精品解析：河北省保定市阜平县2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025~2026学年八年级第一学期第二次学业质量检测 数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共8页．总分120分，考试时间120分钟． 2．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁． 3．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，若的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在等腰三角形中，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，小明以点为圆心，3为半径画弧，又以点为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，，得到，则的值可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 将与量角器按如图所示放置，，是的外角，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在等边三角形中，是高，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 7. 如图，在中，，点在边上，且于点，于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，用一种简易的测距工具测量地而上点与点的距离（两点之间有障碍无法直接测量），在点处立垂直于地面的杆，并将顶端的活动杆对准点（点在射线上），固定活动杆与竖杆的角度后，转动工具至空地处，标记活动杆的延长线与地面的交点，测得点，之间的距离为，则点与点的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一艘海轮位于灯塔北偏西方向的点处，海轮以每小时海里的速度向正南方向 航行，2小时后到达位于灯塔南偏西方向的点处，则点处与灯塔的距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 10. 综合实践课中，在的基础上，嘉嘉利用尺规作图作，图1～图3是其作图过程．在嘉嘉的作法中，可判定两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，直线垂直平分，交于点，若，，，则的周长为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 24 12. 如图，在边长为的正方形中，动点以的速度从点出发沿向点运动，同时动点以的速度从点出发，沿折线向点运动，当点，相遇时停止运动，设点的运动时间为．当以点及正方形的某两个顶点为顶点的三角形和全等时，的值可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是_____命题．（填入“真”或“假”） 14. 如图，，添加一个条件_____，使．（不添加辅助线和点） 15. 如图，在中，，分别是线段，的中点，若的面积为，则阴影部分的面积为______． 16. 如图，在等边三角形中，是角平分线，是边的中点，是线段上的动点．当的值最小时，的度数为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列各小题． （1）在图1中，画出灰色图形的对称轴直线； （2）在图2各图中的适当位置涂灰一个小方格，使整个灰色图形关于直线成轴对称． 18. 按要求完成下列各小题． （1）求图1中的的值，并直接写出是否是直角三角形； （2）如图2，在边的延长线上，求图2中的的值，并直接写出是否是等边三角形． 19. 学习了全等三角形的判定和性质后，小明进行了更深入的研究．如图， ，，分别是，的对应边上的高． （1）请你在如图的上用尺规作（不写作法，保留作图痕迹）； （2）小明认为与之间的数量关系是______，并可利用证明三角形全等得到此结论．补充上面的填空，并根据小明的想法和思路完成以下填空． 已知，，分别是，的对应边上的高． 求证：______． 证明：，，______． ，分别是，的对应边上的高， ，，． 在和中， （______）．______ ______． 20. 如图，在中，是中线，． （1）若，求的度数； （2）过点作，交于点．求证：是等腰三角形． 21. 如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点． （1）若，，分别求和的度数； （2）试判断，，之间的数量关系，并说明理由． 22. 图1是一个平分角的仪器，其中，． （1）如图2，将仪器放在上，使点与点重合，点，分别在边，上，沿画射线交于点，则是的角平分线．请你对“是的角平分线”说明理由； （2）在（1）的条件下，过点作于点．若，，求的长． 23. 综合与实践——探究不同三角形三边的垂直平分线． 【证明】（1）如图1，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，是的中点，．判断直线是否是线段的垂直平分线，并说明理由； 【解题】（2）如图2，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，线段的垂直平分线交于点，交于点，求的度数； 【运用】（3）如图3，在中，，小明想在的内部找到一点，使得．小明______（填“能”或“不能”）找到满足题意的点． 24. 我们把有公共顶点且形状相同的两个三角形组成的图形称为“手拉手”图形．数学实践小组的几名同学对“手拉手”图形进行了探究．如图1、图2，与的顶点重合，，，． 【初步探究】（1）如图1，连接，，他们通过测量发现． ①请你证明他们的结论； ②判断与之间的位置关系，并说明理由； 【大胆猜想】（2）在（1）的条件下，连接，，他们猜想的面积与的面积相等，请你判断他们的猜想是否正确，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图2，连接，，当时，延长交于点，且，的面积为32，直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年八年级第一学期第二次学业质量检测 数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共8页．总分120分，考试时间120分钟． 2．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁． 3．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点坐标的关系，点关于y轴对称时，横坐标取相反数，纵坐标不变，据此解答即可． 【详解】解：∵点关于y轴的对称点为， ∴点关于y轴的对称点为． 故选：A． 2. 如图，，若的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握：全等三角形的对应边相等，据此求出，即可得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：B． 3. 如图，在等腰三角形中，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质等边对等角的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据等腰三角形的性质等边对等角的知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A 4. 如图，，小明以点为圆心，3为半径画弧，又以点为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，，得到，则的值可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三边关系求出的范围，进行判断即可． 【详解】解：由作图可知：， ∵， ∴，即：； ∴m的值可能是4； 故选D． 5. 将与量角器按如图所示放置，，是的外角，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质，邻补角等知识，先根据量角器得出，再由三角形外角的定义和性质得出，求出，最后根据邻补角的定义即可得出答案． 【详解】解：由量角器可知， 由三角形外角的定义和性质可知：， ∵， ∴， ∴， 故选B 6. 如图，在等边三角形中，是高，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，根据三线合一的性质求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形，是高，， ∴， 故选：C． 7. 如图，在中，，点在边上，且于点，于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定，三角形的内角和，掌握以上知识是解答本题的关键；根据角平分线的判定求得是的角平分线，然后根据三角形的内角和知识求得，然后即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵于点，于点，， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：A． 8. 如图，用一种简易的测距工具测量地而上点与点的距离（两点之间有障碍无法直接测量），在点处立垂直于地面的杆，并将顶端的活动杆对准点（点在射线上），固定活动杆与竖杆的角度后，转动工具至空地处，标记活动杆的延长线与地面的交点，测得点，之间的距离为，则点与点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题由题意可得：，，，然后证明，然后即可求解； 【详解】解：由题意可得：，，， 即， ∴， ∴， ∴， ∴点与点的距离为； 故选：B； 9. 如图，一艘海轮位于灯塔北偏西方向的点处，海轮以每小时海里的速度向正南方向 航行，2小时后到达位于灯塔南偏西方向的点处，则点处与灯塔的距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据平行线的性质可以得出，根据角的运算即可得出，从而得出，即可求出答案． 【详解】解：在图中标上字母，如图所示 海轮从点A往正南方向航行， ， ， ， ，为等腰三角形， (海里)， 故选：D． 10. 综合实践课中，在的基础上，嘉嘉利用尺规作图作，图1～图3是其作图过程．在嘉嘉的作法中，可判定两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了尺规作图，全等三角形的判定的知识，解题的关键是掌握以上知识． 作一个角等于已知角，根据题意得到，，，进而证明出即可． 【详解】解：由作图可得， ， ∴， ∴在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是， 故选：D； 11. 如图，在中，，直线垂直平分，交于点，若，，，则的周长为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，先利用线段垂直平分线的性质得到，则由三角形周长公式可得的周长即可． 【详解】解：∵直线垂直平分，交于点， ∴， ∴的周长， 故选：B． 12. 如图，在边长为的正方形中，动点以的速度从点出发沿向点运动，同时动点以的速度从点出发，沿折线向点运动，当点，相遇时停止运动，设点的运动时间为．当以点及正方形的某两个顶点为顶点的三角形和全等时，的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、动点问题等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 先根据题意分四种情况画出图形，然后根据正方形的性质以及全等三角形的判定与性质逐项判断即可． 【详解】解：如图： ① 当时，，即，解得：； ② 当时，，即，解得：； ③ 当时，，此时，解得：； ④ 当时，，此时P与重合，，解得：． 综上，C选项符合题意． 故选C． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是_____命题．（填入“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【详解】解：原命题的逆命题为：面积相等的两个三角形为全等三角形，则这个命题为假命题． 故答案为：假． 【点睛】本题考查了命题的真假性，解决此题的关键是会写出原命题的逆命题． 14. 如图，，添加一个条件_____，使．（不添加辅助线和点） 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查添加一个条件使两个三角形全等，涉及两个三角形全等的判定定理，熟记两个三角形全等的判定定理、和是解决问题的关键．由图可知与有公共边，再由，结合、和判定即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 与有公共边， ， 当时，由两个三角形全等的判定定理即可得证； 当时，由两个三角形全等的判定定理即可得证； 当时，由两个三角形全等的判定定理即可得证； 故答案为：或或． 15. 如图，在中，，分别是线段，的中点，若的面积为，则阴影部分的面积为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，掌握三角形中线将三角形分成面积相等的两等份是解题的关键． 是线段的中点，的面积为可得的面积为，再利用三角形中线的性质即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵是线段的中点，的面积为， ∴的面积为， ∵是线段的中点， ∴阴影部分的面积为. 故答案为：2． 16. 如图，在等边三角形中，是角平分线，是边的中点，是线段上的动点．当的值最小时，的度数为______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线，线段中点，两点之间线段最短和等边三角形的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 连接交于点，连接，根据等边三角形的性质可得，，，，然后证得，求得，即的值最小，再证得，求得，然后即可求解； 【详解】解：连接交于点，连接，如图： 在等边三角形中， ∵是角平分线，是边的中点， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 当点，，在一条直线上时，最短，即的值最小， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列各小题． （1）在图1中，画出灰色图形的对称轴直线； （2）在图2各图中的适当位置涂灰一个小方格，使整个灰色图形关于直线成轴对称． 【答案】（1） 解：作图如下： （2） 解：作图如下： 【解析】 【分析】本题考查轴对称的应用，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键． （1）利用轴对称图形的性质画出对称轴即可； （2）利用轴对称图形的性质补全图形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 按要求完成下列各小题． （1）求图1中的的值，并直接写出是否是直角三角形； （2）如图2，在边的延长线上，求图2中的的值，并直接写出是否是等边三角形． 【答案】（1）的值为，是直角三角形 （2）的值为，不是等边三角形 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和，三角形外角的性质，解一元一次方程，直角三角形的判定和等边三角形的判定的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据三角形内角和知识和直角三角形的判定知识进行作答，即可求解； （2）根据三角形外角的知识和等边三角形的判定知识进行作答，即可求解； 【小问1详解】 解：根据题意可得， 解得：，即的值为； ∴， ∴是直角三角形； 【小问2详解】 解：根据题意可得， 解得， 即的值为； ∴， ∴不是等边三角形． 19. 学习了全等三角形的判定和性质后，小明进行了更深入的研究．如图， ，，分别是，的对应边上的高． （1）请你在如图的上用尺规作（不写作法，保留作图痕迹）； （2）小明认为与之间的数量关系是______，并可利用证明三角形全等得到此结论．补充上面的填空，并根据小明的想法和思路完成以下填空． 已知，，分别是，的对应边上的高． 求证：______． 证明：，，______． ，分别是，的对应边上的高， ，，． 在和中， （______）．______ ______． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）；；；； 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作垂线，全等三角形的性质和判定， 对于（1），以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点D，G，再分别以点D，G为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点K，作射线，交于点，则即为所求作； 对于（2），先根据全等三角形的性质得，，然后根据证明，即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在中，是中线，． （1）若，求的度数； （2）过点作，交于点．求证：是等腰三角形． 【答案】（1） （2） 证明：在中，，是中线， 是的平分线， ． ， ， ， 是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解此题的关键． （1）根据等腰三角形三线合一可得，再由直角三角形两锐角互余即可求解； （2）根据等腰三角形三线合一可得是的平分线，再根据平行线的性质，可得，即可求证． 【小问1详解】 解： 在中，，是中线， ， ， ． 【小问2详解】 略 21. 如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点． （1）若，，分别求和的度数； （2）试判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）， （2） 解：，，之间的数量关系为； 理由：平分， ， ∵， ∴， ∵， ∴ ． 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和性质，三角形外角性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合三角形内角和性质以及，得，根据，则，运用三角形外角性质，进行列式计算，即可作答． （2）结合平分，得出，运用三角形外角性质，得，，进行整理，即可作答． 【小问1详解】 解：∵，且， ∴， ∵， ， ． 平分， ， ； 【小问2详解】 略 22. 图1是一个平分角的仪器，其中，． （1）如图2，将仪器放在上，使点与点重合，点，分别在边，上，沿画射线交于点，则是的角平分线．请你对“是的角平分线”说明理由； （2）在（1）的条件下，过点作于点．若，，求的长． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴平分， 即是的角平分线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等面积法和角平分线的判定和性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据全等三角形的判定边边边和性质，角平分线的判定知识进行作答，即可求解； （2）根据角平分线的性质的知识和等面积法进行作答，即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于点，如图： ， 平分，，， ∴． ， ∵， ∴． 23. 综合与实践——探究不同三角形三边的垂直平分线． 【证明】（1）如图1，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，是的中点，．判断直线是否是线段的垂直平分线，并说明理由； 【解题】（2）如图2，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，线段的垂直平分线交于点，交于点，求的度数； 【运用】（3）如图3，在中，，小明想在的内部找到一点，使得．小明______（填“能”或“不能”）找到满足题意的点． 【答案】 （1）直线是线段的垂直平分线，理由： ∵在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴直线否是线段的垂直平分线； （2）； （3）不能 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质和已知得到，再由是的中点得到，进而即可得解； （2）先利用三角形内角和定理计算出，然后再利用线段垂直平分线的性质和等边对等角得出，，进而计算即可得解； （3）满足的点P是三边垂直平分线的交点（即外心）．对于钝角三角形（，即是钝角三角形），外心在三角形外部． 【详解】解：（1）略 （2） 解：∵在中，，， ∴， ∵线段的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∴， ∵线段的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∴， ∴， 答：的度数为． （3）不能．理由： 满足的点P是三边垂直平分线的交点（即外心）． 对于锐角三角形，外心在三角形内部； 对于直角三角形，外心在斜边中点； 对于钝角三角形（，即是钝角三角形），外心在三角形外部． ∵题目要求在的内部找一点P，而钝角三角形的外心在外部， ∴小明不能找到满足题意的点． 故答案为：不能． 24. 我们把有公共顶点且形状相同的两个三角形组成的图形称为“手拉手”图形．数学实践小组的几名同学对“手拉手”图形进行了探究．如图1、图2，与的顶点重合，，，． 【初步探究】（1）如图1，连接，，他们通过测量发现． ①请你证明他们的结论； ②判断与之间的位置关系，并说明理由； 【大胆猜想】（2）在（1）的条件下，连接，，他们猜想的面积与的面积相等，请你判断他们的猜想是否正确，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图2，连接，，当时，延长交于点，且，的面积为32，直接写出的长度． 【答案】 解：（1）①证明：， ，即． 在和中， ， ； ②与之间的位置关系为； 理由：设与交于点． ， ． 在中，， ， 即， ， ，即； （2）他们的猜想正确： 证明：过作于，过作交延长线于点，则， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴； （3）的长度为3 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，掌握知识点的应用及正确地作出辅助线是解题的关键． （1）①由，得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； ②由得到，再利用直角三角形的性质即可证明； （2）过作于，过作交延长线于点，根据余角的性质得到，证明，根据性质得，然后由，，，即可得到结论； （3）过点作，交的延长线于点，证明，根据性质得，利用三角形面积公式列式计算，从而求解； 【详解】解：（1）①略 ②略 （2）略 （3）的长度为3． 如图2，过点作，交的延长线于点， ， ，． ， ， ． 在和中， ， ， ． ， ， （舍去）， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $