精品解析：河南省南阳市南阳地区2025-2026学年高二上学期期中摸底考试数学试题

南阳地区2025年秋季高二年级期中摸底考试卷 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第一、二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线斜率得到直线倾斜角. 【详解】因为该直线的斜率为，所以它的倾斜角为. 故选：D. 2. 已知某抛物线的顶点为坐标原点，焦点在直线上，则该抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先求得焦点坐标，再根据焦点坐标求解抛物线方程即可. 【详解】直线与轴的交点为，与轴的交点为， 当抛物线的焦点在轴上时，可得焦点坐标为，此时抛物线的标准方程为； 当抛物线的焦点在轴上时，可得焦点坐标为，此时抛物线的标准方程为. 故选：D 3. 设双曲线的焦距为，若双曲线的焦距与实轴长的和为16，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出关于的方程组求解即可. 【详解】由题意知，整理得，解得. 故选：B 4. 已知直线和圆，动圆与直线、圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两圆内切或外切，与直线相切建立等式，化简可得方程. 【详解】设，当动圆与圆内切时，有，化简得； 当动圆与圆外切时，有，化简得. 故选：C 5. 法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆的方程为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由蒙日圆的定义得到，即可求解. 【详解】直线，都与椭圆相切，两直线的交点为， 所以， 所以， 故椭圆的离心率. 故选：A 6. 已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设直线的方程，利用直线与圆相切得，再利用直线的垂直关系列方程求解即可. 【详解】由题意直线的斜率存在，设过点的直线的斜率为， 则它的方程为，即. 因为直线和圆相切，所以，解得. 因为直线与直线垂直，所以，解得. 故选：A 7. 已知点，，M是椭圆上一点，点满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出点的轨迹方程，利用两点间距离公式和二次函数结合椭圆的范围可求答案. 【详解】设点的坐标为，则，化简得， 则点的轨迹是以点为圆心，的圆. 设.因为，， 所以当时，取得最大值5. 因为，故的最大值为. 故选：B 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，过点且斜率为1的直线与椭圆交于点，，且点在第一象限，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由得.然后利用直角三角形的边角关系列式得，即可求解离心率. 【详解】如图， ，即. 设的中点为，连接，则，所以. 因为，所以，，从而. 在中，因为，所以， 则，化简得，故. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知两条平行直线，，则，之间的距离可能为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】先根据两直线平行公式列式求得或，然后代入两平行线距离公式求解即可. 【详解】因为，所以，解得或. 当时，直线，的方程分别为和，则，之间的距离为2； 当时，直线，的方程分别为和， 则，之间的距离. 故选：AB 10. 已知圆，下列说法正确的是（ ） A. 若过点的直线与圆交于，两点，则的取值范围为 B. 圆上有4个点到直线的距离为 C. 若圆与圆没有公切线，则的取值范围为 D. 过直线上任意一点作圆的切线，切点为，，则直线必过定点 【答案】AB 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系，从而确定弦长的取值范围，判断选项A；先计算圆心到直线的距离，再结合圆的半径判断圆上到直线距离为特定值的点的个数；根据没有公切线的条件，结合两圆的半径和圆心距的关系确定的取值范围，判断选项C；利用圆的切点弦方程，结合直线方程求出直线所过定点，判断选项D． 【详解】圆的方程为，该圆的圆心为，半径． 选项A：， 点在圆内，则圆心到过点的直线的距离， ，故A正确； 选项B：圆心到直线的距离， 又圆的半径为3， 圆上有4个点到直线的距离为，故B正确； 选项C：圆的圆心为，半径为， ，圆与圆没有公切线，两圆内含， ，即，解得16， 的取值范围为，故C错误； 选项D：设，则以为直径的圆为， 整理得， 直线为圆与圆的公共弦所在的直线，联立两圆方程，得， 整理得， 令，解得， 直线必过定点，故D错误． 故选：． 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点且倾斜角为的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，点满足，，则（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 与的面积的比值为 C. 双曲线的渐近线方程为 D. 与的内切圆半径之比为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量关系和几何关系得，，然后利用双曲线定义得，，，进而利用勾股定理求得 ，，即可求解离心率和渐近线判断选项AC；利用求解判断B；结合选项B根据求值即可判断D. 【详解】由已知得，因为，，所以垂直平分， 所以，. 设，则，所以，所以， 所以，即. 在直角三角形中，，所以可得，离心率， 所以，所以双曲线的渐近线方程为，所以A，C均正确. ，B正确. 设与的内切圆半径分别为，， 则 ，假设，可以推出，矛盾， 所以，D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一条光线从点射出，经轴反射，反射光线刚好经过点，则反射光线所在直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出点关于轴的对称点，然后利用两点求出斜率，代入点斜式直线方程求解即可. 【详解】点关于轴的对称点为，则反射光线所在直线经过点和， 所以反射光线所在直线的方程为即，即. 故答案为： 13. 过点作圆的切线，切点为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由切线的性质可得出，求出，结合勾股定理可求得的值. 【详解】连接、，易知圆心，半径为， 因为是圆的切线，所以． 又，所以． 故答案为：. 14. 已知抛物线的焦点为，为坐标原点，射线分别与抛物线交于异于的点，且，直线垂直于，垂足为，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设抛物线上异于的点，其中，根据条件可得，结合两直线垂直计算得到点的横坐标，分类讨论，进而计算得到的取值范围. 【详解】设抛物线上异于的点，其中， 由，得， 直线的斜率，其方程， 化简得， 焦点，直线垂直于，故直线斜率为， 方程为， 联立，解得， 则 当，，故，从而 因此，当时，.当时，.. 当，此时垂直与轴，点在轴上且是的中点，由， 得，解得故，所以的横坐标为， 综上，的取值范围为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线经过点，. （1）求直线的斜率及直线的斜截式方程； （2）若直线经过点且平行于直线，求直线的一般式方程； （3）若直线经过点且垂直于直线，求直线的一般式方程. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用两点求斜率，然后代入点斜式直线方程，化为斜截式直线方程即可求解； （2）先根据平行求得直线斜率，然后代入点斜式直线方程，化为一般式直线方程即可求解； （3）先根据垂直求得直线斜率，然后代入点斜式直线方程，化为一般式直线方程即可求解. 【小问1详解】 直线的斜率为， 直线的方程为，它的斜截式方程为. 【小问2详解】 因为直线平行于直线，所以直线的斜率为. 又直线经过点，所以直线的方程为， 它的一般式方程为. 【小问3详解】 因为直线垂直于直线，所以直线的斜率为2. 又直线经过点，所以直线的方程为，它的一般式方程为. 16. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆的焦距为4. （1）求椭圆的方程； （2）设点，直线过且与椭圆相交于，两点，若是线段的中点，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得， ，利用求得即可求解方程； （2）设，，代入椭圆方程作差求得直线的斜率，代入点斜式直线方程即可求解. 【小问1详解】 设的焦距为，因为的长轴长是短轴长的倍，所以. 因为的焦距为4，所以，解得， 因为，所以，解得， 所以，则方程为. 【小问2详解】 设，，因点，在上，所以 两方程相减得，所以. 因为是线段的中点，所以， 即直线的斜率为，所以直线的方程为，即. 17. 已知抛物线的焦点为，斜率为4的直线与抛物线交于点，与轴交于点． （1）若，求直线的方程； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，得关于的一元二次方程，根据韦达定理，.由抛物线的定义，将，转化为，从而得到. （2）由，得，结合（1）求得点的坐标，根据两点间距离公式求得. 【小问1详解】 设直线的方程为． 由消去，整理得． 因为直线与抛物线有两个交点，所以，解得． ． 因为，所以，解得， 所以直线的方程为． 【小问2详解】 设直线的方程为，则. 因为，所以，所以． 因为由（1）知，所以． 由，解得，所以，即． 所以． 18. 已知圆，直线经过点. （1）若直线与圆相切，求直线方程. （2）在直线上是否存在距离为2的两点，，使得圆上存在一点，满足？若存在，求出直线的倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）或 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）直线斜率的斜率存在，设直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可； （2）以为直径的圆与圆有公共点，按照直线与圆有公共点和直线与圆没有公共点分类讨论，根据直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系列不等式求出斜率范围，进而求出直线倾斜角的范围. 【小问1详解】 依题意，直线不垂直于轴，设其斜率为，则其方程为，即. 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，解得， 则直线的方程为或. 【小问2详解】 设在直线上存在距离为2的两点，，使得圆上存在一点，满足， 依题意可知，以为直径的圆与圆有公共点， 则当直线与圆有公共点时，显然符合题意，这时，解得. 当直线与圆没有公共点时，设的中点为， 因为以为直径的圆与圆有公共点，所以， 则点到直线的距离满足，化简得， 解得或. 综上可得，直线的斜率的取值范围为. 当时，倾斜角，当时，倾斜角， 所以在直线上存在满足条件的两点A，B，且的倾斜角的取值范围为. 19. 已知双曲线：（，）过点，且离心率． （1）求双曲线的方程． （2）已知，分别是双曲线的左、右顶点，，分别是其左、右焦点． ①若是双曲线上异于，的一点，且，证明：的面积小于． ②过右焦点的直线与的右支交于，两点，若直线与交于点，证明：点在定直线上． 【答案】（1）； （2）（2）①证明见解析；②在定直线上. 【解析】 【分析】（1）根据离心率为，过点，求解即可； （2）①在三角形中，由余弦定理及基本不等式可得，再由，三角形与三角形的高相等，可得，即可得证； ②分直线与轴不垂直和直线与轴垂直两种情况分别求解即可. 【小问1详解】 因为双曲线的离心率为， 所以， 所以， 所以双曲线方程为， 又因为双曲线过点， 所以， 解得， 所以双曲线方程为 【小问2详解】 由题意可知，，，， ①因为， 又因为，即 又因为,, 在中，由余弦定理可得， 即, 由题意可得，所以上式不能取等号， 所以， 所以， 又因为三角形与三角形的高相等，且， 所以； ②当直线与轴不垂直时，设的方程为， 由，得， 又因为与右支交于，两点， 所以， 所以； 设 则， 所以直线的方程为， 直线的方程为， 由， 得， 即， 整理得 ； 当直线与轴垂直时，的方程为， 由，解得或， 不妨设 则直线的方程为； 直线的方程为， 由, 得， 所以， 即， 解得， 综上，点M在直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南阳地区2025年秋季高二年级期中摸底考试卷 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第一、二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知某抛物线的顶点为坐标原点，焦点在直线上，则该抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 设双曲线的焦距为，若双曲线的焦距与实轴长的和为16，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知直线和圆，动圆与直线、圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A B. C. 或 D. 5. 法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆的方程为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 3 7. 已知点，，M是椭圆上一点，点满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，过点且斜率为1的直线与椭圆交于点，，且点在第一象限，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知两条平行直线，，则，之间的距离可能为（ ） A 2 B. C. D. 10. 已知圆，下列说法正确的是（ ） A. 若过点的直线与圆交于，两点，则的取值范围为 B. 圆上有4个点到直线的距离为 C. 若圆与圆没有公切线，则的取值范围为 D. 过直线上任意一点作圆的切线，切点为，，则直线必过定点 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点且倾斜角为的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，点满足，，则（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 与的面积的比值为 C. 双曲线的渐近线方程为 D. 与的内切圆半径之比为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一条光线从点射出，经轴反射，反射光线刚好经过点，则反射光线所在直线的方程为__________. 13. 过点作圆的切线，切点为，则______． 14. 已知抛物线焦点为，为坐标原点，射线分别与抛物线交于异于的点，且，直线垂直于，垂足为，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知直线经过点，. （1）求直线的斜率及直线的斜截式方程； （2）若直线经过点且平行于直线，求直线的一般式方程； （3）若直线经过点且垂直于直线，求直线的一般式方程. 16. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆的焦距为4. （1）求椭圆的方程； （2）设点，直线过且与椭圆相交于，两点，若是线段的中点，求直线的方程. 17. 已知抛物线的焦点为，斜率为4的直线与抛物线交于点，与轴交于点． （1）若，求直线的方程； （2）若，求． 18. 已知圆，直线经过点. （1）若直线与圆相切，求直线的方程. （2）在直线上是否存在距离为2的两点，，使得圆上存在一点，满足？若存在，求出直线的倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由. 19. 已知双曲线：（，）过点，且离心率为． （1）求双曲线的方程． （2）已知，分别是双曲线的左、右顶点，，分别是其左、右焦点． ①若是双曲线上异于，的一点，且，证明：的面积小于． ②过右焦点的直线与的右支交于，两点，若直线与交于点，证明：点在定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $