精品解析：江苏省无锡市惠山区2025--2026学年上学期九年级数学期中试卷

九年级数学期中试卷 2025.11 注意事项： 1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上． 2.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答．写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3.作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗、描写清楚． 4.请把试题的答案写在答卷上，不要写在试题上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的．） 1. 在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知的直径为，若，则点与的位置关系是（ ） A. 点在外 B. 点在上 C. 点在内 D. 不能确定 3. 如图，点A、B、C在上，已知，则的度数为（ ） A. 80° B. 70° C. 60° D. 50° 4. 如图，是的弦，于H，连接、，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，D、E分别在AB、AC边上，添加以下条件不能证明与相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 以下说法正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 同一条弦所对的圆周角相等 C. 同圆中直径是最长的弦 D. 度数相等的弧是等弧 7. 某水蜜桃市场推行网络销售后销量从年的吨迅猛增长到年的吨，设从年到年平均年增长率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一艘客船从码头点出发，沿北偏东方向航行，速度为海里时，小时后一艘快艇也从同一码头出发，向正北方向航行小时后，此时客船在快艇的正东方向，则快艇航行的速度为（ ） A. 海里时 B. 海里时 C. 海里时 D. 海里时 9. 正方形与正方形的面积分别为和，顶点在同一直线上，点在边上，连接交于点，则四边形面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形中，点E是边的中点，连接，将沿翻折得，连接、．则以下结论：①，②，③，④．其中正确结论的序号是（ ） A. ②③ B. ①②③ C. ②④ D. ①②④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 一元二次方程有一个根为3，则______． 12. 如图，的半径为5，弦，于，则的长等于___． 13. 如图，点D、E是的边的中点，已知，则______． 14. 如图，是的直径，，，则_______． 15. 已知一个三角形的三边长分别是6cm、8cm、10cm，则这个三角形的外接圆的半径等于______________ cm． 16. 如图，水平地面上护林员与树根的距离，护林员的眼睛与地面距离，在此处观测到树梢点D的仰角为，则树高______m． 17. 如图，中，点是边的中点，连接交于点，则______． 18. 如图，中，，，，点在边上运动且点不与点、重合，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接交边于，则长度最大值为______． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 解方程： （1）； （2） 20. 计算与求值： （1）； （2）已知，求a的值． 21. 如图，在中，，，平分交边于点D． （1）求证：； （2）已知，，求的长度． 22. 如图，是的直径，D是弦延长线上一点，且，的延长线交于点E，连接交于点F． （1）求证：； （2）若是的中点，求的度数． 23. 如图，网格中最小的正方形边长为个单位．现作如下操作：在方格中建立直角坐标系，以原点为位似中心作的位似图形，使得顶点的对应点为、． （1）作出符合要求的直角坐标系并标注原点； （2）作出的位似图形； （3）只用无刻度直尺，作出的外心，标记为点； （4）的外接圆的半径为______． 24. 已知：关于x的方程． （1）不解方程，判断方程根的情况； （2）矩形两边、的长是方程的两个实数根，且其对角线长为10，求矩形的周长． 25. 用长的铝合金条制成矩形窗框． （1）若制成如图的“日”字形窗框，求窗框的宽和高各是多少时，窗户的透光面积为？ （2）为了加固将窗框制成如图的“目”字形，问透光面积能否达到，若能达到，请求出窗框宽和高，若不能，请说明理由．（铝合金条的宽度忽略不计） 26. 【阅读】如图，中，，，延长到点，使，设，则，．据此可以求出． 【探究】如图，，试用上述方法求出______． 【运用】城市公路一段下沉通道剖面如图所示，正常情况下，汽车可以沿方向或其相反方向通行，其中是正常水平路面，是通道底部水平路面，是与水平方向夹角为的斜坡，已知，某次暴雨引起通道积水，水面宽度．小张驾车打算从此路段经过，经查阅资料得知，小张所驾汽车可安全通过最深为的水面，问小张是否能够从此积水路段安全通过？请通过计算说明理由．（参考数据） 27. 甲楼、乙楼、斜坡的底部在同一水平面并且在同一直线上，具体数据如下图所示，已知甲、乙两楼间距，乙楼高，宽，斜坡坡度为，乙楼底端与斜坡底端相距，小明从点出发沿斜坡向上走到达点，此时小明垂直于水平地面站立恰好从乙楼楼顶上方看到甲楼楼顶，小明眼睛位置点与站立地点距离． （1）求甲楼高度； （2）某一时刻太阳光线照射甲楼顶端的影子恰好落在乙楼底端点，求此时乙楼的影子落在斜坡上的长度． 28. 纸是由国际标准化组织定义，世界上多数国家采用的纸张尺寸．纸的几何特征为：①矩形纸张短边长度为；②取长边的中点，沿直线折叠，所得矩形与原矩形相似． （1）纸长边______； （2）用一张纸作如下操作：在边上有一动点，连接，将沿翻折得． ①当时，求的长； ②以点为圆心，为半径作，若点中只有一个点在内，则长的取值范围是_____ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学期中试卷 2025.11 注意事项： 1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上． 2.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答．写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3.作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗、描写清楚． 4.请把试题的答案写在答卷上，不要写在试题上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的．） 1. 在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了锐角三角函数的定义，根据锐角的正切等于对边比邻边解答． 【详解】解：如图， ∵在中，， ∴． 故选：C． 2. 已知的直径为，若，则点与的位置关系是（ ） A. 点在外 B. 点在上 C. 点在内 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外，本题据此可得答案． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径为， 根据点P到圆心的距离大于圆的半径，则点P在圆外． 故选：A． 3. 如图，点A、B、C在上，已知，则的度数为（ ） A. 80° B. 70° C. 60° D. 50° 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理；由圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 4. 如图，是的弦，于H，连接、，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据垂径定理及等腰三角形三线合一逐项判断即可． 【详解】解：A：，， ∴，正确，故该选项不合题意； B：根据题目条件无法推出，错误，故该选项符合题意； C：由及可知，垂直平分， ∴， D：，， ∴平分， ∴，正确，故该选项不合题意．   故选：B ． 5. 如图，中，D、E分别在AB、AC边上，添加以下条件不能证明与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握其判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴∽，故该选项不合题意； B、∵，， ∴∽，故该选项不合题意； C、∵，， ∴∽，故该选项不合题意； D、∵，而与不一定相等，不能证明相似，故该选项符合题意．   故选：D ． 6. 以下说法正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 同一条弦所对的圆周角相等 C. 同圆中直径是最长的弦 D. 度数相等的弧是等弧 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，包括确定圆的条件、圆周角定理、弦的性质和弧的定义，运用相关知识逐一判断各选项是否正确即可． 【详解】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故选项A说法错误； B、同一条弦所对的圆周角相等或互补，故选项B说法错误； C、同圆中直径是最长的弦,说法正确； D、度数相等的弧只有在同圆或等圆中才是等弧，故选项D说法错误． 故选：C． 7. 某水蜜桃市场推行网络销售后销量从年的吨迅猛增长到年的吨，设从年到年平均年增长率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设从年到年平均年增长率为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设从年到年平均年增长率为， 由题意得，， 故选：． 8. 如图，一艘客船从码头点出发，沿北偏东方向航行，速度为海里时，小时后一艘快艇也从同一码头出发，向正北方向航行小时后，此时客船在快艇的正东方向，则快艇航行的速度为（ ） A. 海里时 B. 海里时 C. 海里时 D. 海里时 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，连接，由题意可得，，海里，即得海里，进而即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由题意可得，，，海里， ∴海里， ∴快艇航行的速度为海里时， 故选：． 9. 正方形与正方形的面积分别为和，顶点在同一直线上，点在边上，连接交于点，则四边形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，由正方形的性质得，，，即得，进而由可得，再根据四边形面积解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵正方形与正方形的面积分别为和， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴四边形面积， 故选：． 10. 如图，正方形中，点E是边的中点，连接，将沿翻折得，连接、．则以下结论：①，②，③，④．其中正确结论的序号是（ ） A. ②③ B. ①②③ C. ②④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形的翻折变换及其性质、正方形的性质、锐角三角函数的定义、相似三角形的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 根据点是边的中点，可设，结合正方形的性质和翻折的性质推出，，进而判断①；过点作直线，分别交、于点、，证明∽，在中，结合勾股定理及判断②；在和中，用勾股定理可以判断③；分别表示出和即可判断④． 【详解】解：①∵点是边的中点， ∴可设，则， ∵四边形是正方形， ∴，， 设， 由翻折性质得：，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故结论①正确； ②过点作直线，分别交、于点、，如图所示： ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， 在和中， ，， ∴∽， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴，， ∴，， ∴， 故结论②正确； ③在中，， 在中，， ∴， 故结论③不正确； ④∵， 由翻折的性质得：， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 故结论④正确； 综上所述：正确的结论是①②④．   故选：D ． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 一元二次方程有一个根为3，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根．把代入一元二次方程得到关于k的方程求解即可．理解方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键． 【详解】解：把代入一元二次方程， 得， 整理得， 解得． 故答案为：6． 12. 如图，的半径为5，弦，于，则的长等于___． 【答案】3 【解析】 【详解】连接OA， 根据垂直于弦的直径平分弦得，由勾股定理得 故答案为：3 13. 如图，点D、E是的边的中点，已知，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，掌握此定理是关键；由题意知是的中位线，由中位线定理即可求解． 【详解】解：∵点D、E是的边的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：3． 14. 如图，是的直径，，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出BC的长，再将tan∠ADC转化为tan∠B进行计算． 【详解】解：∵AB为⊙O直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC＝132−52＝12， ∴tan∠ADC＝tanB＝=， 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理、圆周角定理和三角函数的定义，要充分利用转化思想． 15. 已知一个三角形的三边长分别是6cm、8cm、10cm，则这个三角形的外接圆的半径等于______________ cm． 【答案】5 【解析】 【详解】∵62+82=102，∴这个三角形是直角三角形，斜边为10cm，∴这个三角形的外接圆的半径等于5cm. 16. 如图，水平地面上护林员与树根的距离，护林员的眼睛与地面距离，在此处观测到树梢点D的仰角为，则树高______m． 【答案】  【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键． 过作于，则，，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：如图，过作于， 则，， 在中，， ∴， ∴ 故答案为： ． 17. 如图，中，点是边的中点，连接交于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，连接，则，即得，由中点性质得，又由得，即得，得到，即可得，，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，则， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 18. 如图，中，，，，点在边上运动且点不与点、重合，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接交边于，则长度最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，作出辅助线，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键． 过点作交于点，利用勾股定理解，得到的长，利用勾股定理解，得到的长，分析出点的位置，再结合勾股定理求解即可． 【详解】如图，过点作交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∵绕点逆时针旋转得线段， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴最小时，最大， ∴当时，最小，此时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是： （1）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可； （2）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可. 【小问1详解】 解：， ， 或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， 或， ∴，． 20. 计算与求值： （1）； （2）已知，求a的值． 【答案】（1）0 （2）55 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的运算，熟记各特殊角的三角函数值是解题关键． （1），，据此即可求解； （2）由题意得，根据即可求解． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 如图，在中，，，平分交边于点D． （1）求证：； （2）已知，，求的长度． 【答案】（1） 证明：在中，，， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∵， ∴； （2）6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明三角形相似是关键； （1）由三角形内角和及角平分线得，从而得； （2）由已知可求得，再由即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，是的直径，D是弦延长线上一点，且，的延长线交于点E，连接交于点F． （1）求证：； （2）若是的中点，求的度数． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及其推论、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、垂径定理、等边三角形的判定与性质，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）连接，由是的直径，得，而，则垂直平分，所以，进而根据圆周角定理证明； （2）如图，连接，由是的中点，根据垂径定理得，证明是等边三角形，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵是的中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴的度数是． 23. 如图，网格中最小的正方形边长为个单位．现作如下操作：在方格中建立直角坐标系，以原点为位似中心作的位似图形，使得顶点的对应点为、． （1）作出符合要求的直角坐标系并标注原点； （2）作出的位似图形； （3）只用无刻度直尺，作出的外心，标记为点； （4）的外接圆的半径为______． 【答案】（1） 建立平面直角坐标系如图所示： （2）如图所示，即为所求； （3）如图所示，点即为所求； （4） 【解析】 【分析】（）接相交于点，以点为原点建立平面直角坐标系即可； （）根据位似图形的性质画图即可； （）分别作线段的垂直平分线，相交于点，则点即为所求； （）先找出的圆心位置，进而根据图形求出半径即可； 本题考查了平面直角坐标系，画位似图形，三角形的外接圆，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：分别作线段的垂直平分线，相交于点，则点为外接圆的圆心， 由图可得，， ∴的外接圆的半径为， 故答案为：． 24. 已知：关于x的方程． （1）不解方程，判断方程根的情况； （2）矩形两边、的长是方程的两个实数根，且其对角线长为10，求矩形的周长． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根 （2）28 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，勾股定理，矩形的性质. （1）通过计算判别式判断根的情况即可； （2）先求方程的根，再利用勾股定理列方程求m，得到矩形两边长后计算周长． 【小问1详解】 解：， ∴方程有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：方程的两个根为， 设， 由勾股定理得：， 即， ∴， 解得：， 当时，； 当时，（舍去）； ∴矩形两边长为8和6， 周长． 答：矩形的周长为28． 25. 用长的铝合金条制成矩形窗框． （1）若制成如图的“日”字形窗框，求窗框的宽和高各是多少时，窗户的透光面积为？ （2）为了加固将窗框制成如图的“目”字形，问透光面积能否达到，若能达到，请求出窗框宽和高，若不能，请说明理由．（铝合金条的宽度忽略不计） 【答案】（1）宽为，高为 （2） 解：不能，理由如下： 设窗框的宽为，则高为， 由题意得，， 整理得，， ∵， ∴一元二次方程无解， ∴透光面积不能达到． 【解析】 【分析】（）设窗框的宽为，则高为，根据题意列出方程解答即可求解； （）设窗框的宽为，则高为，根据题意列出方程，再根据方程解的情况即可判断求解； 本题考查了一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：设窗框的宽为，则高为， 由题意得，， 整理得，， 解得， ∴ 答：窗框的宽为，高为； 【小问2详解】 略 26. 【阅读】如图，中，，，延长到点，使，设，则，．据此可以求出． 【探究】如图，，试用上述方法求出______． 【运用】城市公路一段下沉通道剖面如图所示，正常情况下，汽车可以沿方向或其相反方向通行，其中是正常水平路面，是通道底部水平路面，是与水平方向夹角为的斜坡，已知，某次暴雨引起通道积水，水面宽度．小张驾车打算从此路段经过，经查阅资料得知，小张所驾汽车可安全通过最深为的水面，问小张是否能够从此积水路段安全通过？请通过计算说明理由．（参考数据） 【答案】探究：； 运用：小张不能够从此积水路段安全通过，理由如下： 过作于点， 由题可得，， ∵， ∴， ∴小张不能够从此积水路段安全通过． 【解析】 【分析】探究：如图，作线段的垂直平分线交于点，连接，可得，即得到，进而可得，设，则，，得到，再根据正切的定义解答即可求解； 运用：过作于点，由题可得，再解直角三角形求出即可判断求解； 本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：探究：如图，作线段的垂直平分线交于点，连接， 则， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴, 故答案为：； 运用：略 27. 甲楼、乙楼、斜坡的底部在同一水平面并且在同一直线上，具体数据如下图所示，已知甲、乙两楼间距，乙楼高，宽，斜坡坡度为，乙楼底端与斜坡底端相距，小明从点出发沿斜坡向上走到达点，此时小明垂直于水平地面站立恰好从乙楼楼顶上方看到甲楼楼顶，小明眼睛位置点与站立地点距离． （1）求甲楼高度； （2）某一时刻太阳光线照射甲楼顶端的影子恰好落在乙楼底端点，求此时乙楼的影子落在斜坡上的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）过点作于点，交于点，延长交于点，由坡坡度为，可设，，得，即得到，解得，得到，， 进而得到，，，即可得，再根据可得，即可求解； （）设阳光线照射乙楼顶端的影子恰好落在斜坡上的点，过点作于点，于点，由斜坡坡度为， 设，，得，即得，，，再根据即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，相似三角形的应用，平行投影，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，交于点，延长交于点， ∵斜坡坡度为， ∴， 设，， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴， ， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 解得， ∴， 答：甲楼高度为； 【小问2详解】 解：设太阳光线照射乙楼顶端的影子恰好落在斜坡上的点，过点作于点，于点，如图， ∵斜坡坡度为， ∴， 设，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 28. 纸是由国际标准化组织定义，世界上多数国家采用的纸张尺寸．纸的几何特征为：①矩形纸张短边长度为；②取长边的中点，沿直线折叠，所得矩形与原矩形相似． （1）纸长边______； （2）用一张纸作如下操作：在边上有一动点，连接，将沿翻折得． ①当时，求的长； ②以点为圆心，为半径作，若点中只有一个点在内，则长的取值范围是_____ 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（）设，则，利用相似多边形的性质解答即可求解； （）①过点作于点，交于点，可得四边形是矩形，即得，，，又由折叠的性质得，，，即得到，得到，即得到，解得，，即得，进而即可求解；②分别求出点在上和点在上时的长，进而即可求解． 【小问1详解】 解：设，则， ∵矩形与原矩形相似， ∴， 即， 解得， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①如图，过点作于点，交于点，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， 由折叠得，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴， 设，则， 则， ∴， ∴； ②当点在上时，如图，点是的中点，则； 当点在上时，如图，连接，则， 在中，， ∴， 解得， ∴长的取值范围为， 故答案为： 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的判定和性质，相似多边形的性质，勾股定理，锐角三角函数等，熟练掌握知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $