专题07 二次函数（5大考点）（期末真题汇编，江西专用）九年级数学上学期北师大版

专题07 二次函数 5大高频考点概览 考点01 二次函数与其他函数图象共存问题 考点02 二次函数中字母系数问题 考点03 二次函数的图象和性质综合问题 考点04 二次函数中求图象面积问题 考点05 利用二次函数解决实际问题 地 城 考点01 二次函数与其他函数图象共存问题 1．(24-25九上·江西吉安青原区·期末)函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据得知二次函数与轴的交点为，从而可以排除B、C选项，再根据的取值即可得出答案 【详解】解：二次函数的解析式为， 二次函数与轴的交点为， 故B、C选项错误，不符合题意； 当时，反比例函数的图象经过一、三象限，二次函数开口向上，故A选项错误，不符合题意； 当时，反比例函数的图象经过二、四象限，二次函数开口向下，故D选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与二次函数图象的综合判断，熟练掌握图象与系数的关系，采用数形结合的思想解题，是解题的关键． 2．(23-24九上·江西宜春高安·期末)已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象与系数的关系，由二次函数图象判定系数大小、由系数正负决定一次函数与反比例函数的图象，牢记各函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：由二次函数的图象开口向下 对称轴在轴左侧，由左同右异得 函数图象与轴交点位于轴正半轴 则反比例函数的图象位于一、三象限 一次函数图象的图象位于二、三、四象限 所以选项符合题意． 故选：． 地 城 考点02 二次函数中字母系数问题 1．(24-25九上·江西吉安万安县·期末)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（    ） A．a＞0 B．a＋b＝3 C．抛物线经过点（－1，0） D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根 【答案】C 【分析】根据抛物线的图像与性质，根据各个选项的描述逐项判定即可得出结论． 【详解】解：A、根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧可知，该说法正确，故该选项不符合题意； B、由抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3）可知，解得，该说法正确，故该选项不符合题意； C、由抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0），对称轴在y轴的左侧，则抛物线不经过（－1，0），该说法错误，故该选项符合题意； D、关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1根的情况，可以转化为抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与直线的交点情况，根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），，结合抛物线开口向上，且对称轴在y轴的左侧可知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与直线的有两个不同的交点，该说法正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，涉及到开口方向的判定、二次函数系数之间的关系、方程的根与函数图像交点的关系等知识点，根据题中条件得到抛物线草图是解决问题的关键． 2．(24-25九上·江西吉安安福县·期末)二次函数的图象如图所示，其对称轴，有以下结论：①，；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象与系数符号的关系，对称轴的计算方法，图象与x轴交点的意义，根与系数的关系等知识的综合运用是解题的关键．由抛物线开口向下得到，然后利用抛物线与轴的交点可得到、的符号，可以对①进行判断；利用时，可以对②进行判断；利用判别式的意义和抛物线与轴有2个交点可以对③进行判断；利用抛物线的对称轴方程得到，加上时，，即，可以对④进行判断． 【详解】解：抛物线开口向下，抛物线与轴交于正半轴， ，， 故①正确； 由函数图象可得，对称轴为, 是的对称点， 根据图象可知当时，， ， 故②错误； 抛物线与轴有2个交点， ， ， 故③正确； 抛物线的对称轴为直线， ， 当时，， 即， ， 故④正确； 故选：C． 3．(24-25九上·江西吉安·期末)二次函数的图象经过，对称轴是直线，给出下列说法中：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，根据图象的开口可确定，再结合对称轴，可确定，根据图象与轴的交点位置，可确定，根据图象与轴的交点个数可确定，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质、以及二次函数的图象的特点． 【详解】解：∵图象开口向下， ∴ ， ∵抛物线对称轴， ∴， ∴，， ∵抛物线交轴正半轴， ∴， ∴，故正确； ∵当时，， ∴，故正确； ∵图象和轴交于两点， ∴，故正确； ∵对称轴是直线，且二次函数的图象经过， ∴二次函数的图象经过， ∴当时，，故正确； 所以正确的序号是，共5个． 故选：D 4．(24-25九上·江西吉安遂川泉江中学·期末)如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，，两点，若，则下列四个结论：；；；．正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的对称性，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性．根据二次函数的对称性，即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；由题意可知当时，即可判断③；根据抛物线与x轴有两个交点，即可判断④． 【详解】解：①∵对称轴为直线， ， ， ， 故①正确， ∵对称轴为直线， ， ， ， ， ， 故不正确； 由题意知，当时，， ， 故不正确， ∵抛物线与x轴有两个交点， ， 故正确， 故选：． 5．(23-24九上·江西九江都昌县·期末)如图，已知抛物线的部分图像如图所示，则下列结论： ①；②关于x的一元二次方程的根是；③；④y的最大值． 其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用抛物线开口方向、对称轴以及图像与y轴交点位置可以判定①；根据抛物线的对称性可以得知与x轴的另一个交点坐标，于是可以判定②；利用的函数值与对称轴可以判定③④；于是可以得出答案． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线与y轴的交点在x轴上方， ， ， 故①正确； 抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， 抛物线与x轴另一个交点为， 关于x的一元二次方程的根是； 故②正确； 当时，， ， ， 即， 即， 故③正确； 当时，函数有最大值， ， 故④正确； 故正确的结论有①②③④共4个； 故选：D． 【点睛】此题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与性质、二次函数与一元二次方程的关系是解答此题的关键． 6．(24-25九上·江西吉安峡江县·期末)在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出以下结论：①；②；③；④（为实数）；⑤．其中错误结论的是 ．（只填序号） 【答案】④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由抛物线的开口方向，与轴交点的位置可得，，再由对称轴为直线，得到，可判断①；当时，，可得，得到，可判断②；抛物线与轴的一个交点是，由二次函数的对称性可得与轴的另一个交点是，可判断③；当时，有最小值，可判断④；抛物线与轴有两个交点，可得，可判断⑤，即可得出结论． 【详解】解：由图象得，抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ，， 抛物线对称轴为直线， ， ， ，故①正确； 由图象得，当时，， ， ， ， ， ，故②正确； 由图象得，抛物线与轴的一个交点是，对称轴为直线， 由二次函数的对称性得，抛物线与轴的另一个交点是， 代入得，，故③正确； 由图象得，当时，有最小值， （为实数）， ，故④错误； 由图象得，抛物线与轴有两个交点， ，即，故⑤正确； 综上所述，其中错误结论的是④． 故答案为：④． 地 城 考点03 二次函数的图象和性质综合问题 1．(24-25九上·江西吉安峡江县·期末)如图所示，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，过点作轴交抛物线的对称轴于点，连接，已知点的坐标为．求该抛物线的函数解析式． 【答案】 【分析】此题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，将A坐标代入抛物线解析式，求出a的值，即可确定出解析式． 【详解】解：将代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． 2．(24-25九上·江西吉安遂川县·期末)在平面直角坐标系中，抛物线过点，且与直线的交点在轴上． (1)求抛物线的对称轴； (2)当一次函数值小于二次函数的值时，求自变量的取值范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴为 (2)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与不等式，求出抛物线的解析式是解答本题的关键． （1）根据抛物线过点，且与直线的交点在轴上，求出、的值，即可求出抛物线的解析式，进而可求出抛物线的对称轴； （2）根据（1）中求出的抛物线的解析式，画出一次函数与二次函数的图象，联立抛物线与一次函数的解析式，求出两个交点的坐标，再根据图象即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点， ，即， 直线与轴的交点为，抛物线与直线的交点在轴上， 抛物线过点， ，即， 联立， 解得， 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为：直线； （2）在同一坐标系，画出一次函数与二次函数的图象如下： 解方程组， 解得：或， 两个函数图象的交点坐标为， 在平面直角坐标系中，可直观看出，当一次函数小于二次函数的值时，自变量的取值范围为或． 3．(24-25九上·江西吉安安福县·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线与x轴的正半轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在第二象限的抛物线上，且与面积相等，求D点坐标； (3)若P为线段上一点，，求的长； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查待定系数法，函数图图象与坐标轴的交点，相似三角形的判断及性质． （1）在直线中，令，则，得到点B的坐标为，采用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）在中，令，得到，，因此点A的坐标为，，根据与面积相等，得到D到x轴的距离为4，将代入，即可解答； （3）由， ，得到，根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：在直线中，令，则， ∴点B的坐标为， ∵抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：在中，令，则， 解得，， ∴点A的坐标为， ∴， ∵与面积相等， ∴D到x轴的距离为4， 将代入，得， 解得， ∴点D坐标； （3）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∵，且， ∴， ∴，即， ∴； 4．(23-24九上·江西吉安峡江县·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线与x轴的正半轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在第二象限的抛物线上，且与面积相等，求D点坐标； (3)若P为线段上一点，，求的长； (4)在（3）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)存在，、、 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可； （2）易求的面积为6，，故D到x轴的距离为4，把代入即可得，即可得到点D坐标； （3）求出，，，利用相似三角形的性质求解即可； （4）分两种情况：①为平行四边形的边时，点的横坐标可以为，求出点的坐标即可；②当为平行四边形的对角线时，点的横坐标为，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：令直线中，则， ∴点B的坐标为， 抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：令中，则，， ∴点A的坐标为， ∴， ∵与面积相等， ∴D到x轴的距离为4， 将代入，得， ∴点D坐标； （3）解：令，则， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴，，， ∴， ∵，且， ∴， ∴，即， ∴； （4）解：存在， 过作轴于， ∵，，， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴点的坐标为， 当在的上方时，过点作轴于点，如图： ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 当时，， ∴点N的坐标， 当在的下方时，过点作轴于点，如图： 同理可得：， ∴， 当时，， ∴点N的坐标， 当为平行四边形的对角线时，点的横坐标为， ∴， 综上，点N的坐标为或或． 5．(23-24九上·江西九江第十一中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．    （1）求抛物线的解析式； （2）点P为直线下方抛物线上的一动点，于点M，轴交于点N．求线段的最大值和此时点P的坐标； （3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2），P（，）；（3）（-5，0）或（，0）或（0，0）或（，0） 【分析】（1）将A、B坐标代入，利用待定系数法求解； （2）证明∠PNM=45°，得到PM=PN，求出PN，利用二次函数的性质得到PN的最大值即可得到结果； （3）画出图形，分情况讨论，根据等腰直角三角形的性质构造全等三角形，得到方程，解之可得点E坐标． 【详解】解：（1）将A，B代入中， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）令x=0，则y=-3， ∴C（0，-3）， ∵B（3，0）， ∴∠OBC=∠OCB=45°， ∵PN∥y轴， ∴∠PNM=45°， ∵PM⊥BC， ∴PM=PN，则当PN最大时，PM最大， 设BC的解析式为y=mx+n， 则，解得：， ∴BC的解析式为y=x-3， 设P（x，），N（x，x-3）， 则PN==， 当x=时，PN最大，则PM=PN==， 此时P（，）； （3）∵△CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形， 设Q（x，）， 如图，过E作x轴的垂线，再分别过C和Q作y轴的垂线，分别交于M，N， ∵∠CEQ=90°，即∠QEN+∠CEM=90°，∠QEN+∠EQN=90°， ∴∠CEM=∠EQN，又∠M=∠N=90°，EQ=EC， ∴△QNE≌△EMC（AAS）， ∴CM=EN=，NQ=EM=3， 则， 即， 解得：x=-2或x=3（舍）， ∴OE=CM=2+3=5，即E（-5，0）；    如图，过E作x轴的垂线，再分别过C和Q作y轴的垂线，分别交于M，N， 同理可得，△QNE≌△EMC（AAS）， ∴CM=EN=，NQ=EM=3， ∴， 解得：x=或（舍）， ∴OE=CM=，即E（，0）；    如图，点E和点O重合，点Q和点B重合， 此时E（0，0）；    如图，过E作x轴的垂线，再分别过C和Q作y轴的垂线，分别交于M，N， 同理可得，△QNE≌△EMC（AAS）， ∴CM=EN=，NQ=EM=3， ∴， 解得：x=（舍）或， 则OE=CM=，即E（，0）；    综上：点E的坐标为（-5，0）或（，0）或（0，0）或（，0）． 6．(23-24九上·江西九江都昌县·期末)如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m． （1）求抛物线的表达式； （2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标； （3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．    【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）D(1，2)；（3）存在，m＝1或 【分析】（1）点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），则x＝＝（2t﹣t），即可求解； （2）点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2），则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，即可求解； （3）以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，则或，即＝2或，即可求解． 【详解】解：（1）设OB＝t，则OA＝2t，则点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0）， 则x＝＝（2t﹣t），解得：t＝1， 故点A、B的坐标分别为（2，0）、（﹣1，0）， 则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+1）＝ax2+bx+2， 解得：a＝﹣1， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2； （2）对于y＝﹣x2+x+2，令x＝0，则y＝2，故点C（0，2）， 由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+2， 设点D的横坐标为m，则点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2）， 则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m， ∵﹣1＜0，故DF有最大值，此时m＝1，点D（1，2）； （3）存在，理由： 点D（m，﹣m2+m+2）（m＞0），则OD＝m，DE＝﹣m2+m+2， 以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似， 则或，即＝2或，即＝2或， 解得：m＝1或﹣2（舍去）或或（舍去）， 故m＝1或． 7．(24-25九上·江西吉安遂川泉江中学·期末)定义：如果两个二次函数的图像的开口大小相同，方向相反且顶点的横、纵坐标都互为相反数，则称其中一个二次函数为另一个二次函数的伴随函数．如与互为伴随函数． (1)的伴随函数的表达式为 ； (2)若的图像的顶点为，且过它的伴随函数的图像顶点． 求证：这两个函数图像的交点为； 如图，点是在之间的图像的动点，轴交的图像于点，求长度的最大值． 【答案】(1)； (2)详见解析；最大值为． 【分析】（）根据“伴随函数”的定义和二次函数的定义即可求解； （）由，则顶点，求出它的伴随抛物线解析式为，然后当时，，则点在图象上，当时，，从而求证； 设，则， 故有，然后根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴顶点为， ∴伴随抛物线的顶点为， ∴伴随抛物线的解析式为； （2）证明：∵， ∴顶点， ∴它的伴随抛物线的顶点为， ∴， 当时，， ∴点在图象上， 当时，， ∴点在图象上， ∴这两个函数图像的交点为，； 解：由可知：，，，， 设， ∵轴交的图像于点， ∴， ∴， ∵点在，之间， ∴， 当时，值最大，最大值为． 8．(24-25九上·江西九江同文中学·期末)如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点． (1)直接写出A，B两点的坐标，并求出抛物线的表达式； (2)如图，点E是线段之间的一个动点，过点E作x轴的垂线分别交抛物线于点D，直线于点F．当D，E，F三个点中的一个点平分另外两个点构成的线段时，求的面积； (3)若点P是抛物线上不与顶点重合的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个点，点N在坐标平面内，当四边形是矩形且时，求点P的横坐标． 【答案】(1)， (2)的面积为4或5 (3)或 【分析】（1）令，求出A，B两点的坐标，将点的坐标代入求出抛物线的解析式即可； （2）设，分点为的中点和点为的中点，两种情况进行讨论求解； （3）分点在对称轴的左侧和右侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：令， ∴， ∴， 把代入，得：， ∴； （2）∵， ∴设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴， 设，则：，， 当点为的中点时，则：， 解得：（舍去）或， ∴， ∴， ∴； 当点为的中点时，则：， 解得：（舍去）或， ∴， 同法可得，直线的解析式为， 设与轴交于点， 当时，， ∴， ∴； 综上：的面积为4或5； （3）∵， ∴对称轴为直线， ∴的横坐标为， ∵四边形是矩形且， ∴，， 设， 当点在对称轴左侧： ①点在轴下方时，如图：过点作轴，过点作， 则：，， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍去）或； ②当点在轴上方时，如图： 同法可得：， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； 当点在对称轴右侧时，分别过点作对称轴的垂线，垂足分别为，如图： 同法可得：， ∴， ∴， 解得：（舍去）或； 综上：点的横坐标为：或 地 城 考点04 二次函数中求图象面积问题 1．(24-25九上·江西九江同文中学·期末)如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，且． (1)求该二次函数的表达式； (2)点G是直线上方抛物线上的动点，连接，求面积的最大值． (3)将直线绕点C逆时针旋转，交抛物线于点Q，求Q点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的关系式，函数最值问题，旋转问题相似三角形的判定与性质等知识． （1）令，求出，得点，，由得，， 把代入，求出，故可求出； （2）过点G作轴于点E，求出，设，得，，，根据得二次函数表达式，根据二次函数的图象与性质可得结论； （3）证明，求出，得，运用待定系数法求出直线的解析式，联立方程组并求解即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：对于，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入，得： ， 解得，， ∴二次函数解析式为：； （2）解：对于，令，得， 解得，， ∴， ∴， 过点G作轴于点E， 设，则，，， 又 ∴ ∴， ∴面积有最大值，最大值为； （3）解：设的延长线交轴于点， 根据题意得 又 ∴ 又 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为， 把代入，得： ， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立方程组得， 解得或 ∵ ∴． 2．(24-25九上·江西吉安·期末)如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)如图1，当点P的坐标为时，求的面积． (3)如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点F，使是直角三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)6 (3)或或或 【分析】对于（1），用待定系数法求出关系式即可； 对于（2），先求出直线的关系式，再作轴交于点G，可得点G，再求出面积即可； 对于（3），设点F的坐标，再表示出，，，然后分三种情况讨论，再根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）将点，代入，得 ， 解得， 所以函数关系式为； （2）当时，， ∴． 设直线的关系式为， 将代入，得 ， 解得， 所以直线的关系式为． 过点P作交于点G，如图所示． ∵， ∴， ∴； （3）存在点F，使使直角三角形，理由如下： ∵， ∴抛物线得对称轴为直线． 设， ∴，，． 当时，， 解得， ∴或； 当时， ， 解得， ∴； 当时， ， 解得， ∴． 综上所述，点F的坐标为或或或． 3．(23-24九上·江西永修县县城片区·期末)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点C（0，－3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点． （1）求二次函数解析式； （2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形．是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积． 【答案】（1）；（2）存在这样的点，此时P点的坐标为（，）；（3）P点的坐标为(，−)，四边形ABPC的面积的最大值为． 【分析】（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值； （2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标； （3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标． 【详解】（1）将B、C两点的坐标代入，得 ， 解得． ∴二次函数的解析式为． （2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；． 设P点坐标为（x，x2-2x-3），PP′交CO于E． 若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；． 连接PP′，则PE⊥CO于E， ． ∵C（0，-3）， ∴CO=3， 又∵OE=EC， ∴OE=EC=． ∴y=−； ∴x2-2x-3=−， 解得（不合题意，舍去）． ∴存在这样的点，此时P点的坐标为（，）． （3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2-2x-3）， 设直线BC的解析式为：y=kx+d， 则， 解得： ． ∴直线BC的解析式为y=x-3， 则Q点的坐标为（x，x-3）； 当0=x2-2x-3， 解得：x1=-1，x2=3， ∴AO=1，AB=4， S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ． =AB•OC+QP•BF+QP•OF． =×4×3+ (−x2+3x)×3． =− (x−)2+． 当x＝时，四边形ABPC的面积最大． 此时P点的坐标为(，−)，四边形ABPC的面积的最大值为． 4．(24-25九上·江西吉安青原区·期末)如图，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A(−1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC，交对称轴于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线上方的抛物线上的一点，连接，，求的面积的最大值以及此时点的坐标； （3）将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点，点是新抛物线的对称轴上的一点，点是坐标平面内一点．当以、、、四点为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标，并写出求解其中一个点的坐标的过程． 【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）△PCD的面积最大值为， P（，）；（3）点F的坐标为(2，2)或(2，)或(2，) ． 【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）过点P作直线PN⊥x轴于点N，交直线BC于点M，先求出直线BC的解析式，设P（x， -x2+2x+3），则M（x，-x+3），求出△PCD面积的表达式，这是一个二次函数，求出其取最大值的条件，即可求解； （3）求得新抛物线的解析式为y=-(x-2)2+4，对称轴为直线x=2，两抛物线的交点为E (，)，分DF为对角线，DG为对角线两种情况讨论，画出图形利用两点之间的距离公式求解即可． 【详解】解：（1）由题意可得： ，解得， ∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3； （2）过点P作直线PN⊥x轴于点N，交直线BC于点M， 令x=0，则y=3， ∴点C 的坐标为(0，3)， 抛物线y=-x2+2x+3的对称轴为直线x=-， 设直线BC的解析式为：y=kx+3，则有： kx+3=0， 解得：k=-1， ∴直线BC的解析式为：y=-x+3， ∴点D的坐标为(1，2)， 设P（x， -x2+2x+3），则M（x，-x+3）， ∴PM=（-x2+2x+3）-（-x+3）=-x2+3x． ∴S△PCD=PM•（xD-xC）=(-x2+3x)=-， ∴当x=时，△PCD的面积最大，最大值为， 此时P（，）； （3）将抛物线y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4向右平移1个单位得到新抛物线， 则新抛物线的解析式为y=-(x-1-1)2+4=-(x-2)2+4，对称轴为直线x=2， 解方程-(x-1)2+4=-(x-2)2+4，得x=， ∴点E的坐标为(，)， ∴DE=， ①当DF为对角线时，如图，四边形DEF1G1是菱形， 由对称性质可得，点F1的坐标为(2，2)； ②当DG为对角线时，如图，四边形DEG2F2是菱形， 设点F的坐标为(2，m)， 由DF2=， 解得：或， ∴点F2的坐标为(2，)，点F3的坐标为(2，)， 综上，点F的坐标为(2，2)或(2，)或(2，) ． 5．(24-25九上·江西吉安万安县·期末)如图1，在矩形中，为的中点，点沿折线运动，以为边作正方形，设点运动的路线为，在运动过程中正方形的面积为． 初步感知： （1）当点在上运动时，若，则______；关于的函数关系式为______． （2）当点在上运动时，经探究发现，是关于的二次函数，请求出关于的函数解析式． 延伸探究： （3）图2为点在运动过程中关于的函数关系图象，请结合图象信息解决如下问题： ①当点运动到的延长线过点时，______，______；若图象上点和点的横坐标分别为和，根据点的运动过程可知，当时，点的坐标为______． ②点在上运动的过程中，是否存在点的两个位置，（均为整数），使得对应的，满足？如果存在，求出，的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）3，；（2）；（3）①4或6，8或20；，②存在， 【分析】本题考查点的运动和画函数图象，相似三角形的判定和性质，勾股定理，能利用分类讨论是解题的关键． （1）根据正方形的面积公式得到函数关系式，代入自变量的值即可解题； （2）利用勾股定理解题即可； （3）①利用得到，进而得到方程解题即可； ②运用分类讨论，利用方程解题即可． 【详解】解：（1）当点在上运动时，， 当时，， 故答案为：3，； （2）当点在上时，即当时， ． ． ， 当时，关于的函数解析式为． （3）①解：如图，当运动到的延长线过点时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或， 当时，； 当时，； 由图可知，点的横坐标为， 又∵， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：4或6；8或20；； ②当点在上运动时，． ①当时，． ． 解方程，得（负值舍去）， 不是整数， 这种情况不存在． ②当时，． ． 解方程，得（负值舍去）． ，符合题意． ③当时，． ， 解方程，得（负值舍去）． 不是整数， 这种情况不存在． ④当时，． ． 解方程，得（负值舍去）． ，且不是整数，舍去． 综上所述，当时，． 地 城 考点05 利用二次函数解决实际问题 1．(24-25九上·江西南昌南昌外国语学校教育集团·期末)某商店以每个3元的成本价购进了一批玩具陀螺，如果以每个7元的价格出售，那么每天可销售40个，经市场调查发现，若每个陀螺的售价上涨1元，则每天的销售量就减少2个． (1)每个陀螺涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时商店每天获得的利润为280元？ (2)每个陀螺涨价多少元时，商店每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)当每个陀螺涨价6元时，才能让顾客得到实惠的同时商店每天获得的利润为280元 (2)当每个陀螺涨价8元时，商店每天获得的利润最大，最大利润为288元． 【分析】本题主要考查了一元二次方程和二次函数的实际应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）设每个陀螺涨价a元，则每天可售出个，再根据每个的价格、每天的销售量、每天的利润的关系列方程求解求得a，然后再结合题意即可解答； （2）设当每个陀螺涨价x元时，每天获利y元，根据每个的价格、每天的销售量、每天利润的关系得出y与x的关系式，再根据二次函数的性质求最值即可； 【详解】（1）解：设每个陀螺涨价a元，则每天可售出个， 依题意得：， 整理得：，解得，， 又要让顾客得到实惠， ． 答：当每个陀螺涨价6元时，才能让顾客得到实惠的同时商店每天获得的利润为280元． （2）解：设当每个陀螺涨价x元时，每天获利y元， 则，整理得， 当时，y有最大值，最大值为288， 答：当每个陀螺涨价8元时，商店每天获得的利润最大，最大利润为288元． 2．(23-24九上·江西永修县县城片区·期末)某文具商店销售进价为元/盒的彩色铅笔，市场调查发现，若以每盒元的价格销售，平均每天销售盒，价格每提高1元，平均每天少销售2盒，设每盒彩色铅笔的销售价为x（）元，平均每天销售y盒，平均每天的销售利润为 W 元． (1)直接写出y与x之间的函数关系式：_______． (2)求W与x之间的函数关系式 (3)为稳定市场，物价部门规定每盒彩色铅笔的售价不得高于元，当每盒的销售价为多少元时，平均每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)当每盒的销售价为元时，平均每天获得的利润最大，最大利润是元 【分析】（1）直接利用题意用含x的式子表示y即可； （2）将每盒利润乘以销量即可表示W， （3）利用二次函数的图象与性质即可求解． 【详解】（1）解：价格每提高1元，平均每天少销售2盒， ∴价格提高元，每天少销售盒， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， 故W与x之间的函数关系式为． （3）∵， ∵物价部门规定每盒彩色铅笔的售价不得高于元，且当时，w随x的增大而增大， ∴当时，， ∴当每盒的销售价为元时，平均每天获得的利润最大，最大利润是元． 3．(23-24九上·江西九江都昌县·期末)某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？ (3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)13 (3)每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式； （2）根据每件的销售利润×每天的销售量=425，解一元二次方程即可； （3）利用销售该消毒用品每天的销售利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，根据题意得： ，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：（-5x+150）（x-8）=425， 整理得：， 解得：， ∵8≤x≤15， ∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元； （3）解：根据题意得： ∵8≤x≤15，且x为整数， 当x<19时，w随x的增大而增大， ∴当x=15时，w有最大值，最大值为525． 答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 4．(24-25九上·江西南昌南昌一中联考·期末)图1是某种发石车，这是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点6米时达到最大高度12米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为9米，与地面的竖直距离为6米，是高度为5米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式． (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙． 【答案】(1) (2)不能飞越防御墙． 【分析】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的列出二次函数解析式，是解题的关键． （1）设石块运行的函数关系式为，用待定系数法求得a的值即可求得答案； （2）把代入，求得y的值，与11作比较即可． 【详解】（1）解：∵发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点6米时达到最大高度12米， ∴设石块运行的函数关系式为，由图象可知，抛物线过点， 把代入，得：， 解得：， ∴； （2）解：∵， 当时，， ∴不能飞越防御墙． 5．(24-25九上·江西南昌江西师范大学附属中学红谷滩区滨江分校·期末)如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米． (1)求上边缘抛物线喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带，并说明理由． 【答案】(1)上边缘抛物线喷出水的最大射程为； (2)； (3)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）求得上边缘的抛物线解析式，即可求解； （2）根据二次函数的性质，确定平移的单位，求得下边缘抛物线解析式，即可求解； （3）根据题意，求得点的坐标，判断上边缘抛物线能否经过点即可； 【详解】（1）解：由题意可得：， 且上边缘抛物线的顶点为，故设抛物线解析式为： 将代入可得： 即上边缘的抛物线为： 将代入可得： 解得：（舍去）或 即 上边缘抛物线喷出水的最大射程为； （2）解：由（1）可得， 上边缘抛物线为：，可得对称轴为： 点关于对称轴对称的点为： 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，可得上边缘抛物线向左平移个单位，得到下边缘抛物线，即下边缘的抛物线解析式为： 将代入可得： 解得：（舍去）或 即点； （3）解：灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带，理由如下； ∵， ∴绿化带的左边部分可以灌溉到， 由题意可得： 将代入到可得： 因此灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带． 6．(24-25九上·江西南昌南昌二十八中教育集团·期末)发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形ABCD，墙宽BC为2米，点B与点O的水平距离为23米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为9米． ①求函数解析式（不写x的范围）； ②石块能否飞越防御墙？ (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上（包括点B，C），求出a的取值范围？ 【答案】(1)①；②石块不能飞越防御墙 (2) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用； （1）①根据题意，设石块运行的函数关系式为，将代入解析式，待定系数求得； ②将代入，得出，将代入，得出，即可求解． （2）根据抛物线过原点，可得，将分别代入求得的值，进而结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：①设石块运行的函数关系式为， 将代入，得， 解得． 所以抛物线的解析式为． ②石块不能飞跃防御墙． 理由如下：将代入，； 将代入，．所以石块不能飞跃防御墙． （2）解：∵过点 ∴ ∴ ∴ 依题意分别代入， 即或 解得： 或 ∴． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07二次函数 ☆5大高频考点概览 考点01二次函数与其他函数图象共存问题 考点02二次函数中宇母系数问题 考点03二次函数的图像和性质综合问题 考点04二次函数中求图象面积问题 考点05利用二次函数解决实际问题 目目 考点01 二次函数与其他函数图象共存问题 1.(24-25九上江西吉安青原区·期末)函数y=景(a≠0)与y=ax2-1(a≠0)在同一平面直角坐标系中 的图象可能是() B 2.(23-24九上江西宜春高安期末)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则反比例函 数y=与一次函数y=ax+b在同一平面直角坐标系内的图象可能是() 1/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点02 二次函数中字母系数问题 1.(24-25九上江西吉安万安县期末)已知抛物线y=a2+bx+c(a≠0)经过点(1,0)和点(0，一3)， 且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是() A.a>0 B.a十b=3 C.抛物线经过点(-1,0) D.关于x的一元二次方程x2+bx十c=一1有两个不相等的实数根 2.(24-25九上江西吉安安福县期末)二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，其对称轴x=1,有以 下结论：①a<0,c>0;②9a+3b+c>0;③4ac-b2<0:④3a+c<0.其中正确的个数为(） A.1 B.2 C.3 D.4 3.(24-25九上江西吉安期末)二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(3,0)，对称轴是直线x=1,给出 下列说法中：①abc<0:②a+b+c>0;③b2-4ac>0;④2a+b=0⑤当-1<x<3时， y>0.其中正确的个数有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(24-25九上江西吉安遂川泉江中学期末)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象关于直线x=1对称， 与x轴交于Ax10),B(x20),两点，若-2<1<-1，则下列四个结论：①3<x2<4; ②3a+2b>0;③a-b+c>0;④b2-4ac>0.正确结论的个数为() y x=1 B、 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.(23-24九上江西九江都昌县·期末)如图，已知抛物线y=x2+bx+c(a≠0)的部分图像如图所示， 则下列结论： 1x=1 ①abc<0;②关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是-1,3；③a+2b=c:④y的最大值=c 其中正确的有()个. A.1 B.2 C.3 D.4 6.(24-25九上江西吉安峡江县·期末)在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如 图所示，现给出以下结论：①abc<0;②c+2a<0;③9a-3b十c=0;④a-b≥m(am+b) (m为实数)；⑤4ac-b2<0.其中错误结论的是，（只填序号） 3/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点03 二次函数的图象和性质综合问题 1,(24-25九上江西吉安峡江县期末)如图所示，抛物线y=a(x一1)2+4与x轴交于点A,B,与y轴交 于点C,过点C作CDIx轴交抛物线的对称轴于点D,连接BD,已知点A的坐标为（一1,0）.求该抛物线的 函数解析式. B 2.(24-25九上江西吉安遂川县·期末)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c过点(1，-一2)，且与 直线y=x+1的交点在x轴上. 5 3 1 6543210123456 (1)求抛物线的对称轴： (2)当一次函数y=x十1值小于二次函数y=x2+bx+C的值时，求自变量的取值范围. 3.(24-25九上江西吉安安福县期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+3分别交x轴，y轴 4/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 于A,B两点，经过A,B两点的抛物线y=-x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C(1,0)·. (1)求抛物线的解析式； (2)点D在第二象限的抛物线上，且△AOD与△ABC面积相等，求D点坐标； (3)若P为线段AB上一点，∠APO=∠ACB,求AP的长： 4.(23-24九上江西吉安峡江县期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+3分别交x轴，y轴 于A,B两点，经过A,B两点的抛物线y=-x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C(1,0)·. (1)求抛物线的解析式 (2)点D在第二象限的抛物线上，且△AOD与△ABC面积相等，求D点坐标： (3)若P为线段AB上一点，∠APO=∠ACB,求AP的长； (4)在(3)的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N,使得以A,P,M,N为顶点的 四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 5.(23-24九上江西九江第十一中学期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3(a>0)与 x轴交于A一1,0、B(3,0)两点，与y轴交于点C. 5/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 O A B M C (1)求抛物线的解析式： (2)点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M,PN/y轴交BC于点N.求线段PM的 最大值和此时点P的坐标： (3)点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存 在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由. 6.(23-24九上江西九江都昌县·期末)如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A,B两点，且OA=2OB,与 y轴交于点C,连接BC,抛物线对称轴为直线x=专，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA 于点E,与AC交于点F,设点D的横坐标为m (1)求抛物线的表达式； (2)当线段DF的长度最大时，求D点的坐标； (3)抛物线上是否存在点D,使得以点O,D,E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值； 若不存在，请说明理由. 7.(24-25九上江西吉安遂川泉江中学期末)定义：如果两个二次函数的图像的开口大小相同，方向相反且 顶点的横、纵坐标都互为相反数，则称其中一个二次函数为另一个二次函数的伴随函数.如 y=(x+2)2-1与y=-(x-2)+1互为伴随函数. 6/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=x+2x-1 y y2=(x-h)2+k (1)y=-2x2-4x的伴随函数的表达式为_； (2②若y:=X2+2x-1的图像的顶点为P,且过它的件随函数y2=-(x-+k的图像顶点Q。 ①求证：这两个函数图像的交点为P、Q: ②如图，点M是y:=X2+2x-1在PQ之间的图像的动点，MN⊥x轴交y2=-(x-A)+k的图像于 点N,求MN长度的最大值， 8.(24-25九上江西九江同文中学期末)如图，抛物线y=a(x+4)(x-2)(a≠0)与x轴交于A,B两 点（点A在点B的左边），与y轴交于点C(0,4): 备用图 (1)直接写出A,B两点的坐标，并求出抛物线的表达式； (2)如图，点E是线段AB之间的一个动点，过点E作x轴的垂线分别交抛物线于点D,直线AC于点F.当 D,E,F三个点中的一个点平分另外两个点构成的线段时，求△DAC的面积： (3)若点P是抛物线上不与顶点重合的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个点，点N在坐标平面内，当 四边形CMPN是矩形且tan∠PCM=时，求点P的横坐标. 目目 考点04 二次函数中求图象面积问题 1.(24-25九上江西九江同文中学期末)如图，己知二次函数y=ax2-2ax+3(a≠0)的图象与x轴交于A、 B两点，交y轴于点C,且OC=3OA: 7/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (1)求该二次函数的表达式： (2)点G是直线BC上方抛物线上的动点，连接BC、GC,GB,求△GBC面积的最大值. (3)将直线AC绕点C逆时针旋转90·，交抛物线于点Q,求Q点坐标 2.(24-25九上江西吉安·期末)如图，已知抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A一2,0)、B(6,0)两点，与 y轴交于C点. R X C 图1 图2 图3 (1)求该抛物线的函数表达式. (2)如图1，当点P的坐标为(2，一4)时，求△BCP的面积. (3)如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点F,使△BCF是直角三角形？若存在，请求出点F的坐标；若 不存在，请说明理由 3.(23-24九上·江西永修县县城片区·期末)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与 x轴交于A、B两点，B点的坐标为3，O),与y轴交于点C(O,一3)，点P是直线BC下方抛物线上的一 个动点。 8/12 扇学科网 www zxxk com 让教与学更高效 B x (1)求二次函数解析式： (2)连接PO,PC,并将△POC沿y轴对折，得到四边形P0P'C.是否存在点P,使四边形POP'C为菱形？ 若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面 积 4.(24-25九上江西吉安青原区·期末)如图，抛物线y=x2+bx+3交x轴于点A(-1,0)和点B3,0),与y轴 交于点C,连接BC,交对称轴于点D. 0 0 B B 备用图 (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线BC上方的抛物线上的一点，连接PC,PD,求△PCD的面积的最大值以及此时点P的坐 标； (3)将抛物线y=x2+bx+3向右平移1个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点E,点F是新 抛物线的对称轴上的一点，点G是坐标平面内一点.当以D、E、F、G四点为顶点的四边形是菱形时，直 接写出点F的坐标，并写出求解其中一个点的坐标的过程 5.(24-25九上江西吉安万安县·期末)如图1，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,E为AB的中点，点P沿 折线E-A-D运动，以EP为边作正方形EPFG,设点P运动的路线为x,在运动过程中正方形EPFG的 面积为y. 9/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 初步感知： (1)当点P在AE上运动时，若x=√，则y=;y关于x的函数关系式为 (2)当点P在AD上运动时，经探究发现，y是关于x的二次函数，请求出y关于x的函数解析式。 延伸探究： (3)图2为点P在运动过程中V关于x的函数关系图象，请结合图象信息解决如下问题： ①当点P运动到FP的延长线过点C时，x=,y= ;若图象上点M和点N的横坐标分别为n和 m,根据点P的运动过程可知，当n一m=4时，点M的坐标为 ②点P在AD上运动的过程中，是否存在点P的两个位置x1,x2(均为整数)，使得对应的y1,Y2满足 y2=4y1?如果存在，求出x1,x2的值；如果不存在，请说明理由。 m 图1 图2 目目 考点05 利用二次函数解决实际问题 1.(24-25九上江西南昌南昌外国语学校教育集团期末)某商店以每个3元的成本价购进了一批玩具陀螺， 如果以每个7元的价格出售，那么每天可销售40个，经市场调查发现，若每个陀螺的售价上涨1元，则每 天的销售量就减少2个. (1)每个陀螺涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时商店每天获得的利润为280元？ (②)每个陀螺涨价多少元时，商店每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 2.(23-24九上江西永修县县城片区·期末)某文具商店销售进价为28元/盒的彩色铅笔，市场调查发现，若 以每盒40元的价格销售，平均每天销售80盒，价格每提高1元，平均每天少销售2盒，设每盒彩色铅笔的 销售价为x(x>40)元，平均每天销售y盒，平均每天的销售利润为W元 (1)直接写出y与x之间的函数关系式： (2)求W与x之间的函数关系式 (3)为稳定市场，物价部门规定每盒彩色铅笔的售价不得高于50元，当每盒的销售价为多少元时，平均每天 获得的利润最大？最大利润是多少元？ 10/12