精品解析：四川省广汉市金雁中学2025-2026学年高三上学期第三次考试数学试题

金雁中学2025—2026年度高三上期第三次考试 数学试题 本试卷共4页，19个小题，满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列举法得到，根据交集概念求出答案. 【详解】，又， 故. 故选：C 2. 已知，则复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用复数的除法及乘法运算再结合虚部定义判断. 【详解】，所以， 则复数的虚部为. 故选：B. 3. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一般幂函数、对数函数的奇偶性判断A、C；由奇偶性定义及幂函数的单调性判断B；由指数函数的单调性判断D. 【详解】由为奇函数，为非奇非偶函数，A、C不符合， 由，则且定义域为，故为偶函数， 在上单调递减，B符合， 在上单调递增，D不符合. 故选：B 4. 已知一个底面半径为1的圆锥侧面展开图形的面积是底面面积的4倍，则该圆锥的母线长为（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积公式以及条件列方程，即可得答案. 【详解】已知圆锥底面半径 ，底面面积 ， 侧面展开图为扇形，其面积是底面面积的 4 倍， 因此侧面积 ， 圆锥的侧面积公式为 ，其中  为母线长， 联立得：， 解得：， 因此，该圆锥的母线长为 4. 故选：A 5. 已知两个非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的模长、数量积运算，再根据投影向量公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以向量在向量上的投影向量为． 故选：D. 6. 设数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，若，则（ ） A. 15 B. 16 C. 31 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利于通项公式展开联立两个等式，求出等比数列的公比和首项，再利于等比数列的求和公式可求得的结果. 【详解】因为数列是各项均为正数的等比数列，且， 故，联立可得，化简可得， 解得或， 当时，,不符合题意，舍去； 当时，， . 故选：. 7. 已知双曲线的顶点为，，虚轴的一个端点为，若为直角三角形，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】不妨设双曲线方程为，根据题意可得，即，从而求出离心率. 【详解】不妨设双曲线方程为， 不妨取，，， 因为为直角三角形，且，则为等腰直角三角形， 所以，所以，则，所以， 双曲线的离心率. 故选：A 8. 函数的部分图象如图所示，已知点为的零点，点为的极值点，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据可推导求得，进而求得，得到的最小正周期，从而求得；根据，结合五点作图法可对应求得. 【详解】，，又，， ，，则， 为等边三角形，，， 的最小正周期，则，， ，且位于单调递减区间中， ，解得：， ，. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据三角函数图象求解函数解析式，解题关键是能够结合平面向量数量积运算可求得函数的最小正周期，从而结合五点作图法求得结果. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）下列命题中，真命题的有（ ）． A. “”是“”的必要不充分条件 B. 命题“”的否定是“” C. 若，则 D. 若，则. 【答案】BD 【解析】 【分析】解不等式可判断A错误，利用含有一个量词命题的否定可判断B正确，当异号时可判断C错误，利用指数函数值域以及基本不等式计算可得D正确. 【详解】对于A，将不等式化为，即，解得或； 因此“”能推出“”，反之则不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，即A错误； 对于B，易知命题“”的否定是“”，即B正确； 对于C，若且异号时，为负值，显然不成立，即C错误； 对于D，易知，所以， 当且仅当时，等号成立,可得D正确. 故选：BD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70%分位数是23 B. 若随机变量，且，则 C. 在回归分析中，可用决定系数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好 D. 在回归模型中，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据百分位数、正态分布、决定系数的意义以及残差的定义进行判断即可. 【详解】对于A： 先将数据从小到大排列为：12，13，14，15，17，19，23，24，27，30共10个数据， 因为，为整数，所以第70%分位数是第7项和第8项的平均值， 即，所以A错误； 对于B： 因为，正态分布关于对称， 所以，所以， 所以B正确； 对于C： 在回归分析中，决定系数越接近1，说明模型对数据的拟合效果越好，即越大，模型的拟合效果越好，所以C正确； 对于D： 残差点所在的带状区域宽度越窄，说明残差越小，模型对数据的拟合精度越高，所以D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数及其导函数的定义域为，若，函数和均为偶函数，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数是周期为4的周期函数 C. 函数的图象关于点对称 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义，结合函数的对称性的性质即可求解A,由周期函数的定义即可求解B，根据原函数与导数的关系即可求解C,根据函数周期性的性质即可求解D. 【详解】因为是偶函数，所以，则， 所以函数的图象关于直线对称，由两边求导得， 所以，得， 所以函数的图象关于点对称，故选项A正确； 令得，所以，因为函数为偶函数，所以， 所以，所以函数的图象关于对称， 所以函数,所以的周期为，所以选项B正确； 又因为的周期为，故，所以， 因此，所以函数的图象关于直线对称，所以选项C错误； 因为，所以，又因为，所以， 所以，所以选项D正确. 故选:ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式即可得到答案. 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 13. 二项式的展开式的常数项是___________． 【答案】7 【解析】 【详解】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果. 详解：二项式的展开式的通项公式为, 令得，故所求的常数项为 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略： (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出特定项的系数. 14. 已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】. 【解析】 【分析】根据题意得，令，求导求最值即可. 【详解】由已知在上恒成立， 所以在上恒成立， 故，其中， 令，则， 令，解得，令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 故.所以的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数为奇函数. （1）求函数的最大值与最小值，并分别写出取最大值与最小值时相应的取值集合. （2）求函数的单调递减区间. 【答案】（1）时取最小值；时取最大值2; （2）与. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质可得，结合可求从而可得，根据正弦函数的性质即可求解； （2），根据正弦函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 依题意有 即，为奇函数，满足题意. 当时取最小值； 当时取最大值2. 【小问2详解】 依题意， 若单调递减，则 又， 令得其减区间为与. 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角； （2）若的面积，，求边的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式求出，即可得解； （2）由面积公式求出，即可求出、，再由余弦定理计算可得. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， ∴， ∴， 在中，，得， ，， ，. 【小问2详解】 ，又， ，所以，得， 又∵，∴或， 由余弦定理得， 所以. 17. 某工厂生产了两批次的某种产品，现从两批次的产品中共抽取500件进行检测，根据检测结果（“次品”或“合格品”）得到如下列联表： 生产批次 产品检测结果 合计 次品 合格品 第一批次 10 190 200 第二批次 40 260 300 合计 50 450 500 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为产品检测结果与生产批次有关联？ （2）用样本估计总体，频率估计概率．现等可能地从两批次中选一批次，再从该批次中随机抽取1件产品． （ⅰ）求取出的产品是次品的概率； （ⅱ）已知取出的产品是次品，求它是从第一批次的产品中取出的概率． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.010 2.072 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）有关联 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）计算出卡方，即可判断； （2）（ⅰ）设事件“取出的产品是次品”，事件“被选出的是第一批次”，由全概率公式计算可得；（ⅱ）由条件概率公式计算可得. 【小问1详解】 提出零假设：产品检测结果与生产批次没有关联， 由， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即产品检测结果与生产批次有关联，此推断犯错误的概率不大于； 【小问2详解】 设事件“取出的产品是次品”，事件“被选出的是第一批次”， （ⅰ）依题意，， ， 由全概率公式得：； （ⅱ）取出的是次品，则它是从第一批次的产品中取出的概率为： ． 18. 已知数列中，. （1）证明：数列为等差数列； （2）给定正整数，设函数，求. 【答案】（1）证明：，， 又，则是首项为1，公差为1的等差数列； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义即可证明； （2）根据第1问求出数列的通项公式，再利用导数公式求出，最后利用错位相减即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，则， ，， 令， 则， 两式相减可得， . 19. 设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间上单调递增，求的取值范围； （3）当时，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，求得，得到，且，利用导数的几何意义，即可求解； （2）求得，转化为恒成立，令，得到， 得出的单调性，求得，结合，即可求得的取值范围； （3）解法一：根据题意，转化为，恒成立，设，得到，令，求得，得到的单调性，得出，求得的最小值，即可求解； 方法二，当时，则，得到必要条件为，转化为证明：当时，，由（2）知在单调递增，得到，只需时，转化为，由，得 ，结合分析法，即可求解. 【小问1详解】 当时，，可得， 则曲线在点处的切线斜率为，且， 所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 由，可得， 因为在区间上单调递增，所以恒成立． 令，则， 令，解得， 所以当时，，故单调递减； 当时，，故单调递增； 所以， 又因为，当且仅当，即，解得． 所以实数的取值范围； 【小问3详解】 解法一：因为，所以题意等价于当时，， 即，整理得， 因为，所以，故题意等价于， 设，可得， 化简得， 令函数，可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故在时，取到最小值，即，即， 所以，即，所以当单调递减， 当单调递增，所以的最小值为， 故，即实数的取值范围为. 方法二，先探究必要性，由题意知当时，是的最小值， 则，即得到必要条件为， 下证的充分性，即证：当时，， 证明：由（2）可知当时，在上单调递增， 故的最小值为，符合题意； 故只需要证明时，． 由（2）分析知时， + 0 - 0 + 极大值 极小值 其中． 因为，据此可得更精确的范围是， 等价于证明， 又因为，即，可得， 只需证明，可得，等价于证明， 注意到，即， 故若①当，此时显然成立； 若②当，只要证明，此时，且， 所以，故得证， 综上必要性，充分性的分析，本题所求的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金雁中学2025—2026年度高三上期第三次考试 数学试题 本试卷共4页，19个小题，满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 3. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的为（ ） A. B. C. D. 4. 已知一个底面半径为1的圆锥侧面展开图形的面积是底面面积的4倍，则该圆锥的母线长为（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 已知两个非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 设数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，若，则（ ） A. 15 B. 16 C. 31 D. 7. 已知双曲线的顶点为，，虚轴的一个端点为，若为直角三角形，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 函数的部分图象如图所示，已知点为的零点，点为的极值点，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）下列命题中，真命题的有（ ）． A. “”是“”的必要不充分条件 B. 命题“”的否定是“” C. 若，则 D. 若，则. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70%分位数是23 B. 若随机变量，且，则 C. 在回归分析中，可用决定系数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好 D. 在回归模型中，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高 11. 已知函数及其导函数的定义域为，若，函数和均为偶函数，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数是周期为4的周期函数 C. 函数的图象关于点对称 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则__________. 13. 二项式的展开式的常数项是___________． 14. 已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数为奇函数. （1）求函数的最大值与最小值，并分别写出取最大值与最小值时相应的取值集合. （2）求函数的单调递减区间. 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角； （2）若的面积，，求边的大小. 17. 某工厂生产了两批次的某种产品，现从两批次的产品中共抽取500件进行检测，根据检测结果（“次品”或“合格品”）得到如下列联表： 生产批次 产品检测结果 合计 次品 合格品 第一批次 10 190 200 第二批次 40 260 300 合计 50 450 500 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为产品检测结果与生产批次有关联？ （2）用样本估计总体，频率估计概率．现等可能地从两批次中选一批次，再从该批次中随机抽取1件产品． （ⅰ）求取出的产品是次品的概率； （ⅱ）已知取出的产品是次品，求它是从第一批次的产品中取出的概率． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.010 2.072 2.706 3.841 6.635 18. 已知数列中，. （1）证明：数列为等差数列； （2）给定正整数，设函数，求. 19. 设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间上单调递增，求的取值范围； （3）当时，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $