2.3.3 有理数的除法 课件 2025-2026学年北师大版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦有理数的除法，系统讲解除法法则（同号得正、异号得负及绝对值相除，除以一个数等于乘其倒数）及与乘法的逆运算关系。通过类比有理数减法转化为加法提问，结合情境算式让学生发现规律，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于通过乘法逆运算推导除法法则培养推理意识，用字母表示法则（a÷b=a·1/b，b≠0）体现符号意识，乘除混合运算“统一为乘”的巧记口诀提升运算能力。采用情境观察、探究推导的教学方法，课堂小结明确法则与倒数，帮助学生理解转化思想，教师可高效落实运算教学目标。

北师大（2024）版数学七年级上册 第二章 有理数及其运算 2.3.3 有理数的除法 第 1 页：封面 标题：2.3.3 有理数的除法 副标题：北师大版七年级上册数学 配图：除法转乘法的直观示意图（如 8÷(-4)=8×(-1/4)）+ 生活中除法场景（平均分、行程速度、浓度配比） 底部标注：授课教师 / 日期 第 2 页：学习目标 理解有理数除法的意义，掌握有理数除法法则（转化法 + 直接法） 熟练掌握倒数的概念（乘积为 1 的两数），明确 0 没有倒数 能熟练进行有理数除法运算（含整数、分数、小数，各种符号组合） 会运用除法解决实际问题，深化 “转化思想” 和 “数形结合思想” 体会乘除法的互逆关系，感受数学法则的系统性 第 3 页：情境导入 —— 从 “乘法逆运算” 到 “除法法则” 左侧：生活实例（配示意图 + 乘法逆运算思考） 平均分问题：有 8 个苹果，平均分给 2 人，每人分几个？（8÷2=4，对应 2×4=8） 反向平均分：有 - 8 个苹果（亏欠 8 个），平均分给 2 人，每人亏欠几个？（-8÷2=？，找 x 使 2×x=-8→x=-4） 行程问题：汽车向西行驶 8 千米（-8 千米），用时 4 小时，平均速度是多少？（速度 = 路程 ÷ 时间，-8÷4=？） 分数除法：1/2 千克糖果，按 1/4 千克分一份，能分几份？（(1/2)÷(1/4)=？，对应乘法验证） 右侧：问题链引导 负数参与除法时，结果的符号如何确定？和乘法符号规律一致吗？ 除法能否转化为我们熟悉的乘法运算？关键是什么？ 什么是倒数？0 有倒数吗？倒数在除法中起什么作用？ 结语：有理数除法的核心是 “化除为乘”，而倒数是转化的关键！今天我们就解锁除法法则和倒数的应用技巧！ 第 4 页：新知探究 1—— 倒数的概念（除法转化的基础） 上方：倒数的定义与特征（重点标注） 定义：乘积为 1 的两个有理数互为倒数（若 a×b=1，则 a 与 b 互为倒数） 符号特征：正数的倒数是正数，负数的倒数是负数（同号得 1） 特殊说明：0 没有倒数（因为 0 乘任何数都得 0，无法得 1） 中间：倒数求解示例（分类型） 整数的倒数：5 的倒数是 1/5，-3 的倒数是 - 1/3（整数 a 的倒数为 1/a，a≠0） 分数的倒数：3/4 的倒数是 4/3，-2/5 的倒数是 - 5/2（分数 a/b 的倒数为 b/a，a≠0、b≠0） 小数的倒数：0.25（1/4）的倒数是 4，-1.5（-3/2）的倒数是 - 2/3（先化分数再求倒数） 下方：即时验证（配算式） 3×(1/3)=1 → 3 与 1/3 互为倒数 (-4/7)×(-7/4)=1 → -4/7 与 - 7/4 互为倒数 0×5=0≠1 → 0 无倒数 口诀记忆：倒数倒数，乘积为 1；正数正倒，负数负倒；0 无倒数，千万记好！ 第 5 页：新知探究 2—— 有理数除法法则（两种表述） 上方：法则推导（从乘法逆运算切入） 示例 1：计算 8÷(-4)=？ 找 x 使 (-4)×x=8 → x=-2 同时：8×(-1/4)=-2 → 得出：8÷(-4)=8×(-1/4) 示例 2：计算 (-6)÷2=？ 找 x 使 2×x=-6 → x=-3 同时：(-6)×(1/2)=-3 → 得出：(-6)÷2=(-6)×(1/2) 示例 3：计算 (-10)÷(-5)=？ 找 x 使 (-5)×x=-10 → x=2 同时：(-10)×(-1/5)=2 → 得出：(-10)÷(-5)=(-10)×(-1/5) 中间：法则总结（重点标注，红色字体） 转化法（核心）：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数 字母表示：a÷b = a×(1/b)（b≠0） 直接法（符号 + 绝对值）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何不等于 0 的数，都得 0 字母表示：① 若 a、b 同号，|a÷b|=|a|÷|b|，符号为正；② 若 a、b 异号，|a÷b|=|a|÷|b|，符号为负；③ 0÷b=0（b≠0） 下方：法则选择技巧 分数、小数除法：优先用转化法（转乘法更简便） 整数除法（能整除）：优先用直接法（定符号 + 算绝对值） 第 6 页：核心技能 1—— 有理数除法的基本运算（分类型演示） 标题：除法运算两步走，符号绝对值不混淆！ 运算步骤（通用） 定符号：同号得正，异号得负（与乘法一致）； 算结果：要么转化为乘法（乘倒数），要么直接算绝对值相除。 分类型示例解析 正数 ÷ 正数：6÷2=？ 直接法：同号得正，6÷2=3 → 结果 3 正数 ÷ 负数：12÷(-3)=？ 转化法：12×(-1/3)=-4；直接法：异号得负，12÷3=4→-4 负数 ÷ 正数：(-15)÷5=？ 直接法：异号得负，15÷5=3→-3 负数 ÷ 负数：(-20)÷(-4)=？ 直接法：同号得正，20÷4=5→5 分数 ÷ 分数：(-2/3)÷(-4/5)=？ 转化法：(-2/3)×(-5/4)=10/12=5/6（先定符号正，再乘倒数） 小数 ÷ 小数：(-1.8)÷0.6=？ 直接法：异号得负，1.8÷0.6=3→-3；或转化法：(-9/5)×(5/3)=-3 含 0 除法：0÷(-7)=0（直接用法则，0 除以非 0 数得 0） 即时小练习 10÷(-2)=________ 2. (-18)÷(-6)=________ 3. (-3/4)÷(1/2)=________ 0.4÷(-2/5)=________ 5. 0÷(+5/7)=________ 6. (-5/6)÷(-5/3)=________ 第 7 页：核心技能 2—— 除法与乘法运算律的结合（简化混合运算） 标题：乘除混合运算，转化后巧算！ 核心思路：先将所有除法转化为乘法，再运用交换律、结合律凑整、凑 1 例题解析（配步骤） 例题 1：计算 (-12)÷(-3)×(-1/4) 步骤 1：除法转乘法（除以一个数 = 乘它的倒数） (-12)×(-1/3)×(-1/4) 步骤 2：运用交换律凑整 [(-12)×(-1/3)]×(-1/4) = 4×(-1/4) = -1 结果：-1 例题 2：计算 (+8)÷(-2/3)×(-3/4) 步骤 1：除法转乘法 8×(-3/2)×(-3/4) 步骤 2：结合凑 1 / 凑整 [8×(-3/4)]×(-3/2) = (-6)×(-3/2) = 9 结果：9 例题 3：计算 (-5/6)÷[(-1/2)+(1/3)] 步骤 1：先算括号内加法 (-1/2)+(1/3)=(-3/6)+(2/6)=-1/6 步骤 2：除法转乘法 (-5/6)×(-6/1)=5 结果：5 方法总结：除转乘→定符号→找特征（凑整、凑 1）→ 用运算律→ 计算结果 第 8 页：核心应用 —— 除法解决实际问题 标题：生活中的除法，用法则轻松搞定！ 例题解析（配情境图） 行程问题（速度计算）：汽车向东行驶 120 千米（+120）用了 3 小时，向西行驶 80 千米（-80）用了 2 小时，两段路程的平均速度分别是多少？ 解答：东行速度：120÷3=40（千米 / 时）；西行速度：(-80)÷2=-40（千米 / 时） 答：东行平均速度 40 千米 / 时，西行平均速度 - 40 千米 / 时（负号表示向西） 平均分问题：某班 4 名同学的数学成绩总分是 300 分，平均成绩是多少？若 3 名同学的总分是 - 15 分（相对平均分的差值），平均差值是多少？ 解答：平均成绩：300÷4=75（分）；平均差值：(-15)÷3=-5（分） 答：平均成绩 75 分，平均差值 - 5 分（低于平均分 5 分） 浓度问题：用 2 千克盐配制浓度为 1/5 的盐水，需要多少千克水？（浓度 = 盐的质量 ÷ 盐水总质量） 解答：盐水总质量 = 盐的质量 ÷ 浓度 = 2÷(1/5)=2×5=10（千克）；水的质量 = 10-2=8（千克） 答：需要 8 千克水 解题步骤： 用正负数表示实际量（确定正方向，明确各量含义）； 列出除法算式（根据数量关系：速度 = 路程 ÷ 时间、平均数 = 总数 ÷ 份数等）； 按法则计算（转乘法或直接法）； 结合实际意义解释结果（符号对应方向 / 增减，数值对应大小）。 第 9 页：易错辨析 —— 有理数除法常见错误 标题：这些 “转化陷阱” 要避开！ 分题展示（错误示例 + 纠正 + 理由） 错误 1：倒数求解错误（例：-2 的倒数是 2） 纠正：-2 的倒数是 - 1/2 理由：倒数需满足乘积为 1，(-2)×(-1/2)=1，正数的倒数为正，负数的倒数为负 错误 2：除法转乘法时漏变倒数（例：6÷(-2/3)=6×(-2/3)=-4） 纠正：6÷(-2/3)=6×(-3/2)=-9 理由：转化法要求 “乘除数的倒数”，-2/3 的倒数是 - 3/2，不是本身 错误 3：符号判定错误（例：(-10)÷(-5)=-2） 纠正：(-10)÷(-5)=2 理由：同号两数相除得正，与乘法符号规律一致，不能误记为异号得正 错误 4：0 作除数（例：5÷0=0） 纠正：0 不能作除数，该算式无意义 理由：除法是乘法的逆运算，找不到一个数与 0 相乘得 5，0 作除数无意义 错误 5：混合运算顺序错误（例：18÷(-3)×(-2)=18÷6=3） 纠正：18×(-1/3)×(-2)=(-6)×(-2)=12 理由：乘除是同级运算，应从左到右依次进行，不能先算后两个数 第 10 页：互动练习 1—— 基础计算题 计算下列各题： 15÷(-3)=________ (-24)÷(-4)=________ (-1/2)÷(1/4)=________ 0.8÷(-4)=________ (-3/5)÷(-3/10)=________ 0÷(-1.2)=________ 填空题： (-5) 的倒数是________，1/3 的倒数是________，0.5 的倒数是________ 运用除法法则：a÷b = a×________（b≠0） 若 a、b 互为倒数，则 ab=________ 第 11 页：互动练习 2—— 提高题与应用题 混合运算题（运用运算律）： (-18)÷(3/2)×(-2/3)=________（答案：8） (-5/6)÷(-5)×(-6/7)=________（答案：-1/7） [(-4) + 6]÷(-1/2)=________（答案：-4） 应用题： 问题 1：一艘潜艇从海平面下 - 100 米处上升到 - 20 米处，用时 4 分钟，平均每分钟上升多少米？ 解答：上升的距离：(-20) - (-100)=80（米）；平均速度：80÷4=20（米 / 分钟） 答：平均每分钟上升 20 米 问题 2：某商店一周内的利润变化为 - 280 元（亏损），平均每天的利润变化是多少元？ 解答：(-280)÷7=-40（元） 答：平均每天亏损 40 元 第 12 页：实践活动 ——“倒数配对 + 除法巧算” 小游戏 活动准备：每组发放数字卡片（正数、负数、分数、小数各 5 张）、答题纸 活动要求： 第一环节 “倒数配对”：抽取卡片，快速找出每张卡片的倒数，配对成功得 1 分（限时 2 分钟）； 第二环节 “除法巧算”：每组抽取 3 张卡片，组成除法算式（或混合算式），用转化法计算，最快最准的小组得 2 分； 总结交流：分享倒数配对技巧和除法巧算思路。 活动目的： 熟练掌握倒数的求解，深化除法转乘法的转化思想； 提高有理数除法的运算速度和准确率。 第 13 页：课堂小结 核心知识： 倒数概念：乘积为 1 的两数互为倒数，0 无倒数； 除法法则：① 转化法：a÷b=a×(1/b)（b≠0）；② 直接法：同号得正，异号得负，绝对值相除，0 除非 0 得 0； 混合运算：先除转乘，再按乘法运算律简化。 关键技能： 准确求解倒数（整数、分数、小数）； 熟练进行有理数除法运算（符号判定是核心）； 用除法解决实际问题（行程、平均分、浓度等）。 思想方法： 转化思想（化除为乘，化未知为已知）； 符号化思想（用正负号表示实际意义）； 简化思想（混合运算巧算）。 第 14 页：作业布置 基础作业： 教材习题：计算下列各题： ① (-16)÷(-4) ② 3÷(-1/3) ③ (-3/4)÷(3/8) ④ 0.75÷(-3/4) ⑤ (-2/3)÷(-4/5)×(-5/6) 写出每道题的转化过程（若用转化法） 实践作业： 记录自己一周的零花钱（总收入、总支出），计算平均每天的零花钱（总收入 ÷7）和平均每天的支出（总支出 ÷7） 拓展作业： 思考：有理数除法是否满足交换律（a÷b = b÷a）和结合律（(a÷b)÷c = a÷(b÷c)）？用例子验证（不满足，如 6÷2≠2÷6） 探究：若 a÷b=c，那么 a = b×c（b≠0），利用这个关系验证除法计算结果的正确性 第 15 页：结束页 标语：有理数除法不难，转化乘法是关键；倒数概念要记牢，符号运算不慌乱！ 配图：有理数除法核心知识思维导图（倒数、法则、步骤、应用、易错点串联） 底部标注：感谢观看！ 减去一个数，等于加上这个数的相反数. 有理数的减法 有理数的加法 有理数的除法 有理数的乘法 有理数的除法运算可以转化为乘法运算吗？ 情景导入 36÷6= （-18）÷6= 5÷（ - ）= （-27）÷（-9）= 0÷（-2）= 计算下面的算式，你发现了什么？ 3 -25 0 -3 6 异号得负 同号得正 0除以任何一个非0的数都得0 情景导入 3 有理数的除法法则一： 两数相除，同号得 ，异号得 ，并把绝对值 ； 0除以任何一个非0的数都得 . 正 负 相除 0 0不能作除数 情景导入 4 (-3)×4=-12 ( )×4=-12 (乘法算式) (-12)÷4=( ) (除法算式) (-3)×4=-12 (-12)÷4=-3 除法是乘法的逆运算。 ？ ？ 探究新知 利用有理数的乘法法则计算下列各式： 问题1 (-3)×6=______， (-25)×(-) =______， 3×(-9) =______， (-2)×0=______。 -18 5 -27 0 探究新知 根据“除法是乘法的逆运算”，计算下列各式： 问题2 (-18)÷6=______， 5÷(-) =______， (-27)÷(-9) =______， 0÷(-2) =______。 -3 -25 3 0 探究新知 观察上面的算式及计算结果，你有什么发现？ 问题3 两个有理数相除，同号得____，异号得____，并把绝对值______。 正 负 相除 0 除以任何一个非 0 的数都得 _____。 0 注意：0不能作除数。 探究新知 有理数的除法法则（一） 两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0 除以任何一个非 0 的数都得 0 。 (注意：0不能作除数。) . 探究新知 例1 计算： . 探究新知 . 探究新知 进行有理数的除法运算时，应先确定商的符号，再确定商的绝对值。 . 探究新知 练一练 【课本P54 随堂练习 】 计算： 探究新知 . 探究新知 . 探究新知 . 探究新知 在做除法运算时：先定符号，再算绝对值。若算式中有小数、带分数，一般情况下先化成真分数和假分数。 总结 . 探究新知 学习了有理数的除法后，怎么求一个有理数的倒数？ 问题1 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数。 用1除以一个非0 数，商就是这个数的倒数。 探究新知 计算并比较下列各组数的计算结果，你能得到什么结论？ 问题2 1÷(-) 与1×(-)； 0.8÷(-) 与0.8×(-)； (-) ÷(-) 与(-) × (-60)。 =15 探究新知 互为倒数 探究新知 有理数的除法法则（二） 除以一个的数等于乘这个数的倒数。 . 用字母表示为 这样除法就统一成乘法了。 探究新知 例2 计算： 解： . 探究新知 . 解： 探究新知 将除法转化为乘法有什么好处？ 问题3 将除法转化为乘法后可以运用乘法的运算律进行简便运算。 探究新知 有理数的乘除法与小学数学中的乘除法相比较，有哪些相同点和不同点? 问题4 数的范围扩大了，增加了负数；运算法则在原有法则的基础上补充了符号变化的法则。 小学数学中的乘法的运算律全都适用于有理数的乘法；同级运算都是按照从左到右的顺序进行； 探究新知 1.计算： 0 2 -5 -6 2 练一练 【课本P55 习题2.3 第4题】 探究新知 2.求下列各数的倒数，并用“＜”把它们连接起来： . 【课本P56 习题2.3 第5题】 探究新知 例 计算： (1) (-)× (-)÷9×(-)； (2) 9÷ (-3)× 。 探究新知 例 计算： (1) (-)× (-)÷9×(-)； (2) 9÷ (-3)× 。 = -1 巧记： 乘除混合有理数， 统一为乘第一步， 乘法“三律”能简便， 负因个数定正负。 探究新知 练一练 计算： (1) (-81)×(-)÷× ；(2) (-2) ÷ (-) ×÷) = 2 探究新知 知识点1 有理数的除法法则（一） 1.［教材 尝试·交流变式］计算： （1）__ ___ ____; （2）_______ ___; （3）__ _____ ____; （4） ___。 - 6 63 9 - 0.15 0 考试考法 31 2.计算 的结果是( ) B A.2 B. C. D. 考试考法 32 3.（12分）计算： （1） ； 解：原式 。 （2） ； 解：原式 。 （3） ； 解：原式 。 （4） 。 解：原式 。 考试考法 33 知识点2 一个数的倒数 4. 的倒数是( ) D A. B.4 C. D. 考试考法 34 5.（8分）求下列各数的倒数： （1） ； 解： 。 （2）1.2； 解： 。 考试考法 35 （3） ； 解： 。 （4） 。 解： 。 考试考法 知识点3 有理数的除法法则（二） 6.计算 时，将除法转化为乘法正确的是( ) B A. B. C. D. 考试考法 37 7.计算 的结果是( ) C A. B.2 C.18 D. 考试考法 38 8.（12分）计算： （1） ； 解：原式 。 （2） ； 解：原式 。 （3） 。 解：原式 。 考试考法 39 9.如果两个有理数的商是负数，和为0，那么这两个有理数( ) D A.一个为0，另一个为正数 B.都为负数 C.一个为0，另一个为负数 D.互为相反数，且均不为0 考试考法 40 10.［2025石家庄期中］某同学在计算时，误将“ ”看成“ ”， 结果是，则 的正确结果是( ) B A.2 B. C. D. 考试考法 41 11.从，， ，2，4中任取2个数相乘或相除，所得积的最大值记 为，所得商的最小值记为，则 的值为( ) C A.11 B. C.19 D. 考试考法 42 12.已知，，则 的值为_______。 6或 考试考法 43 13.有理数,, 在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列结论： ；；； ； ，其中正确的是________。（填序号） ①③⑤ 考试考法 44 14.（8分） 对于任何有理数，，定义运算“ ”如下： 。如 。 （1）求 的值； 解：因为 ， 所以 。 考试考法 45 （2）求 的值。 解：因为 ， 所以 ， 所以 。 考试考法 46 15.（12分）数学老师布置了一道题：“计算： 。” 小英的解法： 。 小李的解法：原式结果的倒数为 （第一步） （第二步） （第三步） ，（第四步） 考试考法 47 所以原式 。 分析两名同学的解法，请你回答下列问题： （1）两名同学的解法中，______的解法正确； （2）小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是_________________ ___； 小李 乘法对加法的分配律 考试考法 48 （3）用一种你喜欢的方法计算： 。 解：原式结果的倒数为 ， 所以原式 。 考试考法 49 . 有理数的除法 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除 0除以任何非0的数都得0 除以一个数等于乘这个数的倒数 法则(一) 求一个有理数的倒数 法则(二) 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ $