2.3.1 有理数的乘法 课件 2025-2026学年北师大 版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦有理数的乘法法则及倒数概念，以甲、乙水库水位变化为情景导入，通过问题链引导学生从负数与正数相乘入手，逐步探究负数与负数相乘的规律，结合加法推导乘法法则，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以生活情境激发数学眼光，通过问题链引导学生经历法则推导的数学思维过程，如结合乘法分配律推导负数相乘规律，培养推理意识。采用探究式教学，例题融入实际应用，小结系统梳理知识，助力学生发展运算能力与应用意识，也为教师提供了结构化的教学方案。

北师大（2024）版数学七年级上册 第二章 有理数及其运算 2.3.1 有理数的乘法 甲水库 乙水库 甲水库的水位每天升高3厘米，乙水库的水位每天下降3厘米，4天后甲、乙水库水位的总变化量各是多少? 第 1 页：封面 标题：2.3.1 有理数的乘法 副标题：北师大版七年级上册数学 配图：数轴上乘法的直观演示（如 3×2=6 的位移叠加）+ 生活中乘法场景（分组计数、重复增减） 底部标注：授课教师 / 日期 第 2 页：学习目标 理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法法则（符号判定 + 绝对值运算） 能熟练进行有理数乘法运算（含正数 × 正数、正数 × 负数、负数 × 负数、含 0 的乘法） 会用数轴和实际情境解释乘法结果的合理性，深化数形结合思想 体会乘法与加法的内在联系，感受数学法则的系统性 第 3 页：情境导入 —— 从 “加法简便运算” 到 “有理数乘法” 左侧：生活实例（配示意图 + 加法算式） 重复增加：小明每天存 3 元（+3），4 天一共存多少元？（3+3+3+3=12）→ 可表示为 3×4=12 重复减少：小明每天花 3 元（-3），4 天一共花多少元？（-3+(-3)+(-3)+(-3)=-12）→ 可表示为 (-3)×4=-12 反向重复：小明每天存 3 元（+3），4 天前他比现在少多少元？（逆向思考：-（3+3+3+3）=-12）→ 可表示为 3×(-4)=-12 反向减少：小明每天花 3 元（-3），4 天前他比现在多多少元？（逆向思考：3+3+3+3=12）→ 可表示为 (-3)×(-4)=12 右侧：问题链引导 正数 × 正数、正数 × 负数、负数 × 负数的结果符号有什么规律？ 有理数乘法的结果，符号和绝对值分别如何确定？ 0 与有理数相乘的结果是什么？ 结语：有理数乘法是 “相同有理数相加” 的简便运算，今天我们就通过特例探究，解锁它的统一法则！ 第 4 页：新知探究 1—— 有理数乘法法则的提炼（分类型特例） 标题：从特例中找规律，提炼乘法法则！ 分类型探究（配算式 + 结果 + 符号分析） 乘法类型 实例算式 结果 符号规律总结 绝对值规律总结 正数 × 正数 3×4=？（3+3+3+3） 12 同号得正（正 × 正 = 正） 绝对值相乘（3×4=12） 正数 × 负数 3×(-4)=？（-3-3-3-3） -12 异号得负（正 × 负 = 负） 绝对值相乘（3×4=12） 负数 × 正数 (-3)×4=？（-3-3-3-3） -12 异号得负（负 × 正 = 负） 绝对值相乘（3×4=12） 负数 × 负数 (-3)×(-4)=？（逆向加法） 12 同号得正（负 × 负 = 正） 绝对值相乘（3×4=12） 任何数 ×0 5×0=？、(-6)×0=？、0×0=？ 0 ——（结果恒为 0） ——（结果恒为 0） 法则总结（重点标注，红色字体） 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 任何数与 0 相乘，都得 0； 互为倒数的两数相乘得 1（补充：乘积为 1 的两个数互为倒数，如 2×(1/2)=1，(-3/4)×(-4/3)=1）。 口诀记忆 有理数乘法要记牢，符号绝对值分开算； 同号得正异号负，绝对值相乘错不了； 任何数乘 0 都得 0，倒数相乘得 1 要记好！ 第 5 页：核心技能 1—— 有理数乘法的基本运算（分步骤演示） 标题：乘法运算三步走，符号绝对值不混淆！ 运算步骤（配示例：(-5)×(-3)、(-4)×6、7×(-2.5)、0×(-8)） 定符号：根据法则判断结果的符号（同号正、异号负）； 算绝对值：将两个数的绝对值相乘； 写结果：符号与绝对值组合，得到最终结果。 分类型示例解析 负数 × 负数（同号）：(-5)×(-3) 定符号：负 × 负 = 正 → 符号为 “+”； 算绝对值：5×3=15； 写结果：+15 → 15。 负数 × 正数（异号）：(-4)×6 定符号：负 × 正 = 负 → 符号为 “-”； 算绝对值：4×6=24； 写结果：-24。 正数 × 小数（异号）：7×(-2.5) 定符号：正 × 负 = 负 → 符号为 “-”； 算绝对值：7×2.5=17.5； 写结果：-17.5。 含 0 乘法：0×(-8) 直接得结果：0（任何数 ×0=0）。 即时小练习 (+6)×(+2)=________ 2. (-3)×(+5)=________ 3. (-7)×(-4)=________ (+8)×(-1.2)=________ 5. 0×(+99)=________ 6. (-5/6)×(-6/5)=________ 第 6 页：核心技能 2—— 数轴解释有理数乘法（数形结合） 标题：数轴是乘法的 “直观验证工具” 示例演示（配动态数轴图） 例题：用数轴表示 3×(-2) 的意义并验证结果 分析：3×(-2) 表示 “3 个 - 2 相加”，或 “从原点出发，沿负方向移动 2 个单位，重复 3 次”。 步骤： 画标准数轴，标注原点、正方向、单位长度； 第一次移动：从原点沿负方向走 2 个单位，到达 - 2； 第二次移动：从 - 2 沿负方向再走 2 个单位，到达 - 4； 第三次移动：从 - 4 沿负方向再走 2 个单位，到达 - 6； 验证：3×(-2)=-6，与数轴最终位置一致。 拓展验证：(-2)×(-3) 分析：(-2)×(-3) 表示 “反向重复 3 次 - 2 的移动”，即沿正方向移动 2 个单位，重复 3 次，最终到达 6，验证 (-2)×(-3)=6。 第 7 页：核心应用 —— 有理数乘法的实际问题 标题：生活中的乘法，用法则轻松解决！ 例题解析（配情境图） 温度变化问题：某地区海拔每升高 100 米，气温下降 0.6℃（记为 - 0.6℃），海拔升高 500 米，气温下降多少℃？ 解答：升高 500 米是 100 米的 5 倍，下降温度为 (-0.6)×5=-3（℃） 答：气温下降 3℃（结果为负，对应 “下降” 的实际意义）。 收支问题：小明每天消费 5 元（记为 - 5 元），一周（7 天）的总消费是多少元？ 解答：(-5)×7=-35（元） 答：一周总消费 35 元（结果为负，对应 “消费” 的实际意义）。 方向问题：一辆汽车向西行驶，速度为 60 千米 / 时（向西为负，记为 - 60 千米 / 时），3 小时后汽车的位置相对于起点的位移是多少？ 解答：(-60)×3=-180（千米） 答：位移为 - 180 千米，即汽车在起点西方 180 千米处。 解题步骤： 用正负数表示实际量（确定正方向，明确变化量的符号）； 列出乘法算式（相同变化量的重复次数 × 单次变化量）； 按法则计算（定符号→算绝对值→写结果）； 结合实际意义解释结果（符号对应变化方向，数值对应变化大小）。 第 8 页：易错辨析 —— 有理数乘法常见错误 标题：这些 “符号陷阱” 要避开！ 分题展示（错误示例 + 纠正 + 理由） 错误 1：符号判定错误（例：(-3)×(-4)=-12） 纠正：(-3)×(-4)=12 理由：同号两数相乘得正，不能误记为异号得正。 错误 2：绝对值计算错误（例：(-2.5)×4=-8） 纠正：(-2.5)×4=-10 理由：绝对值相乘是 2.5×4=10 情景导入 (-4) + (-4) + (-4) = (-4) × 3 = -12 ( cm )。 问题1 若乙水库的水位每天下降 4 cm，预计经过 3 天乙水库水位的总变化量是多少？ 探究新知 结合问题1，你认为3×(-4)的结果应该是多少？ 问题2 (-3)×(-4)呢？ 3× (-4) = (-4) × 3 = -12 (有理数乘法满足交换律) (-3)× (-4)+ (-3) × 4 = (-3)×[(-4) + 4 ] = (-3)×0 = 0 (-3)× (-4) =- [(-3) ×4] = 12 (有理数乘法满足乘法对加法的交换律) 探究新知 . 问题3 请你仿照上面的方法说明 (-2)×(-5)=10？ (-2) ×5 =(-2) + (-2) + (-2) + (-2) + (-2) = -10 (-2)×(-5) + (-2) ×5 =(-2) ×[(-5) +5] = (-2) ×0 = 0 (-2)×(-5) =-[(-2) ×5] =10 探究新知 再写一些算式进行计算。你能发现什么规律？ 同号两数相乘得正数，并把绝对值相乘； 异号两数相乘得负数，并把绝对值相乘； 任何数与0相乘，都得0。 . 问题4 探究新知 有理数乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与 0 相乘，积仍为 0。 . 探究新知 例1 计算： (1) 6×(-1) ； (2) (- 4) × 5； (3) (-5) ×(-7)； (4) (-) ×(-)。 . 解：(1) 6×(-1)=- (6×1) = - 6 (2) (- 4) × 5=- (4×5) = - 20 (3) (-5) ×(-7) =+ (5×7) = 35 (4) = 1 探究新知 观察例题(1)中的因数和结果，你有什么发现? 问题5 一个数乘-1，所得的积就是它的相反数。 探究新知 观察例题(4)中的因数和结果， 猜测两个因数的关系? 问题6 该式两个数的乘积为1，可能是倒数关系。 探究新知 倒数 如果两个有理数的乘积为 1，那么称其中的一个数是另一个的倒数，也称这两个有理数互为倒数。 . 探究新知 （1）若 a ≠ 0，则 a 的倒数为 ，0 没有倒数； （2）互为倒数是对两个数而言的，单独一个数无所谓倒数。若 a，b 互为倒数，则 ab = 1；反之，若 ab = 1，则 a，b 互为倒数。 . 探究新知 例 用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负。登山队攀登一座山峰，每登高1 km 气温的变化量为-6 ℃，登高3 km后，气温有什么变化? 解：(-6)×3=-18( ℃) 因此，登高3 km后，气温下降18 ℃。 探究新知 知识点1 有理数的乘法法则 1.计算： （1） ___ ____； （2）__ __ ____； （3）___ ____； （4） ___。 5 10 - 56 0 考试考法 14 2.［2024吉林中考］若的运算结果为正数，则 内的数字可以 为( ) C A.2 B.1 C.0 D. 考试考法 15 3.计算 的结果是( ) C A. B.10 C. D.5 考试考法 16 4.（12分）计算： （1） ； 解：原式 。 （2） ； 解：原式 。 （3） ； 解：原式 。 （4） 。 解：原式 。 考试考法 17 知识点2 倒数 5.因为,所以5的倒数是__；因为,所以 的倒数 是____。 考试考法 18 6.下列互为倒数的是( ) A A.3和 B.和2 C.3和 D.和 考试考法 19 7.若,互为倒数，且满足，则 的值为( ) C A. B. C.2 D.4 考试考法 20 8. 若有理数的相反数是10，则 的倒数是( ) D A.10 B. C. D. 考试考法 21 9.［教材习题变式］已知两个有理数，，如果 且 ，那么( ) D A., B., C.，同号 D.， 异号，且正数的绝对值较大 考试考法 22 10.已知， ，若 ，则 的值为_______。 6或 考试考法 23 11.［教材问题引入变式］某水库的水位近期平均每天下降 （记下降为负），经过6天后水位的变化情况可用算式___________表示， 其计算结果为______，可知水位______了____ 。 下降 1.8 考试考法 24 有理数的乘法 有理数 乘法法则 方法二：同级运算，从左向右，依次运算. 如果两个有理数的乘积为1，那么称其中的一个数是另一个数的倒数，也称这两个有理数互为倒数. 任何数与0相乘，积仍为0. 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 倒数 多个有理数相乘： 方法一：先确定积的符号，再把绝对值相乘. 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ $