5.1认识二元一次方程组题型总结讲义2025-2026学年北师大版八年级数学上册

北师大版八年级上册5.1认识二元一次方程组题型总结讲义 【题型一】二元一次方程的定义 【例1】（2025秋•雁塔区校级期中）下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A．xy＝9 B． C．y＝3x+5 D．x2+x＝9 【例2】（2025秋•沙坪坝区校级期中）已知x|m|﹣2+（m﹣3）y＝0是关于x、y的二元一次方程，则m的值为　 　 ． 【变式1】（2024秋•威宁县期末）若3xm+1+2y2n﹣3＝﹣5是关于x，y的二元一次方程，则m，n的值为（　　） A．m＝0，n＝2 B．m＝0，n＝﹣2 C．m＝2，n＝﹣2 D．m＝﹣2，n＝1 【变式2】（2025春•闵行区校级期末）（m﹣3）x+2y|m﹣2|+6＝0是关于x，y的二元一次方程，则m＝　 　 ． 【变式3】（2025秋•沙坪坝区校级月考）已知方程是关于x，y的二元一次方程，则m的值是　 　 ． 【题型二】二元一次方程的解 【例1】（2025秋•济阳区期中）下列方程中，解为的二元一次方程是（　　） A．x﹣y＝1 B．3x﹣y＝9 C．x+y＝1 D．3x+y＝﹣9 【例2】（2025秋•锦江区校级期中）二元一次方程kx+2y＝5有一个解是，则k的值是　 　 ． 【变式1】（2025春•铜梁区期末）已知是关于x，y二元一次方程mx+ny＝4的解，则代数式4m+6n﹣5的值是　 　 ． 【变式2】（2025秋•福州校级月考）若是方程mx﹣y＝3的一个解，则m＝　 　 ． 【变式3】（2025•黄龙县开学）如果是方程2x﹣y+1＝0的一组解，求代数式6a﹣3b﹣5的值． 【题型三】二元一次方程组的定义 【例1】（2025秋•济南校级月考）下列方程组中，是二元一次方程组的为（　　） A． B． C． D． 【例2】（2025春•商水县校级月考）若是关于x，y的二元一次方程组，则mn＝　 　 ． 【变式1】（2024秋•南海区期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025春•金乡县月考）方程组是关于x，y的二元一次方程组，则代数式b+c的值是 　 　 ． 【题型四】二元一次方程组的解 【例1】（2025秋•锦江区校级期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解适合方程，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（2025春•隆昌市校级期末）若关于x，y的方程组的解满足x+y＝2024，则k的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【变式2】（2025•东莞市二模）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（　　） A．﹣1 B．7 C．1 D．2 【变式3】（2024秋•湘潭县期末）已知二元一次方程组的解也为关于x、y的方程ax+4y＝6的一个解，求a的值． 【课后练习】 1．（2025秋•青羊区期中）已知xa﹣1﹣2yb+3＝1是关于x，y的二元一次方程，则a+b＝　 　 ． 2．（2025春•五华区校级期中）已知xm+yn﹣1＝0是关于x，y的二元一次方程，则m+n的值为　 　 ． 3．（2025•武汉三模）若是关于x，y的二元一次方程x﹣ay＝4的一组解，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025春•东阿县期末）若是关于x、y的方程mx﹣y＝14的一个解，则m的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8 5．（2025春•湟中区校级期中）如果是方程2x﹣3y＝2020的一组解，那么代数式2m﹣3n﹣2024＝　 　 ． 6．（2025春•海淀区校级期中）如果是关于x，y的二元一次方程3x+my＝5的一个解，那么m的值为 　 　 ． 7．（2025春•北关区校级期中）对于有理数x，y，定义新运算：x#y＝ax+by，x⊕y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知1#1＝1，3⊕2＝8． （1）求a，b的值； （2）若关于x，y的方程组的解也满足方程x+y＝3，求m的值． 8．（2025春•开福区校级期末）下列方程组是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 9．（2025春•枣强县期末）已知是关于x，y的二元一次方程组，则x+y＝　 　 ． 10．（2025秋•昆都仑区校级期中）已知二元一次方程组的解是，则该方程组为（　　） A． B． C． D． 11．（2025秋•沈河区校级期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝1，则m的值为 　 　 ． 12． （2025秋•青羊区期中）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程x+y＝8的解，则k的值为　 　 ． 13．（2025春•五华区校级期中）已知x，y是方程组的解，则x﹣y的值为　 　 ． 14．（2025秋•历下区期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝2，求m的值． 15．（2025秋•金牛区校级期中）已知关于x，y的方程组的解满足x+y和x﹣y的值都是正数． （1）求m的取值范围； （2）化简：|m﹣4|﹣|m+4| 16．（2025春•邗江区校级期中）已知关于x，y的方程组和有相同的解． （1）求出它们的相同解； （2）求（a+b）2025的值． 16．（2025春•芙蓉区期末）若关于x、y的方程组与有相同的解． （1）求这个相同的解； （2）求a、b的值． 17．（2025春•邯郸期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求2a﹣3b的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版八年级上册5.1认识二元一次方程组题型总结讲义 【题型一】二元一次方程的定义 【例1】（2025秋•雁塔区校级期中）下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A．xy＝9 B． C．y＝3x+5 D．x2+x＝9 【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程 【解答】解：xy＝9中含有未知数的项的次数是2，则A不符合题意， 中不是整式，则B不符合题意， y＝3x+5中含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，则C符合题意， x2+x＝9中只含有一个未知数，并且最高次数为2，则D不符合题意， 故选：C． 【例2】（2025秋•沙坪坝区校级期中）已知x|m|﹣2+（m﹣3）y＝0是关于x、y的二元一次方程，则m的值为　﹣3　 ． 【分析】，根据二元一次方程的定义，未知数 x 和 y 的次数均为 1，且 y 的系数不为零列式计算即可． 【解答】解：由题意得，|m|﹣2＝1且m﹣3≠0， ∴m＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【变式1】（2024秋•威宁县期末）若3xm+1+2y2n﹣3＝﹣5是关于x，y的二元一次方程，则m，n的值为（　　） A．m＝0，n＝2 B．m＝0，n＝﹣2 C．m＝2，n＝﹣2 D．m＝﹣2，n＝1 【分析】根据二元一次方程的定义解答即可． 【解答】解：根据题意得m+1＝1，2n﹣3＝1， 解得m＝0，n＝2， 故选：A． 【变式2】（2025春•闵行区校级期末）（m﹣3）x+2y|m﹣2|+6＝0是关于x，y的二元一次方程，则m＝　1　 ． 【分析】根据二元一次方程满足的条件，即只含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，即可求得m的值． 【解答】解：∵（m﹣3）x+2y|m﹣2|+6＝0是关于x，y的二元一次方程， ∴|m﹣2|＝1且m﹣3≠0， 解得m＝1， 故答案为：1． 【变式3】（2025秋•沙坪坝区校级月考）已知方程是关于x，y的二元一次方程，则m的值是　﹣3　 ． 【分析】根据二元一次方程的定义解答即可． 【解答】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴m2﹣8＝1且m﹣3≠0， 解得m＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【题型二】二元一次方程的解 【例1】（2025秋•济阳区期中）下列方程中，解为的二元一次方程是（　　） A．x﹣y＝1 B．3x﹣y＝9 C．x+y＝1 D．3x+y＝﹣9 【分析】将代入方程，判断两边是否相等，相等则为方程的解． 【解答】解：A：∵4﹣（﹣3）≠1， ∴不是方程的解，不符合题意； B：∵12+3＝15， ∴不是该方程的解，不符合题意； C：4﹣3＝1， ∴是方程的解，符合题意； D：∵3×4﹣3≠﹣9， ∴不是方程的解，不符合题意； 故选：C． 【例2】（2025秋•锦江区校级期中）二元一次方程kx+2y＝5有一个解是，则k的值是　　 ． 【分析】根据二元一次方程的解的定义把代入方程kx+2y＝5中即可求出k的值． 【解答】解：把代入方程kx+2y＝5中，得3k+2×2＝5， 解得k， 故答案为：． 【变式1】（2025春•铜梁区期末）已知是关于x，y二元一次方程mx+ny＝4的解，则代数式4m+6n﹣5的值是　3　 ． 【分析】把代入mx+ny＝4可得2m+3n＝4，再把所求代数式化成含有2m+3n的形式，最后整体代入计算即可． 【解答】解：把方程组的解代入mx+ny＝4可得2m+3n＝4， ∴4m+6n﹣5＝2（2m+3n）﹣5＝2×4﹣5＝3． 故答案为：3． 【变式2】（2025秋•福州校级月考）若是方程mx﹣y＝3的一个解，则m＝　2　 ． 【分析】将代入mx﹣y＝3即可得答案． 【解答】解：∵是方程mx﹣y＝3的一个解， ∴， 解得：m＝2， 故答案为：2． 【变式3】（2025•黄龙县开学）如果是方程2x﹣y+1＝0的一组解，求代数式6a﹣3b﹣5的值． 【分析】先把方程的解代入方程得到a与b的关系式，再对6a﹣3b﹣5变形，最后代入求值． 【解答】解：将 代入方程2x﹣y+1＝0，得：2a﹣b+1＝0， ∴2a﹣b＝﹣1， ∴6a﹣3b﹣5＝3（2a﹣b）﹣5＝3×（﹣1）﹣5＝﹣3﹣5＝﹣8． 【题型三】二元一次方程组的定义 【例1】（2025秋•济南校级月考）下列方程组中，是二元一次方程组的为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二元一次方程组的定义作答即可． 【解答】解：A、选项中的方程组的两个方程都是分式方程，不符合题意； B、选项中的方程组含有三个未知数，不符合题意； C、选项中的方程组的第一个方程的x的次数为2，不符合题意； D、选项中的方程组为二元一次方程组，符合题意． 故选：D． 【例2】（2025春•商水县校级月考）若是关于x，y的二元一次方程组，则mn＝　﹣1　 ． 【分析】先根据二元一次方程组的定义得出，据此求出m、n的值，代入计算可得结果． 【解答】解：若是关于x，y的二元一次方程组， ∴， ∴解得：m＝±1，n＝3， ∵m≠1， ∴m＝﹣1， ∴mn＝（﹣1）3＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【变式1】（2024秋•南海区期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【解答】解：A、第二个方程中的xy是二次的，故该选项错误； B、该方程组中的第二个方程是分式方程，故该选项错误； C、该方程组符合二元一次方程组的定义； D、该方程组中有三个未知数，故该选项错误． 故选：C． 【变式2】（2025春•金乡县月考）方程组是关于x，y的二元一次方程组，则代数式b+c的值是 　﹣5　 ． 【分析】二元一次方程组也满足三个条件： ①方程组中的两个方程都是整式方程． ②方程组中共含有两个未知数． ③每个方程都是一次方程． 【解答】解：由二元一次方程组的概念，得 c+3＝0，b+3＝1， 解得c＝﹣3，b＝﹣2， 所以b+c＝﹣2﹣3＝﹣5． 故答案为：﹣5． 【题型四】二元一次方程组的解 【例1】（2025秋•锦江区校级期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解适合方程，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】通过将原方程组中的m用x和y表示，代入另一个方程消去m，得到关于x和y的方程，再与给定的联立求解x和y，最后代入求m． 【解答】解：已知关于x，y的二元一次方程组的解适合方程， ∵方程组且解适合， 由方程②得：m＝2x+3y， 代入方程①：3x+2y＝3（2x+3y）﹣2， 即3x+2y＝6x+9y﹣2， 整理得：3x+2y﹣6x﹣9y＝﹣2，即﹣3x﹣7y＝﹣2， 两边乘以﹣1：3x+7y＝2， ∴得3x+7y＝2， 联立方程：， 由③得：， 代入④：， ， ， ， ， ∴， 代入， 故选：A． 【变式1】（2025春•隆昌市校级期末）若关于x，y的方程组的解满足x+y＝2024，则k的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【分析】方程组两方程左右两边相加表示出x+y，代入x+y＝2024计算即可求出k的值． 【解答】解：， ①+②得：6x+6y＝6k+6， 整理得：x+y＝k+1， 代入x+y＝2024得：k+1＝2024， 解得：k＝2023． 故选：B． 【变式2】（2025•东莞市二模）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（　　） A．﹣1 B．7 C．1 D．2 【分析】将方程组的两个方程相减，可得到x﹣y＝m+3，代入x﹣y＝4，即可解答． 【解答】解：， ①﹣②得2x﹣2y＝2m+6， ∴x﹣y＝m+3， 代入x﹣y＝4，可得m+3＝4， 解得：m＝1， 故选：C． 【变式3】（2024秋•湘潭县期末）已知二元一次方程组的解也为关于x、y的方程ax+4y＝6的一个解，求a的值． 【分析】先解出二元一次方程组中的x、y，然后代入ax+4y＝6即可求解． 【解答】解：， ①﹣②×2得，2x+5y﹣2x﹣2y＝7﹣4， 3y＝3， 解得：y＝1， 将y＝1代入②得：x＝1， ∴方程组的解为， ∴ax+4y＝6， a×1+4＝6， 解得：a＝2． 【课后练习】 1．（2025秋•青羊区期中）已知xa﹣1﹣2yb+3＝1是关于x，y的二元一次方程，则a+b＝　0　 ． 【分析】根据二元一次方程的定义，确定x、y的次数均为1，从而列出关于a、b的方程，求解后计算a+b的值． 【解答】解：由条件可知x的指数a﹣1＝1，解得a＝2； y的指数b+3＝1，解得b＝﹣2． 所以a+b＝2+（﹣2）＝0， 故答案为：0． 2．（2025春•五华区校级期中）已知xm+yn﹣1＝0是关于x，y的二元一次方程，则m+n的值为　3　 ． 【分析】只含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程组，据此可得到m＝1，n﹣1＝1，则n＝2，再代值计算即可得到答案． 【解答】解：根据题意得m＝1，n﹣1＝1， ∴n＝2， ∴m+n＝1+2＝3， 故答案为：3． 3．（2025•武汉三模）若是关于x，y的二元一次方程x﹣ay＝4的一组解，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】将方程的解代入方程得到关于a的方程，解方程即可得到a的值． 【解答】解：将代入x﹣ay＝4得1+a＝4， ∴a＝3， 故选：C． 4．（2025春•东阿县期末）若是关于x、y的方程mx﹣y＝14的一个解，则m的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8 【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出m的值． 【解答】解：把x与y的值代入方程得：3m+2＝14， 解得：m＝4． 故选：A． 5．（2025春•湟中区校级期中）如果是方程2x﹣3y＝2020的一组解，那么代数式2m﹣3n﹣2024＝　﹣4　 ． 【分析】将代入原方程，可得出2m﹣3n＝2020，再将其代入2m﹣3n﹣2024中，即可求出结论． 【解答】解：将代入原方程得：2m﹣3n＝2020， ∴2m﹣3n﹣2024＝2020﹣2024＝﹣4． 故答案为：﹣4． 6．（2025春•海淀区校级期中）如果是关于x，y的二元一次方程3x+my＝5的一个解，那么m的值为 　1　 ． 【分析】根据二元一次方程的解的定义把代入关于x，y的二元一次方程3x+my＝5中即可求出m的值． 【解答】解：把代入关于x，y的二元一次方程3x+my＝5中，得3+2m＝5， 解得m＝1， 故答案为：1． 16． 7．（2025春•北关区校级期中）对于有理数x，y，定义新运算：x#y＝ax+by，x⊕y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知1#1＝1，3⊕2＝8． （1）求a，b的值； （2）若关于x，y的方程组的解也满足方程x+y＝3，求m的值． 【分析】（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程x+y＝3求解即可． 【解答】解：（1）由定义新运算：x#y＝ax+by，x⊕y＝ax﹣by可得， 解得：； （2）由定义新运算：x#y＝ax+by，x⊕y＝ax﹣by可得， 解得：， 由条件可知m+1+3m﹣2＝3， 4m＝4， 解得m＝1． 8．（2025春•开福区校级期末）下列方程组是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二元一次方程组的定义：组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、是三元一次方程组，故本选项错误； B、是分式，不是二元一次方程组，故本选项错误； C、是二元二次方程组，故本选项错误； D、是二元一次方程组，故本选项正确． 故选：D． 9．（2025春•枣强县期末）已知是关于x，y的二元一次方程组，则x+y＝　3　 ． 【分析】把方程组的两个方程相加得到x+y＝3． 【解答】解：方程组两个方程相加得3（x+y）＝9， 解得，x+y＝3． 故答案为：3． 10．（2025秋•昆都仑区校级期中）已知二元一次方程组的解是，则该方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入对应方程组中的两个方程中，看两个方程是否成立即可． 【解答】解：A、方程组中，方程xy＝2不是一次方程，故原方程不是二元一次方程组； B、把代入方程x﹣2y＝3中，方程左边＝﹣1﹣2×（﹣2）＝3，此时方程左右两边相等，故是方程x﹣2y＝3的解；把代入方程x+y＝﹣3中，方程左边＝﹣1+（﹣2）＝﹣3，此时方程左右两边相等，故是方程x+y＝﹣3的解；故是原方程组的解； C、把代入方程x+y＝3中，方程左边＝﹣1+（﹣2）＝﹣3，此时方程左右两边不相等，故不是方程x+y＝3的解；故不是原方程组的解； D、把代入方程3x﹣y＝5中，方程左边＝﹣1×3﹣（﹣2）＝﹣1，此时方程左右两边不相等，故不是方程3x﹣y＝5的解； 故选：B． 11．（2025秋•沈河区校级期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝1，则m的值为 　4　 ． 【分析】两个方程相减得x﹣y＝5﹣m，由x﹣y＝1得5﹣m＝1，解之即可． 【解答】解：在二元一次方程组中，用两个方程相减得x﹣y＝5﹣m， ∵x﹣y＝1， ∴5﹣m＝1， 解得：m＝4． 故答案为：4． 12．（2025秋•青羊区期中）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程x+y＝8的解，则k的值为　4　 ． 【分析】通过将方程组中的两个方程相加，得到x+y＝2k，再根据条件x+y＝8解出k即可． 【解答】解：将两个方程相加得：（3x+4y）+（4x+3y）＝5k+9k， ∴7x+7y＝14k， ∴x+y＝2k， ∵方程组的解也是二元一次方程x+y＝8的解， ∴2k＝8， 解得k＝4， 故答案为：4． 13．（2025春•五华区校级期中）已知x，y是方程组的解，则x﹣y的值为　2　 ． 【分析】方程组两个方程左右两边相减即可求出所求． 【解答】解：， ①﹣②得：x﹣y＝2 故答案为：2． 14．（2025秋•历下区期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝2，求m的值． 【分析】将y＝2﹣x代入方程组，求出m的值即可． 【解答】解：∵x+y＝2， ∴y＝2﹣x， 将y＝2﹣x代入方程组， ∴， 解得x＝2，m＝2． 15．（2025秋•金牛区校级期中）已知关于x，y的方程组的解满足x+y和x﹣y的值都是正数． （1）求m的取值范围； （2）化简：|m﹣4|﹣|m+4| 【分析】（1）利用加减消元法表示出x+y和x﹣y的值，再列不等式组，最后求解即可； （2）根据m的取值范围去绝对值后化简即可． 【解答】解：（1） ①+②得4x+4y＝8﹣2m， ①﹣②得2x﹣2y＝4+4m． ∵x+y和x﹣y的值都是正数， ∴，即， 解得：﹣1＜m＜4， 所以m的取值范围是﹣1＜m＜4； （2）由（1）得﹣1＜m＜4， ∴m﹣4＜0，m+4＞0， ∴|m﹣4|﹣|m+4|＝4﹣m﹣（m+4）＝4﹣m﹣m﹣4＝﹣2m． 16．（2025春•邗江区校级期中）已知关于x，y的方程组和有相同的解． （1）求出它们的相同解； （2）求（a+b）2025的值． 【分析】（1）根据已知条件，重新把不含有a，b的两个方程联立成方程组，利用加减消元法，求出x，y的值即可； （2）把（1）中所求的分别代入2ax﹣by＝4和ax+2by＝7得关于a，b的方程组，解方程组求出a，b，再代入计算即可． 【解答】解：（1）∵关于x，y的方程组和有相同的解， ∴， 解得， ∴它们的相同解为； （2）把分别代入2ax﹣by＝4和ax+2by＝7，得： ， 解得：， ∴（a+b）2025＝[1+（﹣2）]2025＝（﹣1）2025＝﹣1． 16．（2025春•芙蓉区期末）若关于x、y的方程组与有相同的解． （1）求这个相同的解； （2）求a、b的值． 【分析】（1）根据题意，得，即可求出相同的解； （2）将解 分别代入ax+by＝1，bx+ay＝6，用加减消元法求解即可． 【解答】解：（1）根据题意，得， ①﹣②，得5y＝15， 解得y＝3， 将y＝3代入②，得2x﹣3＝5， 解得x＝4， ∴这个相同的解为：； （2）将代入ax+by＝1， 得4a+3b＝1③， 将代入bx+ay＝6， 得4b+3a＝6④， ③×3﹣④×4，得﹣7b＝﹣21， 解得b＝3， 将b＝3代入③，得4a+9＝1， 解得a＝﹣2， ∴a＝﹣2，b＝3． 17．（2025春•邯郸期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求2a﹣3b的值． 【分析】根据题意可以把原方程组的解代入原方程组，变成关于a、b的二元一次方程组，求解方程组，把得到的方程组的解代入代数式求值即可． 【解答】解：由题意可得， ①+②得4a＝6， a， 代入①得2b＝4， b＝﹣1， ∴2a﹣3b＝23×（﹣1）＝6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $