精品解析：广东省潮州市潮安区2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

八年级数学期中测试卷 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 下列图形中，为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、图形是轴对称图形，故此选项符合题意； C、图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 已知图中的两个三角形全等，则度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质．根据全等三角形对应角相等即可求出结果． 【详解】解：∵两个三角形全等，在第一个三角形中，为，两边的夹角度数， 在第二个三角形中，为，两边的夹角， ∴． 故选：A． 3. 为估计池塘两岸A、B间的距离，明明在池塘一侧选取了一点P，测得，，那么间的距离可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 根据三角形的三边关系定理求解即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得：， 即， 故选B． 4. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA 2，则PQ的长不可能是（ ） A. 4 B. 3.5 C. 2 D. 1.5 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂线段最短得出当PQ⊥OM时，PQ的值最小，此时根据角平分线性质得出PQ=PA，再逐一判断即可． 【详解】解：当PQ⊥OM时，PQ的值最小， ∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=2， ∴PQ=PA=2， 所以的最小值为2， 所以A，B，D不符合题意，D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线性质，垂线段最短的应用，求解PQ最小值是解此题的关键． 5. 如图，一棵树在一次强风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，给图形标注上字母，由含角的直角三角形的性质得，即可解决问题．解题的关键是掌握：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【详解】解：如图， 根据题意得：，米， ∵， ∴， ∴（米）， 即这棵树在折断前的高度是9米． 故选：B． 6. 具备下列条件的中，不为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，判断三角形是否为直角三角形．通过代入内角和公式或设未知数求解各角度数，判断是否有度角即可． 【详解】解：∵ 在中，， 对于A：∵ ，∴ ，即，∴ ，是直角三角形． 对于B：∵ ，设，则，， ∴，即，，，是直角三角形． 对于C：∵ ，∴ ，∴ ，是直角三角形． 对于D：∵ ，∴ （因为），则为钝角，无度角，故不是直角三角形． 故选：D． 7. 如图，分别是的高和角平分线，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了高线以及角平分线的定义，根据高线的定义得出，，根据角平分线的定义得出的度数，进而得出答案． 【详解】解：∵是的高，且，， ∴，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 故选：A． 8. 数学活动课上，小明在正方形网格中一笔画成了一个“字图”，如图所示的图形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形外角．根据在和在正方形网格中的位置可以证明，根据全等三角形对应角相等可证，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可以得到． 【详解】解：如下图所示， 在和中 ， ， ， 又是的外角， ， ． 故选：B． 9. 如图，已知，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，准确分析判断是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理综合分析即可． 【详解】解：①在和中， ， 则； ②在和中， ， 不符合全等三角形的判定定理； ③在和中， ， 则； ④在和中， ， 则； 故选：C． 10. 如图，等腰的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交边于，点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（ ） A. 6 B. 10 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短，连接，由等腰三角形的性质可得，，由线段垂直平分线的性质可得，从而得出周长，由两点之间线段最短可得，当、、在同一直线上时，的值最小为，利用三角形面积公式求出，即可得解． 【详解】解：如图：连接， ， ∵等腰的底边长为6，点D为边的中点， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴周长， 由两点之间线段最短可得，当、、在同一直线上时，的值最小为， ∵等腰的底边长为6，面积是36 ∴， ∴， ∴周长的最小值为， 故选：C． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 适当进行有氧运动可以增强人体的心肺功能，改善血液循环，有效降低血压、改善血糖．如图，双人漫步机是一种有氧健身器材，其中的三角形支架应用的几何原理是______． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性．根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：三角形支架应用的几何原理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 12. 设点在第二象限，且，，则点关于轴的对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角坐标下点的特征，以及点关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是先确定点M的坐标． 根据第二象限内点的坐标特征确定点M的坐标，再根据关于y轴对称的点的坐标变化规律求解即可． 【详解】解：点在第二象限，且，， ∴，， 即点M的坐标为， 点M关于y轴的对称点的横坐标互为相反数，纵坐标相等， 故对称点的坐标为． 故答案为：． 13. 如图，上午8时，一条船从A处出发，以15海里／时的速度向正北航行，10时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC=84°，则从B处到灯塔C的距离_______． 【答案】30海里 【解析】 【分析】由上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里的时速向正北航行，10时到达海岛B处，可求得AB的长，又由∠NAC=42°，∠NBC=84°，可得∠C=∠NAC，即可证得BC=AB，则可得从海岛B到灯塔C的距离． 【详解】根据题意得：AB=2×15=30(海里)， ∵∠NAC=42°，∠NBC=84°， ∴∠C=∠NBC−∠NAC=42°， ∴∠C=∠NAC， ∴BC=AB=30海里． 即从海岛B到灯塔C的距离是30海里． 故答案为30海里． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质， 方向角，解题的关键是熟练掌握性质并运用． 14. 如图，是的中线，是上的一点，且，连接．若的面积为，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中的“等高模型”：当两个三角形高相等时，其面积之比等于底边之比，熟记相关结论即可． 【详解】解：∵是的中线，的面积为， ∴ ∵， 且中，边上的高与中，边上的高相等 ∴ ∴ 故答案为： 15. 如图，，C是延长线上一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，当_______________s时，是等腰三角形． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，把几何问题转化为方程求解，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，分两种情况：当点在线段上，当点在的延长线上，分别列式计算即可求解． 【详解】解：①当点在线段上，是等腰三角形时， ， 即， 解得； ②当点在的延长线上，是等腰三角形时， ， 是等边三角形， ， 即， 解得， 故答案为：或． 三、解答题（共3题，每题7分，共21分） 16. 使用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形．如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ 【答案】7.2cm，7.2cm，3.6cm． 【解析】 【分析】设等腰三角形的底边长为xcm，则腰长为2xcm，根据题意列出方程，解方程即得结果. 【详解】解：设等腰三角形的底边长为xcm，则腰长为2xcm，根据题意，得x+2x+2x=18，解得x=3.6，2x=7.2，所以这个等腰三角形各边的长是7.2cm，7.2cm，3.6cm． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义和运用方程解决问题，根据题意列出方程是解此题的关键. 17. 如图，在△ABC中， （1）尺规作图：作边AC的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，连结CD． （2）若△BCD的周长等于18，AE＝4，求△ABC的周长． 【答案】（1） 如图，直线DE即为所求． （2）26 【解析】 【分析】（1）根据要求作出图形即可． （2）求出BC+AB=18，AC=8，可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵DE垂直平分线段AC， ∴DA=DC，AE=CE=4， ∴AC=8， ∵△BDC的周长=BC+BD+DC=BC+BD+DA=BC+AB=18． ∴△ABC的周长=BC+AB+AC=18+8=26． 【点睛】本题考查作图-基本作图，三角形的周长，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 18. 如图，在锐角三角形中，，它的两条高，相交于点O，且．求证：是等边三角形． 【答案】 证明：在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 又， 是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定、三角形全等的判定和性质，等边对等角，熟知这些知识是解题的关键．先根据条件用判定证明，再推理得到，再根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形证得结论． 【详解】略． 四、解答题（共3题，每题9分，共27分） 19. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、的长度分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由； （2）当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 【答案】（1） ，理由如下： 由题意可知， ∵， ∴． ∴， ∴． （2）小丽距地面的高为 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，掌握知识点是解题的关键． （1）由直角三角形的性质得出，根据可证明，即可解答； （2）由全等三角形的性质得出，求出的长即可解答． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵分别为和， ∴， ∵， ∴． 即小丽距地面的高为． 20. 问题：如何作的平分线? 作法： 甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线．即得为的平分线． 讨论： 大家对甲同学的作法深信不疑．认为判断是角平分线的理由是： 在与中， 与（依据：②_____） 对乙同学作法半信半疑．通过讨论最终确定判断OP为角平分线的理由是： ， （依据：③_____） 对丙同学的作法陷入了沉思． 任务： （1）请你将上述讨论过程中缺少的条件和依据补充完整； （2）完成对丙同学作法的说明．已知：，，说明：平分． 【答案】（1）①；②；③“三线合一” （2） 证明：， ， ， ， 平分 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，作角平分线，等边对等角，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）结合甲同学的做法和乙同学的做法图形，完善推理步骤即可； （2）根据已知得出，进而可得，根据等边对等角可得，等量代换可得，即可得证． 【小问1详解】 解：① ② ③“三线合一” 【小问2详解】 略 21. 如图，在和中，，，，的延长线交于点． （1）若，请求出的度数； （2）过点作于点，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：如图，连接，过点作于点， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】（）证明，得，即得，进而得到，再根据补角性质即可求解； （）连接，过点作于点，由得，，得到，再证明，得到，进而可证，得到，即得到，即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，补角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解： ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 五、解答题(共2题，22题13分，23题14分，共24分) 22. 阅读下列材料，解答问题： 定义：线段AD把等腰三角形ABC分成△ABD与△ACD（如图1），如果△ABD与△ACD均为等腰三角形，那么线段AD叫做△ABC的完美分割线. （1）如图1，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，AD为△ABC的完美分割线，且BD<CD，则∠B=________，∠ADC=________. （2）如图2，已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BE为△ABC的角平分线，求证：BE为△ABC完美分割线. （3）如图3，已知△ABC是一等腰三角形纸片，AB=AC，AD是它的一条完美分割线，将△ABD沿直线AD折叠后，点B落在点B1处，AB1交CD于点E，求证：DB1=EC. 【答案】（1）36º；72º; (2)证明：∵AB=AC ∴∠ABC=∠C=  （180°-∠A）=72° ∵BE为△ABC的角平分线 ∴ ∠ABE=∠CBE=∠ABC=36° ∴∠ABE=∠A ∴AE=BE∵∠BEC=180º–∠C–∠CBE=72º ∴∠BEC=∠C ∴BE=BC ∴△ABE、△BEC均为等腰三角形 ∴BE为△ABC的完美分割线． (3) 证明：∵AD是△ABC的一条完美分割线 ∴AD=BD，AC=CD ∴∠B=∠BAD，∠CAD=∠CDA ∵∠B+∠BAD+∠ADB=180º，∠ADB+∠CDA=180º ∴∠CDA=∠B+∠BAD=2∠BAD ∴∠CAD=2∠BAD ∵∠BAD=∠B1AD ∴∠CAD=2∠B1AD ∵∠CAD=∠B1AD+∠CAE ∴∠B1AD=∠CAE ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵∠B=∠B1 ∴∠B1=∠C ∵AB=AB1 ∴AB1= AC ∴△AB1D≌△ACE ∴DB1=CE 【解析】 【分析】（1）由AD为△ABC的完美分割线，推出△ACD是等腰三角形，△ABD∽△CBA，有此即可解决问题； （2）根据完美分割线的定义只要证明△ABE是等腰三角形，△BCE∽△ACB即可； （3）证明△AB1D≌△ACE即可. 【详解】（1）∵AD为△ABC的完美分割线， ∴△ACD是等腰三角形，△ABD∽△CBA， ∵AB=AC，∠BAC=108°， ∴∠B=∠C=36°， ∴∠ADC=∠CAD=72°， 故填36°，72° （2）略 （3）略 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，仔细分析题意，证明相似与全等是解题的关键. 23. 阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，过点作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于D，于E，，，求的长； （3）拓展延伸：在平面直角坐标系中，，点在第一、第三象限的角平分线上，点在轴上，为等腰直角三角形．直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】（1） 证明：∵于D，， ∴ 即， ∵ ∴ ∵ ∴． （2） （3），，， 【解析】 【分析】（1）因为于D，，所以，因为，即可通过证明作答． （2）因为，，得，因为，即可通过证明，再运用全等三角形的性质，即可作答． （3）分类讨论，如图，当，，过点B作轴于点，过点A作的延长线于点，如图，通过证明，再设点B的坐标为，，根据，进一步作答即可，当，，和分别作图，接着证明相应三角形全等，根据全等三角形的对应边相等，列式作答即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ 则 ∵ ∴ 即． 【小问3详解】 解：如图，当，，过点B作轴于点，过点A作的延长线于点，如图： ∴， ∴， ∵过点B作轴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上， ∴设点B的坐标为，， ∵，， ∴，， 解得， 故点C的坐标为； 当，，过点B作轴于点，过点A作射线轴，且过点B作于，如图： ∴， ∵ ∴， ∵过点B作轴，过点B作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上， ∴设点B的坐标为，， ∵，， ∴， 此时方程无解， 当，，过点A作直线轴，与轴交于点D，过点B作于点E，如图： ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上， ∴设点B的坐标为，， ∵，， ∴，， 解得， 故点C的坐标为； 当，，过点A作直线轴，过点B作于点E，过点C作于点D，如图： ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上， ∴设点B的坐标为，， ∵，， ∴， ， 解得， 故点C的坐标为； 当时，，过点C作直线轴，过点B作于点E，过点A作于点D，如图： ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上， ∴设点B的坐标为，， ∵，， ∴，， 解得， 故点C的坐标为； 综上， C点的坐标为，，，． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，平角的定义，直角三角形的两个锐角互余，“一线三直角”的模型，综合性较强，难度较大，灵活使用分类讨论思想以及正确掌握作辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学期中测试卷 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 下列图形中，为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知图中的两个三角形全等，则度数是（ ） A. B. C. D. 3. 为估计池塘两岸A、B间的距离，明明在池塘一侧选取了一点P，测得，，那么间的距离可能是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA 2，则PQ的长不可能是（ ） A. 4 B. 3.5 C. 2 D. 1.5 5. 如图，一棵树在一次强风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 具备下列条件的中，不为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，分别是的高和角平分线，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 数学活动课上，小明在正方形网格中一笔画成了一个“字图”，如图所示的图形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，等腰的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交边于，点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（ ） A. 6 B. 10 C. 15 D. 16 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 适当进行有氧运动可以增强人体的心肺功能，改善血液循环，有效降低血压、改善血糖．如图，双人漫步机是一种有氧健身器材，其中的三角形支架应用的几何原理是______． 12. 设点在第二象限，且，，则点关于轴的对称点的坐标是______． 13. 如图，上午8时，一条船从A处出发，以15海里／时的速度向正北航行，10时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC=84°，则从B处到灯塔C的距离_______． 14. 如图，是的中线，是上的一点，且，连接．若的面积为，则图中阴影部分的面积是______． 15. 如图，，C是延长线上一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，当_______________s时，是等腰三角形． 三、解答题（共3题，每题7分，共21分） 16. 使用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形．如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ 17. 如图，在△ABC中， （1）尺规作图：作边AC的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，连结CD． （2）若△BCD的周长等于18，AE＝4，求△ABC的周长． 18. 如图，在锐角三角形中，，它的两条高，相交于点O，且．求证：是等边三角形． 四、解答题（共3题，每题9分，共27分） 19. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、的长度分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由； （2）当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 20. 问题：如何作的平分线? 作法： 甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线．即得为的平分线． 讨论： 大家对甲同学的作法深信不疑．认为判断是角平分线的理由是： 在与中， 与（依据：②_____） 对乙同学作法半信半疑．通过讨论最终确定判断OP为角平分线的理由是： ， （依据：③_____） 对丙同学的作法陷入了沉思． 任务： （1）请你将上述讨论过程中缺少的条件和依据补充完整； （2）完成对丙同学作法的说明．已知：，，说明：平分． 21. 如图，在和中，，，，的延长线交于点． （1）若，请求出的度数； （2）过点作于点，求证：． 五、解答题(共2题，22题13分，23题14分，共24分) 22. 阅读下列材料，解答问题： 定义：线段AD把等腰三角形ABC分成△ABD与△ACD（如图1），如果△ABD与△ACD均为等腰三角形，那么线段AD叫做△ABC的完美分割线. （1）如图1，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，AD为△ABC的完美分割线，且BD<CD，则∠B=________，∠ADC=________. （2）如图2，已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BE为△ABC的角平分线，求证：BE为△ABC完美分割线. （3）如图3，已知△ABC是一等腰三角形纸片，AB=AC，AD是它的一条完美分割线，将△ABD沿直线AD折叠后，点B落在点B1处，AB1交CD于点E，求证：DB1=EC. 23. 阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，过点作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于D，于E，，，求的长； （3）拓展延伸：在平面直角坐标系中，，点在第一、第三象限的角平分线上，点在轴上，为等腰直角三角形．直接写出符合条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $