5.5.2 课时1 半角公式与积化和差、和差化积公式课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦半角公式、积化和差与和差化积公式，课堂导入先复习两角和差及二倍角公式，通过例题1从二倍角公式换元推导半角公式，再以例2用两角和差公式推导积化和差，进而换元得到和差化积，构建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以数学思维中的推理能力为核心，通过例题推导（如例1用二倍角公式转化，例2用两角和差公式相加与换元）培养逻辑推导能力，结合数学眼光中的抽象能力设计随堂小测覆盖判断、证明等题型，强化公式应用。学生可提升恒等变换能力，教师可直接利用清晰结构和典型例题实施教学。

5.5.2 课时1 半角公式与积化 和差、和差化积公式 作者编号：32006 学习目标 1. 能用二倍角的正弦、余弦、正切公式推导出积化和差、和差化积、半角公式. 2. 能用两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换. 作者编号：32006 复习回顾 两角和与差的正弦、余弦、正切公式: 倍角公式: 学习了和(差)角公式、二倍角公式以后，我们就有了进行三角恒等变换的新工具，从而使三角恒等变换的内容、思路和方法更加丰富. 作者编号：32006 例1 试以表示. 例题剖析 与有什么关系？ ？ 解：是的二倍角.在倍角公式中， 以代替，以代替，得： ， ∴. ① 在倍角公式中， 以代替，以代替，得： ， ∴. ② 作者编号：32006 将①②两个等式的左右两边分别相除，得： 例题剖析 例1的结果还可以表示为： ， cos， . 上述称之为半角公式，符号由所在象限决定. ∴. ① ∴. ② 作者编号：32006 新课学习 对半角公式的理解 （1）半角公式的正弦、余弦公式是由二倍角公式变形得到的. （2）半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需要知道的值及相应的条件，便可求出. 作者编号：32006 因为不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会存在所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式.这是三角恒等变换的一个重要特点. 新课学习 作者编号：32006 例题剖析 例2 求证： （1） sincos[sin(+)+sin()] （2） 这两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同？ ？ （1）证明:因为 ， ， 将以上两式的左右两边分别相加，得 +=2 即 sincos[sin(+)+sin()]. 化归思想 作者编号：32006 （2）证明:由(1)得 +=2. ① 设那么， 把的值代入①，即得 . 例题剖析 换元法 （2） 如果不用（1）的结果，如何证明？ ？ 作者编号：32006 证明：左边 = 右边. （2） 例题剖析 作者编号：32006 新课学习 1.积化和差公式： (1) (2) (3) (4) 作者编号：32006 新课学习 2.和差化积公式： (1) (2) (3) (4) 作者编号：32006 随堂小测 1、判断正误： （1）存在，使得. ( ) （2）对于任意，都不成立. （ ） （3）若是第一象限角，则. ( ) √ × 2、若（ ） A. B.- C. D. √ A 作者编号：32006 随堂小测 3、求证：. 证明：因为 又 所以. 作者编号：32006 随堂小测 4、已知，求的值. 解：由得. ∴， =， = 作者编号：32006 随堂小测 5、化简：. 解：原式 因为，所以，所以＜0. 所以原式. 作者编号：32006 方法提炼 利用半角公式求值的思路 （1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的二倍，则求解时常常借助半角公式来求解. （2）明范围：半角公式涉及符号问题，求解时务必根据角的范围，求出半角的范围. （3）选公式：涉及半角公式的正切时，常用；涉及正弦时，常利用，计算. （4）下结论：结合（2）求值. 作者编号：32006 化简三角函数式的基本思路 1. 常用方法： 异名函数化为同名函数、异角化同角、异次化同次，切弦互化，特殊角的三角函数与特殊值的互化等. 2. 最后结果应满足以下几点： ①能求值尽量求值；②三角函数名称尽量少；③项数尽量少；④次数尽量低；⑤分母、根号下尽量不含三角函数. 方法提炼 作者编号：32006 随堂小测 6.（1）求证： （2）求证： （1）证明:左边 = =2 =右边 ∴ 作者编号：32006 课堂总结 (2)左边 右边. 作者编号：32006 方法提炼 三角恒等式证明的五种常用方法 执因索果法 证明的形式一般化繁为简 左右归一法 证明左右两边都等于同一个式子 拼凑法 针对题设和结论之间的差异，有针对性的变形，以消除它们之间的差异，即化异求同 比较法 设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1” 分析法 从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立 作者编号：32006 半角公式 积化和差公式 (1) (2) (3) (4) (1) (2) (3) (4) 和差化积公式 课堂总结 作者编号：32006 $