精品解析：北京市第五中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

2025北京五中高二（上）期中 数 学 班级______ 姓名______ 学号______ 成绩______ 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（ ） A. 椭圆 B. 线段 C. 双曲线的一支 D. 一条射线 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线：的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆与圆外切，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知点是法向量为的平面内的一点，则下列各点中，不在平面内的是（ ） A. B. C. D. 6. “”是“椭圆的离心率为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知点关于直线：的对称点为A，设直线经过点A，则当点到直线的距离最大时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 均匀压缩是物理学一种常见现象.在平面直角坐标系中曲线的均匀压缩，可用曲线上点的坐标来描述.设曲线上任意一点，若将曲线纵向均匀压缩至原来的一半，则点的对应点为.同理，若将曲线横向均匀压缩至原来的一半，则曲线上点的对应点为.若将单位圆先横向均匀压缩至原来的一半，再纵向均匀压缩至原来的，得到的曲线方程为（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系xOy中，若点在直线上，则当a，b变化时，直线OP的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 写出一个过点的椭圆的标准方程______. 12. 过点与圆相切的直线方程为____________． 13. 在平面直角坐标系中，已知点，，则到直线的距离的最大值为______. 14. 已知直线与直线的交点为，椭圆的焦点为，，则的取值范围是______. 15. 在平面直角坐标系中，曲线的方程为，点在曲线上，给出以下四个结论: ①； ②存在点，使； ③对任意的点，其关于原点的对称点都在曲线上； ④曲线在平面内围成的封闭图形面积大于. 其中正确结论的序号是______. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在长方体中，，点分别是的中点，点为棱上一点，且直线和所成的角为． （1）求证：∥平面； （2）求点到平面的距离． 17. 在中，角，，所对边分别为，，，其中， （1）求， （2）已知，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，并求的周长. 条件①：； 条件②：； 条件③：的面积. （注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.） 18. 已知圆. （1）若直线截圆所得弦长为，求的值； （2）若直线和直线将圆的周长四等分，求的值. 19. 如图，在三棱锥中，，，是线段上的点. （1）求证：平面平面； （2）若为中点，求三棱锥的体积； （3）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 20. 已知椭圆过点，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）直线分别交椭圆于、两点，若线段的中点在直线上，求面积的最大值. 21. 对非空有限整数集，，定义整数到集合的“平均距离”，记为集合中的最小值. （1）已知集合，，，，直接写出，，，； （2）对非空有限整数集，，求； （3）非空有限整数集满足，中元素个数均为偶数，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025北京五中高二（上）期中 数 学 班级______ 姓名______ 学号______ 成绩______ 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（ ） A. 椭圆 B. 线段 C. 双曲线的一支 D. 一条射线 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的概念，判断结果； 【详解】因为，则动点轨迹为双曲线的右支. 故选：C. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得直线斜率，即可得倾斜角. 【详解】，则直线斜率为， 则直线倾斜角满足. 故选：B 3. 双曲线：的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线方程得出，再应用渐近线方程代入求解. 【详解】因为双曲线：，所以， 则的渐近线方程为. 故选：C. 4. 已知圆与圆外切，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出两圆的圆心和半径，再利用两圆外切列方程求解. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 由圆外切，得，则， 所以. 故选：C 5. 已知点是法向量为的平面内的一点，则下列各点中，不在平面内的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面内的点与点构成的向量与垂直来逐一判断. 【详解】假设选项中的点为点， 对于A：，此时，点在平面内； 对于B：，此时，点不在平面内； 对于C：，此时，点在平面内； 对于D：，此时，点在平面内； 故选：B. 6. “”是“椭圆的离心率为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的离心率为求出m，进而求得答案. 【详解】椭圆的离心率为，当时，，得； 当时，，得． 即“”是“椭圆的离心率为”的充分不必要条件． 故选：A. 7. 已知点关于直线：的对称点为A，设直线经过点A，则当点到直线的距离最大时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求出，根据直线垂直于直线时，点到直线的距离最大可以求出直线的斜率，再根据点斜式求出直线方程. 【详解】设，则，解得，所以． 设点到直线的距离为d，当时取得最大值，此时直线垂直于直线，又，所以直线的方程为，即． 故选：B． 【点睛】本题考查了点关于直线对称问题，考查了点到直线的距离的最值问题，考查了由两直线垂直求斜率，考查了直线方程的点斜式，属于基础题. 8. 均匀压缩是物理学一种常见现象.在平面直角坐标系中曲线的均匀压缩，可用曲线上点的坐标来描述.设曲线上任意一点，若将曲线纵向均匀压缩至原来的一半，则点的对应点为.同理，若将曲线横向均匀压缩至原来的一半，则曲线上点的对应点为.若将单位圆先横向均匀压缩至原来的一半，再纵向均匀压缩至原来的，得到的曲线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设单位圆上一点为，经过题设变换后坐标为，则，代入圆的方程即可得曲线方程. 【详解】由题设，单位圆上一点坐标为，经过横向均匀压缩至原来的一半，纵向均匀压缩至原来的，得到对应坐标为， ∴，则，故中，可得：. 故选：C. 9. 在平面直角坐标系xOy中，若点在直线上，则当a，b变化时，直线OP的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出点的轨迹方程，然后利用直线与圆的位置关系建立不等式求解即可. 【详解】因为点在直线上，所以， 即，所以点在以为圆心，半径为1的圆上， 由题意直线OP的斜率存在，设直线OP方程为， 因为直线OP与圆有公共点， 所以圆心到直线OP的距离小于等于半径， 所以有 故选：B 10. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据椭圆的定义将的最小值转化为，再根据（当且仅当 M、 N、 E共线时取等号），结合，求得的最小值． 【详解】如图， 由M为椭圆C上任意一点，则， 又N为圆E：上任意一点，且, 则（当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号）， 又因 ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 因,，则， 故的最小值， 故选：B 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 写出一个过点的椭圆的标准方程______. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意，任意写出一个过点的椭圆标准方程即可. 【详解】椭圆，过点，符合题意. 故答案为：（答案不唯一） 12. 过点与圆相切的直线方程为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】分类讨论直线的斜率是否存在，结合直线与圆的位置关系分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为，可知点在圆外， 当直线过点且斜率不存在时，，显然与圆相切； 当直线过点，且斜率存在时，设方程为，即， 则，解得，故方程为； 综上所述：直线方程为或. 故答案为：或. 13. 在平面直角坐标系中，已知点，，则到直线的距离的最大值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】利用点到直线距离公式，结合辅助角公式及正弦函数性质求出最大值. 【详解】点到直线的距离， 当且仅当，即时取等号， 所以所求最大值为3. 故答案为：3 14. 已知直线与直线的交点为，椭圆的焦点为，，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆方程确定椭圆焦点坐标，根据两直线方程确定两直线位置关系以及直线过的定点，求出点轨迹方程，结合重要不等式，与三角形两边之和大于第三边确定的取值范围. 【详解】 由，可知，，， 椭圆焦点，， 化为，可知直线过点， 由可知直线过点， 由可知直线，设， 由有：，，， 所以，整理得：， 所以在以为直径的圆上， 当不与重合时， 设，，，， 所以，， 又因为，所以， 所以， 又， 当与或重合时，有， 综上所述，. 故答案为： 15. 在平面直角坐标系中，曲线的方程为，点在曲线上，给出以下四个结论: ①； ②存在点，使； ③对任意的点，其关于原点的对称点都在曲线上； ④曲线在平面内围成的封闭图形面积大于. 其中正确结论的序号是______. 【答案】①④ 【解析】 【分析】将方程整理为，解不等式可求得①正确；假设存在点，将代入可解得，知②错误；将点关于原点的对称点坐标代入曲线方程可知③错误；讨论曲线方程及其与圆的位置关系，进而做出平面图形，结合图象可确定④正确. 【详解】对于①，由曲线方程得：， 在曲线上，，又， ，即，解得：（舍）或， 综上所述：，①正确； 对于②，若存在点，使得，则， ，即，解得：（舍）或， 与矛盾，不存在点，使，②错误； 对于③，点关于原点的对称点为， 代入曲线方程得：，与原方程不同， 点关于原点的对称点不都在曲线上，③错误； 对于④，当时，， ，， 在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递增，在上单调递减； 当时，， 在上单调递减，在上单调递增； 当时，， 当时，； 由此可作出曲线与圆的图象如下图所示， 则曲线在平面内围成的封闭图形面积大于圆的面积， 即曲线在平面内围成的封闭图形面积大于，④正确. 故答案为：①④. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在长方体中，，点分别是的中点，点为棱上一点，且直线和所成的角为． （1）求证：∥平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） 在长方体中， ∴直线和所成的角， ∴直角三角形为等腰直角三角形， ，故点为棱的中点． 连接故． 又平面平面， 平面 （2） 【解析】 【分析】(1)由正方体的性质可知，，即可证得线面平行. (2)建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与一个方向向量，代入公式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系，则， 则， 设平面的法向量为，则， 即所以令，得：， 所以是平面的法向量， 设到平面的距离为， ∴所以点到平面的距离为． 17. 在中，角，，所对边分别为，，，其中， （1）求， （2）已知，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，并求的周长. 条件①：； 条件②：； 条件③：的面积. （注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角的正弦公式，求出角的余弦值，求出结果. （2）若选择①，根据余弦定理解三角形，判断三角形解的个数，判断结果； 若选择②，根据同角三角函数关系，以及正弦定理解三角形，求出三角形周长； 若选择③，根据面积公式，求出边长，再根据余弦定理解三角形，求出周长即可. 【小问1详解】 ∵，， ∴，，. 【小问2详解】 选择条件①：由余弦定理，得， 即，，此时不唯一，不合题意. 选择条件②：∵，，∴， 由正弦定理，得，， ∵，∴， ∴，∴的周长. 选择条件③：∵，∴， 由余弦定理，得， ∴的周长. 18. 已知圆. （1）若直线截圆所得弦长为，求的值； （2）若直线和直线将圆的周长四等分，求的值. 【答案】（1）或 （2）2 【解析】 【分析】（1）根据点到直线的距离公式，以及圆的弦长公式，求出弦心距，进而求出结果； （2）根据题干条件，判断圆心角的度数，进而求出弦心距，进而判断两条直线间的距离，根据平行线之间的距离公式，求出结果. 【小问1详解】 由题意得圆心，半径为，当弦长为时，弦心距为， 可得，解得. 【小问2详解】 设直线和圆交于点，直线与圆交于点. 因为直线和直线将圆的周长四等分，所以圆心位于两直线之间， 连接，则， 所以为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离为， 同理可得圆心到直线的距离为，故直线和直线间的距离为，所以，即. 19. 如图，在三棱锥中，，，是线段上的点. （1）求证：平面平面； （2）若为中点，求三棱锥的体积； （3）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 【答案】（1） 取的中点，连接、， 因为，，则， 所以，所以，所以， 又因为，所以，则， 又因为，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）由平面，可知即为点到平面的距离，利用三棱锥体积公式可得答案； （3）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，设，借助空间向量求线面角建立关于的方程，求出即可求得的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作的平行线，交于点，由（1）知，平面， 所以平面，又因为为中点且，所以， 所以. 【小问3详解】 因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，所以，， 因为为棱上的点，设，其中， 所以，，且， 设平面的法向量为， 则， 不妨取，可得， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 则，化简可得：， 解得：或（舍去）. 所以. 20. 已知椭圆过点，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）直线分别交椭圆于、两点，若线段的中点在直线上，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由离心率以及椭圆经过的点即可求解的值， （2）联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，结合中点坐标公式，得到，由点到直线的距离公式以及弦长公式，得三角形的面积表达式，结合二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 . 又在椭圆上 . 所以，椭圆方程为. 【小问2详解】 由已知直线的斜率存在. 设直线方程为，，， 由， 得． 由，得．① ，． 又中点在直线上， 即， 将之代入①得 ，所以． ， 点到直线的距离， ． 设，． ． 时，的最大值为． 21. 对非空有限整数集，，定义整数到集合的“平均距离”，记为集合中的最小值. （1）已知集合，，，，直接写出，，，； （2）对非空有限整数集，，求； （3）非空有限整数集满足，中元素个数均为偶数，，证明：. 【答案】（1），，， （2） （3） 假设. 不妨设 ， ， ， ， =， 又， 故 ， 这与事实矛盾.故假设不成立，原命题成立. 【解析】 【分析】（1）由定义可直接求得； （2）反复利用绝对值三角不等式即可求解； （3）采用反证法得出矛盾，原命题成立. 【小问1详解】 ，，，； 【小问2详解】 不妨设， 的最小值就是. 当时，； 当时，，当时取等号， ∴对，， 更一般地，对， 有， 当且仅当或时取等号， ∴ 当且仅当时取等号. 故 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $