精品解析：江苏省江阴市2025-2026学年上学期九年级数学期中考试卷

2025年秋学期江阴市初三学业水平调研测试 九年级数学试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟．试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 3 3. 一组数据：3，4，4，6，8．这组数据的平均数是（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 已知的半径是6，点到圆心的距离是5，则点与的位置关系是（　　） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法确定 5. 三角形的内心是（ ） A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条高的交点 6. 如图，中，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法中，正确的是（ ） A. 长度相等的弧是等弧 B. 任意三点确定一个圆 C. 优弧一定比劣弧长 D. 在等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 8. 某商场销售某种纪念品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为扩大销售，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，纪念品的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批纪念品每天盈利1250元，那么纪念品的单价降了多少元？设纪念品的单价降了元，则满足的方程为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，的半径等于6，其内接正六边形中，交于点交于点，则四边形的面积是（ ） A. 36 B. C. D. 24 10. 规定：当且仅当一元二次方程（）存在两个不相等的实数根、时，称该一元二次方程存在“特征点”，分别为．例如：一元二次方程存在“特征点”，分别为．以下说法：①一元二次方程存在“特征点”，其中一个为；②当时，一元二次方程的“特征点”不可能落在函数的图像上；③若一元二次方程（）的“特征点”都在函数的图像上，则；④点可能是一元二次方程的一个“特征点”．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分．第18题第1空1分，第2空2分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 请写出一个一元二次方程，使它的两个根分别为2，﹣2，这个方程可以是_____． 12. 有5位学生参加志愿服务，次数分别为：8，8，9，7，13．这组数据的极差为_______． 13. 若圆锥底面圆的半径为1，母线长为3，则这个圆锥的侧面积为____． 14. 一个正多边形的内角和为，则这个多边形的边数是_____． 15. 某商品原价100元，经过连续两次涨价后，售价为144元，设两次涨价的百分率相同，则这个百分率是____． 16. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中阴影区域的概率是_______． 17. 如图是某拱桥的截面，桥拱的形状是一段圆弧，点、是桥拱与水面的交点．若、两点间距离为10米，桥拱的最高点为点，点到水面的距离为4米，则桥拱所在圆的半径为________米． 18. 如图，在正方形中，，点在边上，以为直径与交于点．当点与点重合时，______；若点是边上的动点，则的最小值为_______． 三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 已知一元二次方程． （1）求证：当时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若一个等腰三角形底边长是2，两条腰长分别是该方程的两个根，求的值以及这个等腰三角形的周长． 21. 一个不透明的袋子中装有4个球，将它们分别标为1，2，3，4，这些球除标号外都相同． （1）将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是______； （2）将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号．求两次摸到的球标号数字的乘积小于4的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 22. 某班以小组为单位开展知识竞赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．有甲、乙两组同学，每组各5人，均按照1—5号进行编号，他们的成绩统计图如下： 小明对这两个小组的成绩进行了如下分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分） 优秀率 甲组 7 8 8 乙组 7 请阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空：_______，_______； （2）根据所学的统计知识，请你选择两种不同角度，对甲、乙两组的成绩进行比较与评价． 23. 如图，在中，，以为直径的分别与交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 24. 如图，在中，，，． （1）请作出，使得分别与、都相切，并且圆心到点、的距离相等；（请用圆规和无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，的半径为_____． 25. 如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦分别与小圆相切于点、． （1）求证：； （2）若是大圆第三条弦，且，则与小圆相切吗？请说明理由． 26. 如图是某校数学兴趣小组设计的一个矩形花圃，花圃的一边由长为8米的围墙和部分篱笆组成，另外三边由剩余的篱笆围成，已知篱笆总长为24米． （1）若米，则矩形花圃面积为________平方米． （2）若矩形花圃的面积为60平方米，求此时的长； （3）矩形花圃的面积能否达到65平方米，请通过计算说明． 27. 已知，如图，是的直径，点是上位于上方的一个动点，直径（在上方），垂足为点，连接、． （1）求证：； （2）过点作的弦，使，与交于点．若，，求的半径． 28. 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中首次给出了用尺规作图求解一元二次方程的几何解法，我国古代数学家赵爽利用拼图也发现了一元二次方程的几何解法．九（1）班数学兴趣小组通过探究，发现了一个解一元二次方程的新的方法：在平面直角坐标系中，先取定点，再取点，以为直径作圆．若圆与轴有两个交点，则交点的横坐标就是方程的两个根；若圆与轴相切，则方程有两个相等的实数根，即切点的横坐标；若圆与轴相离，则方程没有实数根． （1）请在图中，利用上述方法探究方程的两个根． （2）若利用上述方法解一元二次方程时，所画圆被轴和轴截得的弦长都为4，直接写出该方程的根． （3）利用上述方法证明：当时，一元二次方程没有实数根． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋学期江阴市初三学业水平调研测试 九年级数学试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟．试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程成为解题的关键． 根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：由一元二次方程需同时满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程，则： A．方程中含两个未知数x和y，不满足①，不是一元二次方程； B．方程中未知数x的最高次数为3，不满足②，不是一元二次方程； C．方程中含分式，不是整式方程，不满足③，不是一元二次方程； D．方程只含未知数x，最高次数为2，且为整式方程，满足所有条件，是一元二次方程． 故选：D． 2. 已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的定义．将代入，求解即可． 【详解】解：是关于x的方程一个根， ， 解得，． 故选：A． 3. 一组数据：3，4，4，6，8．这组数据的平均数是（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数，掌握平均数的求法是解题的关键． 计算一组数据的平均数，只需将所有数据相加后除以数据的个数即可． 【详解】∵数据总和为，数据个数为5， ∴平均数为． 故选：C． 4. 已知的半径是6，点到圆心的距离是5，则点与的位置关系是（　　） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，根据点P到圆心的距离d与圆的半径r的大小关系逐项判断即可． 【详解】解：∵的半径，点P到圆心O的距离， ∴， ∴点P在内． 故选：A． 5. 三角形的内心是（ ） A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条高的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内心，根据三角形的内心的定义，它是三条角平分线的交点． 【详解】解：∵三角形的内心是三角形内切圆的圆心，且内切圆与三边相切， ∴内心到三边的距离相等，这要求它是三条角平分线的交点． ∴三角形的内心是三条角平分线的交点． 故选：B． 6. 如图，中，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是弧长公式．直接利用弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意得，的长是． 故选：B． 7. 下列说法中，正确是（ ） A. 长度相等的弧是等弧 B. 任意三点确定一个圆 C. 优弧一定比劣弧长 D. 在等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆的基本概念，包括等弧、确定圆的条件、弧的长短比较以及圆心角与弦的关系． 根据等弧，确定圆的条件，优弧与劣弧概念，弧弦圆心角的关系，逐一判断选项的正确性即可． 【详解】A、长度相等的弧不一定是等弧，因为等弧需在同圆或等圆中能重合，长度相等但半径不同则不是等弧， ∴ A错误； B、任意三点不一定确定一个圆，当三点共线时无法确定圆， ∴ B错误； C、优弧不一定比劣弧长，因为不同圆中优弧可能比劣弧短（例如小圆的优弧可能小于大圆的劣弧）， ∴ C错误； D、在等圆中，半径相等，相等的圆心角所对的弧相等，因此所对的弦也相等， ∴ D正确． 故选：D． 8. 某商场销售某种纪念品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为扩大销售，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，纪念品的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批纪念品每天盈利1250元，那么纪念品的单价降了多少元？设纪念品的单价降了元，则满足的方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．设纪念品的单价降了元，则每件盈利元，平均每天可售出件，根据每天盈利平均每天的销售量每件盈利建立方程即可得． 【详解】解：设纪念品的单价降了元，则每件盈利元，平均每天可售出件， ∵降价后商场销售这批纪念品每天盈利1250元， ∴可列方程为， 故选：C． 9. 如图，半径等于6，其内接正六边形中，交于点交于点，则四边形的面积是（ ） A. 36 B. C. D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了内接于圆的正六边形的性质、等边三角形的判定和性质、圆周角定理和含的直角三角形的性质，熟练运用以上知识点是解决本题的关键． 如图，连接，根据内接正六边形的性质可得，是等边三角形，则，进而根据含的直角三角形的性质可得，最后结合菱形的判定和性质进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， 六边形是正六边形， ，，， 是等边三角形， ∴， ∵是的直径， ， ， ， ， 同法可得， 四边形是菱形， 四边形的面积． 故选：C． 10. 规定：当且仅当一元二次方程（）存在两个不相等的实数根、时，称该一元二次方程存在“特征点”，分别为．例如：一元二次方程存在“特征点”，分别为．以下说法：①一元二次方程存在“特征点”，其中一个为；②当时，一元二次方程的“特征点”不可能落在函数的图像上；③若一元二次方程（）的“特征点”都在函数的图像上，则；④点可能是一元二次方程的一个“特征点”．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系以及函数图像的综合应用，解题的关键是根据“特征点”的定义． 根据“特征点”的定义，分别验证四个说法的正确性．①直接求解方程验证；②通过假设特征点在直线上，反推参数是否存在；③利用特征点在反比例函数上，结合根与系数的关系推导；④假设点为特征点，代入方程根与系数关系，判断是否存在可能． 【详解】解：∵①方程的根为，，不相等，∴特征点为和，故①正确； ∵②当时，方程，若特征点在上，则，又，解得，，此时，且判别式成立，∴特征点可能落在直线上，故②错误； ∵③特征点都在上，则，由韦达定理，∴，即，故③正确； ∵④设点是特征点，则可能，，代入根与系数关系：，若，则，，验证成立；若，则，，也成立，∴可能，故④正确． 综上，正确的是①③④． 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分．第18题第1空1分，第2空2分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 请写出一个一元二次方程，使它的两个根分别为2，﹣2，这个方程可以是_____． 【答案】x2﹣4＝0 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求出答案 【详解】设方程x2﹣mx+n＝0的两根是2，﹣2， ∴2+（﹣2）＝m，2×（﹣2）＝n， ∴m＝0，n＝﹣4， ∴该方程为：x2﹣4＝0， 故答案为：x2﹣4＝0 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根x1，x2与系数的关系：x1+x2=，x1x2=，是解题的关键. 12. 有5位学生参加志愿服务，次数分别为：8，8，9，7，13．这组数据的极差为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了极差，极差是一组数据中最大值与最小值的差，用于衡量数据的波动范围。 【详解】解：数据7，8，8，9，13中，最大值为13，最小值为7， 则极差为． 故答案：6． 13. 若圆锥底面圆的半径为1，母线长为3，则这个圆锥的侧面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式求得扇形的面积即可． 【详解】解：圆锥的底面半径为， 圆锥的底面圆的周长， 圆锥的侧面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式：，为弧长）． 14. 一个正多边形的内角和为，则这个多边形的边数是_____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理的应用．根据多边形内角和定理，列方程解答出即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n， 根据正多边形内角和定理得， ， 解得． 故答案为：12． 15. 某商品原价100元，经过连续两次涨价后，售价为144元，设两次涨价百分率相同，则这个百分率是____． 【答案】20% 【解析】 【分析】根据原价为100元，连续两次涨价后，现价为144元，根据增长率的求解方法，列方程求． 【详解】解：设这个百分率是， 依题意有：， ， 解得：，（舍去）， 答：这个百分率是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是根据增长率的求解公式列出方程． 16. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中阴影区域的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率，掌握击中黑色小正方形的概率等于黑色小正方形与正方形总面积之比是解题的关键． 直接用涂有黑色的小正方形个数除以小正方形的总个数即可解答． 【详解】解：∵大正方形等分为25个小正方形，其中涂有黑色的小正方形有9个，且每个小正方形被击中的概率相同， ∴任意投掷飞镖1次，击中黑色区域的概率是． 故答案为：． 17. 如图是某拱桥的截面，桥拱的形状是一段圆弧，点、是桥拱与水面的交点．若、两点间距离为10米，桥拱的最高点为点，点到水面的距离为4米，则桥拱所在圆的半径为________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 连接、交于，构造，通过垂径定理得出它是直角三角形，再利用勾股定理，列出方程，解方程即可． 【详解】解：连接、交于，如图： 是的中点， 米， 所在的直线经过圆心， 设半径米，则米， 在中， 即 解得 因此，桥拱所在圆的半径为米， 故答案为：． 18. 如图，在正方形中，，点在边上，以为直径的与交于点．当点与点重合时，______；若点是边上的动点，则的最小值为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】当点与点重合时，连接，利用正方形的性质和勾股定理求出的长，可证明此时，由三线合一定理可得答案；连接，取线段的中点T，连接，可证明点E在以T为圆心，2为半径的圆上运动；作关于直线的对称圆，记为，点E的对应点为，连接，由对称性可得，则可证明当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，即在三点共线的情形下，有最小值时，有最小值，进而可推出当点M与点B重合时，此时有最小值，可证明此时点E和点都在线段上，证明四边形是矩形，得到，，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当点与点重合时，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴； ∵是的直径， ∴，即， ∴； 如图所示，连接，取线段的中点T，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴点E在以T为圆心，2为半径的圆上运动； 如图所示，作关于直线的对称圆，记为，点E的对应点为，连接， 由对称性可得， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值， ∴在三点共线的情形下，有最小值时，有最小值， ∵点M在线段上运动， ∴点E在的一段圆弧上运动（占的周长的四分之一）， ∴点在的一段圆弧上运动（占的周长的四分之一）， ∴当点M与点B重合时，此时有最小值， 设交于H， 由第一空的解答过程可知，当点M与点B重合时，点E为线段的中点，由轴对称的性质可得， ∴线段是的中位线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，即E、T、H三点共线， ∴此时点E和点都在线段上； ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了圆的相关性质，正方形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，矩形的性质与判定，三线合一定理，轴对称的性质等等，找到点E的轨迹，以及点M与点B重合时对应的线段之和有最小值是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用公式法、因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）用公式法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ． 【小问2详解】 解：右边提公因式，得， 移项再提公因式，得， ∴， ． 20. 已知一元二次方程． （1）求证：当时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若一个等腰三角形的底边长是2，两条腰长分别是该方程的两个根，求的值以及这个等腰三角形的周长． 【答案】（1）证明见解析 （2）；8 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握它们的性质是解题的关键． （1）先求出该方程的判别式，再根据判别式的意义即可证明结论； （2）一个等腰三角形的底边长是2，且两条腰长分别是该方程的两个根，即该方程有两个相等的实数根，再根据根的判别式列方程求解即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， 当时，方程总有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：∵一个等腰三角形的底边长是2，两条腰长分别是该方程的两个根， ∴该方程有两个相等的实数根， ∴，解得：或， 当时，原方程可化为，即，解得：，不符合题意； 当时，原方程可化为，即，解得：， ∴该等腰三角形的两腰均为3， ∴该等腰三角形的周长为． 综上，，等腰三角形的周长为8． 21. 一个不透明的袋子中装有4个球，将它们分别标为1，2，3，4，这些球除标号外都相同． （1）将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是______； （2）将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号．求两次摸到的球标号数字的乘积小于4的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求解概率、概率公式等知识点，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）直接由概率公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同， ∴将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下： 共有12种等可能结果，其中乘积小于4的结果有4种， ． 22. 某班以小组为单位开展知识竞赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．有甲、乙两组同学，每组各5人，均按照1—5号进行编号，他们的成绩统计图如下： 小明对这两个小组的成绩进行了如下分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分） 优秀率 甲组 7 8 8 乙组 7 请阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空：_______，_______； （2）根据所学的统计知识，请你选择两种不同角度，对甲、乙两组的成绩进行比较与评价． 【答案】（1）6；5 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数，求众数，利用方差做决策等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）从中位数，众数和方差的角度出发进行阐述即可． 【小问1详解】 解：将乙组5名学生的得分按照从低到高排列为：5，5，6，9，10， ∴乙组学生的中位数为6分，众数为5分， ∴； 【小问2详解】 解：①甲、乙两组平均数相等，从众数来看，甲的众数是8分，乙的众数是5分；或从中位数来看，甲的中位数是8分，乙的中位数是6分， ∴甲组的成绩比乙组的好； ②虽然甲、乙两组平均数相等，但甲组成绩的方差为，高于乙组成绩的方差，所以从方差的角度看，乙组成绩更整齐，更稳定； ③甲组成绩的优秀率为，低于乙组成绩的优秀率，所以从优秀率的角度看，乙组的成绩比甲组好． 23. 如图，在中，，以为直径的分别与交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． （1）如图：连接，由圆周角定理可得，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明结论； （2）如图：连接．由圆周角定理可得，再求得，利用勾股定理可得，然后在中运用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：如图：连接． 是直径， ，即， ， ． 【小问2详解】 解：如图：连接． 是直径， ， ，， ． 在中，， ， 在中，， ． 24. 如图，在中，，，． （1）请作出，使得分别与、都相切，并且圆心到点、的距离相等；（请用圆规和无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，的半径为_____． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意作出的角平分线和线段的垂直平分线，交点即为点，记线段的垂直平分线与交点为点，再以为圆心，为半径即可作圆； （2）先由勾股定理求出，过点作于点，则，设，则，由，求出，再由即可求解半径． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：过点作于点， ∵，，， ∴ ∵平分， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴，即的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作图---角平分线，线段的垂直平分线，直线与圆的位置关系，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识点，综合性强． 25. 如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦分别与小圆相切于点、． （1）求证：； （2）若是大圆的第三条弦，且，则与小圆相切吗？请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）相切；理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、切线长定理、垂径定理，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键． （1）先由切线的性质及切线长定理得出，，，再由垂径定理得出，，即可证明． （2）连接，过点作，垂足为，利用全等三角形证明，即可根据切线的判定定理得出结论. 【小问1详解】 证明：连接、． 是小圆的两条切线，切点分别为， ． ． ． 【小问2详解】 MN与小圆相切． 连接，过点作，垂足为， ． ， ． 在和中， ， ． 与小圆相切． 26. 如图是某校数学兴趣小组设计的一个矩形花圃，花圃的一边由长为8米的围墙和部分篱笆组成，另外三边由剩余的篱笆围成，已知篱笆总长为24米． （1）若米，则矩形花圃的面积为________平方米． （2）若矩形花圃的面积为60平方米，求此时的长； （3）矩形花圃的面积能否达到65平方米，请通过计算说明． 【答案】（1）48 （2）6米 （3）不能达到65平方米 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，矩形的面积计算，正确理解题意是解题的关键． （1）求出线段的长，进而求出线段的长，再根据矩形面积计算公式求解即可； （2）用含x的式子表示出的长，再根据矩形面积计算公式建立方程求解即可； （3）同（2）根据矩形面积公式建立方程，看方程是否有正实数根即可得到结论． 【小问1详解】 解：当米时，米， ∴米， ∴矩形花圃的面积为平方米； 【小问2详解】 解：设米，则米， 由题意得，， 解得，， ， 答：此时的长为6米； 【小问3详解】 解：当面积为65平方米时，由（2）可得， ∴， ∵， ∴原方程无实数根， ∴故矩形花圃的面积不能达到65平方米． 27. 已知，如图，是的直径，点是上位于上方的一个动点，直径（在上方），垂足为点，连接、． （1）求证：； （2）过点作的弦，使，与交于点．若，，求的半径． 【答案】（1）证明见解析； （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角可得，结合可得，即可证明； （2）根据，可得是平行四边形，再根据勾股定理分两种情况讨论，设半径为，可得，，求解即可． 【小问1详解】 证明：是的直径， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：①当在点下方时，如图1： ，， 四边形是平行四边形， ， 设半径为， ， 在中，， 解得，（舍） ②当在点上方时，如图2： 同①设半径为，则， 在中，， 解得（舍），， 综上所述，的半径为或． 【点睛】此题考查了垂径定理、平行四边形的性质、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 28. 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中首次给出了用尺规作图求解一元二次方程的几何解法，我国古代数学家赵爽利用拼图也发现了一元二次方程的几何解法．九（1）班数学兴趣小组通过探究，发现了一个解一元二次方程的新的方法：在平面直角坐标系中，先取定点，再取点，以为直径作圆．若圆与轴有两个交点，则交点的横坐标就是方程的两个根；若圆与轴相切，则方程有两个相等的实数根，即切点的横坐标；若圆与轴相离，则方程没有实数根． （1）请在图中，利用上述方法探究方程的两个根． （2）若利用上述方法解一元二次方程时，所画的圆被轴和轴截得的弦长都为4，直接写出该方程的根． （3）利用上述方法证明：当时，一元二次方程没有实数根． 【答案】（1）， （2）或或或 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、圆的基本性质、垂径定理、勾股定理等知识点，熟练分类讨论思想是解题的关键． （1）由题易得，进而可得，的半径，再利用垂径定理求解即可； （2）先根据题意画出四种情况的图形，再分别根据圆的对称性即可解答； （3）易得点，求出半径和圆心到x轴的距离，进而利用作差法比较即可． 【小问1详解】 解：根据题意得， ∴，的半径， 如图1，作轴，连接， ∴， ∴， ∵， ∴与x轴有两个交点， 设与x轴的两个交点为，如图， 在中，， ∴， ∴方程的两个根为，． 【小问2详解】 解：①如图， 根据圆的对称性可知， ∴； ②如图， 此时， ∴； ③如图， 此时， ∴； ④如图， 此时， ∴； 综上，或或或． 【小问3详解】 证明：如图3， 取，则中点， ∴的半径，圆心P到x轴的距离， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴与x轴相离，故方程没有实数根． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $