精品解析：广西玉林市玉州区、福绵区2025-2026学年九年级上学期11月期中检测数学试题

2025年秋季期期中教育质量监测与评价题 九年级 数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程 时，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 方程的根是（ ） A. B. C. D. 4. 下表列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x 0 1 2 3 y 0 3 4 3 m 下列关于这个二次函数的结论中，不正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 5. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 2 7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A. 只有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 8. 如图，将绕点顺时针方向旋转到的位置，使得点在同一条直线上，，那么旋转角等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，点在第一象限，将直角绕旋转后，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 如图，为矩形对角线上的一点，，，则方程的正数解是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 11. 某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，开口向上的抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③当时，随的增大而减小；④当时，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论是（ ） A. ①③④ B. ②③④ C. ②③ D. ①②④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案填在答题卡的横线上．） 13. 已知是方程的一个根，则值为_____． 14. 请写出一个对称轴为直线的二次函数解析式_____． 15. 如图，将（）绕点逆时针旋转得到，则_____． 16. 抛物线经过点，，则_____． 三、解答题（本大题共7小题，满分共72分，解答过程写在答题卡上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）根据函数图象完成以下问题： ①当时，的取值范围为_____； ②当时，的取值范围为_____． 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的，并写出的坐标； （2）请画出绕点逆时针旋转后的，并写出的坐标． 20. 根据以下素材，完成探索任务 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 其农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果，出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果．若每平方米的草莓销售平均利润为元，每月可销售平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调3元，每月可多销售平方米草莓，果园每月的承包费为2万元． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）若中间种植的面积是，求道路宽度的值． 任务2 解决果园种植的预期利润问题．（总利润销售利润承包费） （2）若农户预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 21. 如图，在中，，，将绕点旋转得到，点的对应点落在上，连接，延长交于点． （1）求的度数； （2）若，求的长． 22. 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为． （1）求和的解析式，并直接写出自变量取值范围； （2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径（结果保留根号）（注：水位高度指锅的最低点到水面的距离）； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 23. 四边形和四边形均为正方形，连接、． （1）如图1，在上，在延长线上，求证：； （2）把正方形绕点旋转，请仅就图2的情形，请你证明，并且； （3）已知，，连接，在正方形绕点旋转一周的过程中，当、、三点共线时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季期期中教育质量监测与评价题 九年级 数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是中心对称图形，故C不符合题意； D．是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 2. 用配方法解方程 时，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解答此题最重要的一步是在等式两边同时加上一次项系数一半的平方．把方程左边化为完全平方式即可． 【详解】解： 两边加1得，， 即：． 故选：B 3. 方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． 通过因式分解法解一元二次方程，进而判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得：． 故选：A． 4. 下表列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x 0 1 2 3 y 0 3 4 3 m 下列关于这个二次函数的结论中，不正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由由表格可知当和时，函数值相等，即可得出抛物线的对称轴与顶点坐标，即可判断B；由时，最大，即可得出抛物线的开口方向以及增减性，即可判断A、C；最后由抛物线的对称性即可判断D． 【详解】解：由表格可知当和时，函数值相等， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，故B正确； ∵时，最大， ∴抛物线开口向下；当时，y随x的增大而增大；故A正确，C错误； ∵， ∴当与时，y值相等， ∵时，， ∴时，，故D正确； 故选：C． 5. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键． 根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为：． 故选：D． 6. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据题意，设宽为x步，则长为步，利用矩形面积公式即可列出方程. 【详解】解：设宽为x步，则长为步 由题意，得：， 故选：A. 7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A. 只有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据得出一元二次方程有两个不相等的实数根是解题的关键．先求出的值，再进行判断即可． 【详解】解：， ， ， ，即， 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 8. 如图，将绕点顺时针方向旋转到的位置，使得点在同一条直线上，，那么旋转角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，旋转角，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：， ， 旋转角等于， 故选：A． 9. 如图，在矩形中，，点在第一象限，将直角绕旋转后，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、直角三角形的性质，旋转的性质等知识，注意分类讨论．由四边形是矩形和，根据直角三角形性质和勾股定理可得，点的坐标，连接，可得，分顺时针和逆时针两种情况考虑即可求得结果． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ，， ， ， ， 点在第一象限， ， 如图，连接， 由矩形知，，， 由勾股定理得， ∴， 当绕点逆时针旋转时，，， ∵， ∴， 即与关于轴对称， ∴ ∴当绕点顺时针旋转时，，， 此时点在轴负半轴上， ∴， 综上所述，点的对应点的坐标为或， 故选：C． 10. 如图，为矩形对角线上的一点，，，则方程的正数解是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，矩形的性质，勾股定理等知识．首先求出一元二次方程的解为或，然后由矩形的性质得到，，然后利用勾股定理求出，进而得到，即可求解． 【详解】解：， 因式分解得， 或， 解得或， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴． ∴方程的正数解是线段的长． 故选：D． 11. 某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题意可得：把代入，进行计算，即可求解． 【详解】解：水面宽为， 的横坐标为， 把代入， 得：， ， 此时拱顶到水面的距离为， 故选：B． 12. 如图，开口向上的抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③当时，随的增大而减小；④当时，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论是（ ） A. ①③④ B. ②③④ C. ②③ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与轴的交点，综合判断即可．掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线， 即， ∴，即，故①正确； ∵开口向上的抛物线与轴交于点，其对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴当时，， ∴，故②错误； ∵对称轴为直线，开口向上， ∴当时，随的增大而减小，即当时，随的增大而减小，故③正确； ∵对称轴为直线，开口向上， ∴当时，抛物线是最小值， ∴当时，直线与抛物线有两个交点， ∴当时，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故④正确． 综上所述，其中正确的结论是①③④． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案填在答题卡的横线上．） 13. 已知是方程的一个根，则值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解． 将代入方程，即可求得的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 请写出一个对称轴为直线的二次函数解析式_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据“对称轴为直线的二次函数”这个条件进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，是对称轴为直线的二次函数， 故答案为：（答案不唯一）． 15. 如图，将（）绕点逆时针旋转得到，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质． 由旋转的性质可得，即可得解，熟练掌握旋转的性质是解决此题的关键． 【详解】解：∵将（）绕点O逆时针旋转得到， ∴， ∴. 故答案为：． 16. 抛物线经过点，，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，理解题意是解此题的关键． 将和进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过点和， ∴ 或， 解得（不成立，舍去）, 解得， 故答案为：2． 三、解答题（本大题共7小题，满分共72分，解答过程写在答题卡上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，能根据方程的不同形式选择恰当的方法是解题的关键． （1）将方程化为由的形式可得或，即可求解； （2）将方程化为由的形式可得或，即可求解； 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， 或， ，． 18. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）根据函数图象完成以下问题： ①当时，的取值范围为_____； ②当时，的取值范围为_____． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】本题考查了将一般二次函数化为顶点式以及根据二次函数的图象求自变量或函数值的范围，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据配方法的步骤进行整理即可求解； （2）①根据图象找出当时，的最大值和最小值，即可求出的取值范围； ②根据图象找出当时，的取值范围即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：①当时，的最小值为，的最大值为， 所以当时，的取值范围为， 故答案为：； ②令时，解得或， 所以当时，的取值范围为或， 故答案为：或． 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的，并写出的坐标； （2）请画出绕点逆时针旋转后的，并写出的坐标． 【答案】（1）如图所示，即为所求；的坐标为 （2）如图所示，即为所求；的坐标为 【解析】 【分析】（1）通过找点，描点，连线画出，再写出的坐标即可； （2）通过找点，描点，连线画出，再写出的坐标即可； 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查旋转作图，掌握点的坐标变化规律，找准图形对应点，正确作图，是解题关键． 20. 根据以下素材，完成探索任务 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 其农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果，出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果．若每平方米的草莓销售平均利润为元，每月可销售平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调3元，每月可多销售平方米草莓，果园每月的承包费为2万元． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）若中间种植的面积是，求道路宽度的值． 任务2 解决果园种植的预期利润问题．（总利润销售利润承包费） （2）若农户预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 【答案】任务1：10米；任务2：40元 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程实际应用． 任务1：根据中间种植的面积是列方程，解方程并根据x的范围进行解答即可； 任务2：设每平方米草莓平均利润下调y元，农户预期一个月的总利润为52万元，据此列方程， 解方程并根据要让利于顾客即可得到答案． 【详解】解：任务1：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ， ， 答：道路宽度x的值为10米； 任务2：设每平方米草莓平均利润下调y元， 则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调40元． 21. 如图，在中，，，将绕点旋转得到，点的对应点落在上，连接，延长交于点． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形内角和定理等知识，掌握等腰三角形的判定与性质，是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质可得，，，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，问题随之得解； （2）根据等角对等边证明，即有，问题随之得解． 【小问1详解】 解：将绕点A旋转得到， ，，， ，， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 22. 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为． （1）求和的解析式，并直接写出自变量取值范围； （2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径（结果保留根号）（注：水位高度指锅的最低点到水面的距离）； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】（1） （2）直径为分米 （3）能正常盖上，见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是根据题意建立二次函数模型并利用其性质求解． （1）根据已知点的坐标，设出抛物线的交点式解析式，代入点坐标求出系数，进而得到解析式和自变量取值范围； （2）根据水位高度确定的值，代入的解析式求出，进而得到水面直径； （3）求出圆柱形器皿对应位置的锅线上下距离，与器皿高度比较判断锅盖能否盖上． 【小问1详解】 解：已知锅口直径为，则点，锅深，则，锅盖高则， 设的解析式为， 将代入得：， 即， 解得， ． 设的解析式为， 将代入得：，即， 解得， ； 【小问2详解】 解：水位高度是，锅的最低点， 水面的坐标为． 将代入得：， 解得， 水面的直径为； 【小问3详解】 解：圆柱形器皿底面直径为，则其在和处． 当时，代入，代入． 则此处锅线的上下距离为， ， 锅盖能正常盖上． 23. 四边形和四边形均为正方形，连接、． （1）如图1，在上，在延长线上，求证：； （2）把正方形绕点旋转，请仅就图2的情形，请你证明，并且； （3）已知，，连接，在正方形绕点旋转一周的过程中，当、、三点共线时，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理；熟练掌握几何图形的性质是解题的关键 （1）根据正方形的性质可得，，即可证明，即可得出结论； （2）同理证明得出，，设，交于点，，交于点，根据全等的性质等量代换得出，即可得出结论； （3）分两种情况讨论，分别画出图形，证明，得出，设，根据勾股定理建立方程，即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形和四边形均为正方形， ，，． 在和中， ． ． 【小问2详解】 证明：四边形和四边形均为正方形， ，，． ，即． 在和中， ． ，． 设，交于点，，交于点，如图2， ，，， ． ，即． 【小问3详解】 如图3，当在正方形内部时，连接， ， ． ，， 是等腰直角三角形． ，． ． ， ，即． 又，， ． ，． 设， ， 在中，， ， 解得：或（舍去）． ． 在中， ． 当在正方形外部时，连接，如图4， 同理可得，， 设， 在中，， ， 解得：或（舍去）． ． 在中，． 综上所述，当、、三点共线时， 的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $