3.4一元一次方程的应用（几何问题专练） 2025-2026学年湘教版数学七年级上册

3.4一元一次方程的应用（几何问题专练） 一、单选题 1．一根铁丝剪下的比全长的多1米，余3米，这根铁丝原长（      ）米． A．2 B．3 C．8 D．4 2．如图中的长方形被分割成6个正方形，已知中央小正方形的面积是16平方厘米，求原来长方形的面积（   ） A．2277 B．2288 C．2299 D．2300 3．如图，数轴上有A，B，C，D四个整数点（即各点均表示整数），且，若A，D两点所表示的数分别是和3，则线段的三等分点所表示的数是（　　） A． ， B．， C． ， D．， 4．长方形的周长为，长是宽的两倍多，设宽为，依题意列方程，下列正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在长方形中，，，点是上的一点，且．点从点出发，以的速度沿点匀速运动，最终到达点．设点运动时间为，若三角形的面积为，则的值为（   ） A．或 B．或或 C．或 D．或或 6．如图，在长为，宽为的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个完全相同的小长方形花圃（阴影部分），则小长方形花圃的长和宽分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 7．【找规律】用小棒摆正方形（如图），按照图形的变化规律，用31根小棒可摆出（    ）个正方形． A．10 B．11 C．9 D．12 8．如图，数轴上（每格表示一个单位长度）点A，B，C，D对应的整数分别为a，b，c，d，已知，则数轴上原点的位置在（   ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 9．如图，在大长方形（是宽）中放入6个长，宽都相同的小长方形，求小长方形的宽．解决这个问题时可设．小宇说：根据小长方形的长相等可列方程；小颖说：根据大长方形的宽相等可列方程．则小宇和小颖的说法正确的是（    ） A．小宇、小颖都正确 B．小宇、小颖都不正确 C．小宇正确，小颖不正确 D．小宇不完全正确，小颖正确 10．对于数轴上的三点，给出如下定义：若点P在线段上，且点P与A，B两点的距离恰好满足2倍关系时，即或，则称点P是A，B两点的“2倍点”．如图，若点A以每秒1个单位长度的速度从表示数的点向右运动，点B以每秒4个单位长度的速度从表示数4的点向右运动，若点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，三个点同时出发，设出发t秒后，若点P恰好是点A，B的“2倍点”，则t的值是（   ） A．2 B．1 C．2或 D．或1 二、填空题 11．用一根长36米的铁丝围成一个长方形，使它的长是宽的3倍，长方形的宽是多少米？设长方形的宽为x米，则可列方程为 ． 12．用长的铁丝围成一个长方形，该长方形的长比宽多，则长方形的面积为 ． 13．如图，将一个长方形分成六个正方形，其中正方形A的边长为4，且A，C边长相等，D，E，F边长相等，则该长方形的周长为 ． 14．已知：如图，线段，点P绕着点O以的速度逆时针旋转一周后停止，同时点Q沿直线自点B向点A运动，若点P，Q两点能相遇，则点Q运动的速度为 ． 15．如图，在长方形中，，，点是上一点，且，点从点出发，以的速度沿匀速运动，最终到达点．设点的运动时间为，若的面积为，则的值为 ．    三、解答题 16．小方家的住房户型呈长方形，平面图如图（单位：米），现准备铺设地面．三间卧室铺设木地板，其他区域铺设地砖． (1)求的值； (2)铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米（用含的代数式表示）？ 17．将长为的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为． (1)若有四张白纸按如图所示方法粘合起来，那粘合后的总长度为______； (2)猜想：张白纸粘合后的总长度为______（用含的代数式表示）； (3)当粘合后的总长度为时，此时用了多少张白纸？ 18．数轴上互不重合的三个点，，表示的数分别为，，，如果是的倍，那么就称点是点关于点的“倍关联点”．如图所示，点，点表示的数分别是，4． (1)点是点关于原点的“倍关联点”，则_____； (2)点是点关于点的“2倍关联点”，求点表示的数； (3)点，表示的数分别是，，点，不与点，重合，若点是点关于点的“倍关联点”，且，则点是点关于点的“_____倍关联点”（用含的代数式表示）． 19．用内径为90毫米的圆柱形玻璃杯（已盛满水）向一个底面是边长为125毫米的正方形、高为81毫米的长方体铁盒内倒水，当铁盒装满水时，玻璃杯中水的高度下降了多少？（结果保留） 20．【观察思考】如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”， 【规律发现】 （1）第⑥个图案中“●”的个数为 ； （2）第①个图案中“○”的个数可表示为，第②个图案中“○”的个数可表示为，第③个图案中“○”的个数可表示为，第④个图案中“○”的个数可表示为，…，第个图案中“○”的个数可表示为______； 【规律应用】 （3）按照此规律继续摆下去，第个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《3.4一元一次方程的应用（几何问题专练）2025-2026学年湘教版数学七年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D B C A A D C D 1．C 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，设这根铁丝原长为x米，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设这根铁丝原长为x米， 根据题意得： 解得：， ∴这根铁丝原来长8米． 故选：C． 2．B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据图形正确列方程是解题关键．由题意可知，中央小正方形的边长为4厘米，正方形的边长为厘米，则正方形的边长为厘米，正方形的边长为厘米，正方形的边长为厘米，根据长方形的对边相等列方程，求出，进而得出原来长方形的长和宽，即可得解． 【详解】解：已知中央小正方形的面积是16平方厘米，则中央小正方形的边长为4厘米， 设正方形的边长为厘米， 则正方形的边长为厘米，正方形的边长为厘米，正方形的边长为厘米， 那么， 解得：， 则原来长方形的长为，宽为， 即原来长方形的面积为， 故选：B 3．D 【分析】本题考查实数与数轴，设，根据题意可得，解得，再求出，再由，分别求出的三等分点表示的数为或即可． 【详解】解：设， ∵， ∴，， ∴， 解得， ∴，，， ∴B点表示的数是，C点表示的数是1， ∴， ∵， ∴的三等分点表示的数为或， 故选：D． 4．B 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．设宽为，则长为，然后根据长方形的周长宽长列出方程即可． 【详解】解：设宽为，则长为， 由题意可得：， 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了一元一次方程的运用，三角形面积公式，列代数式，分类讨论等，根据题意分下列三种情况讨论，如图，当点在上，即时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可；如图，当点在上，即时，由 建立方程求出其解即可；如图，当点在上，即时，由建立方程求出其解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，当点在上，即时， ∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， ∴； 如图，当点在上，即时， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 如图，当点在上，即时，， ∴， 解得：（舍去）， 综上所述，当或时，的面积会等于， 故选：． 6．A 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，根据2个宽一个长，两个长一个宽，再建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得：2个宽一个长，两个长一个宽， ∵小长方形花圃的长是， ∴小长方形花圃的宽是或， ∴， 解得：， ∴， ∴小长方形花圃的长和宽分别是，； 故选：A． 7．A 【分析】本题考查图形类规律探索，一元一次方程的应用，根据所给图形找到规律是解题的关键． 由图形可得1个正方形需要4根小棒，2个正方形需要7根小棒，每多一个小正方形，则多出3根小棒，得到个正方形需要根小棒，则，解方程即可． 【详解】解：第一个图形1个正方形需要4根小棒； 第二个图形2个正方形需要7根小棒； 第三个图形3个正方形需要10根小棒； 第四个图形4个正方形需要13根小棒； 则第个图形有个正方形需要根小棒， ∴当时， 解得， ∴可摆出10个正方形， 故选：A． 8．D 【分析】本题考查了数轴，一元一次方程，解题的关键是根据建立等式求解． 【详解】解：设表示的数为，则，，分别表示， ， 解得：，即， 则数轴上原点的位置在， 故选：D． 9．C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据小长方形的长相等或大长方形的宽相等，即可得出关于x的一元一次方程，据此即可解答． 【详解】解：依题意找小长方形的长作为相等关系得：或找大长方形的宽做相等关系得． 所以小宇正确，小颖不正确． 故选：A． 10．D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，根据点恰好是点，的“2倍点”，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得：或， 解得：或， 的值为或1． 故选：D． 11． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，先表示出长方形的长，再根据长方形周长公式列方程即可． 【详解】解：设长方形的宽为x米，则长方形的长为米， 由题意得，， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了几何问题(一元一次方程的应用)，设长方形的长为x，则宽为，根据题意得：，即可求解； 【详解】解；设长方形的长为x，则宽为， 根据题意得：， 解得：， ∴， 故答案为： 13．36 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设正方形的边长为，则正方形、的边长为，正方形的边长为，根据长方形的对边相等，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设正方形的边长为，则正方形、的边长为，正方形的边长为， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴该长方形的周长为． 故答案为：． 14．6或2/2或6 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用及角的和差关系，熟练掌握一元一次方程的应用及角的和差关系是解题的关键． 设点P绕着点O以的速度逆时针旋转一周与线段交于另一点为点C，如图，设点Q的速度为，由题意可分两种情况：①当点P、Q相遇在点C时，则有相遇时间为，进而可求点Q的速度，②当相遇在点A时，则相遇时间为，相遇路程则为，进而可求点Q的速度． 【详解】解：设点P绕着点O以的速度逆时针旋转一周与线段交于另一点为点C，如图， 设点Q的速度为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴①当点P、Q相遇在点C时，相遇时间为， ∴， 解得：； ②当相遇在点A时，相遇时间为， ∴，解得：， 综上所述：点P，Q两点能相遇，点Q运动的速度为或． 故答案为：2或6． 15．或 【分析】分下列三种情况讨论，如图1，当点P在上，即时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可；如图2，当点P在上，即时，由列方程求解即可；如图3，当点P在上，即时，由列方程求解即可． 【详解】解：如图1，当点P在上，即时，    ∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴，解得：； 如图2，当点P在上，即时，    ∵， ∴． ∵， ∴， 解得：（舍去）； 当点P在上，即时，，    ∴，解得：． 综上所述，当的值为或时的面积会等于24． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的运用、三角形面积公式的运用、梯形面积公式的运用、动点问题、分类讨论等知识点，灵活运用分类讨论思想是解答本题的关键． 16．(1) (2)铺设地面需要木地板平方米、地砖平方米 【分析】本题考查列代数式、一元一次方程解应用题，数形结合是解决问题的关键． （1）由长方形宽相等列方程求解即可得到答案； （2）根据题意，分别求出卧室面积及除卧室以外的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 长方形的宽相等， 则， 解得； （2）解：铺设木地板面积为 ； 铺设地砖面积为 ； 答：铺设地面需要木地板平方米、地砖平方米． 17．(1)145 (2) (3)用了58张白纸 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的应用，正确的列出代数式和方程，是解题的关键： （1）用总长度减去粘合部分的长度，列式计算即可； （2）用总长度减去粘合部分的长度，列出代数式即可； （3）根据（2）中的结果，列出方程即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：145； （2）； 故答案为：； （3）当时，解得； 答：用了58张白纸． 18．(1)2 (2)或 (3) 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，绝对值方程，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据“倍关联点”的定义得到，即可求解； （2）设表示的数为，根据题意得到，解方程即可； （3）由题意得，设点是点关于点的“倍关联点”则，将代入，则得到，联立①②即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， 故答案为：2； （2）解：设表示的数为， 由题意得，， 解得或， ∴点表示的数为或； （3）解：∵点是点关于点的“倍关联点”， ∴， 设点是点关于点的“倍关联点” ∴ ∵， ∴将代入，则得到， ∵，， ∴， ∵点，不与点，重合， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 19．毫米 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设玻璃杯中水的高度下降了x毫米，根据体积相等，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设玻璃杯中水的高度下降了x毫米，根据题意得： ， 解得：， 答：当铁盒装满水时，玻璃杯中水的高度下降了毫米． 20．（1）14；（2）；（3）12． 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，图形规律，运用代数式表达式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据图形找出规律为第n个图案中“●”的个数为个，再把代入求解即可； （2）根据题干的列举信息，直接得出结论； （3）根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：（1）由题知，第①个图案中“●”的个数为：； 第②个图案中“●”的个数为：； 第③个图案中“●”的个数为：； .... 所以第n个图案中“●”的个数为个， 当时，， 即第⑥个图案中“●”的个数为14个， 故答案为：14； （2）第①个图案中“○”的个数可表示为， 第②个图案中“○”的个数可表示为， 第③个图案中“○”的个数可表示为， 第④个图案中“○”的个数可表示为， …， ∴第个图案中“○”的个数可表示为， 故答案为：； （3）由题意得，， 解得：或（舍）． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $