大． 又∵， ∴当时，取最大值，最大值为：． 答：当为时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 4．(24-25九上·江西赣州上犹县·期末)图1是喷水管从点向四周喷出水花的喷泉，喷出的水花是形状相同的抛物线．如图2，以点为原点，建立平面直角坐标系，水平方向为轴，所在直线为轴，点为水花的落水点在轴上，抛物线的解析式为． (1)求喷水管的高度； (2)现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离5米，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点2米处达到最高，求喷水管要升高多少？ 【答案】(1)m (2)m 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握并灵活应用二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入二次函数解析式，求得值即为水管的高度； （2）假设上升的高度为，将坐标代入解析式中，求出未知数即可． 【详解】（1）解：抛物线为， 令，则，， 喷水管的高度为m； （2）解：设喷水管的高度要升高m， 则抛物线的表达式为． 把代入得：． 解得：． 喷水管的高度要升高m． 5．(24-25九上·江西赣州大余县·期末)春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 40 50 售出电影票数量y（张） 164 124 (1)请求出y与x之间的函数关系式； (2)设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式； (3)该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2) (3)定价40元/张或41元/张时，每天获利最大，最大利润是4560元 【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． （1）根据题意和表格中的数据，可以计算出与之间的函数关系式； （2）根据利润票房收入运营成本和（1）中的结果，可以写出与之间的函数关系式； （3）将（2）中的函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质和的取值范围，可以求得该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大，最大利润是多少． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式是， 由表格可得，， 解得， 即与之间的函数关系式是，且是整数）； （2）由题意可得， ， 即与之间的函数关系式是； （3）由（2）知：， ，且是整数， 当或41时，取得最大值，此时， 答：该影院将电影票售价定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元． 6．(24-25九上·江西赣州章贡区·期末)如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的A处射门，已知球门高为2.44m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m．现以O为原点，如图建立平面直角坐标系． (1)求抛物线表示的二次函数解析式； (2)通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； (3)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向正后方移动 米射门，才能让足球经过点O正上方处． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3)1 【分析】（1）求出抛物线的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，用待定系数法即可求出抛物线表示的二次函数解析式； （2）当时，求出的值再与2.44比较，即可知球能不能射进球门； （3）设小明带球向正后方移动米，则可用含的式子表示移动后的抛物线解析式，把点代入求出得的值，即知当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处． 【详解】（1）， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线为， 把点代入得：， 解得， 抛物线的函数解析式为：； （2）当时，， 球不能射进球门． （3）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为：， 把点代入得：， 解得（舍去）或， 当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点正上方处． 故答案为：1． 7．(24-25九上·江西赣州石城县·期末)春联一般是用对仗工整、简洁精致的文字描绘美好形象，贴春联是人们对新年的美好愿望．春节临近，某商店发现商机，已知一种春联的成本价每副元，市场调查发现，春节期间，该种春联每天的销售量（副）与销售单价（元）．当售价为元时，一天能卖副，每涨价元，少卖1副．设这种春联每天的销售利润为元． (1)写出销售量与销售单价的函数关系式； (2)求销售利润与的函数关系式； (3)该种春联的销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)当销售单价为元时，每天销售利润最大，最大利润为元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用，掌握二次函数性质是解题的关键． （）根据题意列出函数关系式即可； （）根据题意列出函数关系式即可； （）根据函数关系式，然后根据二次函数的性质即可求解； 【详解】（1）解：∵当售价为元时，一天能卖副，每涨价元，少卖副， ∴， ∴销售量与销售单价的函数关系式为； （2）解：， ∴销售利润与的函数关系式为； （3）解：由（）得： ∴， ∵， ∴当销售单价元时，最大，最大利润（元）， 答：当销售单价为元时，每天销售利润最大，最大利润是元． 8．(24-25九上·江西赣州于都县·期末)如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：m）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长； (2)下边缘抛物线落地点B的坐标为______； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为______． 【答案】(1)喷出水的最大射程为 (2) (3) 【分析】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． （1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点B的坐标； （3）根据点坐标以及草坪宽度可得结论． 【详解】（1）解：由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ∴ ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得（舍去）， ∴喷出水的最大射程为； （2）解：∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴点B的坐标为， 故答案为：； （3）解：∵， ， ，， ，， ， ∴要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为， 故答案为：． 9．(23-24九上·江西赣州石城县·期末)小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的表达式． (2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 【答案】(1) (2)2或6m 【分析】（1）根据顶点，设抛物线的表达式为，将点，代入即可求解； （2）将代入（1）的解析式，求得的值，进而求与点的距离即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为， （2）由，令， 得， 解得， 爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m， 当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)． 10．(24-25九上·江西赣州兴国县第五中学·期末)0．如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线为x轴，铅垂线为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度从D点滑出，运动轨迹近似抛物线．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡上设置点K（与相距）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标． (1)求线段的函数表达式（写出x的取值范围）． (2)当时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标． (3)在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3． ①猜想a关于的函数类型，并用一个比较接近的函数关系式来表达它们的函数． ②当v为多少时，运动员的成绩恰能达标？ 【答案】(1) (2)的横坐标为22.5，成绩未达标 (3)①a与成反比例函数关系，；②当时，运动员的成绩恰能达标 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数与一次函数综合问题，解题的关键在于熟练掌握二次函数的性质，并能灵活运用二次函数与一次函数的性质解决问题． （1）根据图像得出点的坐标，直接利用待定系数法即可求出解析式； （2）将代入二次函数解析式，由解出x的值，比较即可得出结果； （3）由图像可知，a与成反比例函数关系，代入其中一个点即可求出解析式，根据CE的表达式求出K的坐标，代入即可求出a，再代入反比例函数即可求出v的值． 【详解】（1）解：由图2可知：， 设的解析式为：， 将代入，得： ，解得， ∴线段的函数表达式为． （2）当时，，由题意得， 解得（舍去），                             ∴的横坐标为22.5． ∵， ∴成绩未达标． （3）①猜想a与成反比例函数关系． ∴设 将代入得解得， ∴． 将代入，验证：， ∴； ②由K在线段上，得，代入得，得， 由得， 又∵， ∴， ∴当时，运动员的成绩恰能达标． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02二次函数 ☆5大高频考点概览 考点01二次函数与其他函数图象共存问题 考点02二次函数中宇母系数问题 考点03二次函数的图像和性质综合问题 考点04二次函数中求图象面积问题 考点05利用二次函数解决实际问题 目目 考点01 二次函数与其他函数图象共存问题 1.(24-25九上江西吉安青原区·期末)函数y=景(a≠0)与y=ax2-1(a≠0)在同一平面直角坐标系中 的图象可能是() B 2.(23-24九上江西宜春高安期末)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则反比例函 数y=与一次函数y=ax+b在同一平面直角坐标系内的图象可能是() 1/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点02 二次函数中字母系数问题 1.(24-25九上江西吉安万安县期末)已知抛物线y=a2+bx+c(a≠0)经过点(1,0)和点(0，一3)， 且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是() A.a>0 B.a+b=3 C.抛物线经过点(-1,0) D.关于x的一元二次方程x2+bx十c=一1有两个不相等的实数根 2.(24-25九上江西吉安安福县期末)二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，其对称轴x=1,有以 下结论：①a<0,c>0;②9a+3b+c>0;③4ac-b2<0:④3a+c<0.其中正确的个数为(） A.1 B.2 C.3 D.4 3.(24-25九上江西吉安期末)二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(3,0)，对称轴是直线x=1,给出 下列说法中：①abc<0:②a+b+c>0;③b2-4ac>0;④2a+b=0⑤当-1<x<3时， y>0.其中正确的个数有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2/14 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(24-25九上江西赣州大余县期末)已知抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a<0)的顶点为 (1,2.小烨同学得出以下结论：①abc0;②当x>1时，y随x的增大而减小；③若ax2+bx+c=0的 一个根为3，则a=一：④抛物线y=ax2+2是由抛物线y=ax2+bx十c向左平移1个单位，再向下 平移2个单位得到的.其中一定正确的是() A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 5.(23-24九上江西九江都昌县·期末)如图，己知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图像如图所示， 则下列结论： ①abc<0;②关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是-1,3；③a+2b=c;④y的最大值=号c 其中正确的有()个. A.1 B.2 C.3 D.4 6.(24-25九上江西赣州章贡区·期末)如图，抛物线y=a2+bx+c(a0)与x轴交于点(-3,0)，其对称 轴为直线x=-寺，结合图象分析下列结论： ①abc>0: ②3a+c>0: ③当x<0时，y随x的增大而增大； ④b<0: ⑤若m,n(m<n)为方程a(x+3)(x-2)+3=0的两个根，则m<-3且n>2. 其中正确的结论有() 3/14 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 VA X=- 2 A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 7.(24-25九上江西赣州寻乌县期末)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x 轴的一个交点坐标为(-1,0)，其部分图象如图，下列结论：①4ac<b2;②方程ax2+bx+c=0的两 个根是x1=-1,x2=3;③3a+c<0;④当y>0时，x的取值范围是-1≤x<3;⑤当x<0时，y 随x增大而增大.其中正确结论的序号是 目目 考点03 二次函数的图象和性质综合问题 1.(2425九上江西吉安峡江县期末)如图所示，抛物线y=a(x一1)2+4与x轴交于点A,B,与y轴交 于点C,过点C作CDIx轴交抛物线的对称轴于点D,连接BD,已知点A的坐标为（一1,0）.求该抛物线的 函数解析式。 2.(24-25九上江西赣州上犹县期末)如图，己知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点坐标为 (1,-4),与x轴其中一个交点坐标为(3,0). 4/14 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (1)求该二次函数的解析式： (2)当y≤0时，请结合图象直接写出x的取值范围. 3.(24-25九上江西吉安安福县期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+3分别交x轴，y轴 于A,B两点，经过A,B两点的抛物线y=一x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C(1,0). (1)求抛物线的解析式： (2)点D在第二象限的抛物线上，且△AOD与△ABC面积相等，求D点坐标； (3)若P为线段AB上一点，∠APO=∠ACB,求AP的长； 4.(23-24九上江西吉安峡江县·期末)如图，在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+3分别交x轴，y轴 于A,B两点，经过A,B两点的抛物线y=一x2+bx+C与x轴的正半轴相交于点C(1,0). A B (1)求抛物线的解析式： 5/14 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)点D在第二象限的抛物线上，且△AOD与△ABC面积相等，求D点坐标： (3)若P为线段AB上一点，∠AP0=∠ACB,求AP的长 (4)在(3)的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N,使得以A,P,M,N为顶点的 四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由。 5.(2425九上江西赣州瑞金期末)在平面直角坐标系中，抛物线C2:y:=ax2+bx+C与x轴的交点是 (-1,0),(3,0). (1)有下列结论，其中正确的是 填写序号 ①抛物线的对称轴为直线x=1; ②2a-b=0: ③9a+3b=a-b: ④当x<1时，y随x的增大而增大. (2)若抛物线C1的顶点在直线y2=-x+C上. ①求抛物线C1的解析式： ②若直线y=m(m>0)分别与抛物线C1,抛物线C2:y=2(x-专)相交，交点自左向右依次为 AB,C,D,求CD-AB的值 6.(24-25九上江西赣州大余县·期末)如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A-1,0),C0,3)两点，并交x 轴于另一点B,点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D. D 备用图 (1)求该抛物线的表达式： (2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH,DH,求MH+DH的最小值； (3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q,使得以D,M,P,Q为顶点的四边形是平行四 边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 7.(2425九上江西吉安遂川泉江中学期末)定义：如果两个二次函数的图像的开口大小相同，方向相反且 顶点的横、纵坐标都互为相反数，则称其中一个二次函数为另一个二次函数的伴随函数.如 6/14 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=(x+2)2-1与y=-(x-2)2+1互为伴随函数. y=+2x-1 yh y=(x-h)2+k (1)y=-2x2-4x的伴随函数的表达式为_： (②)若=2+2X-1的图像的顶点为P,且过它的伴随函数y2=-(x-h)+k的图像顶点Q。 ①求证：这两个函数图像的交点为P、Q; ③如图，点M是y,=2+2x-1在P,Q之间的图像的动点，MN1x轴交y2=-(x-h2+k的图像于 点N,求MN长度的最大值. 8.(24-25九上江西赣州安远县期末)抛物线C1:y:=x2-4-2t(x-2)(其中t≠2)与x轴交于A, B两点（点A在点B的左侧）. 备用图 (1)①填空：当t=-2时，点A的坐标为 点B的坐标为；当t=3时，点A的坐标为 点B的坐标为： ②随t值的变化，抛物线C1是否会经过某一个定点，若会，请求出该定点的坐标；若不会，请说明理由； (2)若将抛物线C1经过适当平移后，得到抛物线C2:y,=(x一t)2+t-1,4,B的对应点分别为 D(m,n),E(m+4,n),求抛物线C2的解析式； (3)设抛物线C1的顶点为P,当t>1,△APB为直角三角形时，求方程x2-4-2t(x-2)=0(t≠2) 的根 7/14 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点04 二次函数中求图象面积问题 1.(24-25九上江西赣州瑞金期末)如图，二次函数y=x2+bx+3的图象与x轴交于点AB(点B在点A 左侧)，A点坐标为(3,0)，对称轴为直线x=1,顶点为C,连接AC,BC. (1)求点B,C的坐标； (2)求△ABC的面积. 2.(24-25九上江西赣州章贡区第三中学期末)如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象分别经过点A(1,0), B(0,3), (1)求该函数的解析式： (2)在抛物线上是否存在一点P,使△APO的面积等于4？若存在，求出点P的坐标若不存在，说明理由. 3.(24-25九上江西吉安期末)如图，已知抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A一2,0)、B(6,0)两点，与 y轴交于C点， C 图1 图2 图3 (1)求该抛物线的函数表达式. (2)如图1，当点P的坐标为2，-4)时，求△BCP的面积. 8/14 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点F,使△BCF是直角三角形？若存在，请求出点F的坐标；若 不存在，请说明理由。 4.(23-24九上·江西永修县县城片区·期末)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx十c的图象与 x轴交于A、B两点，B点的坐标为3，O),与y轴交于点C(O,一3)，点P是直线BC下方抛物线上的一 个动点. (1)求二次函数解析式； (2)连接PO,PC,并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP'C.是否存在点P,使四边形P0P'C为菱形？ 若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面 积. 5.(24-25九上江西吉安万安县·期末)如图1，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,E为AB的中点，点P沿 折线E一A一D运动，以EP为边作正方形EPFG,设点P运动的路线为x,在运动过程中正方形EPFG的 面积为y. 初步感知： (1)当点P在AE上运动时，若x=V3,则y= ;y关于x的函数关系式为 (2)当点P在AD上运动时，经探究发现，y是关于x的二次函数，请求出y关于x的函数解析式， 延伸探究： (3)图2为点P在运动过程中y关于x的函数关系图象，请结合图象信息解决如下问题： ①当点P运动到FP的延长线过点C时，X=,y= ;若图象上点M和点N的横坐标分别为n和 m,根据点P的运动过程可知，当n一m=4时，点M的坐标为 ②点P在AD上运动的过程中，是否存在点P的两个位置x1,x2(均为整数)，使得对应的y1,Y2满足 y2=4y?如果存在，求出x1,X2的值：如果不存在，请说明理由. 9/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M D Om n 图1 图2 6.(24-25九上江西赣州龙南期末)如图(1)，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E在边AB上，且 BE=2AE.点P是BD上一个动点，以PE为边在PE的左侧作正方形PEFG;设PD=x,正方形PEFG的 面积为V,V是关于x的函数图象是抛物线如图(2)所示 图(1) 图(2) (1)AB的长为-，自变量x的取值范围是-； (2)求y关于x的函数解析式： (3)当正方形PEFG的面积为6时，试判断点F是否落在BD上？并说明理由， 7.(23-24九上江西赣州石城县期末)已知二次函数y=ax2+bx十4(a≠0，a、b为常数)的图象与x轴交 于点A(-1,0),B(6,0)两点，与y轴的正半轴交于点C,过C点的直线y=-等x+4与x轴交于点D. B B 图 图2 (I)求此二次函数的解析式： (2)如图1，点P是二次函数图象在第一象限内的一个动点，试探究△CDP的面积是否存在最大值，若存在， 请求出点此时点P的坐标，并求出最大面积；若不存在，请说明理由 (3)如图2，点M是二次函数图象上y轴右侧上一动点，过点M作ME⊥CD于点E,MF‖x轴交直线CD于 点F,是否存在点M,使得△MEF兰△COD,若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理 10/14