精品解析：山东省淄博市临淄区2025-2026学年上学期八年级期中考试数学（五四学制）

2025-2026学年度第一学期期中质量检测 初三数学试题 本试卷共8页，23个小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4分，满分40分，错选，不选，多选，均记0分） 1. “二十四节气”是中华农耕文明的结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．下列图案分别代表“立 春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，属于分式的是 （ ） A. B. C. D. 3. 把多项式分解因式，应提的公因式是（ ） A. B. C. D. 4. 分式，的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知和关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 6. 为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 3 8. 将分式中的、都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 是原来的3倍 C. 是原来的9倍 D. 是原来的6倍 9. 多项式加上一个单项式后，使它成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是①，②，③，④中的（ ） A. ② B. ①③ C. ②④ D. ①②③④ 10. 《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210元购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 分解因式：_______． 12. 若关于的方程无解，则的取值为_______． 13. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小为 ________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将沿轴向左平移2个单位得到，则图中阴影部分的面积为______________． 15. 观察下列等式，根据其中的规律，猜想_______（用含的代数式表示）． 三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分；满分90分）解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 因式分解： （1）； （2）． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在中，平分，交于点，将沿向右平移，使点移至点的位置，得到，且交于点．求证：． 19. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，从，，，中选择一个合适的数作为的值求解． 20. 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解∶设 原式(第一步) (第二步) (第三步) (第四步) 请问∶ （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______ A．提取公因式法 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？______．(填"彻底"或"不彻底")若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______ （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． （1）在图1中画出向左平移5个单位长度后的图形，记作，并写出点的坐标； （2）在图2中画出绕点逆时针旋转90°后的图形，记作，并写出点的坐标； （3）将（2）中的向下平移6个单位长度得到，若直接旋转得到，则旋转中心点的坐标是 ． 22. “乡村振兴路先行，修路便民暖人心”，为了彻底解决农户出行“最后一公里”的问题，某市安排甲、乙两个工程队分别完成36千米的道路施工任务，下表是两个工程队的施工规则． 甲工程队 第一、二天的施工速度为x千米/天，从第三天开始每天都按前两天施工速度的2倍施工，这样比全程只按x千米/天的速度完成道路施工的时间提前3天． 乙工程队 A方案：计划18千米按每天施工m千米完成，剩下的18千米按每天施工n千米完成，预计完成施工任务所需的时间为天； B方案：设完成施工任务所需的时间为天，其中一半的时间每天完成施工m千米，另一半的时间每天完成施工n千米． 特别说明：A，B两种方案中的m，n均满足实际意义，且． （1）问甲工程队完成施工任务需要多少天？ （2）若要尽快完成施工任务，乙工程队应采取哪种方案？说明理由． 23. 在平面内，线段的一个端点在直线上，另一个端点在直线的上方，线段绕点按顺时针方向旋转至线段，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点． （1）如图1，当两点在直线的同侧时，求证； （2）如图2，当两点在直线的异侧时（点在两点之间），猜想，三条线段之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，，点是轴上的动点，连接． ①设点坐标为，点在轴上运动时，求与的关系式； ②当与的和最小时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中质量检测 初三数学试题 本试卷共8页，23个小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4分，满分40分，错选，不选，多选，均记0分） 1. “二十四节气”是中华农耕文明的结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．下列图案分别代表“立 春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形及中心对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形及中心对称图形的定义，即可判断答案． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． 故选A． 2. 下列各式中，属于分式的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，解题的关键是理解分式的概念，即形如(A、B是整式，B中含有字母且)的式子叫做分式． 根据分式的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：A． ，式子中没有分母含字母的形式，属于整式，不符合题意； B． ，分母是常数，不是字母，属于整式，不符合题意； C． ，分母为其中含有字母a和b符合分式的定义，属于分式，符合题意； D． 式子中没有分母含字母的形式，属于整式，不符合题意． 故选：C． 3. 把多项式分解因式，应提的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，观察可知两个单项式的公因式为，据此可得答案，解答本题的关键要明确：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；③定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂． 【详解】解：， ∴多项式分解因式，应提的公因式是， 故选：C． 4. 分式，的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是分式的最简公分母的确定，取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此求解即可． 【详解】解：，， ∴分式，的最简公分母是， 故选：D． 5. 如图，已知和关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，解题的关键是掌握中心对称的性质． 根据中心对称的性质进行求解即可． 【详解】解：∵和关于点O成中心对称， ∴， ∴， 故选项A，C正确， 根据对顶角相等得， 故选项B正确． 故选：D． 6. 为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，准确分析判断是解题的关键． 分式有意义的条件是分母不等于零，只需检查各选项分母是否可能为零，若分母恒不为零，则分式一定有意义． 【详解】分式有意义的条件是分母不等于0， 对于：分母为，当时，分母，分式可能无意义，故本选项不符合题意； 对于：分母为，当时，，分式可能无意义，故本选项不符合题意； 对于：分母为，当时，，分式可能无意义，故本选项不符合题意； 对于：分母为， ， 恒成立， 分母永不为0， 分式一定有意义，故本选项符合题意． 故选． 7. 若，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多项式乘法及系数比较法，解决本题的关键是通过展开和比较系数求解参数． 通过展开右侧多项式，比较系数，建立方程求解和，进而计算即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 代入中得，， ∴． 故选B． 8. 将分式中的、都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 是原来的3倍 C. 是原来的9倍 D. 是原来的6倍 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 【详解】解：由题意，得，   故选：B． 9. 多项式加上一个单项式后，使它成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是①，②，③，④中的（ ） A. ② B. ①③ C. ②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用知识点，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 本题根据完全平方公式，分析原式与完全平方公式结构的差异，得出结论，即可解决确定多项式成为完全平方式所需添加项的问题． 【详解】解：①加上后，多项式为，是平方差不是完全平方，不符合题意； ②加上后，多项式为，是完全平方，符合题意； ③加上后，多项式为，不是完全平方，不符合题意； ④加上后，多项式为，是完全平方，符合题意； 综上，加上②或④能成为完全平方．   故选：C． 10. 《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210元购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程．设6210元购买椽的数量为x株，根据单价＝总价÷数量，求出一株椽的价钱为，再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案． 【详解】解：设6210元购买椽的数量为x株，则一株椽的价钱为， 由题意得：， 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，准确分析计算是解题的关键． 对原多项式进行变形，得到，利用提取公因式法求解即可． 【详解】解： ； 故答案为． 12. 若关于的方程无解，则的取值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则． 通过去分母解方程，得到解，当解为增根时方程无解，从而求出即可． 【详解】解： 解得， 当时，分母为零，原方程无解， 故， 解得， 故答案为：． 13. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小为 ________． 【答案】40°##40度 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质。根据旋转，得到，利用等边对等角，进行计算即可。掌握旋转的性质，是解题的关键。 【详解】解：根据旋转的性质，可得：， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将沿轴向左平移2个单位得到，则图中阴影部分的面积为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与坐标交点，一次函数的平移，熟练掌握一次函数的平移，以及求一次函数与坐标轴交点的坐标是解题的关键．先求出一次函数与坐标轴交点和的坐标，再利用平移求出直线的解析式，求出其与坐标轴交点和的坐标，再求面积即可． 【详解】解：如图， 当时，， 则， 当时，， 解得：， 则， ∵将沿轴向左平移2个单位得到， ∴直线向左平移2个单位得到直线，且， 则直线的解析式为， 时，， 则， ∴． 故答案为： 15. 观察下列等式，根据其中的规律，猜想_______（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据已知数列的计算公式得出其循环周期是解题的关键．根据题意分别用含x的式子表示出、、、，从而得出数列的循环周期为3，据此即可得解答． 【详解】解：∵， ∴， ， ， …… ∴每3个数为一周期循环， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分；满分90分）解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用提公因式法和公式法进行因式分解，准确计算是解题的关键． （1）先用提公因式法，再用平方差公式进行分解； （2）先用平方差公式，再用完全平方公式分解即可； 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的求解，准确计算是解题的关键． （1）等式两边同时乘以，化为整式方程，求出验算即可； （2）等式两边同时乘以，求出后验算即可； 【小问1详解】 去分母，得， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的根； 【小问2详解】 去分母得：， 去括号得：， 解得：， 检验：当时，， 是增根， 原方程无解． 18. 如图，在中，平分，交于点，将沿向右平移，使点移至点的位置，得到，且交于点．求证：． 【答案】 证明：沿向右平移，使点移至点的位置，得到， ，， ， 平分交于点， ， 则， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质和等腰三角形的判定，根据平移的性质得到角相等是解题的关键． 根据平移的性质得到，，得到，根据角平分线的性质得到，推出，即可得证． 【详解】略 19. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，从，，，中选择一个合适的数作为的值求解． 【答案】（1）；（2），时， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，利用分式乘除运算的方法求解是解题的关键． （1）先去括号，再利用乘除运算法则计算即可； （2）先进行化简，再从已知数字中选出分式有意义的数字进行求值即可； 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式， ，，， 且， 当时， 原式． 20. 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解∶设 原式(第一步) (第二步) (第三步) (第四步) 请问∶ （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______ A．提取公因式法 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？______．(填"彻底"或"不彻底")若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______ （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】（1）C （2）不彻底； （3） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握整体思想和公式法进行因式分解，是解题的关键： （1）根据完全平方公式法进行因式分解，作答即可； （2）根据完全平方公式法继续进行因式分解即可； （3）仿照题干方法，进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式； 故选C； 【小问2详解】 分解结果不彻底， 原式 ； 【小问3详解】 设， 原式． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． （1）在图1中画出向左平移5个单位长度后的图形，记作，并写出点的坐标； （2）在图2中画出绕点逆时针旋转90°后的图形，记作，并写出点的坐标； （3）将（2）中的向下平移6个单位长度得到，若直接旋转得到，则旋转中心点的坐标是 ． 【答案】（1） 如图所示： 点的坐标 （2） 绕点逆时针旋转90°后形成，如图所示： 点的坐标 （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图：旋转变换、平移变换，坐标与图形，熟练掌握旋转以及平移的性质是解此题的关键． （1）根据平移变换的性质作出对应的点，再顺次连接即可得出； （2）根据旋转变换的性质作出对应的点，再顺次连接即可得出结果； （3）根据平移得到，再根据直接旋转得到，确定出旋转中心即可得解； 【小问1详解】 向左平移5个单位长度后，得到，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 向下平移6个单位长度得到，则绕点旋转成，如图所示： ； 故答案是：． 22. “乡村振兴路先行，修路便民暖人心”，为了彻底解决农户出行“最后一公里”的问题，某市安排甲、乙两个工程队分别完成36千米的道路施工任务，下表是两个工程队的施工规则． 甲工程队 第一、二天的施工速度为x千米/天，从第三天开始每天都按前两天施工速度的2倍施工，这样比全程只按x千米/天的速度完成道路施工的时间提前3天． 乙工程队 A方案：计划18千米按每天施工m千米完成，剩下的18千米按每天施工n千米完成，预计完成施工任务所需的时间为天； B方案：设完成施工任务所需的时间为天，其中一半的时间每天完成施工m千米，另一半的时间每天完成施工n千米． 特别说明：A，B两种方案中的m，n均满足实际意义，且． （1）问甲工程队完成施工任务需要多少天？ （2）若要尽快完成施工任务，乙工程队应采取哪种方案？说明理由． 【答案】（1）甲工程队完成施工任务需要5天 （2） 解：乙工程队应采取B方案，理由如下： 根据题意得：；， ， ， ， ， ， 乙工程队应采取B方案． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式减法的实际应用： （1）根据题意可得两天后的施工速度为千米/天，全程只按x千米/天的速度完成道路施工的时间为天，改变后完成道路施工的时间为天，再根据从第三天开始每天都按前两天施工速度的2倍施工，这样比全程只按x千米/天的速度完成道路施工的时间提前3天列出方程求解即可； （2）根据题意求出，，再利用作差法得到，据此可得结论． 【小问1详解】 解：依题意可得：， 解得． 经检验是方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲工程队完成施工任务需要5天； 【小问2详解】 略 23. 在平面内，线段的一个端点在直线上，另一个端点在直线的上方，线段绕点按顺时针方向旋转至线段，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点． （1）如图1，当两点在直线的同侧时，求证； （2）如图2，当两点在直线的异侧时（点在两点之间），猜想，三条线段之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，，点是轴上的动点，连接． ①设点坐标为，点在轴上运动时，求与的关系式； ②当与的和最小时，求点的坐标． 【答案】（1） 证明：直线，直线， ， ， 线段绕着点按顺时针方向旋转至线段， ， ， ， 在和中， ， ． （2） ，理由如下： 直线，直线， ， ， 线段绕着点按顺时针方向旋转至线段， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （3）①；② 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算等知识，掌握一线三直角的全等模型是解题的关键． （1）根据已知条件求出，再根据旋转的性质得到，即可证明三角形全等． （2）根据条件证明，得到，，再根据即可得解； （3）①根据点坐标表示出，，，再根据，整理即可；②作点关于直线的对称点，连接，设直线与轴交于点，与轴交于点，连接，，易知，，可得，根据轴对称的性质得到，，设直线的表达式为，代入求出解析式，再联立方程组计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①如图3所示，当点在第四象限时， 由（2）可知：， 又点坐标为， ，，， ， ， 整理得：， 同理可得：当点在第一象限或第三象限时，， 综上，与的关系式是； ②：由①可知：点的运动轨迹是直线， 作点关于直线的对称点，连接， 设直线与轴交于点，与轴交于点，连接，， 易知，， ， ， 由轴对称性质易得： ，，，，， ，， ，且当，，三点共线时，有最小值， 设直线的表达式为， 把，代入上式得： ， 解得：， ， 联立方程组可得：， 解得：， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $