精品解析：黑龙江省佳木斯市抚远市前哨学校、前锋农场学校联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

九年级数学期中模拟卷 （考试时间120分钟，满分120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正方形 D. 正五边形 2. 已知一元二次方程的一个根为2，则另一个根及的值分别是（ ） A. 3，6 B. ， C. 7，14 D. ， 3. 若一个扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 4. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 顶点坐标为 C. 对称轴为直线 D. 当时，随的增大而减小 5. 某商品单价经过两次降价从100元降至81元，设平均每次降价百分率为x，则可列方程（ ） A. 100＝81 B. 100＝81 C. 81＝100 D. 81＝100 6. 如图，的直径，弦长为6，的平分线交于点，则的长（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 7. 将抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C D. 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 9. 如图，在中，，将绕点C顺时针得到，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. 5 D. 10. 已知二次函数（）的图象经过点，，，则当时，x的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 抛物线与轴的交点坐标为______． 12. 点P（2，﹣3）与点P′关于原点成中心对称，则P′的坐标为 ___． 13. 已知扇形面积为12πcm2，半径为6cm，则该扇形的圆心角是_____度． 14. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 15. 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于D点，且AB＝6cm，OD＝4cm，则DC的长为______cm． 16. 某农场2023年粮食产量为100吨，2025年粮食产量预计达到144吨，设该农场粮食产量的年平均增长率为，则可列方程为______． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知二次函数图象经过点和，求该二次函数的解析式，并求出其顶点坐标． 19. 如图，在中，直径，点、在上，且，连接、，，求证：． 20. 某商场销售一批进价为元/件的衬衫，售价为元/件，每天可卖出件，设每天的利润为元． （1）求与之间的函数关系式； （2）若每天的利润为元，求此时的售价； （3）当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，4），B（-4，2），C（-2，1），且△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称． （1）画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）P（a，b）是△ABC的AC边上一点，△ABC经平移后点P的对应点为P＇（a+3，b+1），请画出平移后的△A2B2C2． 22. 如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C． （1）若AB＝4，∠ABP＝60°，求PB的长； （2）若CD是⊙O的切线．求证：D是AP的中点． 23. 已知抛物线与轴交于点、两点（在左侧），与轴交于点． （1）求点、、的坐标； （2）点P是抛物线上一点，且点的横坐标为4，求的面积； （3）点M是抛物线上一动点，当的面积为8时，求点M的坐标． 24. 如图，在中，将绕点顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上，且交于F时． （1）求证：是等边三角形； （2）连接，若，，求的长． 25. 已知二次函数（），其图象经过点和． （1）求该二次函数的解析式； （2）若点在该二次函数图象上，当时，求的取值范围； （3）若直线与该二次函数的图象有两个交点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学期中模拟卷 （考试时间120分钟，满分120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正方形 D. 正五边形 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：A．轴对称图形，不是中心对称图形．故错误； B．不轴对称图形，是中心对称图形．故错误； C．是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确； D．是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误． 故选C． 考点：1．中心对称图形；2．轴对称图形． 2. 已知一元二次方程的一个根为2，则另一个根及的值分别是（ ） A. 3，6 B. ， C. 7，14 D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系，即两根之和等于，两根之积等于. 【详解】解：∵ 方程的一个根为2，设另一根为，则， ∴， 又， ∴， 故另一个根为3，m的值为6， 故选A. 3. 若一个扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键；根据弧长公式直接计算即可． 【详解】解：由题意得：； 故选B． 4. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 顶点坐标为 C. 对称轴为直线 D. 当时，随的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 根据二次函数顶点式的性质，判断开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴， ∴抛物线的开口向上，故A错误； 顶点坐标为(3, 1)，故B错误； 对称轴为直线，故C正确； 当时，y随x的增大而增大，故D错误． 故选：C． 5. 某商品单价经过两次降价从100元降至81元，设平均每次降价百分率为x，则可列方程（ ） A. 100＝81 B. 100＝81 C. 81＝100 D. 81＝100 【答案】B 【解析】 【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据降价前及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】设平均每次降价的百分率为x， 根据题意得：100（1-x）2=81． 故选B． 【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题关键． 6. 如图，的直径，弦长为6，的平分线交于点，则的长（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角以及勾股定理． 根据圆周角定理得到，然后利用勾股定理可计算出． 【详解】为的直径，． 在中，，，． 故选：A． 7. 将抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，掌握“左加右减，上加下减”的平移规则是解题关键． 先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”，先向右平移2个单位，替换为；再向下平移个单位，整体减． 【详解】解：原抛物线解析式为 ． 向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线解析式为． 故选：A． 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零；同时，有两个不相等的实数根要求判别式大于零进行求解即可． 【详解】解：由题意得：且， ∵，，， ∴ 解得且； 故选B． 9. 如图，在中，，将绕点C顺时针得到，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质可得，，，可证明A、C、E三点共线，则． 【详解】解：由旋转性质知，，，，， ∴，C、D、B三点共线， ∴A、C、E三点共线， ∴， 故选：C． 10. 已知二次函数（）的图象经过点，，，则当时，x的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质与性质是解题的关键，由点和可知二次函数的根为和，再代入点求出系数，从而函数开口向上，故时的取值范围在根之外． 【详解】解：∵ 二次函数图象经过点和， ∴ 和是的两个根， 设二次函数为， ∵函数图象过： ∴， ∴， ∴， ∴，即： ∴， ∴或 故选A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 抛物线与轴的交点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像与性质，求抛物线与 轴的交点坐标，需令 ，代入解析式计算 的值． 【详解】令 ，代入 ， 得：， 故抛物线与 轴的交点坐标为 ． 故答案为 ． 12. 点P（2，﹣3）与点P′关于原点成中心对称，则P′的坐标为 ___． 【答案】（-2，3） 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：点P（2，-3）与点P′关于原点对称，则点P′的坐标（-2，3）． 故答案为：（-2，3）． 【点睛】本题考查了关于原点的对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数． 13. 已知扇形的面积为12πcm2，半径为6cm，则该扇形的圆心角是_____度． 【答案】120 【解析】 【分析】设扇形圆心角的度数为n，由扇形的面积公式列方程即可求出圆心角． 【详解】解：设扇形圆心角的度数为n， ∵扇形的面积为12πcm2， ∴， ∴n＝120° 故答案为：120． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．扇形的面积公式为． 14. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】用含的代数式表示出此方程的根的判别式，根据根的判别式进行计算即可． 【详解】解：由题意得： ∵方程有两个相等的实数根， 解得： 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练根据根的情况转化为根的判别式进行计算是解决本题的关键． 15. 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于D点，且AB＝6cm，OD＝4cm，则DC的长为______cm． 【答案】1 【解析】 【分析】连接AO，根据垂径定理得到AD长，再用勾股定理求出圆的半径，DC用半径减去OD得到． 【详解】解：如图，连接AO， ∵半径与点D， ∴， ，根据勾股定理，， ， ． 故答案是：1． 【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理的内容，并能够结合勾股定理进行计算求解． 16. 某农场2023年粮食产量为100吨，2025年粮食产量预计达到144吨，设该农场粮食产量的年平均增长率为，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式．根据等量关系式：2023年粮食产量2025年粮食产量，列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），． （2），． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程方法，是解题的关键： （1）因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 则或， 解得，． 【小问2详解】 ，，， 判别式， ∴， 解得，． 18. 已知二次函数的图象经过点和，求该二次函数的解析式，并求出其顶点坐标． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和将一般形式化为顶点式，掌握以上知识即可求解． 【详解】解：将和代入解析式得： ①－②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 解析式为． 配方得， 顶点坐标为． 19. 如图，在中，是直径，点、在上，且，连接、，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查圆周角的性质及弧，弦关系，熟练掌握圆周角的性质及弧，弦关系是解题的关键，由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求证． 【详解】证明：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ． 20. 某商场销售一批进价为元/件的衬衫，售价为元/件，每天可卖出件，设每天的利润为元． （1）求与之间的函数关系式； （2）若每天的利润为元，求此时的售价； （3）当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）售价为元/件或元/件 （3）当售价为元时，每天利润最大，最大利润元． 【解析】 分析】（1）由利润=（售价－进价）×销售量可列函数关系式； （2）将代入关系式可得的值； （3）利用二次函数的性质求最值． 【小问1详解】 解：， ， 【小问2详解】 解：当时，， 整理得：， ， ， ∴此时售价为：元/件或元/件， 【小问3详解】 ， ， ∵， ∴开口向下， ∴当时，有最大值为元， 当售价为元时，每天利润最大，最大利润为元． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用及二次函数的最值，关键是熟练应用二次函数的性质． 21. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，4），B（-4，2），C（-2，1），且△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称． （1）画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）P（a，b）是△ABC的AC边上一点，△ABC经平移后点P的对应点为P＇（a+3，b+1），请画出平移后的△A2B2C2． 【答案】（1）作图见解析，A1的坐标是（3，-4）；（2）作图见解析． 【解析】 【分析】（1）首先作出A、B、C的对应点，然后顺次连接即可求得； （2）把△ABC的三个顶点分别向右平移3个单位长度，向上平移1个单位长度即可得到对应点，然后顺次连接即可． 【详解】解：（1）如图所示： A1的坐标是（3，-4）； （2）△A2B2C2是所求的三角形． 22. 如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C． （1）若AB＝4，∠ABP＝60°，求PB的长； （2）若CD是⊙O的切线．求证：D是AP的中点． 【答案】（1）PB＝8；（2）详见解析. 【解析】 【分析】（1）如图1，利用切线的性质得∠BAP=90°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求PB的长； （2）连接OC、AC，如图2，根据切线的性质得出∠2+∠4=90°，∠1+∠3=90°，利用等腰三角形的性质可证明 ∠3=∠4，那么∠1=∠2，CD=AD．根据圆周角定理得∠ACB=90°，再证明∠5=∠P，那么CD=DP，即D是AP的中点． 【详解】（1）解：如图1． ∵PA是⊙O的切线，AB是直径， ∴PA⊥AB， ∴∠BAP＝90°， ∴∠P+∠ABP＝90°， ∵∠ABP＝60°， ∴∠P＝30°， 又∵AB＝4， ∴PB＝2AB＝2×4＝8． （2）证明：连接OC、AC，如图2， ∵PA是⊙O的切线，CD是⊙O的切线， ∴∠2+∠4＝90°，∠1+∠3＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠3＝∠4， ∴∠1＝∠2， ∴CD＝AD． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠1+∠5＝90°，∠2+∠P＝90°， ∵∠1＝∠2， ∴∠5＝∠P， ∴CD＝DP， ∴CD＝AD＝DP， ∴D是AP的中点． 【点睛】本题考查由切线得到的垂直关系、直径所对的圆周角是直角，使问题化在直角三角形来解决，值得注意的是本题的两个问都可以运用直角三角形的同一条性质来解决；本题的（2）问还要注意等边或等腰三角形的桥梁作用．当然要证明（2）问的结论的途径不止一种． 23. 已知抛物线与轴交于点、两点（在左侧），与轴交于点． （1）求点、、的坐标； （2）点P是抛物线上一点，且点的横坐标为4，求的面积； （3）点M是抛物线上一动点，当的面积为8时，求点M的坐标． 【答案】（1），， （2）6 （3）或或 【解析】 【分析】本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练运用数形结合是解题的关键． （1）分别令，，即可求解； （2）先求出点的纵坐标，连接，设与轴交点为，求出直线解析式为，进而求出，再求出，根据面积即可求解； （3）求出，设，根据面积，求解即可． 【小问1详解】 解：令，， 因式分解得， 解得，， 在左侧， ，， 令，， ； 【小问2详解】 解：当时，， ， 如图，连接，设与轴交点为， 设直线解析式为，则， 解得， 直线得解析式为， 令，解得， ∴， ∴， 面积； 【小问3详解】 解：， 设， 面积， ，即或， 当时，，，解得， 当时，，，解得， 综上，M坐标为或或． 24. 如图，在中，将绕点顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上，且交于F时． （1）求证：是等边三角形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，理解旋转的性质是解题的关键． （1）先根据旋转的性质及平行线的性质证，再根据等腰三角形的判定即可得证； （2）过A作于H，先在中求出，在中求出，然后证为等边三角形即可求解． 【详解】（1）证明：绕点顺时针旋转一定角度得到， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）过A作于H， ，， ，， ， ， ， ， 绕点顺时针旋转一定角度得到， ，即 ， ， 是等边三角形， ． 25. 已知二次函数（），其图象经过点和． （1）求该二次函数的解析式； （2）若点在该二次函数的图象上，当时，求的取值范围； （3）若直线与该二次函数的图象有两个交点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）全体实数 【解析】 【分析】本题主要考查利用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质等知识；熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）运用待定系数法求出二次函数的解析式即可； （2）将化为顶点式，判断时的取值范围即可； （3）直线与二次函数图象有两个交点，需联立方程并使判别式，求出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：将点和代入解析式，得： ， 解得， 所以，二次函数解析式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为，此为函数最大值点． 当时，； 当时，； 当时，； 对比可知，时n取最大值4，故． 【小问3详解】 解：联立方程：， 整理得； ∵直线与该二次函数的图象有两个交点， ∴． ∵， ∴，即 ∴的取值范围是全体实数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $