2.4.1 有理数的乘方 课件 2025-2026学年北师大 版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦有理数的乘方，涵盖定义、底数指数幂概念及符号法则。通过珠穆朗玛峰高度与折纸厚度对比、细胞分裂实例导入，搭建从现实情境到数学抽象的学习支架，衔接具体运算与乘方概念的形成脉络。 其特色在于以现实问题驱动培养数学眼光，如用折纸厚度引发探究；通过辨析(-2)⁴与-2⁴等案例发展数学思维，明晰底数差异；总结符号法则强化数学语言表达。采用“问题探究-概念辨析-法则应用”教学逻辑，学生能直观理解知识本质，教师可高效开展分层教学，提升课堂互动与学习效果。

北师大（2024）版数学七年级上册 第二章 有理数及其运算 2.4.1 有理数的乘方 你知道世界上最高的山峰是什么山峰吗？ 它的海拔大约高8 848.86米. 珠穆朗玛峰 第 1 页：封面 标题：2.4.1 有理数的乘方 副标题：北师大版七年级上册数学 配图：乘方直观示意图（如 2×2×2=2³ 的正方体体积、(-3)×(-3)×(-3) 的数轴示意）+ 生活中乘方场景（细胞分裂、折纸厚度、幂次增长） 底部标注：授课教师 / 日期 第 2 页：学习目标 理解有理数乘方的意义，掌握乘方的定义、表示方法（底数、指数、幂） 熟练掌握有理数乘方的运算法则（符号判定 + 绝对值运算） 能准确进行有理数乘方运算（含正数、负数、0 的乘方，整数指数） 会用乘方解决实际问题（如增长、累积等场景），深化 “转化思想” 区分 “乘方” 与 “乘法” 的联系与区别，感受数学符号的简洁性 第 3 页：情境导入 —— 从 “多个相同因数相乘” 到 “乘方” 左侧：生活实例（配示意图 + 乘法算式） 细胞分裂：1 个细胞每次分裂为 2 个，3 次分裂后细胞总数是多少？（2×2×2=8） 折纸厚度：1 张纸厚 0.1 毫米，对折 4 次后总厚度是多少？（0.1×2×2×2×2=1.6 毫米） 正方形面积：边长为 5 的正方形，面积是多少？（5×5=25）；边长为 - 3 的正方形（抽象数学模型），面积是多少？（(-3)×(-3)=9） 正方体体积：棱长为 4 的正方体，体积是多少？（4×4×4=64）；棱长为 - 2 的正方体（抽象数学模型），体积是多少？（(-2)×(-2)×(-2)=-8） 右侧：问题链引导 这些算式都是 “多个相同因数相乘”，能否用更简洁的符号表示？ 负数的乘方，结果的符号有什么规律？（与指数的奇偶性有关吗？） 乘方中 “底数”“指数”“幂” 分别指什么？它们的含义是什么？ 结语：有理数乘方是 “多个相同因数相乘” 的简便表示，今天我们就解锁乘方的定义、法则和运算技巧！ 第 4 页：新知探究 1—— 乘方的定义与表示方法 上方：定义提炼（重点标注） 定义：求 n 个相同因数 a 的积的运算，叫做乘方；乘方的结果叫做幂 表示方法：n 个 a 相乘，记作\(a^n\)（读作 “a 的 n 次方” 或 “a 的 n 次幂”） 符号组成： 底数（a）：相同的因数； 指数（n）：相同因数的个数（n 为正整数）； 幂（\(a^n\)）：乘方的结果。 中间：示意图解（强化认知） 示例：\((-3)^4\) 底数：-3（相同的因数）； 指数：4（有 4 个 - 3 相乘）； 意义：\((-3)Ã�(-3)Ã�(-3)Ã�(-3)\)； 读作：“-3 的 4 次方” 或 “-3 的 4 次幂”。 下方：易错区分（关键提醒） 注意 1：指数 n 是正整数，表示 “因数的个数”，不能为 0（后续会学习 0 指数幂）； 注意 2：当底数是负数或分数时，必须加括号，避免歧义！ 错误示例：\(-3^4\)（不是 “-3 的 4 次方”，而是 “3 的 4 次方的相反数”，即\(-(3Ã�3Ã�3Ã�3)\)）； 正确示例：\((-3)^4\)（“-3 的 4 次方”，底数是 - 3）；\((\frac{2}{3})^2\)（“2/3 的 2 次方”，底数是 2/3）。 即时小练习：说出下列乘方的底数、指数和意义 \(5^3\)：________ 2. \((-2)^5\)：________ 3. \((\frac{1}{4})^4\)：________ 4. \(-7^2\)：________ 第 5 页：新知探究 2—— 有理数乘方的运算法则（分类型探究） 标题：乘方运算两步走，符号绝对值不混淆！ 分类型探究（配算式 + 结果 + 规律总结） 乘方类型 示例算式 计算过程 结果 符号规律总结 绝对值规律总结结果：64。 负数的奇次幂：\((-2)^5\) 定底数、指数：底数 - 2，指数 5（奇次）； 定符号：负数的奇次幂为负； 算绝对值：\(2^5=32\)； 结果：-32。 负数的偶次幂：\((-5)^4\) 定底数、指数：底数 - 5，指数 4（偶次）； 定符号：负数的偶次幂为正； 算绝对值：\(5^4=625\)； 结果：625。 分数的乘方：\((\frac{2}{3})^2\) 定底数、指数：底数\(\frac{2}{3}\)，指数 2； 定符号：正数的任何次幂为正； 算绝对值：\((\frac{2}{3})^2=\frac{2}{3}Ã�\frac{2}{3}=\frac{4}{9}\)； 结果：\(\frac{4}{9}\)。 易混淆类型：\(-3^2\) vs \((-3)^2\) \(-3^2\)：底数 3，指数 2，意义 “3 的 2 次方的相反数”→ 符号负，绝对值\(3^2=9\)→ 结果 - 9； \((-3)^2\)：底数 - 3，指数 2，意义 “-3 的 2 次方”→ 符号正，绝对值\(3^2=9\)→ 结果 9。 即时小练习 \(3^2=________\) 2. \((-1)^3=________\) 3. \((-4)^2=________\) \((\frac{1}{2})^4=________\) 5. \(0^7=________\) 6. \(-6^2=________\) 第 7 页：核心技能 2—— 乘方与乘除法的混合运算（基础） 标题：乘方混合运算，先算乘方再算乘除！ 运算顺序（衔接小学四则运算顺序） 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 有括号的先算括号里面的（括号内仍遵循 “先乘方后乘除”）。 例题解析（配步骤） 例题 1：计算 \(2Ã�(-3)^2 - 4÷2\) 步骤 1：先算乘方：\((-3)^2=9\)； 步骤 2：再算乘除：\(2Ã�9=18\)，\(4÷2=2\)； 步骤 3：最后算加减：\(18 - 2=16\)； 结果：16。 例题 2：计算 \((-2)^3 + 3Ã�(-4)÷(-2)\) 步骤 1：先算乘方：\((-2)^3=-8\)； 步骤 2：再算乘除：\(3Ã�(-4)=-12\)，\(-12÷(-2)=6\)； 步骤 3：最后算加减：\(-8 + 6=-2\)； 结果：-2。 例题 3：计算 \([(-1)^4 + 2]Ã�(-3)\) 步骤 1：先算括号内乘方：\((-1)^4=1\)； 步骤 2：再算括号内加减：\(1 + 2=3\)； 步骤 3：最后算乘法：\(3Ã�(-3)=-9\)； 结果：-9。 方法总结：混合运算先 “分级”（乘方级、乘除级、加减级），从高级到低级依次计算，不跳步！ 第 8 页：核心应用 —— 乘方解决实际问题 标题：生活中的 “幂次增长”，用乘方轻松解决！ 例题解析（配情境图） 细胞分裂问题：1 个细胞每次分裂为 2 个，5 次分裂后细胞总数是多少？10 次呢？ 解答：每次分裂后数量是前一次的 2 倍，n 次分裂后总数为\(2^n\)； 5 次分裂：\(2^5=32\)（个）；10 次分裂：\(2^{10}=1024\)（个）； 答：5 次后 32 个，10 次后 1024 个。 折纸厚度问题：1 张纸厚 0.1 毫米，对折 n 次后总厚度是多少毫米？对折 8 次后厚度超过 1 厘米吗？（1 厘米 = 10 毫米） 解答：对折 1 次厚 0.1×2，对折 2 次厚 0.1×2×2=0.1×\(2^2\)，n 次后厚度为 0.1×\(2^n\)毫米； 对折 8 次：0.1×\(2^8=0.1Ã�256=25.6\)（毫米）； 25.6 毫米＞10 毫米，超过 1 厘米； 答：n 次后厚度 0.1×\(2^n\)毫米，对折 8 次后超过 1 厘米。 价格增长问题：某商品原价 100 元，每年价格增长为上一年的 2 倍（即 “翻一番”），3 年后价格是多少？ 解答：1 年后价格 100×2，2 年后 100×2×2=100×\(2^2\)，3 年后 100×\(2^3\)； 计算：100×8=800（元）； 答：3 年后价格 800 元。 解题步骤： 分析实际问题中 “重复相乘” 的关系（确定底数和指数）； 列出乘方算式（底数为单次变化量，指数为变化次数）； 按乘方法则计算结果； 结合实际意义解释结果（如数量、厚度、价格等）。 第 9 页：易错辨析 —— 有理数乘方常见错误 标题：这些 “幂次陷阱” 要避开！ 分题展示（错误示例 + 纠正 + 理由） 错误 1：底数混淆（例：\(-3^2=9\)） 纠正：\(-3^2=-9\) 理由：\(-3^2\)的底数是 3，不是 - 3，意义是 “3 的 2 次方的相反数”，需加括号才是负数的乘方（\((-3)^2=9\)）。 错误 2：符号判定错误（例：\((-2)^3=8\)） 纠正：\((-2)^3=-8\) 理由：负数的奇次幂为负，指数 3 是奇数，结果应为负，不能误记为偶次幂的符号。 错误 3：分数乘方漏加括号（例：\(\frac{2}{3}^2=\frac{4}{9}\)） 纠正：\((\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}\)（正确），若漏括号\(\frac{2}{3}^2=\frac{2}{9}\)（错误） 理由：分数的乘方需将整个分数作为底数，必须加括号，否则底数是分子，分母不变，意义完全不同。 4 情景导入 假如有一张厚度是0.1mm的纸，连续对折30次，它的厚度能超过珠穆朗玛峰吗？ 纸有多厚呢？怎么可能超过珠穆朗玛峰呢？ 事实上是可以的，到底是怎么回事呢？ 让我们一起来探究一下吧！ 情景导入 细胞分裂： 二次 2×2 三次 2×2×2 一次 2 探究新知 4 想一想 1个细胞30分钟后分裂成2个，经过5小时，这种细胞由1个能分裂成多少个？ 2×2×·······×2×2 10个2 =1024 探究新知 5 探究新知 记作 210 a×a ×·······×a ×a n个a 求n个相同因数a的积的运算叫做乘方. 记作 an 2×2×·······×2×2 10个2 探究新知 6 指数 底数 幂 读法：an可以读作a的n次方，也可读作a的n次幂. 注意：一个数可以看作这个数本身的一次方，例如8就是81，通常指数为1时省略不写. 探究新知 想一想 (-2)4 ， -24，它们一样吗？说说它们的意义与读法. 思考:它们的底数分别是什么?相同么? (-2)4的底数是-2 ，-24的底数是2，它们的底数是不相同的． (-2)4 =(-2)×(-2)×(-2)×(-2) =16，表示4个(-2)相乘， 读作 ． -24 =-2×2×2×2=-16 ，表示4个2相乘的相反数， 读作 或 ． “负2的4次方” “负的2的4次方” “2的4次方的相反数” 探究新知 探究新知 计算下列各数 ， 它们一样吗？说说它们的意义. 思考:它们的底数分别是什么? 它们的底数是不相同的． ，表示 的平方． ，表示2的平方再除以3． 的底数是 ， 的底数是2． = ×= - 呢？ = = - 呢？ 探究新知 9 练一练 （1）（-2）10的底数是___，指数是 ____，读作____________. （2）x m 表示____个_____相乘,指数是______,底数是_______, 读作 ___________ . -2 10 -2的十次方 m x m x x的m次方 探究新知 解： 计算： 当底数是负数或分数时一定要用括号把底数括起来. （1） （2）- （3）- （1） =（-）×（-） = （2）- =-（×） = - （3）- =- = - 探究新知 11 做一做 计算下列各数、回答问题. ① 22 ，23 ，24 ，25； ② (-2)2 ，(-2)3 ，(-2)4 ，(-2)5； 解：① 22 =4，23 =8，24 =16，25 =32; ② (-2)2 =4，(-2)3 =-8，(-2)4 =16，(-2)5 =32; ③ 02=0, 04=0. ③02，04. 探究新知 想一想 一个正数的乘方，结果一定是正数吗？ 结论：正数的任何次幂都是正数. 一个负数的乘方，结果一定是负数吗？ 负数的偶次幂是正数；负数的奇次幂是负数. 0的乘方，结果会是什么样？ 0的任意正整数次幂都是0. 探究新知 正数的任何次幂都是正数. 负数的偶次幂是正数；负数的奇次幂是负数. 0的任何正整数次幂都是0. 乘方运算的步骤：先确定符号、再求值. 乘方运算的符号法则： 探究新知 计算：（1） 53； （2） (-3)4； （3）. 解： （1） 53 =5×5×5 =125 （3） = ×× =- （2） (-3)4=(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=81 例 探究新知 1. 计算：－(－1)2 025的结果是(　A　) A. 1 B. －1 C. 2 025 D. －2 025 2. 计算23＋(－2)3的值是(　A　) A. 0 B. 12 C. 16 D. 18 A A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 考试考法 3. 28 cm接近于(　C　) A. 珠穆朗玛峰的高度 B. 三层楼的高度 C. 乒乓球台的台面的长度 D. 一张纸的厚度 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 考试考法 4. [新视角·规律探究题]观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝ 8，24＝16，….根据上述算式中的规律，请你猜想210的末 位数字是(　B　) A. 2 B. 4 C. 8 D. 6 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 考试考法 5. [2024杭州西湖区期中]一根1 m长的木棒，第一次截去它 的 ，第二次截去剩余部分的 ，第三次再截去剩余部分 的 ，如此截下去，第六次后剩余的木棒的长度是 (　A　) A. m B. 1－ m C. m D. 1－ m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 考试考法 【点拨】 第一次截去后剩余的木棒长1× ＝ (m)， 第二次截去后剩余的木棒长 × ＝ (m)， 第三次截去后剩余的木棒长 × ＝ (m)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 考试考法 … 以此类推，第 n 次截去后剩余的木棒长 m， 所以第六次后剩余的木棒的长度是 m. A 【答案】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 考试考法 6. [母题·教材P59随堂练习T1] 的底数是 　－1 　， 指数是 ，幂是 ⁠. 7. 平方等于 的数是 　± 　. －1 　 4　 　 ± 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 考试考法 8. [2024南京栖霞区期中]已知 a ＝－(0.3)2， b ＝(－1)2， c ＝ ， a ， b ， c 的大小关系为 (用“＜” 连接). 【点拨】 因为 a ＝－(0.3)2＝－0.09， b ＝(－1)2＝1， c ＝ ＝ ，所以 a ＜ c ＜ b . a ＜ c ＜ b 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 考试考法 9. [母题·教材P59随堂练习T2]计算： (1)23； 【解】23＝8. (2)－54； 【解】－54＝－625. (3)－(－1.5)2； 【解】－(－1.5)2＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 考试考法 (4)－(－2)5； 【解】－(－2)5＝32. (5)－ ； 【解】－ ＝ . (6)－ . 【解】－ ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 考试考法 有理数的乘方 乘方的定义 乘方的计算 这种求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 2.正数的任何正整数次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0. 1.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数. 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ $