精品解析：北京市北京师范大学实验华夏女子中学2025-2026学年八年级上学期11月期中考试数学试卷

北京师范大学实验华夏女子中学2025—2026学年度第一学期期中学业评价初二数学试题 注意事项 1.本试卷共8页，满分100+10分，考试时间100分钟． 2.在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4.在答题卡上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5.考试结束，请将考试材料一并交回． 一、单项选择题：本大题共10小题．每题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．把正确答案填涂在答题卡上． 1. 下列汉字可以看作是轴对称图形的是（ ） A. 华 B. 夏 C. 好 D. 美 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解： 汉字“华”左右笔画不对称，无对称轴； “夏”整体结构不对称，无对称轴； “好”左右部分不同，无对称轴； 而汉字“美”具有一条垂直对称轴，沿此轴对折后左右部分能完全重合； ∴可以看作是轴对称图形的是“美”； 故选：D． 2. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方和同底数幂相除，熟练掌握运算法则是解题关键； 直接利用运算法则逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，故 A错误； B、，故B正确； C、，故 C错误； D、，故 D错误； 故选：B． 3. 下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因式分解的结果是几个整式的积的形式． 【详解】解：A.从左到右的变形是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； B.从左到右的变形是因式分解，故本选项符合题意； C. ，故本选项不符合题意； D.，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 4. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. ﹣1 B. 0 C. 3 D. ﹣1或 3 【答案】C 【解析】 【分析】分式的值为零，分子等于零且分母不等于零． 【详解】解：当分式＝0时，x﹣3＝0，且x+1≠0 解得 x＝3且x≠﹣1． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 5. 分式可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，分式的变形，掌握分式的性质是解题的关键． 根据分式的性质变形即可求解． 【详解】解：， 故符合的只有B选项， 故选：B． 6. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， ∴是的角平分线； 由图2得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图3得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线． 7. 一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和，掌握多边形内角和公式是解答本题的关键． 根据多边形的内角和公式，列式求解即可． 【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意得， ， 解得． 故选：D 8. 如图，中，，，，点P是边上的动点，则的长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线段最短的性质和含30度角的直角三角形的理解和掌握，解答此题的关键是利用含30度角的直角三角形的性质得出． 利用垂线段最短分析可知：的最小值为3；根据含30度角的直角三角形的性质得出；接下来可知的最大值为6，由此即可得到答案． 【详解】解：根据垂线段最短，可知的最小值为3． 中，，，， ， 的最大值为6， ∴的长可能是， 故选：B． 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的证明及性质，矩形的证明及性质，正方形的证明及性质，能够正确作出辅助线是解题关键； 过点C作，，先证得四边形是矩形，再通过可证得，进而证得矩形是正方形，再通过线段的和差关系算出，进而可得到答案． 【详解】解：如图，过点C作，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ 在和中，  ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴矩形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，在中，边的垂直平分线，分别与，交于点D，E，边的垂直平分线，分别与，交于点F，G．若的周长为16，且，则的长为（　　） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线，三角形的周长等知识．解决问题的关键掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可． 【详解】解：∵中，边的垂直平分线，分别与，交于点D，E，边的垂直平分线，分别与，交于点F，G． ∴． ∵的周长为16，即， ∵， ∴． 故选：B． 二、填空题：（本大题共8道小题，每小题2分，共16分） 11. 若分式有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由于分式的分母不能为0，因此x-5≠0，解得x． 【详解】解：∵分式有意义， ∴x-5≠0，即x≠5． 故答案为x≠5． 【点睛】本题主要考查分式有意义的条件：分式有意义，分母不能为0． 12. 如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则的度数为______. 【答案】90º 【解析】 【分析】首先证明三角形全等，根据全等三角形的性质可得对应角相等，再由余角的定义和等量代换可得∠1与∠2的和为90°. 【详解】解：如图，根据方格纸的性质， 在△ABD和△CBE中 ， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴∠1=∠BAD， ∵∠BAD+∠2=90°， ∴=90°. 故答案为：90°. 【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定和性质． 13. 命题“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是_____，该逆命题是______命题．（填“真”或“假”） 【答案】 ①. 锐角三角形是等边三角形 ②. 假 【解析】 【分析】本题考查了逆命题及判断命题真假，正确理解三角形的分类是解题关键．先根据原命题写出逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：命题“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是“锐角三角形是等边三角形”，该逆命题是假命题， 故答案为：锐角三角形是等边三角形；假； 14. 如图，线段为的中线，且，，若，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定．解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．延长至点，使得，连接，证明，可得，再证得，最后根据等腰三角形判定求解可． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：2 15. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则的度数是__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和和三角形外角的性质，根据，可得，，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数，进而求出的度数． 【详解】解：， ，， ， ， ，， ． 故答案为：． 16. 如图： （1）将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且，观察图形，用不同的方法表示这块长方形纸板的面积，可得等式为______． （2）若图中每块小长方形的面积为12，四个正方形的面积之和为80，则图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和为______． 【答案】 ①. ②.   【解析】 【分析】本题考查了因式分解与完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式和数形结合思想是解题关键． （1）根据大矩形面积可以表示为，也可以表示为即可求解； （2）根据题目可知，，利用完全平方公式变形，求出，即可求解． 【详解】解：（1）由题知即为大矩形面积， 由图知还可用求面积， ∴=． 故答案是：； （2）∵图中每块小长方形的面积为12，四个正方形的面积之和为80， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为， 故答案为： ． 17. 已知，，，且． （1）a，b，c的大小关系是______（用号连接）； （2）以a，b，c为边长的三角形______存在．（填“一定”、“不一定”或“一定不”） 【答案】 ①. ②. 一定 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，有理数的大小比较， 对于（1），根据，可得，再根据，可得，则答案可得； 对于（2），分三种情况，根据任意两边之和大于第三边可得结论． 【详解】解：（1）由，知，则，所以 ； 又，由于，且，故，所以， 因此，的大小关系为； 故答案为：； （2）一定存在，理由如下： 以为边长构成三角形，需满足三角形三边关系定理： ：即，得，由于 ，该不等式恒成立； ：即，得，由于，该不等式恒成立； ：即，得，即，由已知条件该不等式恒成立． 因此，以 为边长的三角形一定存在． 故答案为：一定 18. 如图，在中，和的角平分线交于点，经过点与交于，以为边向两侧作等边和等边，分别和，交于，连接．若，，，．则下列结论中正确的是______． ①；②是等边三角形；③垂直平分；④． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的面积公式．利用相关定义、性质与公式对每个选项进行判定是解题的关键． 根据三角形的角平分线交于一点可得为的平分线，利用角平分线的定义和三角形的内角和定理，通过计算即可得出即可判定①正确；通过证明即可判定②正确；，为的角平分线，得到垂直平分，可判定③正确；利用三角形的面积公式计算得出结论即可判定④是否正确． 【详解】解：∵和的角平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵三角形的三条角平分线相交于一点， ∴为的角平分线， ∴， ∵以为边向两侧作等边和等边， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形，故②正确； ∵，为的角平分线， ∴垂直平分，故③正确； ∵，，， ∵为的角平分线， ∴到的距离相等，， 设到的距离为， ∴， ∴ ，故④不正确； 故答案为：①②③． 三、解答：（本大题共8道题，第19、21题每题12分，第20、22、24题每题5分，第23题11分，第25题6分，第26题8分，共64分） 19. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，涉及积的乘方、单项式的乘法、多项式的乘法和多项式除以单项式等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）先计算积的乘方、再计算单项式乘以单项式； （2）根据多项式的乘法法则计算即可； （3）根据多项式除以单项式的法则计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：． 20. 化简求值：，其中，． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，涉及平方差公式和完全平方公式等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； 先计算平方差公式和完全平方公式，再计算加减，然后再代值计算即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式． 21. 因式分解： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） ； （2） ； （3） ． 【解析】 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． （1）先提取公因式，然后再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式，然后再利用完全平方公式进行因式分解即可； （3）利用十字相乘法进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：． 22. 如图，若，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件． （1）证明，由全等三角形的性质可得出结论； （2）由全等三角形的性质可得出，由三角形内角和定理可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 23. 作图题： （1）小红发现，任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形． 已知：在中，． 求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形． 下面是小红设计的尺规作图过程． 作法：①作的垂直平分线，交斜边于点D； ②作直线，则直线就是所求作的直线． 根据小红设计的尺规作图过程，请使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹），并完成下面的证明． 证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上， ∴①______．∴． ∵，∴，． ∴．∴②______．（③________）（填推理的依据） ∴和都是等腰三角形． （2）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． ①在图中作出关于y轴对称的； ②写出点A关于x轴的对称点的坐标______； ③点P是y轴上一个动点，当的值最小时的点P的坐标为______； ④如果要使以B、C、D为顶点的三角形与全等，所有符合条件的点D（不与点A重合）的坐标为______． 【答案】（1）；；等角对等边 （2） ①如图所示． ②点关于轴的对称点的坐标；③；④，，． 【解析】 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，等腰三角形的证明，轴对称图形的性质，全等三角形的判定方法，掌握平面直角坐标系的特点，轴对称图形的性质，全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）按照题目所给的作法作图即可；根据垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质与判定定理求解即可． （2）①分别作三个顶点关于y轴的对称点，再顺次连接即可； ②根据①中的图形结合轴对称的性质得出坐标即可； ③根据轴对称最短路径的方法作图即可； ④利用勾股定理确定的位置，作出图形，再写出的坐标即可． 【小问1详解】 解：①如图所示，即为所求； 证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上， ∴． ∴． ∵， ∴. ∴． ∴．（等角对等边） ∴和都是等腰三角形． 故答案为：；；等角对等边 【小问2详解】 解：① 略 ②点关于轴的对称点的坐标； ③点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求点的位置， 此时； ④以为一边，使另外两边长为，，分别确定点，，，可知这两个三角形全等， 则，，． 24. 如图，在中，，D为边上一点，平分，且，若，，求的长． - 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，过点A作于H，利用“”可证明，得到，再利用“”可证明，得到，利用线段的和差关系即可求出的长，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点A作于H， ， ， 平分，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 25. 给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于x的二次多项式的特征系数对．把关于x的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式． （1）关于x的二次多项式的特征系数对为______； （2）求有序实数对的特征多项式A与有序实数对的特征多项式B的乘积； （3）若有序实数对的特征多项式M与有序实数对的特征多项式N的乘积的结果为，请直接写出的值为______． 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，新定义问题，给x赋予特殊值是解题的关键． (1 )根据特征系数对的定义即可解答； (2)根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再根据多项式乘多项式进行计算即可； (3)根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再令即可得出答案． 【小问1详解】 解：关于x的二次多项式的特征系数对为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：有序实数对的特征多项式为，有序实数对的特征多项式为， ； 【小问3详解】 解：根据题意得， 令，则， ， ， ． 故答案为：4． 26. 如图，已知为等边三角形，D、E分别为线段延长线上的点，且．作直线，点B关于直线的对称点为F，连接分别交直线于G、H．设． （1）①请你根据题意，补全图形； ②连接，求的大小；（用含有α的式子表示） （2）试猜想和之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） ①如图所示： ② （2）， 理由如下： 如图，连接， 点关于直线的对称点为， ，， ， ， ， ， ，， ，则， ，， ， 又， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 【解析】 【分析】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质、轴对称的性质、三角形的内角和定理及外角性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）①根据题意画出图形即可；②通过证明是等边三角形，可得，由轴对称的性质可得，由三角形的外角性质可得，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得，即可求解； （2）由“”可证，可得，通过证明是等边三角形，可得，可得结论． 【小问1详解】 略 解：（1）① ②是等边三角形， ，， ，， 是等边三角形， ，， 点关于直线的对称点为， ， ， ， ， 点关于直线的对称点为， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 四、选做题：（本大题共2小题，第1题4分，第2题6分，共10分） 27. 阅读材料： 如果整数满足，，其中a，b，c，d都是整数，那么一定存在整数m，n，使得． 例如：，，或… 根据上述材料，解决下列问题 （1）已知，，，或，若，则_____； （2）已知，（c，d为整数），， 若，求n（用含c，d的式子表示）； （3）一般地，上述材料中的m，n可以用含a，b，c，d的式子表示，请直接写出一组满足条件的m，n（用含a，b，c，d的式子表示）的值． 【答案】（1） （2）或 （3）（任写一组即可） 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，用代数式表示， 对于（1），根据题意可得，再根据m的范围得出答案； 对于（2），根据题意可得，再配成完全平方公式，根据，可得答案； 对于（3），将展开，再整理成完全平方公式可得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ， ∵， ∴， 即或； 【小问3详解】 解： ， ∴． 28. 在平面直角坐标系中，已知点． 对于点给出如下定义：先将点关于直线对称，再向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，则称点为点的“睿智点”． （1）如图1，点坐标为， ①当点坐标为时，则点的“睿智点”的坐标为______； ②若点为点的“睿智点”，则的坐标为______； （2）如图2，点、，点与点关于轴对称．点在边上，点坐标为． ①画出点所有的“睿智点”； ②这些关联点组成的图形围成的面积是______． （3）如图3，点、、、，，点在正方形边上，点、，若线段上存在点的“睿智点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；② （2）①如图所示： ② （3） 【解析】 【分析】本题考查了坐标变换，解题关键是得到“睿智点”变化规律. （1）①根据“睿智点”的定义求解即可；②设，根据“睿智点”的定义列方程即可求解； （2）①根据“睿智点”的定义得到当、、三点作为点时，设点的“睿智点”分别为、、，则，，，依次连接，，，则点所有的“睿智点”形成的图形为的三边；②求出的面积即可； （3）分别求出点关于、、、四点作为“点”时的“睿智点”坐标：，，，，则矩形四条边即为点的“睿智点”的轨迹，由点、，并且线段上存在点的“睿智点”，可知线段需与矩形四条边有交点，分情况：①当线段与有交点时，②当线段与有交点时，③当线段与有交点时，列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：①由题意可得，， 点坐标为，点坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为， 的坐标为， 故答案为：； ②设， 由题意得， 解得， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ①点与点关于轴对称，， ， 当、、三点作为点时，设点的“睿智点”分别为、、， ，，， 如图，依次连接，，，则点所有的“睿智点”形成的图形为的三边； ②这些关联点组成的图形围成的面积是， 故答案为：； 【小问3详解】 根据，，分别求出点关于、、、四点作为“点”时的“睿智点”坐标：，，，， 如图，矩形四条边即为点的“睿智点”的轨迹， 点、，并且线段上存在点的“睿智点”， 线段需与矩形四条边有交点， ①当线段与有交点时， ，无解，则没有交点， ②当线段与有交点时， ， 解得， ③当线段与有交点时， 或， 解得， 综上所述：当时，线段上存在点的“睿智点”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师范大学实验华夏女子中学2025—2026学年度第一学期期中学业评价初二数学试题 注意事项 1.本试卷共8页，满分100+10分，考试时间100分钟． 2.在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4.在答题卡上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5.考试结束，请将考试材料一并交回． 一、单项选择题：本大题共10小题．每题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．把正确答案填涂在答题卡上． 1. 下列汉字可以看作是轴对称图形的是（ ） A. 华 B. 夏 C. 好 D. 美 2. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. ﹣1 B. 0 C. 3 D. ﹣1或 3 5. 分式可变形为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 7. 一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 如图，中，，，，点P是边上的动点，则的长可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，边的垂直平分线，分别与，交于点D，E，边的垂直平分线，分别与，交于点F，G．若的周长为16，且，则的长为（　　） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 二、填空题：（本大题共8道小题，每小题2分，共16分） 11. 若分式有意义，则实数x的取值范围是_______． 12. 如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则的度数为______. 13. 命题“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是_____，该逆命题是______命题．（填“真”或“假”） 14. 如图，线段为的中线，且，，若，则_______． 15. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则的度数是__________． 16. 如图： （1）将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且，观察图形，用不同的方法表示这块长方形纸板的面积，可得等式为______． （2）若图中每块小长方形的面积为12，四个正方形的面积之和为80，则图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和为______． 17. 已知，，，且． （1）a，b，c的大小关系是______（用号连接）； （2）以a，b，c为边长的三角形______存在．（填“一定”、“不一定”或“一定不”） 18. 如图，在中，和的角平分线交于点，经过点与交于，以为边向两侧作等边和等边，分别和，交于，连接．若，，，．则下列结论中正确的是______． ①；②是等边三角形；③垂直平分；④． 三、解答：（本大题共8道题，第19、21题每题12分，第20、22、24题每题5分，第23题11分，第25题6分，第26题8分，共64分） 19. 计算： （1）； （2）； （3）． 20. 化简求值：，其中，． 21. 因式分解： （1）； （2）； （3）． 22. 如图，若，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 23. 作图题： （1）小红发现，任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形． 已知：在中，． 求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形． 下面是小红设计的尺规作图过程． 作法：①作的垂直平分线，交斜边于点D； ②作直线，则直线就是所求作的直线． 根据小红设计的尺规作图过程，请使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹），并完成下面的证明． 证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上， ∴①______．∴． ∵，∴，． ∴．∴②______．（③________）（填推理的依据） ∴和都是等腰三角形． （2）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． ①在图中作出关于y轴对称的； ②写出点A关于x轴的对称点的坐标______； ③点P是y轴上一个动点，当的值最小时的点P的坐标为______； ④如果要使以B、C、D为顶点的三角形与全等，所有符合条件的点D（不与点A重合）的坐标为______． 24. 如图，在中，，D为边上一点，平分，且，若，，求的长． - 25. 给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于x的二次多项式的特征系数对．把关于x的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式． （1）关于x的二次多项式的特征系数对为______； （2）求有序实数对的特征多项式A与有序实数对的特征多项式B的乘积； （3）若有序实数对的特征多项式M与有序实数对的特征多项式N的乘积的结果为，请直接写出的值为______． 26. 如图，已知为等边三角形，D、E分别为线段延长线上的点，且．作直线，点B关于直线的对称点为F，连接分别交直线于G、H．设． （1）①请你根据题意，补全图形； ②连接，求的大小；（用含有α的式子表示） （2）试猜想和之间的数量关系，并证明． 四、选做题：（本大题共2小题，第1题4分，第2题6分，共10分） 27. 阅读材料： 如果整数满足，，其中a，b，c，d都是整数，那么一定存在整数m，n，使得． 例如：，，或… 根据上述材料，解决下列问题 （1）已知，，，或，若，则_____； （2）已知，（c，d为整数），， 若，求n（用含c，d的式子表示）； （3）一般地，上述材料中的m，n可以用含a，b，c，d的式子表示，请直接写出一组满足条件的m，n（用含a，b，c，d的式子表示）的值． 28. 在平面直角坐标系中，已知点． 对于点给出如下定义：先将点关于直线对称，再向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，则称点为点的“睿智点”． （1）如图1，点坐标为， ①当点坐标为时，则点的“睿智点”的坐标为______； ②若点为点的“睿智点”，则的坐标为______； （2）如图2，点、，点与点关于轴对称．点在边上，点坐标为． ①画出点所有的“睿智点”； ②这些关联点组成的图形围成的面积是______． （3）如图3，点、、、，，点在正方形边上，点、，若线段上存在点的“睿智点”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $