2.3.2 有理数乘法的运算律（课件）2025--2026学年北师大教版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦有理数乘法运算律及多个有理数相乘的符号法则，从回顾小学乘法运算律切入，通过“引入负数后运算律是否成立”的问题链衔接，搭建新旧知识支架引导探究。 其亮点是以问题驱动探究，结合实例验证运算律、辨析符号规律，培养推理意识与运算能力。分层练习与结构化小结助力知识内化，既提升学生数学思维，又方便教师高效教学。

北师大（2024）版数学七年级上册 第二章 有理数及其运算 2.3.2 有理数乘法的运算律 有理数乘法法则是什么？ 第 1 页：封面 标题：2.3.2 有理数乘法的运算律 副标题：北师大版七年级上册数学 配图：乘法运算律直观示意图（交换律 a×b=b×a、结合律 (a×b)×c=a×(b×c)、分配律 a×(b+c)=a×b+a×c）+ 简便运算场景 底部标注：授课教师 / 日期 第 2 页：学习目标 理解并掌握有理数乘法的交换律、结合律和分配律，确认运算律在有理数范围内的适用性 能熟练运用乘法运算律简化有理数乘法运算（如凑整、凑 1、去括号） 掌握多个有理数相乘的符号判定规律，提高运算效率 体会 “转化思想” 和 “简化思想”，感受数学法则的一致性和实用性 第 3 页：情境导入 —— 从 “整数乘法” 到 “有理数乘法” 左侧：回顾衔接（配小学知识图） 小学阶段：整数、小数乘法的运算律 交换律：a×b = b×a（例：3×5 = 5×3） 结合律：(a×b)×c = a×(b×c)（例：(2×7)×3 = 2×(7×3)） 分配律：a×(b+c) = a×b + a×c（例：4×(6+3) = 4×6 + 4×3） 右侧：问题链引导 这些运算律在有理数乘法中还成立吗？（含负数、分数、小数） 多个有理数相乘时，如何快速判定积的符号？ 运用运算律能解决哪些复杂的有理数乘法问题？ 结语：整数乘法的 “简便法宝” 在有理数乘法中依然生效！今天我们就验证这些运算律，并解锁它们的应用技巧！ 第 4 页：新知探究 1—— 乘法交换律（a×b = b×a） 上方：特例验证（分类型举例，配计算过程） 乘法类型 算式 1（a×b） 结果 算式 2（b×a） 结果 结论 正数 × 正数 3×4 12中间：规律总结（重点标注） 有理数乘法交换律：两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变 字母表示：a×b = b×a（a、b 为任意有理数） 下方：几何意义（辅助理解） 长方形面积：长 × 宽 = 宽 × 长，如长 5、宽 (-3)（方向相反），面积 5×(-3) = (-3)×5 = -15，验证交换律的合理性 第 5 页：新知探究 2—— 乘法结合律（(a×b)×c = a×(b×c)） 上方：特例验证（分类型举例，配计算过程） 同号结合：[(+2)×(+3)]×(+4) = 6×4 = 24；(+2)×[(+3)×(+4)] = 2×12 = 24 → 相等 异号结合：[(-2)×(+5)]×(-3) = (-10)×(-3) = 30；(-2)×[(+5)×(-3)] = (-2)×(-15) = 30 → 相等 含小数结合：[(+1.5)×(-2)]×(+4) = (-3)×4 = -12；(+1.5)×[(-2)×(+4)] = 1.5×(-8) = -12 → 相等 中间：规律总结（重点标注） 有理数乘法结合律：三个有理数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 字母表示：(a×b)×c = a×(b×c)（a、b、c 为任意有理数） 下方：核心作用 凑整简化：将能凑成整数、1 或 0 的因数先结合，减少计算量（例：先结合 25×4、125×8 等） 第 6 页：新知探究 3—— 乘法分配律（a×(b+c) = a×b + a×c） 上方：特例验证（分类型举例，配计算过程） 正数 ×(和)：2×[(+3)+(-5)] = 2×(-2) = -4；2×(+3) + 2×(-5) = 6 - 10 = -4 → 相等 负数 ×(和)：(-3)×[(+4)+(-2)] = (-3)×2 = -6；(-3)×(+4) + (-3)×(-2) = -12 + 6 = -6 → 相等 分数 ×(和)：(-1/2)×[(+6)+(-4)] = (-1/2)×2 = -1；(-1/2)×(+6) + (-1/2)×(-4) = -3 + 2 = -1 → 相等 逆用分配律：5×(-7) + 5×(-3) = 5×[(-7)+(-3)] = 5×(-10) = -50（简化同因数运算） 中间：规律总结（重点标注） 有理数乘法分配律：一个有理数与两个有理数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 字母表示：a×(b+c) = a×b + a×c（正向）；a×b + a×c = a×(b+c)（逆向） 拓展：分配律的推广（a×(b+c+d) = a×b + a×c + a×d） 示例：(-2)×[(+3)+(-5)+(+1)] = (-2)×(-1) = 2；(-2)×3 + (-2)×(-5) + (-2)×1 = -6 + 10 - 2 = 2 → 相等 第 7 页：核心技能 1—— 多个有理数相乘的符号规律 标题：多个因数相乘，符号快速判定！ 规律探究（配算式 + 符号分析） 算式（含负数个数） 负数个数（n） 积的符号 结果 规律总结 (-2)×(-3)×(+4)多个有理数相乘，先看是否有因数为 0，若有，积为 0； 若无因数为 0，积的符号由负数的个数决定：负数个数为偶数，积为正；负数个数为奇数，积为负； 积的绝对值等于所有因数绝对值的乘积。 口诀记忆 多个因数来相乘，先看有无零因数； 有零则积等于零，无零再看负因数； 偶数个负得正数，奇数个负得负数； 绝对值相乘定大小，符号绝对值相结合！ 第 8 页：核心技能 2—— 运算律的综合应用（巧算技巧） 标题：运算律巧算，四招搞定复杂乘法！ 核心技巧（配示例演示） 凑 1 法（利用倒数）：将互为倒数的因数先结合（积为 1） 示例：(-3/4)×(+8)×(-4/3) = [(-3/4)×(-4/3)]×8 = 1×8 = 8 凑整法：将能凑成整十、整百的因数先结合 示例：(+25)×(-17)×(-4) = [(+25)×(-4)]×(-17) = (-100)×(-17) = 1700 分配律正向（去括号简化）：a×(b+c) = a×b + a×c 示例：(-12)×[(1/4)+(-1/6)+(1/3)] = (-12)×(1/4) + (-12)×(-1/6) + (-12)×(1/3) = -3 + 2 - 4 = -5 分配律逆向（提取公因数）：a×b + a×c = a×(b+c) 示例：(-7)×(+5) + (-7)×(-3) + (-7)×(+2) = (-7)×[(+5)+(-3)+(+2)] = (-7)×4 = -28 第 9 页：核心应用 —— 运算律解决实际问题 标题：运算律让实际问题计算更高效！ 例题解析（配情境图） 购物问题：某超市促销，每件商品降价 3 元（记为 - 3 元），小明买了 2 件文具、3 本笔记本、1 支钢笔，共节省多少钱？ 解答：节省的总金额 = 每件节省金额 × 总件数 = (-3)×(2+3+1) = (-3)×6 = -18（元） 答：共节省 18 元（结果为负，对应 “节省” 的实际意义） 工程问题：某工程队 3 天修路，每天修的长度分别为 (+120 米)、(+150 米)、(+130 米)，若每米修路成本为 (-20 元)（成本为负），总施工成本是多少？ 解答：总长度 = 120+150+130=400（米），总成本 = (-20)×400 = -8000（元） 或用分配律：(-20)×120 + (-20)×150 + (-20)×130 = (-20)×(120+150+130) = -8000（元） 答：总施工成本为 8000 元 温度问题：某地区每天的气温变化量为 (-2℃)，连续 5 天的气温总变化量是多少？若第 6 天气温变化量为 (+3℃)，6 天的总变化量是多少？ 解答：5 天总变化量 = (-2)×5 = -10（℃）；6 天总变化量 = (-2)×5 + 3 = -10 + 3 = -7（℃） 答：5 天总变化量为下降 10℃，6 天总变化量为下降 7℃ 第 10 页：易错辨析 —— 运算律应用常见错误 标题：这些 “巧算陷阱” 要避开！ 分题展示（错误示例 + 纠正 + 理由） 错误 1：分配律漏乘（例：-2×(3+4) = -2×3 + 4 = -2） 纠正：-2×(3+4) = -2×3 + (-2)×4 = -6 - 8 = -14 理由：分配律要求 “分别相乘再相加”，不能漏乘后一个加数 错误 2：多个因数相乘符号判定错误（例：(-1)×(-2)×(-3)×(-4) = -24） 纠正：(-1)×(-2)×(-3)×(-4) = 24（负数个数 4 为偶数，积为正） 理由：多个因数相乘，符号由负数个数决定，偶数个负得正 错误 3：结合律破坏符号（例：(-3)×(4×(-5)) = (-3×4)×5 = -60） 纠正：(-3)×(4×(-5)) = (-3)×(-20) = 60 或 [(-3)×4]×(-5) = (-12)×(-5) = 60 理由：结合时不能随意改变因数的符号，需保持每个因数的原始符号 错误 4：逆向分配律提取符号错误（例：3×(-5) + 3×(-7) = 3×(5+7) = 36） 纠正：3×(-5) + 3×(-7) = 3×[(-5)+(-7)] = 3×(-12) = -36 理由：提取公因数后，括号内的加数符号需保持不变 第 11 页：互动练习 1—— 基础巧算题 用运算律计算下列各题： (-5)×(-8)×(-2) = ________（答案：-80） (+125)×(-3)×(-8) = ________（答案：3000） (-4)×[(1/2)+(-3/4)+(5/8)] = ________（答案：-1） 7×(-3) + 7×(-5) + 7×(+8) = ________（答案：0） 填空题： 运用乘法交换律：(-6)×(+9) = × 运用乘法结合律：[(-3)×(+4)]×(-5) = (-3)×[×] 运用分配律：(-5)×(a+b) = ________ + ________ 第 12 页：互动练习 2—— 提高题与应用题 复杂巧算题： (-1/3)×(+6)×(-9)×(-1/2) = ________（答案：-9） (-2023)×0×(-3.5)×(+1/7) = ________（答案：0） (-3)×(+4) - (-3)×(+6) + (-3)×(-2) = ________（答案：-12 + 18 + 6 = 12） 应用题： 问题：某公司 5 名员工的月奖金变化如下（单位：元，增加为正）：+200、-150、+300、-100、+250，若公司需按奖金总额的 10% 缴纳个人所得税（税率记为 - 10%），员工共需缴纳多少税？ 解答：奖金总额 = 200 - 150 + 300 - 100 + 250 = 500（元），应纳税额 = 500×(-10%) = -50（元） 答：员工共需缴纳 50 元税 第 13 页：实践活动 ——“运算律巧算大比拼” 活动准备：每组发放 5 道复杂乘法题（含多个因数、分数、小数，需用运算律巧算）、答题纸 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，积仍为0 情景导入 一级标题：黑体， 2 问题1 在小学里，我们都知道，数的乘法满足乘法交换律、乘法结合律和乘法对加法的分配律， 3×5=5×3 引入负数后，在有理数的乘法运算中，这三种运算律是否还能成立呢？ (3×5)×2=3×(5×2) 3×(5+2)=3×5+3×2 探究新知 问题2 我们知道两个有理数相乘，同号得正，异号得负，那么如果是超过两个有理数相乘呢？ 比如(-3)×5×(-2)，它的积的符号是什么呢? 探究新知 例1 计算： (4 )×5×(- 0.25) (2) (-) ×(-) × (-2) 解：(-4)×5×(- 0.25) = [-(4×5)]×(- 0.25) = (-20) ×(- 0.25) = +(20×0.25) = 5 =-1 解： 探究新知 问题1 对例1(1)式子进行改编，得到下面一些式子， 观察这些式子，判断它们的积的符号。 式子 积的符号 负因数的个数 4×5×(-0.25)×1 (-4)×(-5)×0.25×1 (-4)×(-5)×0.25×(-1) (-4)×(-5)×(-0.25)×(-1) (-4)×(-5)×(-0.25)×(-1)×0 负 1 正 2 负 3 正 4 0 4 探究新知 问题2 几个有理数相乘，因数都不为 0 时，积的符号怎样确定？有一个因数为 0 时，积是多少？ 几个不等于零的数相乘，积的符号由___________决定。 当负因数有______个时，积为负； 当负因数有______个时，积为负。 奇负偶正 几个数相乘，如果其中有因数 0 ，积等于________。 负因数的个数 奇数 偶数 0 探究新知 练一练 【课本P52 随堂练习 第1题】 1.计算： (1) ×(- ) ×(-) ； (2) (- )×(- ) ×0× ； 解: = 0 解: 探究新知 (3) ×(-1.2) ×(-) ； (4) (- )×(- )×(- ) 。 探究新知 有理数乘法的运算律 探究点2 问题1 下面有三组引入了负数的算式，请你计算它们的结果，验证乘法运算律的适用范围。 ① 5×(-6)=_____ (-6) ×5=_____ ② [(-3)×5]×(-2)=_____ (-3)× [5×(-2)]=_____ ③ 5×[3+(-7)]=_____ 5×3+5× (-7) =_____ 乘法的运算律在有理数范围内仍然成立。 -30 -30 30 30 -20 -20 探究新知 请你用字母表示乘法的相关运算律。 问题2 乘法交换律：_________________; 乘法结合律：_________________; 乘法对加法的分配律：_____________________。 (注意：这里a，b，c分别表示任一有理数。) a×b=b×a (a×b)×c=a×(b×c) a×(b+c) = a×b +a×c 探究新知 例2 计算： 探究新知 解： 　　在应用乘法对加法的分配律时，括号外的因数与括号内各项相乘，各项应包含前面的符号。 探究新知 解： 探究新知 下面是计算(+-)×24的两种解法。 问题3 比较两种解法，说说它们有什么区别？ 探究新知 练一练 【课本P52 随堂练习 第2题】 1.计算： 探究新知 探究新知 探究新知 例 计算： (1) 49×(-4) ×(-) ×(-)； (2) 3×(-11) ×(-) ×(-0.3)； (3) -9×62 。 探究新知 (1) 49×(-4) ×(-) ×(-) = -14 探究新知 (2) 3×(-11) ×(-) ×(-0.3) =-1×15 =-15 探究新知 (3) -9×62 = -620+2 = -618 探究新知 练一练 【课本P56 习题2.3 第7题】 1.请在下列括号里填写运算的依据： 10×(- )×( - + ) = (- )×10×( - + ) = (- )×[10×( - + )] = (- )×[10× +10×( )+10× ] = (- )× (25-12+1) = (- )×14 = -6 。 ( ) ( ) ( ) 乘法交换律 乘法结合律 乘法对加法的分配律 探究新知 知识点1 多个有理数相乘 1.［2025太原月考］若的运算结果为正数，则 内的数字 可以为( ) D A.2 B.1 C.0 D. 考试考法 24 2.计算 的结果是( ) B A. B.1 C. D. 考试考法 25 3.［教材习题 变式］3个有理数相乘，积为负数，则其中负因数有 ( ) D A.1个 B.2个 C.3个 D.1个或3个 考试考法 26 4.（12分）计算： （1） ； 解：原式 。 （2） ； 解：原式 。 （3） 。 解：原式 。 考试考法 27 知识点2 有理数的乘法运算律 5.在 中运用了( ) A A.乘法交换律、乘法结合律 B.乘法结合律、乘法对加法的分配律 C.乘法交换律、乘法对加法的分配律 D.三种乘法运算律 考试考法 28 6.在 的运算过程中，运用了( ) D A.加法结合律 B.乘法结合律 C.乘法交换律 D.乘法对加法的分配律 考试考法 29 7.写出下列运算中每一步所依据的运算律或法则： （第一步） （第二步） （第三步） 。 第一步：________________； 第二步：____________； 第三步：____________。 有理数乘法法则 乘法交换律 乘法结合律 考试考法 30 8.（16分）计算： （1） ； 解：原式 。 （2） ； 解：原式 。 考试考法 31 （3） ； 解：原式 。 （4） 。 解：原式 。 考试考法 32 9.［2025长沙期末］若，则 可以表示为 ( ) B A. B. C. D. 考试考法 33 10.［教材复习题 变式］绝对值小于4且大于1的所有整数的积是 ( ) D A.0 B.6 C. D.36 考试考法 34 11.如图，，两点在数轴上表示的数分别为， ，则下列式子不成立 的是( ) C A. B. C. D. 考试考法 35 12.［2025温州月考］从， ，0，3，5中任取三个数相乘，所得积 的最大值是____。 30 考试考法 36 13.（12分）计算： （1） ； 解：原式 。 （2） ； 解：原式 。 考试考法 37 （3） 。 解：原式 。 考试考法 38 14.（8分） 学习了有理数的乘法后，老师给同学们出 了这样一道题目： 计算 ，看谁算得又快又对。有两名同学的解法如下： 小明： 解：原式 ； 小军： 解：原式 。 （1）上面两种解法中，______的解法较好； 小军 考试考法 39 （2）你还有更好的解法吗？如果有，请把它写出来。 解：有，原式 。 考试考法 40 15.（4分） 在学习有理数的乘法时，李老师和全班39 名同学一起做了这样一个游戏：李老师将2 025这个数说给第一名同学， 第一名同学将2 025减去它的 的结果告诉第二名同学，第二名同学再将 听到的数减去它的 的结果告诉第三名同学，第三名同学再将听到的数 减去它的 的结果告诉第四名同学……照这样的方法，直到最后一名同 学将听到的数按此规律运算后的结果告诉李老师。你知道最后的结果是 多少吗？ 考试考法 41 解：由题意，可得最后的结果为 。 考试考法 42 有理数的乘法 因数中含0 因数中不含0 积为0 由负因数的个数确定，奇负偶正 乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律 乘法法则 乘法运算律 多个有理数相乘积的符号的确定 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ $