精品解析：内蒙古呼和浩特市新城区2025-2026学年上学期九年级数学期中考试卷

2025-2026学年度第一学期期中学业质量监测 九年级数学试卷 注意事项： 1．考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡的规定位置 2．考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效 3．本试卷满分100分，考试时间90分钟 一、选择题（共8小题．每小题3分，共24分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】一元二次方程的二次项系数是3，一次项系数-4，常数项-5． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．在一般形式中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 2. 将抛物线向下平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据平移的规律：左加右减，上加下减，求出得到的抛物线的解析式即可． 【详解】解：抛物线向下平移1个单位长度后， 得到新抛物线的解析式为：， 故选A． 3. 用配方法解方程:，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，根据题意把常数项2移项后，应在左右两边分别同时加上一次项系数的一半的平方，即可求出答案． 【详解】解：把方程的常数项移到等号的右边，得到， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到， 配方得． 故选：A． 4. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 5. 在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】x=0，求出两个函数图像在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图像经过第一、三象限，从而得解． 【详解】x=0时，两个函数的函数值y=b， 所以，两个函数图像与y轴相交于同一点，故B、D选项错误； 由A、C选项可知，抛物线开口方向向上， 所以，a＞0， 所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限， 所以，A选项错误，C选项正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图像，一次函数的图像，熟练掌握一次函数和二次函数图像特征和系数的关系是解题的关键． 6. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据题意，设宽为x步，则长为步，利用矩形面积公式即可列出方程. 【详解】解：设宽为x步，则长为步 由题意，得：， 故选：A. 7. 根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程 ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ） x 0 0.5 1 1.5 2 y＝ax2+bx+c 1 3.5 7 A. 0＜x＜0.5 B. 0.5＜x＜1 C. 1＜x＜1.5 D. 1.5＜x＜2 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质． 【详解】解：观察表格可知：当x=0.5时，y=-0.5；当x=1时，y=1， ∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1． 故选：B． 【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可． 8. 点，在二次函数（a，c为常数）图象上，若，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由解析式可得二次函数的对称轴为直线，进而得到抛物线开口向上，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，据此逐项判断即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 、当时，无法得知与的大小关系，故无法判断的大小，该选项错误，不合题意； 、当时，，所以，该选项正确，符合题意； 、当时，，所以，该选项错误，不合题意； 、当，无法得知与的大小关系，故无法判断的大小，该选项错误，不合题意； 故选：． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 在平面直角坐标系中，若点在抛物线上，则___ （填“>”，“=”或“<”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，因为，则开口向上，对称轴是直线，则越靠近对称轴的所对应的函数值越小，再结合点在抛物线上，即可作答． 【详解】解：∵抛物线， ∴开口向上，对称轴是直线， 则越靠近对称轴的所对应的函数值越小， ∵点在抛物线上，且， ∴， 故答案为：． 10. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 11. 若方程的两个根分别是与，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用直接开平方法得到，得到方程的两个根互为相反数，所以，解得，则方程的两个根分别是 与，则有，然后两边平方得到的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴方程的两个根互为相反数， ∵方程的两个根分别是与， ∴， 解得， ∴，， ∴一元二次方程ax2＝b的两个根分别是 与， ∴， ∴． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成的形式，那么可得；如果方程能化成的形式，那么． 12. 抛物线交x轴于点A（a，0）和B（b，0）（点A在点B左侧），抛物线的顶点为D，下列四个结论：①抛物线过点（2，m）；②当m＝0时，△ABD是等腰直角三角形；③a＋b＝4；④抛物线上有两点P（，）和Q（，），若＜，且＋＞2，则＞．其中结论正确的序号是______________________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①根据抛物线与y轴的交点坐标及对称性即可判断； ②当m＝0时，可得抛物线与x轴的两个交点坐标和对称轴即可判断； ③根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴即可得另一个交点坐标即可判断； ④根据二次函数图象即可进行判断． 【详解】解：①∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，m）， ∵对称轴为x=-=1 ∴（0，m）关于对称轴的对称点为（2，m）,在抛物线上 故①正确； ②当m＝0时，抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（0，0）、（2，0）， 对称轴为x＝1， ∴△ABD是等腰直角三角形， 故②正确； ③∵对称轴x＝1， ∴ ∴a＋b＝2， 故③错误； ④观察二次函数图象可知： 当x1＜x2，且x1＋x2＞2， 则x1离对称轴比x2离对称轴更近，故y1＞y2． 故④正确． 故答案为：①②④． ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点、等腰直角三角形，解决本题的关键是综合利用以上知识． 三、解答题（共6题，共64分） 13. 解下列方程： （1）（配方法）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2）或 （3）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）先将常数项移至等号右边，再在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，再开平方求解； （2）利用因式分解法解方程； （3）利用直接开平方法解方程． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， 或， ∴，； 【小问3详解】 解：， 或， 或， ∴，． 14. 已知抛物线 （1）用配方法将化成的形式； （2）抛物线与x轴交点（点A在左侧）．与y轴交点C．在给定的坐标系中画出这个抛物线，求 的面积； （3）直接写出当自变量x满足什么条件时，函数值； （4）在对称轴上找一点P，使的值最小．求点P的坐标和的最小值． 【答案】（1） （2）画图见解析； 的面积为6 （3）或 （4）；的最小值为 【解析】 【分析】（1）由于二次项系数是 ，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式，根据恒等式，同时需要减去一次项系数的一半的平方即可； （2）令得到关于的方程，求解后可得点和点的坐标，令可得到的值，可得点的坐标，然后画出该函数的图像，再根据三角形的面积公式即可求出 的面积； （3）观察图像，图像在轴上方的部分，即可得出的取值范围； （4）根据轴对称的性质得出，根据两点之间线段最短，得出此时的值最小，即最小，根据两点之间线段最短得出，求出直线 的解析式为，把代入求出，即可得出点P的坐标． 【小问1详解】 解：， ∴； 【小问2详解】 解：∵抛物线， 当时，得：， 解得：或， ∴，， 当时，得：， ∴， 如图： ∵，，， ∴，， ∴， ∴ 的面积为 ； 【小问3详解】 解：由图像知：当或时，； 【小问4详解】 解：如图，设直线与 交于点P，连接， 由（1）知：， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∵点A与点B关于直线对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时的值最小，即最小， ∵，， ∴的最小值为， 设直线 的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线 的解析式为， 把代入得：， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查将抛物线表达式的一般式化为顶点式，抛物线与坐标轴的交点坐标，画函数图像，结合图像求不等式的解集，求一次函数解析式，轴对称的性质，根据坐标求三角形的面积等知识点．利用数形结合的思想求解是解题的关键． 15. 已知关于x的一元二次方程． （1）当时，求方程的根； （2）求证：该方程总有两个实数根； （3）若该方程恰有一个实数根为非负数，求m的取值范围． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元一次不等式的应用．解题的关键在于正确的解方程． （1）把代入，得到，再由因式分解法解方程； （2）根据，进行作答即可； （2）由，解得，，，由该方程恰有一个实数根为非负数，可得，计算求解即可． 【小问1详解】 解：时，代入， 则， ， 解得，； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴该方程总有两个实数根； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 解得，，， ∵该方程恰有一个实数根为非负数， ∴，解得，， ∴m的取值范围为． 16. 已知二次函数图象上的部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y m 3 4 3 0 … 根据以上信息回答下列问题： （1）二次函数图象的顶点坐标是 ，m的值为 ； （2）求二次函数的表达式； （3）当时，二次函数的最小值是1，则k的值为 ． 【答案】（1）；0； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解不等式、二次函数的图象和性质，分类求解是解题的关键． （1）由表格数据知，顶点坐标为，根据函数的对称性和关于抛物线的对称轴对称，故，即可求解； （2）由待定系数法即可求解； （3）当即时，则当时，，即可求解；当或时，同理可解． 【小问1详解】 解∶由表格数据知，顶点坐标为∶， 根据函数的对称性和关于抛物线的对称轴对称，故， 故答案为∶ ，0； 【小问2详解】 解∶设抛物线的表达式为∶ ， 将代入上式得∶ ， 则． 故抛物线的表达式为∶ ； 【小问3详解】 解∶抛物线的对称轴为直线， 当时，， 当时，同理可得∶ ； 当时，， 当即时， 则当时，， 解得∶ (舍去)； 当时， 同理可得∶ 解得∶ (舍去)； 当时， 当即， 则． 解得∶； 当时， 同理可得∶ (不合题意的值已舎去)， 综上，或． 故答案为∶或． 17. 综合与实践． 实验操作：物理实验课上小明做一个实验，在一条笔直的滑道上有一个黑球以一定的速度在A处开始向前滚动，并且均匀减速，测量黑球减速后的滚动速度，（单位：）随滚动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表． 滚动时间 0 1 2 3 4 滚动速度 10 9 8 （一）解决问题： （1）小明探究发现，黑球的滚动速度与滚动时间t之间成一次函数关系，直接写出关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）：________； （2）黑球在滑道上滚动用了多少秒？ （二）拓展提升： （3）求黑球在滑道上滚动的最远距离． （提示：距离，，其中是开始时的速度，是t秒时的速度） 【答案】（1）；（2）8秒；（3）黑球滚动的最远距离为 【解析】 【分析】（1）设关于t的函数解析式为，由表中数据得出二元一次方程组，求出a、b的值即可． （2）先求出，再根据得出，解一元二次方程即可； （3）根据，然后由二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：设关于t的函数解析式为， 根据题意，得， 解得， 故关于t的函数解析式为． （2）∵，，， ∴， ∵， ∴， 解得：，（舍去）， ∴黑球在滑道上滚动用了8秒； （3）∵，， ∴当时，s最大，最大值为100， 答：黑球滚动的最远距离为． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用、二次函数的应用等知识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 18. 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为． （1）求和的解析式； （2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】（1）； （2）水面的直径为 （3） 锅盖不能正常盖上，理由如下： 当时，抛物线， 抛物线， 而， ∴锅盖不能正常盖上． 【解析】 【分析】（1）已知、、、 四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式； （2）炒菜锅里的水位高度为，即，列方程求得x的值即可得答案； （3）底面直径为、高度为圆柱形器皿能否放入锅内，需判断当时，、中的值的差与比较大小，从而可得答案． 【小问1详解】 由于抛物线、都过点、，设、的解析式为：，； 抛物线还经过， 则有：，解得： 即：抛物线； 抛物线还经过， 则有：，解得： 即：抛物线． 【小问2详解】 当炒菜锅里的水位高度为时，，即， 解得：， ∴此时水面的直径为． 【小问3详解】 略 【点睛】考查了二次函数的综合应用，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征等，注意数形结合思想在解题中的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中学业质量监测 九年级数学试卷 注意事项： 1．考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡的规定位置 2．考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效 3．本试卷满分100分，考试时间90分钟 一、选择题（共8小题．每小题3分，共24分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）． A. B. C. D. 2. 将抛物线向下平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程:，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 5. 在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是 A. B. C. D. 6. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 2 7. 根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程 ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ） x 0 0.5 1 1.5 2 y＝ax2+bx+c 1 3.5 7 A. 0＜x＜0.5 B. 0.5＜x＜1 C. 1＜x＜1.5 D. 1.5＜x＜2 8. 点，在二次函数（a，c为常数）图象上，若，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 在平面直角坐标系中，若点在抛物线上，则___ （填“>”，“=”或“<”）． 10. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则________． 11. 若方程的两个根分别是与，则_____． 12. 抛物线交x轴于点A（a，0）和B（b，0）（点A在点B左侧），抛物线的顶点为D，下列四个结论：①抛物线过点（2，m）；②当m＝0时，△ABD是等腰直角三角形；③a＋b＝4；④抛物线上有两点P（，）和Q（，），若＜，且＋＞2，则＞．其中结论正确的序号是______________________． 三、解答题（共6题，共64分） 13. 解下列方程： （1）（配方法）； （2）； （3）． 14. 已知抛物线 （1）用配方法将化成的形式； （2）抛物线与x轴交点（点A在左侧）．与y轴交点C．在给定的坐标系中画出这个抛物线，求的面积； （3）直接写出当自变量x满足什么条件时，函数值； （4）在对称轴上找一点P，使的值最小．求点P的坐标和的最小值． 15. 已知关于x的一元二次方程． （1）当时，求方程的根； （2）求证：该方程总有两个实数根； （3）若该方程恰有一个实数根为非负数，求m的取值范围． 16. 已知二次函数图象上的部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y m 3 4 3 0 … 根据以上信息回答下列问题： （1）二次函数图象的顶点坐标是 ，m的值为 ； （2）求二次函数的表达式； （3）当时，二次函数的最小值是1，则k的值为 ． 17. 综合与实践． 实验操作：物理实验课上小明做一个实验，在一条笔直的滑道上有一个黑球以一定的速度在A处开始向前滚动，并且均匀减速，测量黑球减速后的滚动速度，（单位：）随滚动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表． 滚动时间 0 1 2 3 4 滚动速度 10 9 8 （一）解决问题： （1）小明探究发现，黑球的滚动速度与滚动时间t之间成一次函数关系，直接写出关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）：________； （2）黑球在滑道上滚动用了多少秒？ （二）拓展提升： （3）求黑球在滑道上滚动的最远距离． （提示：距离，，其中是开始时的速度，是t秒时的速度） 18. 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为． （1）求和的解析式； （2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $