5.4用一次函数解决问题（基础篇）练习2025-2026学年苏科版数学八年级上册

5.4用一次函数解决问题 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 用一次函数解决实际问题的基本步骤 1. 审题：仔细阅读题目，理解题意，明确问题的背景和要求，找出已知条件和未知量。 2. 建模：将实际问题转化为数学问题，设出适当的自变量和因变量，分析它们之间的关系，建立一次函数模型（即确定函数解析式y=kx+b）。 3. 求解：运用一次函数的知识（如解析式、图像、性质）解决数学模型，得到数学结论（如计算函数值、自变量的值、判断增减性、求最值等）。 4. 检验与解释：将数学结论回归到实际问题中进行检验，看是否符合实际情况和题意要求，并对结果进行解释，用文字语言回答实际问题。 常见实际问题类型及解法 1. 行程问题： · 若速度v恒定，则路程s与时间t的关系为s=vt（正比例函数，b=0）。 · 若有初始路程s₀，则s=s₀+vt（一次函数）。可通过图像交点求相遇时间，或比较速度（k值）判断谁快谁慢。 2. 费用问题： · 如电话费（月租费+每分钟费用×通话时间）、水电费（基础费+单价×用量）、租车费（固定租金+里程费）等，总费用y与用量x的关系为y=kx+b（k为单价，b为固定费用）。可比较不同方案的费用（即比较不同一次函数的函数值大小），选择最优方案。 3. 利润问题： · 若单个利润为m，销售量为x，固定成本为n，则总利润y=mx - n（一次函数，k=m>0时，利润随销量增大而增大）。 4. 几何问题： · 如长方形周长一定时，面积与一边长的关系（虽为二次函数，但部分线性关系可涉及）；或动点问题中，某线段长度、图形面积随时间或另一线段长度变化的线性关系。 5. 方案选择问题： · 给出多种收费方案或购买方案，每种方案对应一个一次函数，通过比较不同函数在相同自变量取值下的函数值大小，确定在不同范围内的最优方案（常通过求交点来划分自变量的取值范围）。 型 习 练 题 分配方案问题 1．某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案： 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内（含10人）不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与之间的关系式； (2)某单位共34人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 2．某公司计划组织员工一日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人200元．且提供的服务完全相同．针对组团的游客，甲旅行社表示，每人都按八折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，其中20人按九折收费，超出部分每人按七折收费．假设组团参加一日游的人数为x人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团一日游的总费用（元），（元），与x（人）之间的函数关系式； (2)若公司组团参加一日游的共有32人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助公司选择收取总费用较少的一家． 3．有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货． (1)每辆大货车和每辆小货车一次各可以运货多少t？ (2)现在租用这两种货车共10辆，要求一次运输货物不低于，一辆大货车一次运货的费用为520元，一辆小货车一次运货的费用为400元，请设计一种运货方案，使总运费最低，最低总运费是多少？ 4．某学校举行表彰大会，决定购买一批笔记本和文具盒作为优秀学生的奖品，已知购买1个文具盒和2本笔记本共需16元，购买2个文具盒和3本笔记本共需28元． (1)求购买1个文具盒和1本笔记本各需多少元？ (2)该学校决定购买文具盒和笔记本共100件，且用于购买这些奖品的总费用不能超过650元，求最多可购买文具盒多少个？ (3)在（2）的条件下，若购买文具盒的数量不低于笔记本数量的倍，请设计出费用最低的购买方案，并求出最低费用． 5．西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元． (1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？ (2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 最大利润问题 6．班主任老师为了奖励期中考试成绩优异的同学，计划购买笔记本和钢笔作为奖品．已知买2本笔记本和1支钢笔共花费100元；买1本笔记本和2支钢笔共花费110元． (1)求每本笔记本和每支钢笔各多少元？ (2)若班主任老师需购买笔记本和钢笔共30件，其中笔记本数量不超过16个，求总费用（元）与笔记本的数量（个）之间的函数关系式，并说明总费用至少要多少元？ 7．某公司每月销售两种型号的教学设备共20台，每台的销售成本和售价如下表． 型号 成本/（万元/台） 3 5 售价/（万元/台） 4 8 (1)设该公司每月销售型号设备台，则每月销售型号设备______台，每月共获得利润_____万元．（用含的代数式表示，结果需化简） (2)若每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元，则该公司如何安排购进两种型号教学设备的数量，使得每月销售完这些设备后获利最大？并求出最大利润． 8．我市万达广场有A、B两种商品的进价和售价如表：该商场计划同时购进的A、B两种商品共200件，其中购进种商品件，商场售完这200件商品的总利润为元． 商品价格 进价（元/件） 80 110 售价（元/件） 150 260 (1)求关于的函数关系式； (2)该商场计划最多投入18850元用于购买这两种商品，若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？ 9．“新冠肺炎”疫情期间某工厂为支持国家抗击疫情每天连夜生产急缺的消毒液，已知每瓶消毒液的生产成本为20元，为了合理定价，根据市场调查发现，当销售单价为30元时，每天的销售量为6000瓶，若销售单价每降低1元，则每天能多销售1000瓶，但要求销售单价不能低于成本且不高于30元． (1)写出每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)该工厂负责人决定将每天的利润全部捐献出来进一步支持国家抗击“新冠肺炎”疫情，则当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 10．某水果种植基地计划租几辆货车装运苹果和橘子共60吨（苹果和橘子都有）去外地销售，要求每辆货车只能装一种水果，且必须装满． 苹果 橘子 每辆车装载量（吨） 4 6 每吨获利（元） 1200 1500 (1)设装运苹果的货车有辆，装运橘子的货车有辆，则_____（用含的代数式表示）； (2)求总利润（元）与（辆）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)若装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，则应安排多少辆货车装运苹果才能获得最大利润，并求出最大利润． 行程问题 11．已知A，B两地相距225千米，甲，乙两车都从A地出发，沿同一条高速公路前往B地，甲比乙早出发1小时，如图所示的l₁，l₂分别表示甲，乙两车相对于出发地A的距离y(千米)与乙车行驶时间x(小时)之间的关系，根据图象提供的信息，回答下列问题． (1)乙车出发时，甲车行驶的路程是_____千米，直接写出l₂ 对应的一次函数的表达式为_____； (2)求l₁对应的一次函数的表达式； (3)求乙车追上甲车时，乙车行驶了多少小时． 12．甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途停留，各自到达目的地后停止，两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示． (1)分别求出轿车和货车的平均速度； (2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离； (3)货车出发多长时间后，两车相距？ 13．已知，两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从，两地相向而行．如图，直线，分别表示甲、乙两人离地的距离与时间之间的函数关系图象，根据图象提供的信息，解答下列问题． (1)分别求出甲、乙两人离地的距离（千米）与（时）之间的函数关系式； (2)经过多长时间，两人相距40千米？ 14．近些年来，我国自主研发的新能源汽车品牌呈现出迅猛的发展态势，2024年我国新能源汽车年销量为1200余万辆，小丽家购买了一辆新能源车，搭载100度电池包，五一期间，一家人开车到距家250千米的景点旅游，出发前，车辆电量显示，当行驶200千米时，发现电量显示为（假设行驶过程中汽车的耗电量是均匀的）． (1)求该车平均每千米的耗电量（度）； (2)写出剩余电量Q（度）与行驶路程x（千米）之间的关系式； (3)当电池显示低于时，车辆将自动报警，若往返途中不充电，他们能否在车辆报警前回到家？请说明理由． 15．共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有，两种品牌的共享电动车，下面图象反映了收费（元）与骑行时间分钟之间的对应关系，其中品牌收费方式对应，品牌收费方式对应，李明求出（）与的函数关系式是，请根据相关信息解答下列问题： (1)求与的函数关系式； (2)如果李明每天早上骑行品牌或品牌的共享电动车去上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为分钟，李明家到工厂的距离为，那么李明选择哪种品牌共享电动车更省钱，为什么？ 梯度计价问题 16．为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市城镇居民用水实行阶梯收费．具体情况如表： 每月用水量 单价 不超过15立方米 每立方米2.4元 超过15立方米不超过30立方米部分 每立方米3.4元 超出30立方米部分 每立方米7.2元 (1)若设居民每月的用水量为立方米，每月所需的水费为元．请写出超过15立方米不超过30立方米部分、超出30立方米部分与的函数关系式； (2)若小丽家6月份水费70元，那么小丽家用水多少立方米？ 17．根据《关于我省居民生活用电试行阶梯电价有关问题的通知》，考虑到广东省夏季天气较为炎热，空调用电量较大的情况，将电量分档划分为夏季标准和非夏季标准，每年的5－10月执行夏季标准，其余月份执行非夏季标准． 阶梯电价电量分档 档数 夏季标准 （5－10月） 非夏季标准 （1－4月、11－12月） 电价 第一档 0－260度 0－200度 0.66元/度 第二档 261－600度 201－400度 0.71元/度 第三档 601度及以上 401度及以上 0.96元/度 如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，根据以上提供信息解答下列问题： (1)当执行非夏季标准时，若时，写出实付金额元与月用电量度之间的函数关系式__________； (2)若小安家在4月和5月的实际用电量都是250度，则实付金额分别为多少元？ (3)若小初家11月的实付金额为元，计算小初家11月的实际用电量． 18．为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户年用电量及分档计费标准： 计费档 户年用电量 单价/［元］ 第一档 第二档 第三档 (1)当时，写出电费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户年用电量是，求该户这一年的电费； (3)某户去年一年的电费是元，求该户去年一年的用电量． 19．为鼓励市民节约用电，西安市电力公司对城乡居民用户采取按月用电量分档收费办法．现提供一户居民某月电费发票的部分信息如下表所示： XX居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量x（度） 电价（元/度） 第一档： 0.5 第二档： 0.6 第三档： 0.8 本月实用金额：102（元） （大写）壹佰零贰圆 根据以上提供信息解答下列问题： (1)如果月用电量用x度来表示，实付金额用y元来表示． ①当时，写出实付额y元与月用电量x度之间的函数关系式； ②当时，写出实付额y元与月用电量x度之间的函数关系式； (2)请你根据表中本月实付金额，计算这个家庭本月的实际用电量； (3)若小强和小华家一个月的实际用电量分别为120度和400度，则实付金额分别为多少元？ 20．为了鼓励市民节约用水，三明市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价（元） 第一档 第二档 第三档 (1)当时，写出水费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是元，求该户去年一年的用水量． 其它问题 21．小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表所示的一组数据： 时间（单位：分钟） 1 2 3 4 5 …… 总水量（单位：毫升） 7 12 17 22 27 …… (1)根据上表中的数据，能正确反映总水量与时间的函数关系是一次函数（，、为常数），请求出关于的函数表达式； (2)若一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一个人饮用多少天？ 22．某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．月用电量不超过200千瓦时时，按元/千瓦时计费；月用电量超过200千瓦时时，其中的200千瓦时仍按元/千瓦时计费，超过部分按元/千瓦时计费．设每户家庭的月电量为x千瓦时时，应交电费y元． (1)小新家九月份的用电量为160千瓦时，他家九月份应交电费_______元． (2)当月用电量超过200千瓦时时，求y与x的函数关系式． (3)小明家十月份交电费146元，求他家十月份用电量多少千瓦时． 23．为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.92 第二档 3.37 第三档 4.05 (1)当时，写出用气费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用气量是，求该户这一年的用气费； (3)某户去年一年的用气费是1246.7元，求该户去年一年的用气量． 24．随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，乙机器人工作一段时间后，停工保养，保养结束后又和甲机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与甲机器人工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)乙机器人停工保养的时间为______分钟，______； (2)求所在直线对应的函数表达式； (3)若该快递公司当天分拣快递的总数量为件，则乙机器人工作多长时间？ 25．山茶花以云南群芳之首而作为昆明市花，已有40余年历史，以花大色艳、品种繁多著称，代表“可爱、谦让、理想的爱”等花语，是昆明“春城”特色的象征．某校计划购买十八学士、状元红两个品种的山茶花，用于美化校园．若购买10盆十八学士和5盆状元红共需700元；若购买8盆十八学士和15盆状元红共需1220元． (1)求十八学士和状元红每盆的单价分别是多少？ (2)该校计划购买十八学士和状元红共80盆，其中十八学士的盆数不能多于状元红盆数的，试问怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4用一次函数解决问题 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 用一次函数解决实际问题的基本步骤 1. 审题：仔细阅读题目，理解题意，明确问题的背景和要求，找出已知条件和未知量。 2. 建模：将实际问题转化为数学问题，设出适当的自变量和因变量，分析它们之间的关系，建立一次函数模型（即确定函数解析式y=kx+b）。 3. 求解：运用一次函数的知识（如解析式、图像、性质）解决数学模型，得到数学结论（如计算函数值、自变量的值、判断增减性、求最值等）。 4. 检验与解释：将数学结论回归到实际问题中进行检验，看是否符合实际情况和题意要求，并对结果进行解释，用文字语言回答实际问题。 常见实际问题类型及解法 1. 行程问题： · 若速度v恒定，则路程s与时间t的关系为s=vt（正比例函数，b=0）。 · 若有初始路程s₀，则s=s₀+vt（一次函数）。可通过图像交点求相遇时间，或比较速度（k值）判断谁快谁慢。 2. 费用问题： · 如电话费（月租费+每分钟费用×通话时间）、水电费（基础费+单价×用量）、租车费（固定租金+里程费）等，总费用y与用量x的关系为y=kx+b（k为单价，b为固定费用）。可比较不同方案的费用（即比较不同一次函数的函数值大小），选择最优方案。 3. 利润问题： · 若单个利润为m，销售量为x，固定成本为n，则总利润y=mx - n（一次函数，k=m>0时，利润随销量增大而增大）。 4. 几何问题： · 如长方形周长一定时，面积与一边长的关系（虽为二次函数，但部分线性关系可涉及）；或动点问题中，某线段长度、图形面积随时间或另一线段长度变化的线性关系。 5. 方案选择问题： · 给出多种收费方案或购买方案，每种方案对应一个一次函数，通过比较不同函数在相同自变量取值下的函数值大小，确定在不同范围内的最优方案（常通过求交点来划分自变量的取值范围）。 型 习 练 题 分配方案问题 1．某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案： 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内（含10人）不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与之间的关系式； (2)某单位共34人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 【答案】(1) (2)选择方案二更优惠，见解析 【分析】本题考查了函数的表达式，函数值的计算与比较，熟练掌握函数的表达式，求函数值是解题的关键 （1）方案一每人打九折，直接计算总费用；方案二前10人原价，超过部分打八折，分段计算后合并． （2）代入计算两种方案的总费用，比较大小后得出结论． 【详解】（1）解：票价为150元/张，方案一：每人票价打九折，此时单价为元， 故； 方案二：10人以内（含10人）不优惠，此时费用为元，超过10人的部分的费用为， 总费用为：． （2）解：当时，， ． ， 选择方案二更优惠． 2．某公司计划组织员工一日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人200元．且提供的服务完全相同．针对组团的游客，甲旅行社表示，每人都按八折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，其中20人按九折收费，超出部分每人按七折收费．假设组团参加一日游的人数为x人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团一日游的总费用（元），（元），与x（人）之间的函数关系式； (2)若公司组团参加一日游的共有32人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助公司选择收取总费用较少的一家． 【答案】(1)甲旅行社：； 乙旅行社：当时，，当时，； (2)选择甲旅行社． 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）根据甲、乙旅行社的优惠方案，分别列出总费用与人数的函数关系式，对于乙旅行社，需分人数不超过20人和超过20人两种情况讨论； （2）当人数为32时，计算两家旅行社的总费用并比较即可． 【详解】（1）解：甲旅行社：每人八折收费，报价200元，折扣后为 元/人，故 ； 乙旅行社：若，每人九折收费， 元/人，故 ；若，前20人九折收费，费用为 元，超出部分七折收费， 元/人，故； （2）解：当时， （元）， （元）， ∵， ∴选择甲旅行社． 3．有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货． (1)每辆大货车和每辆小货车一次各可以运货多少t？ (2)现在租用这两种货车共10辆，要求一次运输货物不低于，一辆大货车一次运货的费用为520元，一辆小货车一次运货的费用为400元，请设计一种运货方案，使总运费最低，最低总运费是多少？ 【答案】(1)1辆大货车一次可以运货，1辆小货车一次可以运货 (2)使总运费最少的运货方案是：租用大货车4辆，小货车6辆，最低总运费为4480元 【分析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组，不等式组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设每辆大货车一次运货x吨，每辆小货车一次运货y吨，根据2辆大货车与3辆小货车一次可以运货，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货列出方程组，解之即可； （2）设大货车辆，根据运输的总货物不少于，列出不等式组，结合为整数，得， 根据一辆大货车一次运货的费用为520元，一辆小货车一次运货的费用为400元，进行列式，再结合一次函数的性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：设1辆大货车一次运货x吨，1辆小货车一次运货y吨， 根据题意可得：， 解得：， ∴1辆大货车一次可以运货，1辆小货车一次可以运货 （2）解：设大货车辆，总运费为元， 则小货车辆， 依题意，得， 解得， ∵为整数， ∴， 则， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，最小，且为（元）， 小货车：（辆）， ∴使总运费最少的运货方案是：租用大货车4辆，小货车6辆，最低总运费为4480元 4．某学校举行表彰大会，决定购买一批笔记本和文具盒作为优秀学生的奖品，已知购买1个文具盒和2本笔记本共需16元，购买2个文具盒和3本笔记本共需28元． (1)求购买1个文具盒和1本笔记本各需多少元？ (2)该学校决定购买文具盒和笔记本共100件，且用于购买这些奖品的总费用不能超过650元，求最多可购买文具盒多少个？ (3)在（2）的条件下，若购买文具盒的数量不低于笔记本数量的倍，请设计出费用最低的购买方案，并求出最低费用． 【答案】(1)每个文具盒为8元，每本笔记本为4元 (2)62 (3)购买60个文具盒，40个笔记本费用最低，最低费用为640元 【分析】本题考查了列二元一次方程组解应用题、一元一次不等式（组）的应用、一次函数的最值： （1）设每个文具盒为元，每本笔记本为元，列出二元一次方程组并求解即可； （2）设购买文具盒个，购买笔记本个，根据题意列出不等式并求解即可； （3）列出不等式并求解即可得到a的取值，设学校购买奖品的总费用为元，用a表示出w，根据函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设每个文具盒为元，每本笔记本为元， 依题意得， 解得， 故每个文具盒为8元，每本笔记本为4元； （2）解：设购买文具盒个，则购买笔记本个， 根据题意得， 解得， 为整数， 最多可购买文具盒62个； （3）解：根据题意得， 解得， ， 为正整数， 或61或62， 设学校购买奖品的总费用为元， 则， ， ∴随着a增大w增大， 当时，最小，最小值为（元）， 此时， 购买费用最低的方案为：购买60个文具盒，40个笔记本费用最低，最低费用为640元． 5．西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元． (1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？ (2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】(1)50元；80元 (2)购买紫丁香20株，白丁香25株；2850元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，正确地列出方程组和一次函数关系式是解题的关键： （1）设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元，根据买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元，列出方程组进行计算即可； （2）设购买紫丁香m株，总费用为w元，列出一次函数关系式，利用一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元． 根据题意，列方程组 解方程组得； 答：白丁香的单价为50元，紫丁香的单价为80元； （2）解：设购买紫丁香m株，则购买白丁香株，总费用为w元． 根据题意， ∵ ∴w随m的增大而增大 又∵， ∴当时，． 答：购买紫丁香20株，白丁香25株时，总费用最少，最少费用为2850元． 最大利润问题 6．班主任老师为了奖励期中考试成绩优异的同学，计划购买笔记本和钢笔作为奖品．已知买2本笔记本和1支钢笔共花费100元；买1本笔记本和2支钢笔共花费110元． (1)求每本笔记本和每支钢笔各多少元？ (2)若班主任老师需购买笔记本和钢笔共30件，其中笔记本数量不超过16个，求总费用（元）与笔记本的数量（个）之间的函数关系式，并说明总费用至少要多少元？ 【答案】(1)每本笔记本30元，每支钢笔40元 (2)总费用w与笔记本的数量a之间的函数关系式为（，且为整数），总费用至少要1040元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的性质的应用，根据题意找准等量关系列方程是解题的关键． （1）设每本笔记本m元，每支钢笔n元，根据每笔花费为等量关系列二元一方程组进行求解； （2）先列出函数关系式，再根据一次函数的性质回答即可． 【详解】（1）解：设每本笔记本m元，每支钢笔n元， 买2本笔记本和1支钢笔共花费100元；买1本笔记本和2支钢笔共花费110元； ， 解得， 每本笔记本30元，每支钢笔40元； （2）根据题意得：， ， 随a的增大而减小， 而， 当时，w取最小值，最小值为， 总费用w与笔记本的数量a之间的函数关系式为（，且为整数），总费用至少要1040元． 7．某公司每月销售两种型号的教学设备共20台，每台的销售成本和售价如下表． 型号 成本/（万元/台） 3 5 售价/（万元/台） 4 8 (1)设该公司每月销售型号设备台，则每月销售型号设备______台，每月共获得利润_____万元．（用含的代数式表示，结果需化简） (2)若每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元，则该公司如何安排购进两种型号教学设备的数量，使得每月销售完这些设备后获利最大？并求出最大利润． 【答案】(1)； (2)购进型号设备10台，型号设备10台时获利最大，最大利润为40万元 【分析】此题综合考查一次函数、不等式的应用，注意题目蕴含的数量关系，正确列式解决问题． （1）销售A种品牌设备x台，B种品牌设备台，算出每台的利润乘对应的台数，再合并在一起即可求出总利润； （2）由“每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元”，列出不等式，再由（1）中的函数的性质得出答案即可． 【详解】（1）解：∵每月销售两种型号的教学设备共20台，该公司每月销售型号设备台， ∴每月销售型号设备为台， ∴每月共获得利润为， 即万元， 故答案为：；． （2）解：∵每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元， ∴， 解得， ∵， ∴利润随x的增大而减小， ∴当时，获得利润最大，最大利润为（万元）， ∴， ∴此时，应购进型号设备10台，型号设备10台． 8．我市万达广场有A、B两种商品的进价和售价如表：该商场计划同时购进的A、B两种商品共200件，其中购进种商品件，商场售完这200件商品的总利润为元． 商品价格 进价（元/件） 80 110 售价（元/件） 150 260 (1)求关于的函数关系式； (2)该商场计划最多投入18850元用于购买这两种商品，若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)商场可获得的最大利润是元． 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用． （1）由表格可知的利润为元，的利润为元，由题意可知购进种商品件，进而求关于的函数关系式即可； （2）由表格可知，总进价为元，根据题意求出的取值范围，进而根据一次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：由表格可知的每件利润为（元），的每件利润为（元）， ∵该商场计划同时购进的A、B两种商品共200件，其中购进种商品件， ∴购进种商品件， ∵售完这200件商品的总利润为元， ∴； （2）解：由表格可知，总进价为元， ∵该商场计划最多投入18850元用于购买这两种商品， ∴， 解得：， ∵划同时购进的A、B两种商品共200件， ∴， ∴． ∵中， ∴随增大而减小， 则时，取得最大值， 此时， 即商场可获得的最大利润是元． 9．“新冠肺炎”疫情期间某工厂为支持国家抗击疫情每天连夜生产急缺的消毒液，已知每瓶消毒液的生产成本为20元，为了合理定价，根据市场调查发现，当销售单价为30元时，每天的销售量为6000瓶，若销售单价每降低1元，则每天能多销售1000瓶，但要求销售单价不能低于成本且不高于30元． (1)写出每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)该工厂负责人决定将每天的利润全部捐献出来进一步支持国家抗击“新冠肺炎”疫情，则当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当销售单价为28元时，每天的销售利润最大，最大利润是64000元 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）根据每天的销售量基础销量单价降低后增加的销量列函数解析式即可； （2）根据题意列出函数解析式，求出的取值范围，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：销售单价x元，即销售单价降低元，则每天能多销售瓶， ∴， ∴每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式为； （2）解：根据题意得，每天的利润w与销售单价x之间的函数关系式为： ， ， ∵销售单价不能低于成本且不高于30元， ∴， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为64000， 答：当销售单价为28元时，每天的销售利润最大，最大利润是64000元． 10．某水果种植基地计划租几辆货车装运苹果和橘子共60吨（苹果和橘子都有）去外地销售，要求每辆货车只能装一种水果，且必须装满． 苹果 橘子 每辆车装载量（吨） 4 6 每吨获利（元） 1200 1500 (1)设装运苹果的货车有辆，装运橘子的货车有辆，则_____（用含的代数式表示）； (2)求总利润（元）与（辆）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)若装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，则应安排多少辆货车装运苹果才能获得最大利润，并求出最大利润． 【答案】(1) (2) (3)安排6辆货车运苹果，安排6辆货车运橘子，最大利润为元 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． （1）根据货车装运苹果和橘子共60吨，列出函数关系即可求解； （2）根据，代入（1）的解析式，即可求解；自变量的取值范围同（1）； （3）根据装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，求得的范围，根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设装运苹果的货车有x辆，装运橘子的货车有y辆， ∵每辆车装载量苹果4吨或橘子6吨， ∴， 即， ∵， 解得，且为3的倍数， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：， ∴， 解得， ∵，且为3的倍数， ∴，且为3的倍数， ∵， ， ∴随增大而减小， ∴当，，此时最大，最大值为（元） 即安排6辆货车运苹果，安排6辆货车运橘子，最大利润为元． 行程问题 11．已知A，B两地相距225千米，甲，乙两车都从A地出发，沿同一条高速公路前往B地，甲比乙早出发1小时，如图所示的l₁，l₂分别表示甲，乙两车相对于出发地A的距离y(千米)与乙车行驶时间x(小时)之间的关系，根据图象提供的信息，回答下列问题． (1)乙车出发时，甲车行驶的路程是_____千米，直接写出l₂ 对应的一次函数的表达式为_____； (2)求l₁对应的一次函数的表达式； (3)求乙车追上甲车时，乙车行驶了多少小时． 【答案】(1)60， (2) (3)乙行驶了2小时 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，解题的关键是会用待定系数法求解函数表达式，能够根据图象和题意得出需要的数据和信息． （1）由图可知乙车出发时，甲相对于出发地A的距离为60千米，用待定系数法即可求出对应的函数表达式； （2）用待定系数法即可求出对应的函数表达式； （3）当乙车追上甲车时，两车形式路程一样，即当的函数值相等时，求出对应x的值即可． 【详解】（1）由图可知，甲比乙早出发1小时，乙车出发时，甲相对于出发地A的距离为60千米， 设直线为， 将代入得： ， ∴直线的函数表达式为：． （2）设直线为，将和代入得： ， 解得： ∴直线的函数表达式为：， （3）由题知：， 解得：， ∴乙行驶了2小时． 12．甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途停留，各自到达目的地后停止，两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示． (1)分别求出轿车和货车的平均速度； (2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离； (3)货车出发多长时间后，两车相距？ 【答案】(1)轿车的平均速度为，货车的平均速度为； (2)轿车到达终点时，货车离终点的距离为； (3)货车出发或后，两车相距． 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间、路程三者之间的数量关系和待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）轿车和货车到达目的地分别用时和，分别根据“速度路程时间”计算即可； （2）由图象可知，当轿车到达终点时，货车离终点还有的路程，根据“路程时间速度”计算即可； （3）利用待定系数法，分别求出当和时关于的函数关系式，分别将代入关系式，求出对应的的值即可． 【详解】（1）解：根据“速度路程时间”，轿车的平均速度为，货车的平均速度为， 轿车的平均速度为，货车的平均速度为； （2）解：根据“路程时间速度”，得， 轿车到达终点时，货车离终点的距离为； （3）解：当时， 设与的函数关系式为、为常数，且． 将坐标和代入， 得， 解得， ， 当时，得， 解得； 由图象得：在时，无法达到； 当时， 设与的函数关系式为、为常数，且． 将坐标和代入， 得， 解得， ， 当时，， 解得． 货车出发或后，两车相距． 13．已知，两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从，两地相向而行．如图，直线，分别表示甲、乙两人离地的距离与时间之间的函数关系图象，根据图象提供的信息，解答下列问题． (1)分别求出甲、乙两人离地的距离（千米）与（时）之间的函数关系式； (2)经过多长时间，两人相距40千米？ 【答案】(1)：，： (2)4小时或小时 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式以及根据实际情况分情况讨论列方程是解题的关键． （1）根据一次函数的表达式形式，结合图象上的点坐标，利用待定系数法分别求出甲、乙对应的函数关系式． （2）分相遇前和相遇后两种情况，根据两人离A地的距离关系列出方程求解． 【详解】（1）解：设的函数关系式为：， 因为过点，即， 解得， 故， 设的函数关系式为：， 因为过点，即， 所以， 又因为过点，即， 解得， 所以的函数关系式为：； （2）解：两人相距40千米分两种情况： ①当相遇后相距40千米时，即， 解得， ②当相遇前相距40千米时，即， 解得， 所以经过4小时或小时时，两人相距40千米． 14．近些年来，我国自主研发的新能源汽车品牌呈现出迅猛的发展态势，2024年我国新能源汽车年销量为1200余万辆，小丽家购买了一辆新能源车，搭载100度电池包，五一期间，一家人开车到距家250千米的景点旅游，出发前，车辆电量显示，当行驶200千米时，发现电量显示为（假设行驶过程中汽车的耗电量是均匀的）． (1)求该车平均每千米的耗电量（度）； (2)写出剩余电量Q（度）与行驶路程x（千米）之间的关系式； (3)当电池显示低于时，车辆将自动报警，若往返途中不充电，他们能否在车辆报警前回到家？请说明理由． 【答案】(1)该车平均每千米的耗电量为度 (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）用原电量百分比减去剩余电量百分比后乘以总电量除以行驶路程即可； （2）结合（1）即可求出关系式，用总电量除以每千米的耗电量求出最大行驶路程，即可求出自变量的取值范围； （3）求出往返后的剩余电量，与电池显示等于时的电量比较即可． 【详解】（1）解：（度）， 答：该车平均每千米的耗电量为度； （2）解：由（1）知平均每千米耗电量为度， ， （千米）， ， 即； （3）解：他们不能在车辆报警前回到家． 理由：一家人开车到距家250千米的景点旅游， 即往返共行驶500千米， 当千米时，（度）， （度）， 他们不能在车辆报警前回到家． 15．共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有，两种品牌的共享电动车，下面图象反映了收费（元）与骑行时间分钟之间的对应关系，其中品牌收费方式对应，品牌收费方式对应，李明求出（）与的函数关系式是，请根据相关信息解答下列问题： (1)求与的函数关系式； (2)如果李明每天早上骑行品牌或品牌的共享电动车去上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为分钟，李明家到工厂的距离为，那么李明选择哪种品牌共享电动车更省钱，为什么？ 【答案】(1)与的函数关系式； (2)选择品牌共享电动车更省钱，理由见解析． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，用待定系数法求一次函数解析式、解一元一次方程． （）用待定系数法求出函数解析式即可； （）根据李明家到公司的距离和共享单车的速度可以求出李明从家到公司需要的时间，再根据两种共享单车的收费标准分别计算出两种共享单车所需要的费用，通过比较选择价格较低的． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， ∴， 解得：， ∴与的函数关系式； （2）解：选择品牌共享电动车更省钱，理由如下： （分钟）， ∴当时，，， ∵， ∴选择品牌共享电动车更省钱． 梯度计价问题 16．为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市城镇居民用水实行阶梯收费．具体情况如表： 每月用水量 单价 不超过15立方米 每立方米2.4元 超过15立方米不超过30立方米部分 每立方米3.4元 超出30立方米部分 每立方米7.2元 (1)若设居民每月的用水量为立方米，每月所需的水费为元．请写出超过15立方米不超过30立方米部分、超出30立方米部分与的函数关系式； (2)若小丽家6月份水费70元，那么小丽家用水多少立方米？ 【答案】(1)超过15立方米不超过30立方米部分，；超出30立方米部分， (2)小丽家用水25立方米 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据（1）可把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： 超过15立方米不超过30立方米部分：； 超出30立方米部分：； （2）解：由（1）可知： 把代入得：， 解得：； 答：小丽家用水25立方米． 17．根据《关于我省居民生活用电试行阶梯电价有关问题的通知》，考虑到广东省夏季天气较为炎热，空调用电量较大的情况，将电量分档划分为夏季标准和非夏季标准，每年的5－10月执行夏季标准，其余月份执行非夏季标准． 阶梯电价电量分档 档数 夏季标准 （5－10月） 非夏季标准 （1－4月、11－12月） 电价 第一档 0－260度 0－200度 0.66元/度 第二档 261－600度 201－400度 0.71元/度 第三档 601度及以上 401度及以上 0.96元/度 如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，根据以上提供信息解答下列问题： (1)当执行非夏季标准时，若时，写出实付金额元与月用电量度之间的函数关系式__________； (2)若小安家在4月和5月的实际用电量都是250度，则实付金额分别为多少元？ (3)若小初家11月的实付金额为元，计算小初家11月的实际用电量． 【答案】(1) (2)小安家在4月的实付金额为167.5元，在5月的实付金额为165元 (3)小初家11月的实际用电量为220度 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是要根据用电量的多少分阶梯求出实付电费与用电量之间的函数关系． （1）当时，成一次函数关系，实付金额等于度内的用电付出金额与超出度的用电付出金额的和，然后即可得到y与x的函数关系式； （2）根据用电度数判断出适合的函数关系式，然后把用电度数代入关系式进行计算即可得解； （3）先计算出元的用电量超出度，然后把实付金额代入函数关系式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：当执行非夏季标准时，即当时，有 ， 故答案为：； （2）月执行非夏季标准，且， 250度用电量在第二档， 当时，则元， 月执行夏季标准，且， 250度用电量在第一档， 当时，元， 答：小安家在4月的实付金额为元，在5月的实付金额为元； （3）∵11月执行非夏季标准， ∴200度电费，400度电费， ∴， ∴小初家11月用电量属于第二档，令，则， 解得， 答：小初家11月的实际用电量为220度． 18．为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户年用电量及分档计费标准： 计费档 户年用电量 单价/［元］ 第一档 第二档 第三档 (1)当时，写出电费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户年用电量是，求该户这一年的电费； (3)某户去年一年的电费是元，求该户去年一年的用电量． 【答案】(1) (2)该户这一年的电费元 (3)该户去年一年的用电量 【分析】本题考查了分段函数的应用．根据不同用电量区间的单价来计算电费是解题的关键． （1）需考虑分档计费，第一档得电费按照计算，超过的部分按单价计算，将两部分电费相加并化简即可得到关系式； （2）已知年用电量是，判断其处于区间，将代入（1）中的关系式并计算即可； （3）先计算第一档最多电费为元，与已知电费元比较，可知用电量超过第一档；再计算用电量为时的电费，与已知电费元比较，可知用电量在区间，最后将代入计算即可． 【详解】（1）解：， 化简得． （2）解：将代入， 得到， 该户这一年的电费为元． （3）解：元元， 该户用电量超过， 将代入， 解得， 该户用电量在区间， 将代入， 得到， 解得， 该户去年一年的用电量为． 19．为鼓励市民节约用电，西安市电力公司对城乡居民用户采取按月用电量分档收费办法．现提供一户居民某月电费发票的部分信息如下表所示： XX居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量x（度） 电价（元/度） 第一档： 0.5 第二档： 0.6 第三档： 0.8 本月实用金额：102（元） （大写）壹佰零贰圆 根据以上提供信息解答下列问题： (1)如果月用电量用x度来表示，实付金额用y元来表示． ①当时，写出实付额y元与月用电量x度之间的函数关系式； ②当时，写出实付额y元与月用电量x度之间的函数关系式； (2)请你根据表中本月实付金额，计算这个家庭本月的实际用电量； (3)若小强和小华家一个月的实际用电量分别为120度和400度，则实付金额分别为多少元？ 【答案】(1)①；② (2)这个家庭本月的实际用电量200度 (3)实付金额分别为60元、232元 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意及表格可进行求解①②； （2）由（1）可把代入代入进行求解即可； （3）根据题意分别计算电费即可． 【详解】（1）解：①当时，由表可知： ； 即实付额y元与月用电量x度之间的函数关系式； ②当时，由表可知： ； 即实付额y元与月用电量x度之间的函数关系式； （2）解：因为第一档最高电费为元，而， 所以用电量超过180度。 假设用电量在第二档，将代入得，解得。 因为，假设成立， 所以该家庭本月实际用电量为200度， 答：这个家庭本月的实际用电量200度； （3）解：由题意得： 小强家的电费为（元）； 小华家的电费为（元）； 答：实付金额分别为60元、232元． 20．为了鼓励市民节约用水，三明市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价（元） 第一档 第二档 第三档 (1)当时，写出水费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是元，求该户去年一年的用水量． 【答案】(1)水费（单位：元）与之间的关系式为： (2)元 (3)该户去年的用水量为 【分析】本题主要考查分段函数的运用，理解表格中每档的费用，正确列式求解是关键． （1）根据题意得到第一档的费用，结合分段函数列式求解即可； （2）根据得到某用户的用水量处于第二档，代入计算即可求解； （3）根据题意得到该用户的用水量处于第二档，由分段函数的计算方法列式求解即可． 【详解】（1）解：第一档的水费为（元）， 第二档的水费为（元）， ∴水费（单位：元）与之间的关系式为：； （2）解：当某户一年用水量是时，处于第二档， ∴（元）； 该户这一年的用水费为1147元． （3）解：第一档的最高费用为（元）， 第二档的最高费用为（元）， 因为，所以该户的年用水量属于第二档， 所以， 解得：． 答：该户去年一年的用水量为． 其它问题 21．小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表所示的一组数据： 时间（单位：分钟） 1 2 3 4 5 …… 总水量（单位：毫升） 7 12 17 22 27 …… (1)根据上表中的数据，能正确反映总水量与时间的函数关系是一次函数（，、为常数），请求出关于的函数表达式； (2)若一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一个人饮用多少天？ 【答案】(1) (2)144 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确求出一次函数解析式是解题关键． （1）根据表格中的数据，利用待定系数法求解即可； （2）将天转化为分钟，再根据函数表达式，求出这个水龙头一个月的漏水量，再除以一个人一天大约的饮用辆，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 关于的函数表达式为； （2）解：天分钟， 当时，， 即这个水龙头一个月的漏水量为毫升， （天）， 答：这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一个人饮用144天． 22．某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．月用电量不超过200千瓦时时，按元/千瓦时计费；月用电量超过200千瓦时时，其中的200千瓦时仍按元/千瓦时计费，超过部分按元/千瓦时计费．设每户家庭的月电量为x千瓦时时，应交电费y元． (1)小新家九月份的用电量为160千瓦时，他家九月份应交电费_______元． (2)当月用电量超过200千瓦时时，求y与x的函数关系式． (3)小明家十月份交电费146元，求他家十月份用电量多少千瓦时． 【答案】(1)96 (2) (3)240千瓦时 【分析】本题主要考查一次函数的应用，理解题意，列出相应的函数关系式是解题关键． （1）根据题意列出算式求解即可； （2）根据题意，列出函数关系式即可； （3）根据题意得出用电量超过了200千瓦时，然后代入函数关系式求解即可 【详解】（1）解：（元） 故答案为：96； （2）解：当时，y与x的函数关系式是； （3）解：小明家十月份的电费超过了元   用电量超过了200千瓦时， 把代入中，得， 解得， 答：小明家十月份用电240千瓦时． 23．为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.92 第二档 3.37 第三档 4.05 (1)当时，写出用气费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用气量是，求该户这一年的用气费； (3)某户去年一年的用气费是1246.7元，求该户去年一年的用气量． 【答案】(1)与的函数关系式为（） (2)该户这一年的用气费为1213元 (3)该户去年一年的用气量为410 【分析】本题主要考查分段函数的运用，理解表格中每档的费用，正确列式求解是关键． （1）根据题意得到第二档的费用，结合分段函数列式求解即可； （2）根据得到某用户的用气量处于第二档，代入计算即可求解； （3）根据题意得到该用户的用气量处于第二档，由分段函数的计算方法列式求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，当时， 所以与的函数关系式为（）； （2）解：， ∴按第二档计费， 当时，代入式中， 可得： 答：该户这一年的用气费为1213元； （3）解：当时， （元）， 当时， （元） ， ∴当用气费是1246.7元时，按第二档计费 当时， 解得： 答：该户去年一年的用气量为410． 24．随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，乙机器人工作一段时间后，停工保养，保养结束后又和甲机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与甲机器人工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)乙机器人停工保养的时间为______分钟，______； (2)求所在直线对应的函数表达式； (3)若该快递公司当天分拣快递的总数量为件，则乙机器人工作多长时间？ 【答案】(1)， (2)所在直线的函数表达式为 (3)乙机器人工作分钟 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，从函数图象中有效地获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键． （1）由图象可得，乙机器人停工保养的时间，再计算甲乙机器人的工作效率，再列式计算求解的值即可； （2）设所在直线的函数表达式为，将点和代入求出、即可； （3）把代入，求出值，结合乙停工的时间进一步即可得到答案． 【详解】（1）解：乙机器人停工保养的时间为（分钟）， 甲乙合作的效率为：（件/分钟）， （件）， 故答案为：，； （2）设所在直线的函数表达式为， 将点和代入得， 解得， 所在直线的函数表达式为； （3）当时，， 解得， （分钟）， 答：乙机器人工作分钟． 25．山茶花以云南群芳之首而作为昆明市花，已有40余年历史，以花大色艳、品种繁多著称，代表“可爱、谦让、理想的爱”等花语，是昆明“春城”特色的象征．某校计划购买十八学士、状元红两个品种的山茶花，用于美化校园．若购买10盆十八学士和5盆状元红共需700元；若购买8盆十八学士和15盆状元红共需1220元． (1)求十八学士和状元红每盆的单价分别是多少？ (2)该校计划购买十八学士和状元红共80盆，其中十八学士的盆数不能多于状元红盆数的，试问怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】(1)十八学士每盆40元，状元红每盆60元 (2)购买50盆十八学士和30盆状元红时，总费用最少，最少费用为3800元 【分析】本题考查了二元一次方程组、一次函数、一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设十八学士每盆的单价是元，状元红每盆的单价是元，根据“购买10盆十八学士和5盆状元红共需700元；若购买8盆十八学士和15盆状元红共需1220元”列出二元一次方程组求解； （2）设购买十八学士盆，则购买状元红盆，由题意得，，解得，设总费用为元，则，再根据一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设十八学士每盆的单价是元，状元红每盆的单价是元， 由题意得， 解得， 答：十八学士每盆的单价是元，状元红每盆的单价是元； （2）解：设购买十八学士盆，则购买状元红盆， 由题意得，， 解得， 设总费用为元，则， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当时，总费用最小，即（元）， ∴， ∴购买50盆十八学士和30盆状元红时，总费用最少，最少费用为3800元． 学科网（北京）股份有限公司 $