5.5.2 第2课时 简单的三角恒等变换-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦三角恒等变换，核心内容包括辅助角公式、实际应用及综合问题。通过例题导入，先复习两角和差公式，引出辅助角公式作为学习支架，衔接三角函数化简与性质探究，构建完整知识脉络。 其亮点在于结合实际问题（如半圆内接矩形面积、喷泉水柱参数），用数学眼光抽象模型，通过转化与化归培养数学思维，分层评价设计助力教师教学。学生能提升运算与建模素养，教师可高效实施教学，落实核心素养培养。

　 第五章 单元学习十五　三角恒等变换 5.5.2　简单的三角恒等变换 第2课时　简单的三角恒等变换(二) 学习目标 1. 能够利用三角恒等变换对三角函数进行化简. 2. 能够利用三角恒等变换解决三角函数中的问题以及生活中的实际问题，提升数学运算和数学建模的核心素养. 任务一　辅助角公式 1 任务二　三角恒等变换的实际应用 2 任务三　三角恒等变换与三角函数的综合问题 3 随堂评价 4 内容索引 课时分层评价 5 任务一　辅助角公式 返回 (1)sin －cos ＝__________； 典例1 － sin －cos ＝2＝2 ＝2sin＝－2sin ＝－. (2)(双空题)函数f(x)＝sin＋cos的最小正周期是______，最大值是_____. 　 2π f(x)＝ ＝ ＝sin＝sin，所以函数f(x)的最小正周期为2π，最大值为. 规律方法 1.辅助角公式：asin x＋bcos x＝cos(x－θ)(其中tan θ＝)也是常用的化简形式. 2.辅助角公式其实质是两角和差公式的逆用，关键是把常数 化为三角函数. 3.利用辅助角公式将三角函数统一为复角的一种三角函数，不仅可利用其化简求值，亦可进一步研究函数的基本性质. 对点练1．函数f(x)＝5cos x＋12sin x的最小值为______. f(x)＝13＝13sin(x＋φ)(其中tan φ＝)，所以f(x)min＝－13. －13 返回 任务二　三角恒等变换的实际应用 返回 (链教材P227例10)如图，半圆的直径AB＝2，O 为圆心，C，D为半圆上的点. (1)请你确定点C的位置，使△ABC的周长最大，并说 明理由； 解：如图所示，当C在半圆中点位置时，△ABC的周长最大.理由如下：因为点C在半圆上，且AB是圆的直径，所以∠ACB＝， 即△ABC是直角三角形. 设BC＝a，AC＝b，∠ABC＝α， 又AB＝2，则a＝2cos α，b＝2sin α， 典例2 △ABC的周长＝a＋b＋2＝2cos α＋2sin α＋2＝2(cos α＋sin α)＋2＝2sin＋2. 因为0＜α＜，所以＜α＋， 所以当α＋＝，即α＝时，△ABC的周长取得最大值2＋2，此时C是半圆的中点. (2)已知AD＝DC，设∠ABD＝θ，当θ 为何值时，四边形ABCD的周长最大？并求出最大值. 解：因为AD＝DC，所以∠ABD＝∠DBC＝θ， 所以AD＝DC＝ABsin θ＝2sin θ， CB＝ABcos 2θ＝2cos 2θ. 设四边形ABCD的周长为p， 则p＝AD＋DC＋CB＋AB＝4sin θ＋2cos 2θ＋2＝4sin θ＋2(1－2sin2θ)＋2＝5－4(sin θ－)2. 显然θ∈(0，)，所以当θ＝时，p取得最大值5. 规律方法 1.解题的关键是合理地引入自变量，本题引入辅助角α，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题. 2.求解过程中注意三点：(1)充分借助平面几何性质，寻找数量关系；(2)注意实际问题中变量(角α)的范围；(3)重视三角函数有界性的影响. 对点练2．有一块以O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另外两点B，C落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大面积是多少？ 解：如图所示，设∠AOB＝θ， 则AB＝asin θ，OA＝acos θ. 设矩形ABCD的面积为S，则S＝2OA·AB， 所以S＝2acos θ·asin θ＝a2·2sin θcos θ＝a2sin 2θ. 因为θ∈，所以2θ∈(0，π). 因此，当2θ＝，即θ＝时，Smax＝a2. 这时点A，D到点O的距离为a， 矩形ABCD面积的最大值为a2. 返回 任务三　三角恒等变换与三角函数的综合问题 返回 已知函数f(x)＝cos·cos，g(x)＝sin 2x－. (1)求函数f(x)的最小正周期； 解：f(x)＝＝cos2x－sin2x ＝－＝cos 2x－， 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. 典例3 (2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合. 解：h(x)＝f(x)－g(x)＝cos 2x－sin 2x＝cos ， 当2x＋＝2kπ(k∈Z)时，h(x)有最大值， 此时x的取值集合为{x｜x＝kπ－，k∈Z}. 规律方法 应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤 对点练3．已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； 解：由已知，得f(x)＝－ ＝－cos 2x ＝sin 2x－cos 2x＝sin， 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)求f(x)在区间上的最大值和最小值. 解：因为x∈，所以2x－∈， 所以f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，且f ＝－，f＝－，f＝， 所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为－. 课堂小结 任务再现 (1)辅助角公式.(2)三角恒等变换的实际应用.(3)三角恒等变换与三角函数的综合问题 方法提炼 辅助角公式法、转化与化归法、数学建模 误区警示 易忽视实际问题中自变量的取值范围 返回 随堂评价 返回 1.已知sin x＋cos x＝，则cos等于 A. B. C. D. √ 因为sin x＋cos x＝2sin＝，所以sin＝，则cos＝sin＝.故选B. 2.若函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x，则 A.函数f(x)的最小正周期为2π B.函数f(x)的最大值为2 C.函数f(x)的一个对称中心为(，0) D.函数f(x)在(π，)上单调递增 √ f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin，所以函数f(x)的最小正周期为π，函数f(x)的最大值为，故A、B错误；由f＝sin＝≠0，故C错误；由π＜x＜，得＜2x＋，可知函数f(x)在上单调递增，故D正确.故选D. 3.函数f(x)＝3sin x＋5sin的最大值是______. f(x)＝3sin x＋5＝sin x＋cos x＝ sin(x＋φ)＝7sin(x＋φ)，所以f(x)max＝7. 7 4.当x∈时，关于x的方程sin x－cos x－m＝0有解，则实数m的取值范围为__________. 由题意知，关于x的方程sin x－cos x－m＝0， 即sin x－cos x＝m在x∈上有解， 则函数y＝sin x－cos x＝2sin的图象 与直线y＝m在上有交点，如图所示， 由图象易得，－2≤m≤. [－2，] 返回 课时分层评价 返回 1.已知θ是钝角，那么下列各值中sin θ－cos θ能取到的值是 A. B. C. D. 因为sin θ－cos θ＝sin，θ是钝角，即＜θ＜π，＜θ－，所以1＜sin≤，故sin θ－cos θ能取到的值是.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.函数f(x)＝sin x＋cos x的一个对称中心是 A. B. C. D. √ f(x)＝sin x＋cos x＝sin ，四个选项中只有当x＝－时，f＝0.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.若＜α＜π，则｜cos α｜＋＝ A.0 B.2cos α C.sin D.cos √ 因为＜α＜π，所以｜cos α｜＋＝－cos α＋＝－cos α＋｜sin α｜＝sin α－cos α＝sin.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.等于 A. B.1 C. D. ＝＝＝＝. 故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)设函数f(x)＝(sin x＋cos x)2－cos 2x，则下列结论正确的是 A.f(x)的最大值为＋1 B.f(x)的一个零点为x＝ C.f(x)的最小正周期为π D.y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f(x)＝(sin x＋cos x)2－cos 2x＝1＋sin 2x－cos 2x＝1＋sin，所以f(x)的最小正周期为π，f(x)的最大值为＋1，故A、C正确；当x＝时，sin＝1，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，故D正确；因为f＝1≠0，所以x＝不是零点，故B错误.故选ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知≤α≤π，π≤β≤，sin 2α＝，cos(α＋β)＝－，则 A.cos α＝－ B.sin α－cos α＝ C.β－α＝ D.cos αcos β＝－ √ √ 因为≤α≤π，所以≤2α≤2π.又sin 2α＝＞0，故≤2α≤π，≤α≤，cos 2α＝－＝2cos2α－1，所以cos2α＝，cos α＝，故A错误；(sin α－cos α)2＝1－sin 2α＝，又≤α≤，所以sin α≥cos α，所以sin α－cos α＝，故B正确；因为≤α≤，π≤β≤，所以≤α＋β≤2π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又cos(α＋β)＝－＜0，所以≤α＋β≤，故sin(α＋β)＝－，所以cos(β－α)＝cos[(α＋β)－2α]＝－×＋×＝－.又因为≤α＋β≤，－π≤－2α≤－，所以≤β－α≤π，β－α＝，故C正确；由cos(α＋β)＝－，得cos αcos β－sin αsin β＝－.又cos(β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－，两式联立得cos αcos β＝－，故D错误.故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.(双空题)y＝3sin x＋3cos x的最小正周期是_____，最大值是____. y＝3sin x＋3cos x＝6＝6sin.所以函数的最小正周期T＝2π，最大值为6. 　6 2π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若sin x＋cos x＝4－m，则实数m的取值范围是__________. sin x＋cos x＝2＝2＝2cos(x－)＝4－m.因为－1≤cos≤1，所以－2≤4－m≤2，所以2≤m≤6. [2，6] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.喷泉是流动的艺术，美妙绝伦的喷泉给人以无限的享受，若不考虑空气阻力，当喷泉水柱以与水平方向夹角为α的速度v喷向空气中时，水柱在水 平方向上移动的距离为D＝sin 2α，能够达到的最高高度为H＝(1－cos 2α)(如图所示，其中g为重力加速度).若tan α＝，则H与D的比值为____. ＝＝＝＝＝tan α＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(10分)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x. (1)求函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离； 解：f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x ＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin＋1. 函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离为＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求函数f(x)在区间上的最大值与最小值，以及此时x的取值. 解：f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x ＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin＋1. 因为x∈，所以2x＋∈，所以当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值为3；当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值为0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)已知cos α＝，则＝ A. B. C. D.－ √ √ 由cos α＝，得sin α＝±.＝ ＝＝＝2(sin α＋cos α)，所以当sin α＝时，原式＝；当sin α＝－时，原式＝－.故选CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.在北京召开的国际数学家大会的会标是以我国古代 数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图由四个全等的直 角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所 示).如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25， 直角三角形中较小的锐角为θ，则cos 2θ＝________. 由题意得5cos θ－5sin θ＝1，θ∈，所以cos θ－sin θ＝.又(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2，所以cos θ＋sin θ＝，所以cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝. . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.如图，扇形OAB的半径为1，圆心角为，若P为上异 于A，B的点，且PQ⊥OB交OB于点Q，当△POQ的面积大于 时，∠POQ的取值范围为__________. 设∠POQ＝θ，则PQ＝sin θ，OQ＝cos θ，所以S△POQ＝sin θcos θ＝sin 2θ.由sin 2θ＞，得sin 2θ＞.又2θ∈(0，π)，所以＜2θ＜，则＜θ＜，所以∠POQ的取值范围为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(10分)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2sin2x－1. (1)求f(x)在区间［0，］上的值域； 解：f(x)＝2sin xcos x＋2sin2x－1 ＝sin 2x－cos 2x＝2sin. 因为x∈，所以－≤2x－，所以－≤sin≤1. 故f(x)在区间上的值域为[－1，2]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若f(α)＝－，且α∈［0，］，求cos 2α的值. 解：由f(α)＝－， 知sin＝－＜0. 又因为－≤2α－， 所以cos＝. 故cos 2α＝cos ＝cos cos －sinsin ＝－×＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)如图所示，有一块正方形的钢板ABCD，其中一个 角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板EFGH，其 面积是原正方形钢板面积的三分之二，则α＝______. 设正方形钢板的边长为a，截后的正方形边长为b，则＝，＝＝.又a＝GC＋CF＝bsin α＋bcos α，所以sin α＋cos α＝，所以sin＝.因为0＜α＜，＜α＋，所以α＋＝，则α＝. 或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(15分)如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆 形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花，若BC＝a，∠ABC＝θ，设△ABC 的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2，当a固定，θ变化时，求的最小值. 解：设QR＝x，则在Rt△BPQ中，BQ＝，在Rt△CSR中，RC＝xtan θ. 由＋x＋xtan θ＝a， 解得x＝，所以QR＝. 所以S1＝AB·AC＝acos θ·asin θ ＝a2sin θcos θ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 S2＝QR2＝， 所以＝＝ ＝sin 2θ＋1. 令t＝sin 2θ，因为0＜θ＜，所以0＜2θ＜π. 则t＝sin 2θ∈(0，1]. 令g(t)＝t＋1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设t1，t2∈(0，1]，且t1＜t2，则g(t1)－g(t2)＝(t1＋1)－(t2＋1)＝(－)＋(t1－t2)＝. 由t1，t2∈(0，1]，得4－t1t2＞0.由t1＜t2，得t2－t1＞0. 于是g(t1)－t(t2)＞0，所以g(t1)＞g(t2). 所以函数g(t)在(0，1]上递减， 因此当t＝1时，g(t)有最小值，g(t)min＝g(1)＝， 此时sin 2θ＝1，θ＝， 所以当θ＝时，取得最小值，最小值为. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 第五章 三角函数 返回 $