精品解析：山东省菏泽第一中学人民路校区2025届高三上学期11月测试数学试题

2025届高三菏泽一中人民路校区11月测试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法计算公式，即可得到结果. 【详解】. 故选：B 2. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，为其终边上一点，则（ ） A. B. 4 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，即可求解． 【详解】始边与轴非负半轴重合，，为其终边上一点， 则，且，解得． 故选：D． 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义域以及奇偶性即可求得答案． 【详解】因为函数的定义域为，排除CD， 又，即为偶函数，图象关于轴对称，排除B． 故选：A． 4. 在菱形中，若，且在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，结合向量减法可得，再利用投影向量的意义求出. 【详解】由，得，而是菱形，则是正三角形， 于是，， 因此在上的投影向量为，所以. 故选：B 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断出，，，即可求解. 【详解】 ，故； ，故，故. 故选：B. 6. 棱长为1的正方体中，点P为上的动点，O为底面ABCD的中心，则OP的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得OP的最小值为点到线段的距离，借助相似三角形的性质计算即可得. 【详解】由题意可得OP的最小值为点到线段的距离， 在平面内过点作于点， 由题意可得，，，平面， 因为平面，则，因为， 故，即. 故选：C. 7. 若直线与曲线相切，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助导数的几何意义计算可得，借助导数得到函数的值域即可得解. 【详解】对于，有，令切点为，则切线方程为， 即，即有， 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故， 又当趋向于正无穷大时，趋向于负无穷， 故，即. 故选：A. 8. 函数在上单调递增，且对任意的实数，在上不单调，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，由题意利用正弦函数的单调性可得，所以，利用正弦函数的周期性可求的周期，解得，即可得解． 【详解】因为 ， 又因为，且，则， 若在上单调递增， 所以，所以， 因为对任意的实数，在上不单调， 所以的周期，所以， 所以． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数单调性求参数，关键是整体思想的应用及对任意实数，在上不单调与周期间的关系. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，且双曲线C的两条渐近线的夹角为θ，若（e为双曲线C的离心率），则（ ） A. B. 双曲线C的一条渐近线的斜率为 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】求得双曲线的焦点，渐近线方程，结合离心率公式，对选项判断可得结论． 【详解】由题知，，所以双曲线的焦点，，， 由，可得，故A正确，C错误； 由双曲线的渐近线方程，则两条渐近线的倾斜角为，， 故两渐近线的夹角为，可得，故BD正确． 故选：ABD． 10. 定义在上的函数的值域为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法及基本不等式结合选项可得答案. 【详解】A：令，则，解得或， 因为函数的值域为，所以，故A正确； B：令，则，即， 令，则，即，故B不正确； C：令，则， 所以，即，故C正确； D：因为，所以，， 所以， 当且仅当时，取到等号， 所以，故D正确. 故选：ACD 11. 投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量．记A表示事件“”，表示事件“”，表示事件“”，则（ ） A. 和互为对立事件 B. 事件和不互斥 C. 事件和相互独立 D. 事件和相互独立 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，由对立事件的定义分析A，由互斥事件的定义分析B，由相互独立事件的定义分析CD，综合可得答案． 【详解】根据题意，表示事件“”，即前两次抛掷中，一次正面，一次反面，则， 表示事件“”，即第二次抛掷中，正面向上，则， 表示事件“”，即前三次抛掷中，一次正面，两次反面，， 依次分析选项： 对于A，事件、可能同时发生，则事件、不是对立事件，A错误； 对于B，事件、可能同时发生，则事件和不互斥，B正确； 对于C，事件，即前两次抛掷中，第一次反面，第二次正面，， 由于，则事件和相互独立，C正确； 对于D，事件，即三次抛掷中，第一次和第三次反面，第二次正面，， ，事件、不是相互独立事件，D错误． 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中常数项是__________.（用数字作答）. 【答案】160 【解析】 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中常数项 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，即，∴常数项为. 故答案为：160. 13. 已知圆锥的体积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】由侧面展开图是一个半圆可得，再根据体积建立关系即可求出. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 因为它的侧面展开图是一个半圆，则，即， 又圆锥的体积为， 则可解得，故母线长为2. 故答案为：2. 14. 设为数列的前项积，若，其中常数，则_______（结果用表示）；若数列为等差数列，则_______． 【答案】 ①. ②. 1或2 【解析】 【分析】由已知递推关系分别令，，即可求解，然后结合等差数列的性质即可求解，并检验. 【详解】因为为数列的前项积，， 时，， 当时，，即， 时，， 则， 若数列 为等差数列，则， 所以， 整理得，， 解得或． 检验：当时，，则时，，则，即 ， 故为以为首项，1为公差的等差数列； 当时，,则时，，则， 故，得， 即 ，又，故为常数列，即,易知其为等差数列. 故答案为：；1或2． 【点睛】关键点点睛：本题考查数列递推关系求通项，关键是特值思想求值并证明. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别是，且． （1）求； （2）若面积为，求边上中线的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角即可得到角； （2）根据，得，结合三角形面积公式即可得到，再由正弦定理得边c，以及，即可得到答案． 【小问1详解】 ，由正弦定理边化角得， ，， 或（舍）， 又，； 【小问2详解】 ，，，， ，即，解得， 由正弦定理， 得， 设边的中点为，连接，如下图： ，即， 即， 解得． 16. 如图，在三棱柱中，平面平面， （1）设D为AC中点，证明: AC⊥平面; （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 证明：因为为中点，且， 所以在中，有，且， 又平面平面，且平面平面，平面, 所以平面， 又平面，则， 由，，得， 因为，，，所以由勾股定理，得， 又，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，根据平面平面得出平面，，利用勾股定理得出，从而证明平面； （2）建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出平面的法向量和平面的一个法向量，利用向量求平面与平面的夹角余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，以（1）中的为原点，建立空间直角坐标系， 可得， 则， 设平面的法向量为， 由，令，得，， 所以, 由（1）知，平面， 所以平面的一个法向量为， 记平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17. 从一副扑克牌中挑出4张Q和4张K，将其中2张Q和2张K装在一个不透明的袋中，剩余的2张Q和2张K放在外面．现从袋中随机抽出一张扑克牌，若抽出Q，则把它放回袋中：若抽出K，则该扑克牌不再放回，并将袋外的一张Q放入袋中．如此操作若干次，直到将袋中的K全部置换为Q， （1）在操作2次后，袋中K的张数记为随机变量X，求X的分布列及数学期望； （2）记事件“在操作次后，恰好将袋中的全部置换为”为，记． （ⅰ）在第1次取到的条件下，求总共4次操作恰好完成置换的概率； （ⅱ）试探究与的递推关系，并说明理由． 【答案】（1） 0 1 2 ； （2）（ⅰ）； （ⅱ），理由如下： 设事件表示“次操作后袋中还剩1张”， 依题意，为次操作后，恰好将袋中的全部置换为， 而发生这样的情况需次操作后袋中还剩1张，且第次抽中， 则，即， 为次操作后，恰好将袋中的全部置换为，发生这样需2种情况： ①次操作后袋中还剩2张（即前次全取，概率为，并且第次和次全取， ②次操作后袋中还剩1张，第次取，第次取， 所以（B） 又因为，所以． 【解析】 【分析】（1）由题意可知，的所有取值为0，1，2，求出相应的概率，进而得到的分布列，再结合期望公式求出即可； （2）（ⅰ）利用条件概率公式求解； （ⅱ）设事件表示“次操作后袋中还剩1张”，则（B），为次操作后，恰好将袋中的全部置换为，分2种情况求得（B），代入（B），即可得到与的递推关系． 【小问1详解】 由题意可知，的所有取值为0，1，2， 则，，， 所以的分布列为： 0 1 2 所以； 【小问2详解】 （ⅰ）记事件表示“第1次取到”，事件表示“总共4次操作恰好完成置换”， 则（E）， 依题意，若第一次取到，则剩余的3次操作，须将袋中全部置换为， ①若第二次也取出，则第三次和第四次均须取出， 其概率为， ②若第二次取出，则第三次取出，第四次取出， 其概率为， 综上所述，， 所以， 即在第1次取到的条件下，总共4次操作恰好完成置换的概率为； （ⅱ）略 18. 在直角坐标系中，已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与C交于M，N两点，且当l的斜率为1时，. （1）求C的方程； （2）设l与C的准线交于点P，直线PO与C交于点Q（异于原点），线段MN的中点为R，若，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由焦点弦长公式得到方程，求出，得到答案； （2）在（1）基础上得到，进而求出，故轴，得到，表达出，结合，得到答案. 【小问1详解】 因为过F的直线l与C交于M，N两点，故直线的斜率不为0， 不妨设l的方程为，，， 联立l与C的方程，得， ∴，， 则， ∴由题可知当时，， ∴， ∴C的方程为. 【小问2详解】 由（1）知， 将R的纵坐标2m代入，得， 易知C的准线方程为，又l与C的准线交于点P， ∴， 则直线OP的方程为，联立OP与C的方程，得， ∴， ∴Q，R的纵坐标相等， ∴直线轴， ∴， ∴， ∵点Q异于原点， ∴， ∵， ∴， ∴，即. 【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 19. 若实数集对，均有，则称具有Bernoulli型关系． （1）若集合，判断是否具有Bernoulli型关系，并说明理由； （2）设集合，若具有Bernoulli型关系，求非负实数的取值范围； （3）当时，证明：． 【答案】（1）具有Bernoulli型关系，理由如下： 依题意，是否具有型关系，等价于判定以下两个不等式对于是否均成立： ①，②， ，， 具有型关系． （2）, （3） 证明：， 显然且， 由（2）中的结论：当时，，可知， 当时，， ，， 当时，显然成立； 当时， ， 综上所述，当时，． 【解析】 【分析】（1）根据定义判断是否满足即可； （2）令，，，再对其求导，分，，三种情况分析单调性及最值，即可求解； （3）化简，可得且，根据（2）中的结论，可得，再根据的范围求出的范围，进而可求出的范围，最后可得的范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令，，， 则， ①当时，显然有，成立； ②当时， 若，则，即，在区间上单调递减， 若，则，即， 若，则，即，在区间上单调递增， 的最小值为，，， 成立； ③当时， 若，则，即，在区间上单调递增， 若，则，即， 若，则，即，在区间上单调递减， 的最大值为，， ，即 当，且时，不能恒成立， 综上所述，可知若具有型关系，则， 非负实数的取值范围为,． 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数单调性证明与数列有关的不等式，关键是利用（2）的结论得，并适当的放缩裂项求和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三菏泽一中人民路校区11月测试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，为其终边上一点，则（ ） A. B. 4 C. D. 1 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 在菱形中，若，且在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 棱长为1的正方体中，点P为上的动点，O为底面ABCD的中心，则OP的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线与曲线相切，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 函数在上单调递增，且对任意的实数，在上不单调，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，且双曲线C的两条渐近线的夹角为θ，若（e为双曲线C的离心率），则（ ） A. B. 双曲线C的一条渐近线的斜率为 C. D. 10. 定义在上的函数的值域为，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量．记A表示事件“”，表示事件“”，表示事件“”，则（ ） A. 和互为对立事件 B. 事件和不互斥 C. 事件和相互独立 D. 事件和相互独立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中常数项是__________.（用数字作答）. 13. 已知圆锥的体积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为_________． 14. 设为数列的前项积，若，其中常数，则_______（结果用表示）；若数列为等差数列，则_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别是，且． （1）求； （2）若面积为，求边上中线的长． 16. 如图，在三棱柱中，平面平面， （1）设D为AC中点，证明: AC⊥平面; （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 从一副扑克牌中挑出4张Q和4张K，将其中2张Q和2张K装在一个不透明的袋中，剩余的2张Q和2张K放在外面．现从袋中随机抽出一张扑克牌，若抽出Q，则把它放回袋中：若抽出K，则该扑克牌不再放回，并将袋外的一张Q放入袋中．如此操作若干次，直到将袋中的K全部置换为Q， （1）在操作2次后，袋中K的张数记为随机变量X，求X的分布列及数学期望； （2）记事件“在操作次后，恰好将袋中的全部置换为”为，记． （ⅰ）在第1次取到的条件下，求总共4次操作恰好完成置换的概率； （ⅱ）试探究与的递推关系，并说明理由． 18. 在直角坐标系中，已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与C交于M，N两点，且当l的斜率为1时，. （1）求C的方程； （2）设l与C的准线交于点P，直线PO与C交于点Q（异于原点），线段MN的中点为R，若，求面积的取值范围. 19. 若实数集对，均有，则称具有Bernoulli型关系． （1）若集合，判断是否具有Bernoulli型关系，并说明理由； （2）设集合，若具有Bernoulli型关系，求非负实数的取值范围； （3）当时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $