专题06 锐角三角函数（4大考点）（期末真题汇编，江西专用）九年级数学上学期北师大版

专题06 锐角三角函数 4大高频考点概览 考点01 求角的三角函数值 考点02 特殊角的三角函数值的计算 考点03 锐角三角函数的实际应用问题 考点04 几何图形中的三角函数问题 地 城 考点01 求角的三角函数值 1．(24-25九上·江西鹰潭余江区·期末)在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·江西吉安·期末)如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，射线与轴正半轴的夹角为，则的值为 ． 3．(24-25九上·江西吉安万安县·期末)如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为 ． 地 城 考点02 特殊角的三角函数值的计算 1．(24-25九上·江西吉安安福县·期末)（1）解方程： ；    （2）计算：． 2．(24-25九上·江西吉安万安县·期末)计算： (1) (2) 3．(24-25九上·江西抚州·期末)（1）解方程：     （2）计算： 4．(24-25九上·江西吉安遂川泉江中学·期末)解方程或计算： (1)； (2)． 5．(24-25九上·江西吉安峡江县·期末)（1）解方程： （2）计算： 6．(24-25九上·江西九江同文中学·期末)（1）解方程：； （2）计算：． 7．(24-25九上·江西吉安·期末)（1）计算： （2）解方程： 8．(24-25九上·江西吉安青原区·期末)（1）解方程：． （2）计算：． 9．(24-25九上·江西宜春丰城第九中学·期末)计算：． 地 城 考点03 锐角三角函数的实际应用问题 1．(24-25九上·江西吉安安福县·期末)如图是某校操场上的一种漫步机，图是其侧面结构示意图，已知主支架长为，且与水平地面基架的夹角为，前支架与所成的，扶手长为，．    (1)求的度数； (2)求漫步机的高度（点到的距离）． （参考数据：，，，，，，结果精确到） 2．(24-25九上·江西吉安青原区·期末)如图1是一款多功能可调节的桌面手机、平板支架．点A、B、C处均可旋转，处可摆放平板或者手机．其中．研究表明，当手机（）与桌面的夹角为时，更符合人体工学设计，也是多数人操作手机最舒适的角度． (1)如图2，当和桌面垂直且时，可将绕点B旋转一定的角度，就能达到最舒适的观影状态，求此时的度数； (2)在（1）的条件下求点D点到的距离（结果保留整数）． （参考数据：） 3．(24-25九上·江西鹰潭余江区·期末)为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，文化路社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳棚，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳棚长为米，从点看到棚顶顶点的仰角为，从点看到地面点的俯角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求凉荫处的长．（结果精确到米；参考数据：，，） 4．(24-25九上·江西吉安万安县·期末)我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点的位置，且A，B，三点共线，，B为中点，当时，伞完全张开． （1）求的长． （2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．（参考数据：） 5．(24-25九上·江西南昌江西师范大学附属中学红谷滩区滨江分校·期末)如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利．某校数学社团的同学们欲测量塔的高度．如图2，他们在第一层看台上架设测角仪，从处测得塔的最高点的仰角为，测出，台阶可抽象为线段，，台阶的坡角为，测角仪的高度为，塔身可抽象成线段． (1)求测角仪与塔身的水平距离； (2)求塔身的高度．（结果精确到）（参考数据：，，，） 6．(24-25九上·江西九江外国语学校·期末)如图，在大楼的正前方有一斜坡长为26米，坡度为，高为．在斜坡底的点C处测得楼顶B的仰角为，在斜坡顶的点D处测得楼顶B的仰角为，其中点A、C、E在同一直线上． (1)求斜坡的高； (2)求大楼的高度．（参考数据：，，结果精确到个位） 7．(24-25九上·江西吉安·期末)人工智能越来越多地应用于现实生活，某科技小组的成员小星在一次就餐中，对餐厅使用的“送菜机器人”很感兴趣，于是他与小组成员一起研制了一个简易的智能机器人，如图（1），机器人底座AB固定在桌面（桌面足够大）上，且，，，和可以分别绕点B，C自由转动，且始终在同一平面内． (1)机器人工作时，某时刻的示意图如图（2）所示，，，请你求出此时点D到桌面的距离． (2)当点D在桌面上时，请你求出点A，D之间的最大距离． （结果精确到．参考数据：，，，，） 8．(24-25九上·江西吉安峡江县·期末)九（1）班同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量． (1)如图1，第一小组用一根木条斜靠在护墙上，使得与的长度相等，如果测量得到，求护墙与地面的倾斜角α的度数． (2)如图2，第二小组用皮尺量的为16米（E为护墙上的端点），的中点离地面的高度为米，请你求出E点离地面的高度． (3)如图3，第三小组利用第一、第二小组的结果，来测量护墙上旗杆的高度，在点P测得旗杆顶端A的仰角为，向前走4米到达Q点，测得A的仰角为，求旗杆的高度（精确到米）． 备用数据：． 9．(24-25九上·江西南昌第五中学实验学校·期末)实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管， ，试管倾斜角为．（参考数据：） (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度（结果精确到）． 10．(24-25九上·江西新余分宜中学·期末)综合与实践活动中，要用测角仪测量赣江上一座桥的桥塔 的高度（如图1），某学习小组设计了一个方案：如图2，点C，D，E依次在同一条水平直线上， ，垂足为C，在 D 处测得桥塔顶部B 的仰角 为 ，测得桥塔底部A 的俯角（）为 ，又在E 处测得桥塔顶部B 的仰角（）为 ．（参考数据： ） (1)求线段的长；（结果取整数） (2)求桥塔的高度．（结果取整数） 11．(24-25九上·江西南昌心远中学·期末)图（1）是某广场社会主义核心价值观标牌雕塑，将其抽象为如图（2）所示的平面示意图，六边形，为两个正六边形，且点、、、在同一水平线上，已知． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接，当点为的中点时，，请你计算点、两点之间的距离．（结果精确到．参考数据：） 12．(24-25九上·江西吉安遂川县·期末)如图1，是公园里的木制长椅子，将其抽象为图， ，．（结果精确到小数点后一位） (1)求直线与直线所成锐角的度数； (2)求椅子的宽度（两点的水平距离）． （参考数据： ，） 13．(24-25九上·江西抚州·期末)容睿使用桌上书架如图1所示．睿睿发现，当书架与桌面的夹角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时舒适度不太理想．睿睿调整书架与桌面的夹角大小继续探究，最后发现当张角时（点是的对应点），舒适度较为理想．     (1)书架在旋转过程中，求顶部边缘点到走过的路径长． (2)如图2这个平面图形，如果睿睿的眼睛在处，书上有一点，旋转点到点的距离为，睿睿看点的俯角为，眼睛到桌面高度为，点到点的距离为，求此时眼睛到F点的距离，即的长度．（结果精确到；参考数据：，，） 14．(24-25九上·江西吉安遂川泉江中学·期末)如图，某地计划为学校添置新式课桌椅，椅子可供学生午休的躺椅．图（1）是上课期间椅子摆放样式，已知座面宽，座面高，背垫为，点G到地面的垂直距离为，．图（2）是水平摆放时的形状，脚垫长，，． （结果保留1位小数，参考数据：，，，） (1)求背垫的长； (2)如图（2），求午休躺睡时课椅点G与点H之间的水平距离． 地 城 考点04 几何图形中的三角函数问题 1．(24-25九上·江西吉安青原区·期末)【课本再现】 （）如图（），在中，为上一点，是否与相似？（填“是”或“不是”） 【类比探究】 （）如图（），在中，为上一点，已知，求证：． 【拓展应用】 （）在Rt，点为上一点，如图（），点分别在上，，垂足为．若，求的值．    2．(24-25九上·江西鹰潭余江区·期末)【课本再现】北师大版九年级上册数学课本第21页有这样一道题： （1）如图1，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且．则与之间有怎样的关系？请说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，，点在边上．连接为延长线上一点，连接，且的延长线垂直于，垂足为点． ①求的值； ②求的值． 3．(24-25九上·江西吉安万安县·期末)课本再现 思考：我们知道，矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 定理证明：（1）如图①，在中，对角线和相等．求证：是矩形； 知识应用：（2）如图②，的对角线，交于点，点，在上，且，．求证：四边形是矩形； 拓展延伸：（3）如图③，在矩形中，，，，分别是边和对角线上的点，，，求的长． 4．(24-25九上·江西九江同文中学·期末)数学活动课上，老师给出如下问题：如图①，正方形，连接，点E在边上，点F在边上，连接，过点B作于点G，分别交线段于点M，点N，且． 各学习小组在探究过程中依次提出了以下问题，请你写出解答过程： (1)“智慧小组”提出问题： 三条线段的长度间存在某种等量关系，请你直接写出这种关系； (2)“善思小组”提出问题： 求证：； (3)“创新小组”在探究中受到启发，提出问题：如图②，若，求的值． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 锐角三角函数 4大高频考点概览 考点01 求角的三角函数值 考点02 特殊角的三角函数值的计算 考点03 锐角三角函数的实际应用问题 考点04 几何图形中的三角函数问题 地 城 考点01 求角的三角函数值 1．(24-25九上·江西鹰潭余江区·期末)在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数定义，关键是掌握锐角的正弦定义．直角三角形中，锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦，由此即可得到答案． 【详解】解：在中，， ∴， 故选：B． 2．(24-25九上·江西吉安·期末)如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，射线与轴正半轴的夹角为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，求正弦值，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明四边形是矩形，再运用勾股定理，则，即可作答． 【详解】解：如图：过点B分别作轴，作轴， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点的坐标为， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 3．(24-25九上·江西吉安万安县·期末)如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为 ． 【答案】/0.8 【分析】如图，过点A作AH⊥BC于H．利用勾股定理求出AC即可解决问题． 【详解】解：如图，过点A作AH⊥BC于H． 在Rt△ACH中，∵AH=4，CH=3， ∴AC==5， ∴sin∠ACH=， 故答案为：． 地 城 考点02 特殊角的三角函数值的计算 1．(24-25九上·江西吉安安福县·期末)（1）解方程： ；    （2）计算：． 【答案】（1），；（2）6 【分析】本题主要考查解一元二次方程，负指数幂，特殊角的三角函数值的计算，掌握因式分解法，特殊角的三角函数值，负指数幂的计算法则是解题的关键． （1）运用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先算绝对值，特殊角的三角函数值，化简二次根式，负指数幂的结果，最后再根据实数的混合运算法则计算即可． 【详解】解：（1） ， 因式分解得，， ∴或， 解得，； （2） ． 2．(24-25九上·江西吉安万安县·期末)计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊值的三角函数值、实数的运算、一元二次方程的因式分解法等知识点．解决问题的关键是熟练计算． （1）利用因式分解法，即可解答； （2）把特殊值的三角函数值代入求解即可． 【详解】（1）解：， ， 解得； （2）解：， ， ． 3．(24-25九上·江西抚州·期末)（1）解方程：     （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了解一元二次方程和特殊角的三角函数值的混合运算． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）代入特殊角的三角函数值，进行计算即可． 【详解】解：（1） ∴ 则或， 解得 （2） 4．(24-25九上·江西吉安遂川泉江中学·期末)解方程或计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用因式分解法解答即可； （）把特殊角的三角函数值代入计算即可； 本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】（1）解：∵ ， ∴或 ， ∴； （2）解：原式 =         ． 5．(24-25九上·江西吉安峡江县·期末)（1）解方程： （2）计算： 【答案】（1），； （2）3 【分析】本题考查了解一元二次方程和实数的混合运算，熟练运用运算法则以及找到合适的解题方法是解答本题的关键． （1）根据十字相乘法即可求出答案； （2）首先根据零指数幂的意义、特殊锐角三角函数的值、绝对值的意义分别求出其值，再依次计算加减即可求出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴或， 解得：，； （2） ． 6．(24-25九上·江西九江同文中学·期末)（1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程，实数的混合运算，二次根式的性质，零次幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，正确的计算是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程即可求解； （2）根据二次根式的性质，零次幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂进行计算即可求解． 【详解】解：（1）， ， 即或， 解得：； （2） ． 7．(24-25九上·江西吉安·期末)（1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）1；（2）， 【分析】本题主要考查了解特殊角度的三角函数值的混合运算和一元二次方程，熟练掌握各个特殊角度的锐角三角函数值和解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先将各个特殊角度的锐角三角函数化简，再进行计算即可． （2）用因式分解法进行求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ∴，． 8．(24-25九上·江西吉安青原区·期末)（1）解方程：． （2）计算：． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，含特殊角的三角函数值的混合运算； （1）把方程化为，再化为两个一次方程求解即可； （2）先化简二次根式，代入特殊角的三角函数值，再计算乘除运算，绝对值运算，最后计算加减运算即可． 【详解】解：（1）， ∴， ∴或， 解得：，； （2） ； 9．(24-25九上·江西宜春丰城第九中学·期末)计算：． 【答案】1 【分析】先计算零次幂，特殊角的正弦值，负指数幂，求解绝对值，再合并即可． 【详解】解： ． 地 城 考点03 锐角三角函数的实际应用问题 1．(24-25九上·江西吉安安福县·期末)如图是某校操场上的一种漫步机，图是其侧面结构示意图，已知主支架长为，且与水平地面基架的夹角为，前支架与所成的，扶手长为，．    (1)求的度数； (2)求漫步机的高度（点到的距离）． （参考数据：，，，，，，结果精确到） 【详解】（1）解：在中， ∵，， ∴； （2）解：过点作的平行线， ∵， ∴， ∵， ∴， 分别过点作于，于， ∵，，，， ∴， ， ∴漫步机的高度为．    2．(24-25九上·江西吉安青原区·期末)如图1是一款多功能可调节的桌面手机、平板支架．点A、B、C处均可旋转，处可摆放平板或者手机．其中．研究表明，当手机（）与桌面的夹角为时，更符合人体工学设计，也是多数人操作手机最舒适的角度． (1)如图2，当和桌面垂直且时，可将绕点B旋转一定的角度，就能达到最舒适的观影状态，求此时的度数； (2)在（1）的条件下求点D点到的距离（结果保留整数）． （参考数据：） 【答案】(1) (2)D到的距离约为 【分析】（1）过点D作于H，利用四边形内角和定理计算即可． （2）过点D作于H，延长、交于点E，利用解直角三角形的知识，求得长度即可． 本题考查了四边形内角和定理，解直角三角形的相关计算，熟练掌握进行解直角三角形的计算是解题的关键． 【详解】（1）过点D作于H， 由题意得： ∴． （2）过点D作于H， 延长、交于点E， ∵． ∴， ∵． ∴             答：D到的距离约为． 3．(24-25九上·江西鹰潭余江区·期末)为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，文化路社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳棚，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳棚长为米，从点看到棚顶顶点的仰角为，从点看到地面点的俯角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求凉荫处的长．（结果精确到米；参考数据：，，） 【答案】凉荫处的长约为米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度．过作于，于，在中，根据三角函数求出、的值，根据矩形的性质可得，，进而求出的值，由，可得，最后根据线段的和差即可求解． 【详解】解：过作于，于，如图： 在中，（米），（米）， ， 四边形是矩形， 米，（米）， 在中， ， 米， （米）， 凉荫处的长约为米． 4．(24-25九上·江西吉安万安县·期末)我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点的位置，且A，B，三点共线，，B为中点，当时，伞完全张开． （1）求的长． （2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．（参考数据：） 【答案】（1）20cm；（2）26.4cm 【分析】（1）根据中点的性质即可求得； （2）过点B作于点E．根据等腰三角形的三线合一的性质求出．利用角平分线的性质求出∠BAE的度数，再利用三角函数求出AE，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵B为中点， ∴， ∵， ∴． （2）如图，过点B作于点E． ∵， ∴． ∵平分， ∴． 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为． 5．(24-25九上·江西南昌江西师范大学附属中学红谷滩区滨江分校·期末)如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利．某校数学社团的同学们欲测量塔的高度．如图2，他们在第一层看台上架设测角仪，从处测得塔的最高点的仰角为，测出，台阶可抽象为线段，，台阶的坡角为，测角仪的高度为，塔身可抽象成线段． (1)求测角仪与塔身的水平距离； (2)求塔身的高度．（结果精确到）（参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形求解． （1）延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，则，，易得，根据勾股定理得出，最后即可解答； （2）由（1）可知，，根据题意得出，，，则，，根据，即可解答． 【详解】（1）解：如图，延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点， 则，， 由题意可知，，， ， ， ， 答：测角仪与塔身的水平距离为； （2）解：由（1）可知，， 由题意可知，，，， ， ， ， 答：塔身的高度约为． 6．(24-25九上·江西九江外国语学校·期末)如图，在大楼的正前方有一斜坡长为26米，坡度为，高为．在斜坡底的点C处测得楼顶B的仰角为，在斜坡顶的点D处测得楼顶B的仰角为，其中点A、C、E在同一直线上． (1)求斜坡的高； (2)求大楼的高度．（参考数据：，，结果精确到个位） 【答案】(1)10米 (2)54米 【分析】本题考查的知识点是坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形、已知正切值求边长，解题关键是熟练掌握坡度坡比问题的解法． （1）根据坡度可得，再根据勾股定理即可求解； （2）过点D作于F，得矩形，设，根据正切值求边长得，再根据可求得的值，最后由即可求解． 【详解】（1）解：斜坡的坡度是， ，即， 又在中，， ， 解得， 斜坡的高为10米． （2）解：如图，过点D作于F，得矩形， ∴米，． 设， ， ， 在斜坡顶的点处测得楼顶的仰角为， ， 由（1）得：， ， 即， 解得：， 米， 故大楼的高度为54米． 7．(24-25九上·江西吉安·期末)人工智能越来越多地应用于现实生活，某科技小组的成员小星在一次就餐中，对餐厅使用的“送菜机器人”很感兴趣，于是他与小组成员一起研制了一个简易的智能机器人，如图（1），机器人底座AB固定在桌面（桌面足够大）上，且，，，和可以分别绕点B，C自由转动，且始终在同一平面内． (1)机器人工作时，某时刻的示意图如图（2）所示，，，请你求出此时点D到桌面的距离． (2)当点D在桌面上时，请你求出点A，D之间的最大距离． （结果精确到．参考数据：，，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作的平行线，交的延长线于点F，过点D作的垂线，垂足为点E，交直线于点G．先求出，在中，求得，在中，求得，最后可得结果； （2）当点在桌面上时，易知当点B，C，D共线时，点D距点A最远，利用勾股定理求得的长即可． 【详解】（1）如图（1），过点作的平行线，交的延长线于点F，过点D作的垂线，垂足为点E，交直线于点G． 易得四边形是矩形，∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，． 在中， ∴． 故此时点到桌面的距离约为． （2）当点在桌面上时，易知当点B，C，D共线时，点D距点A最远，如图（2）． 在中，， 由勾股定理得，， ∴点A，D之间的最大距离为． 8．(24-25九上·江西吉安峡江县·期末)九（1）班同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量． (1)如图1，第一小组用一根木条斜靠在护墙上，使得与的长度相等，如果测量得到，求护墙与地面的倾斜角α的度数． (2)如图2，第二小组用皮尺量的为16米（E为护墙上的端点），的中点离地面的高度为米，请你求出E点离地面的高度． (3)如图3，第三小组利用第一、第二小组的结果，来测量护墙上旗杆的高度，在点P测得旗杆顶端A的仰角为，向前走4米到达Q点，测得A的仰角为，求旗杆的高度（精确到米）． 备用数据：． 【答案】(1) (2)米 (3)米 【分析】（1）根据等腰三角形的性质结合即可得出答案． （2）设的中点为M，过M作，垂足为点N，过点E作，垂足为点H，证明即可求出E点离地面的高度； （3）延长，交于点C，设，则，，根据，得出，求出x即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：如答图1，设的中点为M，过M作，垂足为点N，过点E作，垂足为点H， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴（米）． ∴E点离地面的高度是米． （3）解：如答图2，延长，交于点C， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． ∴（米）． 答；旗杆的高度是米． 9．(24-25九上·江西南昌第五中学实验学校·期末)实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管， ，试管倾斜角为．（参考数据：） (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度（结果精确到）． 【答案】(1)． (2)的长度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三角形是解题关键． （1）过点E作于点G．可得四边形为矩形，推出．根据题意得，．结合，即可求解； （2）过点B分别作于点H，于点P．可推出四边形是矩形，得∴．在中，根据，，即可求解； 【详解】（1）解：如图，过点E作于点G． ∵， ∴四边形为矩形， ∴． ∵， ， ∴， ∴． 在中，， ∴． （2）解：如图，过点B分别作于点H，于点P． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 易知， 在中， ， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴（）． 答：的长度约为． 10．(24-25九上·江西新余分宜中学·期末)综合与实践活动中，要用测角仪测量赣江上一座桥的桥塔 的高度（如图1），某学习小组设计了一个方案：如图2，点C，D，E依次在同一条水平直线上， ，垂足为C，在 D 处测得桥塔顶部B 的仰角 为 ，测得桥塔底部A 的俯角（）为 ，又在E 处测得桥塔顶部B 的仰角（）为 ．（参考数据： ） (1)求线段的长；（结果取整数） (2)求桥塔的高度．（结果取整数） 【答案】(1)线段的长约为 (2)桥塔高度约为 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键． （1）设，解，得到．解，得到．则．解方程即可； （2）求出，根据即可得到答案． 【详解】（1）解：设，则． ， ． 在中，， ． 在中，， ． ． ∴． 答：线段的长约为． （2）解：在中，， ． ． 答：桥塔的高度约为． 11．(24-25九上·江西南昌心远中学·期末)图（1）是某广场社会主义核心价值观标牌雕塑，将其抽象为如图（2）所示的平面示意图，六边形，为两个正六边形，且点、、、在同一水平线上，已知． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接，当点为的中点时，，请你计算点、两点之间的距离．（结果精确到．参考数据：） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正多边形的性质，平行四边形的判定，解直角三角形的应用； （1）根据正六边形的性质得出，，，进而可得，即可得证； （2）根据正六边形的性质得出是等边三角形，结合平行四边形的性质得出，，结合已知，进而解，即可求解． 【详解】（1）∵六边形，为两个正六边形， ∴，， ∴， ∴， 即 ∴四边形为平行四边形； （2）∵六边形，为两个正六边形， ∴ ∴是等边三角形，则， ∵四边形为平行四边形； ∴，， ∴ ∵，点为的中点 ∴， ∴ 如图所示，在中，过点作于点， ∵， ∴ ∵， ∴ 即点、两点之间的距离为． 12．(24-25九上·江西吉安遂川县·期末)如图1，是公园里的木制长椅子，将其抽象为图， ，．（结果精确到小数点后一位） (1)求直线与直线所成锐角的度数； (2)求椅子的宽度（两点的水平距离）． （参考数据： ，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）分别延长，交于点，利用平行线的性质求得，即．再由求解； （2）分别过点，作，垂直于直线，垂足分别为，，先利用平行线的性质求得，再解直角三角形求得，．然后由求解即可． 【详解】（1）解：分别延长，交于点，如图． ， ，即． ， ． 即直线与直线所成的锐角为． （2）解：分别过点，作，垂直于直线，垂足分别为，，如图． ， ． ， ． ． 椅子的宽度的为． 13．(24-25九上·江西抚州·期末)容睿使用桌上书架如图1所示．睿睿发现，当书架与桌面的夹角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时舒适度不太理想．睿睿调整书架与桌面的夹角大小继续探究，最后发现当张角时（点是的对应点），舒适度较为理想．     (1)书架在旋转过程中，求顶部边缘点到走过的路径长． (2)如图2这个平面图形，如果睿睿的眼睛在处，书上有一点，旋转点到点的距离为，睿睿看点的俯角为，眼睛到桌面高度为，点到点的距离为，求此时眼睛到F点的距离，即的长度．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据题意求出，再根据正弦的定义求出，根据弧长公式计算即可； （2）过点F作于M，于N，根据正弦的定义求出，进而求出，再根据余弦的定义计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，， 则 ∵， ∴， ∴A点到走过的路径长为：； （2）解：如图2，过点F作于M，于N， 则四边形为矩形， ∴， 在中，， 则， ∴， ∴ 在中，， 则， 答：眼睛到F点的距离约为． 14．(24-25九上·江西吉安遂川泉江中学·期末)如图，某地计划为学校添置新式课桌椅，椅子可供学生午休的躺椅．图（1）是上课期间椅子摆放样式，已知座面宽，座面高，背垫为，点G到地面的垂直距离为，．图（2）是水平摆放时的形状，脚垫长，，． （结果保留1位小数，参考数据：，，，） (1)求背垫的长； (2)如图（2），求午休躺睡时课椅点G与点H之间的水平距离． 【答案】(1)的长为 (2)午休躺睡时课椅点G与点H之间的水平距离为 【分析】本题考查解直角三角形的应用． （1）过点G作垂直的延长线于点M，先求出，再根据得到的长即可； （2）过点H作，过点A作，，分别垂直于，垂足分别为M，N，O，过作于，则四边形和都是矩形，由（1）可知，先求出，再分别在和中求出，再根据矩形的性质求即可． 【详解】（1）解：过点G作垂直的延长线于点M， ∵， ∴， ∵点G到地面的垂直距离为，则，， ∴， 在中，，， ∴， 答：的长为； （2）解：过点H作，过点A作，，分别垂直于，垂足分别为M，N，O，过作于，则四边形和都是矩形， ∴，, 由（1）可知， ∵，， ∴，， 在中， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴． 答：午休躺睡时课椅点G与点H之间的水平距离为． 地 城 考点04 几何图形中的三角函数问题 1．(24-25九上·江西吉安青原区·期末)【课本再现】 （）如图（），在中，为上一点，是否与相似？（填“是”或“不是”） 【类比探究】 （）如图（），在中，为上一点，已知，求证：． 【拓展应用】 （）在Rt，点为上一点，如图（），点分别在上，，垂足为．若，求的值．    【答案】（）是； （）证明见解析； （）． 【分析】（）根据相似三角形的判定即可求解； （）证明得到，即可求证； （）设，则，同()得，求出，由三角函数得，过作于，则，在中，，由，推出是等腰直角三角形，得到，进而得到，由平行线等分线段定理即可求解． 【详解】（）解：∵，， ∴， 故答案为：是； （）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ （）解：∵， ∴设，则， ∵，， 同()得， ∴， 在中，， 过作于，如图所示，    则， 在中，， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．(24-25九上·江西鹰潭余江区·期末)【课本再现】北师大版九年级上册数学课本第21页有这样一道题： （1）如图1，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且．则与之间有怎样的关系？请说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，，点在边上．连接为延长线上一点，连接，且的延长线垂直于，垂足为点． ①求的值； ②求的值． 【答案】（1），，理由见解析；（2）①；②． 【分析】（1）根据题意可证，得到，则，由此即可求解； （2）①证明，得到即可求解；②由，得到，设，则，运用勾股定理得到，根据正弦值的计算即可求解． 【详解】解：（1），，理由如下： 延长交于， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2）①， ， 在矩形中，，， ， ， ， ， ∵， ； ②， ， ， 设，则， ， ． 3．(24-25九上·江西吉安万安县·期末)课本再现 思考：我们知道，矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 定理证明：（1）如图①，在中，对角线和相等．求证：是矩形； 知识应用：（2）如图②，的对角线，交于点，点，在上，且，．求证：四边形是矩形； 拓展延伸：（3）如图③，在矩形中，，，，分别是边和对角线上的点，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练利用相似三角形的性质解题是关键． （1）利用矩形的判定即可解答； （2）证明四边形是平行四边形，再利用，即可解答； （3）连接，由，，得出，再由，可得，推出，可求得． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ，， 在与中， ， ， ， ， ， 平行四边形为矩形； （2）证明：四边形为平行四边形， ， ， ，即， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形； （3）解：如图3，连接， 矩形中，，，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 在和中， ， ， ，即， ， ， ， ． 4．(24-25九上·江西九江同文中学·期末)数学活动课上，老师给出如下问题：如图①，正方形，连接，点E在边上，点F在边上，连接，过点B作于点G，分别交线段于点M，点N，且． 各学习小组在探究过程中依次提出了以下问题，请你写出解答过程： (1)“智慧小组”提出问题： 三条线段的长度间存在某种等量关系，请你直接写出这种关系； (2)“善思小组”提出问题： 求证：； (3)“创新小组”在探究中受到启发，提出问题：如图②，若，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据两组对角相等，证明，可得； （2）作于点H，根据正方形的性质证明是等腰直角三角形，推出；再证，推出，，可证； （3）过点M作且，连接，设，，，结合（1）中结论推出，，进而可得，再证，根据得出，等量代换得出，代入计算求出即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， 又四边形是正方形， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，作于点H， ， 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ； ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 又 ， ， ，即， ； （3）解：如图，过点M作且，连接， ， 设，， 由（1）知，， 设， ， ， ， ； 四边形是正方形，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 即， 化简得：， 解得（负值舍去）， ． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $