精品解析：安徽省宿州市埇桥区2025-2026学年 九年级上学期11月期中数学试题

九年级数学（北师大版） （试题卷） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且含未知数的项的次数为，系数不为的整式方程，即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、是分式方程，不符合题意； D、最高次数是，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 2. 如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（ ） A. 甲与丙 B. 甲与乙 C. 乙与丙 D. 三个矩形都不相似 【答案】A 【解析】 【分析】如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，据此作答． 【详解】解：三个矩形的角都是直角，甲、乙、丙相邻两边的比分别为4：6＝2：3，1.5：2＝3：4，2：3， ∴甲和丙相似， 故选：A． 【点睛】本题主要考查相似多边形的概念，解题关键是证明对应边成比例． 3. 通过大量的掷图钉试验，一共掷图钉400次，发现钉尖朝上的有300次，则可估计随机掷一次图钉钉尖朝上的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用频率估算概率，求出频率，利用概率是频率的稳定值，进行估算即可． 【详解】解：由题意，可知：； 故可估计随机掷一次图钉钉尖朝上的概率为； 故选B． 4. 如图，将一张矩形纸片沿它的长边翻折（为折痕），得到两个小矩形，其中，．若矩形的长边与短边的比等于矩形长边与短边的比，则矩形的长边与短边的比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，理解题意是关键；设，则可得，由题意得到比例式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∵矩形的长边与短边的比等于矩形长边与短边的比， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5. 已知点、分别在边、的延长线上，下列条件中一定能判断的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似，推出，进而推出或即可判断． 【详解】解：如图： 根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似， ∵，要使三角形， ∴， 即：． 故选：． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定、平行线的判定，解题的关键是两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． 6. 已知方程3x2-2x-4=0的两根分别为x1和x2，则x1+x2的值为（ ） A. - B. C. - D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据根与系数的关系求解． 【详解】∵3x2-2x-4=0的两根分别为x1和x2， ∴x1+x2=-． 故选：B． 【点睛】考查了根与系数的关系，解题关键是熟记若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=． 7. 如图，B，F，C三点共线，与交于点E，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 根据证得和，根据相似三角形的性质，证得和，进而求解的值． 【详解】解： 、 ，即， 、 ， 故选：D． 8. 在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 79 229 385 781 1251 1562 “有2个人同月过生日”的频率 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到）大约是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识：在大量重复试验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就是事件发生的概率．根据表格中的数据解答即可． 【详解】解：通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是． 故选：B． 9. 如图，在中，分别是边上的中线，于点，点分别是的中点，若，，则四边形的周长是（ ） A. 14 B. 20 C. 22 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件证明四边形MNDE为菱形，结合OB和OC的长求出MN，OM，OE，计算出EM，可得结果． 【详解】解：∵BD和CE分别是△ABC的中线， ∴DE=BC，DE∥BC， ∵M和N分别是OB和OC的中点，OB=8，OC=6， ∴MN=BC，MN∥BC，OM=OB=4，ON=OC=3， ∴四边形MNDE为平行四边形， ∵BD⊥CE， ∴平行四边形MNDE为菱形， ∴OE=ON=3 ∴BC=， ∴DE=MN=EM=DN=5， ∴四边形MNDE的周长为20， 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的判定，中位线定理，勾股定理，解题的关键是掌握菱形的判定． 10. 如图，在中，，，，过点A作交BC于点D，点P为线段上的一动点（点P可与点A，点D重合），连接，以为直角边向下作，且，连接，则的最大值和最小值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，确定点E在线段上运动是解题的关键；连接交的延长线于点F，过点D作于点G；由题意知，进而可得，则，而，从而，则可证明，，则点E在线段上运动，当与重合时，最小，当与重合时，最大，再求出最小值与最大值即可． 【详解】解：如图，连接交的延长线于点F，过点D作于点G； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点E在射线上运动， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点P与点A重合时，点E与点B重合，当点P与点D重合时，点E与点F重合， ∴点E在线段上运动， 当与重合时，最小，最小值为线段的长， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，且， ∴当与重合时，最大，最大值为线段的长，即为， ∵， ∴， 即的最小值为， 综上，的最大值和最小值分别为和． 故答案为：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知，且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据，得到，利用等比性质，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 12. 不透明的袋子中装有红、黄两种颜色的球共10个，它们除颜色外完全相同，小明多次摸球后记录并放回小球，在大量重复实验中，发现摸到红色小球的频率稳定在0.4左右，由此可知袋子中黄色小球的个数可能是__________． 【答案】6个 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率． 用频率估计概率，可得红色小球的数量，从而可得黄色小球的数量． 【详解】解：根据题意，估计摸到红色小球的概率为， ∴红色小球的个数约为（个）， ∴袋子中黄色小球的个数可能是（个）． 故答案为：个． 13. 符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，AD＝BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，若CD＝1，则AB的长是_______________． 【答案】＋2 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义可得：，，从而可AC+BD=AB+CD=（﹣1）AB，故可求得AB的长． 【详解】∵C、D两点都是AB的黄金分割点， ∴AC＝AB，BD＝AB， ∴AC＋BD＝（﹣1）AB， 即AB＋CD＝（﹣1）AB， ∵CD=1， ∴AB＝＋2， 故答案为：＋2． 【点睛】本题考查黄金分割的含义，关键是根据C、D都是黄金分割点，从而得出AB+CD=（﹣1）AB． 14. 如图，在矩形中，，，点是上的动点，连接，线段的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接，． （1）若，则_____； （2）若，则_____． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据矩形的性质得出相等的边和直角，根据直角三角形的性质得出相等角，根据线段垂直平分线的性质得出相等的线段，然后证明即可； （2）过点作于点，连接，证明，得出对应边成比例，设，表示出相关线段的长度，然后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解析：（1）四边形是矩形， ， ， ， ， ， 垂直平分线段， ， ， 。 故答案为：2； （2）如图，过点作于点，连接， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， 垂直平分线段， ， 在中，由勾股定理得， 解得或（舍去）， 即， 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程的特点灵活运用解一元二次方程的方法是解题的关键；利用公式法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即，． 16. 如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 【答案】证明：，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．由已知求得，根据相似三角形的判定即得答案． 【详解】略 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，． （1）直接填空；的值为______，的值为______； （2）若，求和的长． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例： （1）根据平行线分线段成比例即可求解； （2）根据（1）中的结论，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）当时，求方程的解； （2）若该方程有实数根，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程跟的判别式． （1）利用配方法解方程即可； （2）根据一元二次方程跟的判别式，列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：当时，原方程可化为， 配方，得， 解得； 【小问2详解】 解：∵该方程有实数根， ∴， 解得， 即若该方程有实数根，的取值范围是． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 滨兰实验秋季研学时，安排九年级乘坐，，三辆车，其中小明与小刚都可以从这三辆车中任选一辆搭乘． （1）求小明乘车的概率； （2）请用列表法或画树状图的方法求出小明与小刚同车的概率有多大． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，解题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出相应的树状图，然后即可求得小明与小刚同车的概率． 【小问1详解】 解：三辆车随机选择一辆， ∴小明乘车的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图知，共有9种等可能结果，其中小明与小刚同车的有3种情况， 所以小明与小刚同车的概率为 20. 如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇的眼睛离地面的高度，淇淇与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离．求旗杆高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定是解决本题的关键． 根据与可判断与相似，再根据边成比例计算即可． 【详解】解：，， ， 根据镜面的反射性质， ， 在与中， ， ， ， ，，， ， ， 旗杆高度为． 六、（本题满分12分） 21. 小丽和弟弟决定周末一起去参观博物馆，但在地点的选择上持不同意见，小丽想去参观陕西历史博物馆，弟弟想去参观陕西自然博物馆．为了做出最终决定，他们设计了一个转盘（如图），该转盘被分成面积相等的4个扇形，这些扇形内分别标有数字1，2，3，4，转动转盘，当转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，计为转动转盘一次．（若指针指向两个扇形的分隔线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止） （1）转动转盘一次，转出的数字为2的倍数的概率是________． （2）他们商定了一个游戏规则：转动转盘两次，若两次转出的数字之和为奇数，则小丽胜，他们去参观陕西历史博物馆；若两次转出的数字之和为偶数，则弟弟胜，他们去参观陕西自然博物馆．这个游戏对双方公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由． 【答案】（1） （2） 解：这个游戏对双方公平． 理由如下： 画树状图如图所示： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中两次转出的数字之和为奇数的结果有8种，两次转出的数字之和为偶数的结果有8种， （他们去参观陕西历史博物馆）， （他们去参观陕西自然博物馆）， ， 这个游戏对双方公平． 【解析】 【分析】本题考查概率综合，读懂题意，掌握一步概率问题、两步概率问题的解法是解决问题的关键． （1）由一步概率问题的求法，得到转动转盘一次的所有结果，及转出的数字为2的倍数的结果，代入简单概率公式求解即可得到答案； （2）由两步概率问题的求法，画树状图，得到全部结果及满足题意的结果数，代入简单概率公式求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：该转盘被分成面积相等的4个扇形，这些扇形内分别标有数字1，2，3，4， 转动转盘一次，会有4种等可能得结果，其中转出的数字为2的倍数的数字有和， 则转动转盘一次，转出的数字为2的倍数的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 略 七、（本题满分12分） 22. 如图，在平行四边形中，过点作交边于点，点在边上，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，且，求线段的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题； （1）首先证明，，推出四边形是平行四边形，再证明即可解决问题； （2）分别在，中，利用勾股定理求出、即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：平分，， ， ， ，， ， ， ， 在中，，即的长是． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在正方形中，边长为，为中点，作射线，过点作垂直于射线交射线于点，交于点，过点作垂直于射线交射线于点，连接，，已知． （1）求的长； （2）证明：； （3）连接交于点，连接，，求的值． 【答案】（1）； （2） 证明：由（1）知，，． ∴，， ∴． ∵， ∴． （3）． 【解析】 【分析】（1）先利用勾股定理求出的长，再通过证明，利用相似三角形的性质求出的长． （2）计算和的比值，结合公共角，证明． （3）通过正方形性质、相似三角形的判定与性质，结合角度关系和线段长度计算，求出的值． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形，边长为，， ∴，，．， 在中，，，由勾股定理． ∵， ∴，又， ∴． ∴，即， 解得． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是正方形，边长为， ∴，，， ∴， 由第（）得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵（公共角）， ∴， ∴，即， 解得， ∵， ∴， ∵，即， ∴． ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学（北师大版） （试题卷） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（ ） A. 甲与丙 B. 甲与乙 C. 乙与丙 D. 三个矩形都不相似 3. 通过大量的掷图钉试验，一共掷图钉400次，发现钉尖朝上的有300次，则可估计随机掷一次图钉钉尖朝上的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将一张矩形纸片沿它的长边翻折（为折痕），得到两个小矩形，其中，．若矩形的长边与短边的比等于矩形长边与短边的比，则矩形的长边与短边的比是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点、分别在边、的延长线上，下列条件中一定能判断的是（　　） A. B. C. D. 6. 已知方程3x2-2x-4=0的两根分别为x1和x2，则x1+x2的值为（ ） A. - B. C. - D. 7. 如图，B，F，C三点共线，与交于点E，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 79 229 385 781 1251 1562 “有2个人同月过生日”的频率 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到）大约是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，分别是边上的中线，于点，点分别是的中点，若，，则四边形的周长是（ ） A. 14 B. 20 C. 22 D. 28 10. 如图，在中，，，，过点A作交BC于点D，点P为线段上的一动点（点P可与点A，点D重合），连接，以为直角边向下作，且，连接，则的最大值和最小值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知，且，则的值为______． 12. 不透明的袋子中装有红、黄两种颜色的球共10个，它们除颜色外完全相同，小明多次摸球后记录并放回小球，在大量重复实验中，发现摸到红色小球的频率稳定在0.4左右，由此可知袋子中黄色小球的个数可能是__________． 13. 符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，AD＝BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，若CD＝1，则AB的长是_______________． 14. 如图，在矩形中，，，点是上的动点，连接，线段的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接，． （1）若，则_____； （2）若，则_____． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 16. 如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，． （1）直接填空；的值为______，的值为______； （2）若，求和的长． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）当时，求方程的解； （2）若该方程有实数根，求的取值范围． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 滨兰实验秋季研学时，安排九年级乘坐，，三辆车，其中小明与小刚都可以从这三辆车中任选一辆搭乘． （1）求小明乘车的概率； （2）请用列表法或画树状图的方法求出小明与小刚同车的概率有多大． 20. 如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇的眼睛离地面的高度，淇淇与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离．求旗杆高度． 六、（本题满分12分） 21. 小丽和弟弟决定周末一起去参观博物馆，但在地点的选择上持不同意见，小丽想去参观陕西历史博物馆，弟弟想去参观陕西自然博物馆．为了做出最终决定，他们设计了一个转盘（如图），该转盘被分成面积相等的4个扇形，这些扇形内分别标有数字1，2，3，4，转动转盘，当转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，计为转动转盘一次．（若指针指向两个扇形的分隔线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止） （1）转动转盘一次，转出的数字为2的倍数的概率是________． （2）他们商定了一个游戏规则：转动转盘两次，若两次转出的数字之和为奇数，则小丽胜，他们去参观陕西历史博物馆；若两次转出的数字之和为偶数，则弟弟胜，他们去参观陕西自然博物馆．这个游戏对双方公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在平行四边形中，过点作交边于点，点在边上，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，且，求线段的长． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在正方形中，边长为，为中点，作射线，过点作垂直于射线交射线于点，交于点，过点作垂直于射线交射线于点，连接，，已知． （1）求的长； （2）证明：； （3）连接交于点，连接，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $