精品解析：河南省南阳市方城县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025年秋期期中九年级阶段性调研 数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．试题卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、考场、座位号或条形码填写、粘贴在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将其序号填涂在答题卡上．每小题3分，共30分．） 1. 计算所得结果是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，化简即可． 【详解】解：； 故选C． 2. 如图，，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，找准线段的对应关系是解决本题的关键． 根据得到，再代入数据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 3. 关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 通过计算一元二次方程的判别式，即可判断方程根的情况． 【详解】解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 4. “这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的性质，设该化石的实际长度为，根据题意得出，即可求解． 【详解】设该化石的实际长度为，依题意， ， 解得： 故选：C． 5. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据题意，设宽为x步，则长为步，利用矩形面积公式即可列出方程. 【详解】解：设宽为x步，则长为步 由题意，得：， 故选：A. 6. 如图，有一块三角形余料，，高线，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在上，点、分别在，上，若满足，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．证明，，假设，，利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，设交于点． ， 可以假设，， 四边形是矩形， ， ， ，， ， ， ， 解得， ， 故选：B． 7. 如图，已知的顶点，，点在轴的正半轴上，在轴的正半轴上.连接，过点作，垂足为点，交于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设AC与OD交于点G，由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB=CD，则CD⊥OD，由题意的OA=4，AB=CD=8，OD=3，则OB=AB-OA=4，证△OAG∽△DCG，求出OG=DG=OD=1，证，求出BF=2，即可得出答案． 【详解】解：设AC与OD交于点G，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∵AB⊥OD， ∴CD⊥OD， ∵A（-4，0），C（8，3）， ∴OA=4，AB=CD=8，OD=3， ∴OB=AB-OA=4， ∵AB∥CD， ∴， ∴ ∴OG=DG=OD=1， ∵BE⊥CD，CD⊥OD， ∴OD∥BE， ∴， ∴ ，即 解得：BF=2， ∴点F的坐标为（4，2）， 故选 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 8. 如图，正方形中，，点在的延长线上，且，连接，的平分线与相交于点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，过作于，于，由平分，可得，推出四边形是正方形，，设，则，证明，则，可解得，得，最后根据勾股定理可得解． 【详解】解：如图，过作于，于， ∴，， ∵四边形是正方形，，， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∵平分，，， ∴， ∴四边形是正方形， 设，则， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴的长为． 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质，矩形的判定，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键通过作辅助线构造相似三角形和直角三角形． 二、填空题（每小题3分，共15分） 9. 若是一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 故答案为：． 10. 如图，线段交于点O，请你添加一个条件：________，使． 【答案】．（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 有一对对顶角与，添加，即得结论． 【详解】解： ∵（对顶角相等），， ∴． 故答案为：．(答案不唯一) 11. 如图，在菱形中，，，分别为，的中点，且，则菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，由，分别为，的中点，得，所以，然后根据菱形的面积为即可求解，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，分别为，的中点， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴菱形的面积为， 故答案为：． 12. 在等腰直角三角形中，，直角三角板含角的顶点P在边上移动（点P不与B，C重合），如图，直角三角板的一条直角边始终经过点A，斜边与边交于点Q，当为等腰三角形时，的长为________ ． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，勾股定理等知识，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． 分两种情况进行讨论，即当时和当时，分别利用平行线分线段成比例和等腰直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：①如图所示，当时， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，当时， ∴， ， 则， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴； ③当时，点与点重合，不符合题意； 综上，的长为1或， 故答案为：1或． 三、解答题（本题含8个小题，共75分） 13. 如图，在中，，是斜边上的高． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵是斜边上的高， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）通过，，证明，又，即可得证； （2）由（1）可知，，然后利用对应边成比例，即可得到的长度，然后利用求得面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 14. 某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 【答案】（1）乙种商品每件进价的年平均下降率为 （2）最少购进甲种商品40件 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，2024年的进价为80元列出方程求解即可； （2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为； 【小问2详解】 解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件， 由题意得，， ∴， 解得， ∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件， 答：最少购进甲种商品40件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期期中九年级阶段性调研 数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．试题卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、考场、座位号或条形码填写、粘贴在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将其序号填涂在答题卡上．每小题3分，共30分．） 1. 计算所得结果是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 如图，，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. 关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 4. “这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（ ） A. B. C. D. 5. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 2 6. 如图，有一块三角形余料，，高线，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在上，点、分别在，上，若满足，则的长为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，已知的顶点，，点在轴的正半轴上，在轴的正半轴上.连接，过点作，垂足为点，交于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形中，，点在的延长线上，且，连接，的平分线与相交于点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 9. 若是一元二次方程的一个根，则的值为______． 10. 如图，线段交于点O，请你添加一个条件：________，使． 11. 如图，在菱形中，，，分别为，的中点，且，则菱形的面积为______． 12. 在等腰直角三角形中，，直角三角板含角的顶点P在边上移动（点P不与B，C重合），如图，直角三角板的一条直角边始终经过点A，斜边与边交于点Q，当为等腰三角形时，的长为________ ． 三、解答题（本题含8个小题，共75分） 13. 如图，在中，，是斜边上的高． （1）求证：； （2）若，求的面积． 14. 某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $