专题3.3 一元一次方程的应用（举一反三讲义）数学新教材湘教版七年级上册

本讲义聚焦一元一次方程的应用这一核心知识点，先系统梳理列方程解应用题的步骤（审、找、设、列、解、检、答），再通过逐步列式、列表、画图等方法分析等量关系，进而分13类题型（配套、工程、商品销售等）展开，构建从基础方法到实际应用的完整学习支架。 该资料亮点在于题型全面且贴近生活，通过例题与变式题结合，如配套问题培养抽象能力，工程问题发展推理意识，分段计费问题提升模型观念。课中辅助教师系统教学，课后学生可借变式练习巩固，有效查漏补缺。

专题3.3 一元一次方程的应用（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 配套问题】 3 【题型2 工程问题】 5 【题型3 商品销售问题】 7 【题型4 分段计费问题】 11 【题型5 比赛积分问题】 16 【题型6 行程问题】 20 【题型7 储蓄问题】 23 【题型8 年龄问题】 25 【题型9 方案决策问题】 29 【题型10 形积问题】 34 【题型11 比例问题】 38 【题型12 古文问题】 41 【题型13 动点问题】 43 考点1 用一元一次方程解决问题 知识点1 列方程解应用题的步骤 审：弄清已知什么，求什么及其数量关系； 找：找出能表示题目全部含义的一个数量关系； 设：设未知数，可根据已知和所求选择直接假设或间接假设； 列：根据相等关系列出方程； 解：解方程； 检：检验求得的解是否正确及其是否符合实际意义； 答：写出答案． 知识点2 分析问题中的等量关系 1. 逐步列式法：例如，的2倍比大5．首先写出“的2倍”，即，它比大5，那么“大－小＝5”，即． 2. 列表分析法：用行（或列）表示不同的项目或种类，用列（或行）表示相应的数量． 3. 画图分析法：用图形表示题目中的数量关系．例如，行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系． 知识点3 常见问题中的等量关系 1. 配套问题 相等关系：加工总量成比例，若一件产品需要A，B两种配件配成，A，B两种配件的数量比是，则A种配件总数量×b＝B种配件总数量×a． 2. 工程问题 （1）基本相等关系：工作量＝工作效率×工作时间，工作时间＝，工作效率＝； （2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整体1； （3）常见的相等关系为总工作量＝各部分工作量之和． 3. 商品销售问题 （1）相等关系：①利润＝售价－进价；②；③售价＝进价×（1＋利润率）． （2）打折：n折即标价的，如7折即标价的（或70%），其中n叫折数．实际售价＝标价×． 4. 分段计费问题 常见类型：我国公民个人所得税按分段累进税制计算；社会医疗保险实行分段累进按比例报销制度；为鼓励节约用水、用电、用气，水费、电费、煤气费实行分段价格收费标准；某些运营商的话费、出租车费实 行分段计费；商家为促销商品，实行分段优惠销售等．解决这些分段讨论问题的关键是理顺部分与整体的关系：①各段费用之和=总费用；②每一段的计费标准不同． 5. 比赛积分问题 点相等关系：（1）比赛总场数＝胜场数＋平场数＋负场数； （2）比赛总得分＝胜场总得分＋平场总得分＋负场总得分． 6. 行程问题 基本相等关系：路程＝速度×时间；速度＝路程÷时间；时间＝路程÷速度． （1）直线形相遇问题：甲走的路程＋乙走的路程＝两地之间的路程． （2）直线形追及问题：快者走的路程＝慢者走的路程＋两人初始路程差； 快者走的路程＝慢者先走的路程＋慢者后走的路程． （3）环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了1圈；从出发到相遇所用时间＝；第 n次相遇时，二者合走了n圈． （4）环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走1圈；追及所用时间＝；第n次相遇时，快者比慢者多走n圈． 7. 储蓄问题 （1）本金×利率×期数＝利息（若未特别说明，银行定期存款的利率是指年利率，期数是年数)． （2）本金＋利息＝本息和；本息和＝本金×（1＋利率×期数）． 8. 年龄问题 “年龄问题”的基本规律是不管时间如何变化，两人的年龄差总是不变的，抓住“年龄差”是解答年龄问题的关键． 9. 方案决策问题 方案决策问题是实际生活中常见的问题，用一元一次方程解最佳方案问题的一般步骤：（1）列代数式； （2）列方程；（3）取特殊值试解；（4）决策． 【题型1 配套问题】 【例1】（25-26七年级下·云南玉溪·开学考试）茶具是茶文化历史发展长河中最重要的载体，是茶文化不可分割的一部分．已知每套茶具由1个茶壶和8个茶杯组成．某工厂现有120名工人，每个工人一天能做50个茶壶或200个茶杯．该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套？ 【答案】安排40名工人生产茶壶，80名工人生产茶杯，可使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套． 【分析】设安排名工人生产茶壶，根据每套茶具由1个茶壶和8个茶杯组成，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设安排名工人生产茶壶，则安排名工人生产茶杯，由题意，得： ， 解得， ∴； 答：安排40名工人生产茶壶，80名工人生产茶杯，可使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套． 【变式1-1】（25-26七年级下·辽宁盘锦·开学考试）某食品厂元宵节前要生产一批元宵礼袋，每袋中装4颗大元宵和8颗小元宵．生产一颗大元宵要用肉馅，一颗小元宵要用肉馅．现共有肉馅．假设肉馅全部用完，生产两种元宵应各用多少肉馅，才能使生产出的元宵刚好配套装袋？ 【答案】大元宵用肉馅，小元宵用肉馅 【分析】设生产大元宵要用肉馅x千克，根据题意列出方程，解方程解题即可． 【详解】解：设生产大元宵要用肉馅x千克， 由题意得， 解得：， ∴小元宵要用肉馅， 答：大元宵用肉馅，小元宵用肉馅． 【变式1-2】（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）某车间加工生产一种创意式三角桌，已知该车间有45名工人，平均每人每天可以加工桌面5个或桌腿12条，又知1个桌面和3条桌腿配为一套，该车间应如何安排工人使每天加工的桌面与桌腿刚好配套？ 【答案】应安排人生产桌面，安排人生产桌腿才能使每天生产的桌面与桌腿刚好配套． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，能够理解题意列出方程是解题关键．设安排x人生产桌面，则安排人生产桌腿，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设安排x人生产桌面，则安排人生产桌腿， 根据题意得：， 解得：， 则 答：应安排人生产桌面，安排人生产桌腿才能使每天生产的桌面与桌腿刚好配套． 【变式1-3】“爱心暖人间，关爱老人我先行”志愿活动启动，学校假期组织52名同学做礼品盒送给敬老院的老人们．平均每人每天加工大礼品盒14个或小礼品盒10个．已知每个大礼品盒可以装3个小礼品盒，问需要分别安排多少名同学加工大、小礼品盒，才能使每天加工的大、小礼品盒刚好配套？ 【答案】需安排10名同学加工大礼品盒，42名同学加工小礼品盒，才能使每天加工的大小礼品盒刚好配套． 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 设需安排x名同学加工大礼品盒，则名同学加工小礼品盒，由每个大礼品盒可以装3个小礼品盒从而得出等量关系，列出方程求出即可． 【详解】解：设需安排x名同学加工大礼品盒，则名同学加工小礼品盒， 根据题意得， ， ∴（名） 答：需安排10名同学加工大礼品盒，42名同学加工小礼品盒，才能使每天加工的大小礼品盒刚好配套． 【题型2 工程问题】 【例2】（25-26七年级下·山东日照·开学考试）某市实施惠民工程，对老旧小区进行改造，甲、乙两个工程队参与某小区9000平方米路面改造．其中甲队每天完成200平方米，乙队每天完成的工程量是甲队的倍，甲队施工一天需付工程款万元，乙队施工一天需付工程款万元． (1)若甲、乙两队合作若干天后，乙队又单独干5天，最终完成任务，求乙队完成此项工程的天数； (2)若甲、乙两队全程合作，完成该工程需付工程款多少钱？ 【答案】(1)20天 (2)万 【分析】（1）设乙队完成此项工程的天数为x天，可知甲队完成此项工程的天数为天，根据“甲队每天完成200平方米，乙队每天完成的工程量是甲队的倍”列方程求解即可； （2）设甲，乙两队合作y天，根据“甲队每天完成200平方米，乙队每天完成的工程量是甲队的倍”列方程求出y的值，根据“甲队施工一天需付工程款万元，乙队施工一天需付工程款万元”计算即可． 【详解】（1）解：设乙队完成此项工程的天数为x天， 由题意可得：， 解得， 答：乙队完成此项工程的天数为20天； （2）解：设甲，乙两队合作y天， 由题意可得：， 解得， ∴（万）， 答：完成该工程需付工程款万． 【变式2-1】（25-26七年级上·吉林长春·开学考试）一项工程，甲队单独做天可以完成，乙队单独做天可以完成，丙队单独做天可以完成．如果先由三队合作天，剩下的由甲队单独完成，那么甲队还需要多少天才能完成这项工程？ 【答案】甲队还需要天才能完成这项工程 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设甲队还需要天才能完成这项工程，三队合作天完成的工作量是，甲队单独完成的工作量为，根据最后完成了总工作量，可列方程为，解方程即可求出甲队单独工作的时间． 【详解】解：设甲队还需要天才能完成这项工程， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：， 答：甲队还需要天才能完成这项工程． 【变式2-2】甲、乙、丙三人在A，B两块地植树， A地要植树900棵， B地要植树1250棵，已知  甲、乙、丙每天分别植树24，30，32棵，甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地 植树，然后转到B 地植树，两块地同时开始，同时结束，乙应该开始后第几天从A地转到B地？ 【答案】11 【分析】本题考查了对工程问题的解答方法的掌握情况，解题关键在于熟练掌握一元一次方程和工程问题的等量关系. 甲、乙、丙三人在植树过程中都没有停，设都干了天，则共植了2150棵树，由此可得出都干了25天．乙在开始后第11天从A地转到B地． 【详解】解：设共干了天， 解得： （棵） （天） 即第11天从A地转到B地． 答：两块地同时开始同时结束，乙应在开始后第11天从A地转到B地. 【变式2-3】一项工程，甲独做需20天，乙独做需30天．如果两人合作，他们的工作效率就要降低，甲只能完成原来的乙只能完成原来的 现在要16天完成这项工程，且要两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？ 【答案】10天 【分析】本题考查一元一次方程的应用，工程问题，明确要使两队合作的天数尽可能少就要让效率快的甲队尽量多做是完成是本题的关键．由题意得，甲的工效为，乙的工效为，甲乙合作的工作效率为，可知甲乙合作工效甲的工效乙的工效，又因为要求“两队合作的天数尽可能少”，所以要使合作天数尽可能少，则非合作日的工作效率应尽可能高。因为甲的独做效率高于乙，所以应安排甲在非合作日独做，只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”，所以可设合作时间为x天，则甲独做时间为天，由此可得等量关系式：，解此方程即可． 【详解】解：两队合作的工作效率为：， 设合作时间为x天，则甲独做时间为天， 可得方程：， 解得：， 答：两人要合作10天． 【题型3 商品销售问题】 【例3】某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件元的价格购进了某品牌衬衫件，并以每件元的价格销售了件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下： (1)降价前每件衬衫的利润率为多少？ (2)每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标？ 【答案】(1)降价前每件衬衫的利润率为 (2)每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标 【分析】（1）根据利润率公式列式计算即可； （2）设每件衬衫降价元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标，根据销售收入进货成本利润，建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解： ， 答：降价前每件衬衫的利润率为． （2）解：设每件衬衫降价元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标， 由题意得：， 解得， 答：每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标． 【变式3-1】某服装店以每件600元的价格购进了某品牌羽绒服500件，并以每件800元的价格销售了400件，服装店计划对剩余的羽绒服降价促销．请你帮助该服装店设计一下，每件羽绒服降价多少元时，销售完这批羽绒服正好能达到盈利的预期目标？ 【答案】100元 【分析】先计算出这批羽绒服的总进价，结合盈利的目标求出需要达到的总销售额，再减去已经卖出部分的销售额得到剩余羽绒服需要卖出的总销售额，通过列一元一次方程即可求解降价的金额． 【详解】解：设每件羽绒服降价x元时，销售完正好达到盈利的预期目标． 根据题意： 解得， 答：每件羽绒服降价100元时，销售完这批羽绒服正好能达到盈利的预期目标． 【变式3-2】为响应国家号召，帮助农副产品走出大山，“村头”电商平台将咸蛋和豆腐乳进行网上销售．咸蛋售价为4元/袋，豆腐乳售价为5元/袋，5月份咸蛋的销量比豆腐乳的销量多1200袋，五月份咸蛋的总销售额为豆腐乳总销售额的两倍． (1)5月份咸蛋和豆腐乳的销售量分别为多少袋？ (2)6月份咸蛋售价比5月份降低了 ，销量比5月份增加了 ．豆腐乳的销量比5月份增加了 ，售价保持不变，结果咸蛋和豆腐乳6月份的总销售额比5月份增加 ，求a的值． 【答案】(1)5月份咸蛋的销售量为2000袋，豆腐乳的销售量为800袋 (2) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，准确掌握题中的等量关系是解题的关键． （1）设5月份豆腐乳的销售量为袋，则咸蛋的销售量为，根据等量关系列出一元一次方程进行计算即可； （2）根据题意得到6月份咸蛋售价为，销量为：， 豆腐乳的销量为，列出计算式即可得到答案． 【详解】（1）解：设5月份豆腐乳的销售量为袋，则咸蛋的销售量为， 由题意得：， 解得， 咸蛋的销售量为袋， 答：5月份咸蛋的销售量为2000袋，豆腐乳的销售量为800袋； （2）解：6月份咸蛋售价为，销量为：， 豆腐乳的销量为， 由题意可得：， 解得． 【变式3-3】（24-25七年级上·重庆·期末）列一元一次方程解应用题： 寒潮来袭，各地气温不断创新低，然而来势汹汹的冷空气，却吹不散人们的消费热情．购置御寒衣物、取暖电器，或是品尝一顿热气腾腾的火锅，成为不少人的入冬“仪式”．全国各地立足自身自然资源优势，将“冷资源”转化为“热经济”．某商店的、两种御寒商品也是深受顾客的喜爱，每件商品的售价为元，利润为元；每件商品的进价为元，利润率为： (1)每件商品的进价为__________元，每件商品的售价为________元； (2)若该商店第一次用元购进了、两种商品，其中商品的件数比商品件数的倍少件，求购进、两种商品各多少件； (3)在（2）的条件下，该商店第二次又购进、两种商品进行销售，与第一次相比，购进商品的件数不变，进价提高了，售价不变并且全部售出；购进商品的件数增加了，进价不变，但每件的售价调整为元，销售一段时间后，商店为了回馈消费者进行打折促销，于是将剩下的件商品打九折并全部售出，若第二次购进的两种商品共获得利润元，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系，正确列出一元一次方程是解答本题的关键． （1）对于求每件商品的进价，已知商品的售价和利润，根据进价、售价、利润的基本关系“进价售价利润”，直接用售价元减去利润元就可得到进价，对于求每件商品的售价，已知商品的进价和利润率，根据售价与进价、利润率的关系“售价进价”，将进价元乘以就能得到售价； （2）设购进商品的件数为件，因为商品件数与商品件数有明确的数量关系“商品的件数比商品件数的倍少件”，所以商品件数可表示为件，又已知、商品的进价以及总进价，根据“总进价商品进价商品件数商品进价商品件数”这个等量关系列出方程求解 （3）首先明确第一次购进、商品的数量，然后对于第二次购进，商品进价提高了 ，可得出商品新的进价，根据售价不变可求出商品的利润表达式，商品件数增加了，可得出商品新的件数，考虑到有件打九折出售，分别求出正常售价和打折售价情况下商品的利润表达式，最后根据“第二次购进的两种商品共获得利润元”这个等量关系列出方程求解． 【详解】（1）解：因为每件商品售价为元，利润为元，根据进价售价利润，所以每件商品的进价为：（元）， 因为每件商品进价为元，利润率为，根据售价进价，所以每件商品的售价为：（元）， 故答案为：，； （2）解：设购进商品的件数为件，则商品件数可表示为件， 已知商品进价为元，商品进价为元，且第一次用元购进了、两种商品，根据题意得： ， 解得：， ， 所以第一次购进商品件，商品件； （3）解：由（2）得第一次购进商品件，商品件， 第二次购进商品的件数不变，进价提高了，则商品的进价为元，售价为元，利润为元， 第二次购进商品的件数增加了，则商品的件数为件，进价为元，售价为元，利润为元， 已知第二次购进的两种商品共获得利润元，根据题意得： ， 解得：． 【题型4 分段计费问题】 【例4】某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 第2档 超过240度但不超过400度的部分 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费183元. (1)表中的值为________； (2)求老李家9月份的用电量； (3)若8月份老李家用电的平均电价为元/度，求老李家8月份的用电量. 【答案】(1) (2)300 (3)800 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解分档用电量的计算是解题的关键． （1）利用电费=电价×月用电量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值． （2）设老李家9月份的用电量为x度，先求出月用电量为240度时的电费，由该值小于183，可得出，再利用电费超过240度的部分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． （3）设老李家8月份的用电量为y度，根据8月份老李家用电的平均电价为元/度，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）依题意得：， 解得：． 故答案为：． （2）设老李家9月份的用电量为x度， ∵（元），， ∴． 依题意得：， 解得：． 答：老李家9月份的用电量为300度． （3）．∵三个档次的平均价格为（元），8月份老李家用电的平均电价为元/度， ∴老李家8月份用电量一定超过400度， 设老李家8月份的用电量为y度， 依题意得：， 解得：． 答：老李家8月份的用电量为800度． 【变式4-1】为了增强市民的节约用水意识，自来水公司实行阶梯收费，具体情况如表： 每月用水量 收费 不超过吨的部分 水费元/吨 吨以上至吨的部分 水费元/吨 吨以上的部分 水费元/吨 (1)若小刚家月份用水吨，则小刚家月份应缴水费___________元．（直接写出结果） (2)若小刚家月份的平均水费为元/吨，则小刚家月份的用水量为多少吨？ (3)若小刚家月、月共用水吨，月底共缴水费元，其中含元滞纳金（水费为每月底缴纳．因月份的水费未按时缴，所以收取了滞纳金），已知月份用水比月份少，求小刚算、月各用多少吨水？ 【答案】(1) (2) (3) 月份用水吨，月份用水吨 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据阶梯收费，分情况列方程求解． (1)根据收费标准计算出小刚家月份应缴水费； (2)设小刚家月份用水吨，根据小刚家月份的平均水费为元/吨，列方程求解； (3)小刚家月、月共用水吨，月份用水比月份少，月份的用水量超过了吨，设小刚家月份的用水量为吨，则月份的用水量为吨，根据阶梯收费标准分两种情况求解． 【详解】（1）解：(元)， 小刚家月份应缴水费元， 故答案为：； （2）解：设小刚家月份用水吨， 如果小刚家月份用水吨， 则小刚家月份的平均水费为(元)， 小刚家月份用水量小于吨， ， 解得：， 答：小刚家月份用水吨； （3）解：小刚家月、月共用水吨，月份用水比月份少， 月份的用水量超过了吨， 设小刚家月份的用水量为吨，则月份的用水量为吨， ①当时， 依题意可得方程：， 解得：； ②当时， 依题意得：， 解得：(不符合题意)，舍去； 综上所述，小刚家月份用水吨，月份用水吨． 【变式4-2】在武汉市乘坐出租车的收费标准是：路程不超过3千米计费10元；路程超过3千米但不超过10千米时，超出3千米部分按每千米1.5元计费加上10元；路程超过10千米时，超出10千米部分按每千米1元计费，3千米到10千米部分按每千米1.5元计费，再加上10元乘坐滴滴专车的收费标准是：基本费用4元加每千米1.2元． (1)李老师从家到学校的距离是15千米，如果乘坐出租车，费用是______元；如果乘坐滴滴专车，费用是______元； (2)周末外出李老师乘坐出租车和滴滴滴专车各一次，且每次乘车路程大于3千米． ①如果李老师两次乘车路程共计50千米，付费71.3元，那么他乘坐出租车和滴滴专车的路程各是多少千米？ ②如果李老师乘坐出租车的路程超过10千米，他两次乘车的费用共36.1元，且两次乘车的路程都是整数千米，那么李老师乘坐出租车和滴滴专车的路程各是多少千米？ 【答案】(1)25.5，22 (2)①李老师乘坐出租车和滴滴专车的路程各是6千米、44千米或16千米、34千米；②李老师乘坐出租车和滴滴专车的路程各是12千米、8千米． 【分析】（1）根据出租车及滴滴专车的收费标准，可分别求出乘坐15千米所需费用； （2）①设乘坐出租车的路程是x千米，则乘坐滴滴专车的路程是（50﹣x）千米，分3＜x≤10及x＞10两种情况考虑，根据两次乘坐共付费71.3元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出李老师乘坐出租车的路程，再将其代入（50﹣x）中即可求出李老师乘坐滴滴专车的路程； ②设李老师乘坐出租车的路程是m（m＞10）千米，则乘坐滴滴专车的路程是（18﹣m）千米，根据两次乘车的路程都是整数千米且李老师乘坐出租车的路程超过10千米，即可求出李老师乘坐出租车的路程，再将其代入（18﹣m）中即可求出李老师乘坐滴滴专车的路程． 【详解】（1）解：乘坐出租车所需费用为10+1.5×（10﹣3）+1×（15﹣10） ＝10+1.5×7+1×5 ＝10+10.5+5 ＝25.5（元）； 乘坐滴滴专车所需费用为4+1.2×15 ＝4+18 ＝22（元）． 故答案为：25.5；22． （2）解：①设乘坐出租车的路程是x千米，则乘坐滴滴专车的路程是（50﹣x）千米． 当3＜x≤10时，10+1.5（x﹣3）+4+1.2（50﹣x）＝71.3， 解得：x＝6， ∴50﹣x＝50﹣6＝44； 当x＞10时，10+1.5×（10﹣3）+（x﹣10）+4+1.2（50﹣x）＝71.3， 解得：x＝16， ∴50﹣x＝50﹣16＝34． 答：李老师乘坐出租车和滴滴专车的路程各是6千米、44千米或16千米、34千米． ②设李老师乘坐出租车的路程是m（m＞10）千米，则乘坐滴滴专车的路程是 ＝（18﹣m）千米， ∵m，（18﹣m）均为正整数，且m＞10， ∴m＝12或m＝18， 当m＝12时，18﹣m＝18﹣×12＝8； 当m＝18时，18﹣m＝18﹣×18＝3，不合题意，舍去． 答：李老师乘坐出租车和滴滴专车的路程各是12千米、8千米． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）①找准等量关系，正确列出一元一次方程；②根据各数量之间的关系，用含m的代数式表示出乘坐滴滴专车的路程． 【变式4-3】从锦江区社保局获悉，我区范围内已经实现了全员城乡居民新型社会合作医疗保险制度．享受医保的城乡居民可在规定的医院就医并按规定标准报销部分医疗费用．下表是住院费用报销的标准： 住院费用x(元) 0<x<5000 5000<x≤20000 x>20000 每年报销比例 40% 50% 60% (说明：住院费用的报销采取分段计算方式，如：某人一年住院费用共30000元，则5000元按40%报销，15000元按50%报销，余下的10000元按60%报销；实际支付的住院费=住院费用-按标准报销的金额．) （1）若我区居民张大哥一年住院费用为20000元，则按标准报销的金额为 元，张大哥实际支付了 元的住院费； （2）若我区居民王大爷一年内本人实际支付的住院费用为21000元，则王大爷当年的住院费用为多少元? 【答案】（1）9500，10500；（2）王大爷当年的住院费为46250元 【分析】（1）由题意住院费用的报销采取分段计算方式求出按标准报销的金额，进而得出实际支付住院费； （2）由题意设王大爷当年的住院费为元，根据题意建立方程并解出方程即可. 【详解】解：（1）由题意住院费用的报销采取分段计算方式可知： 张大哥一年住院费用按标准报销的金额为：（元）； 张大哥实际支付住院费为：（元）. 故答案为：9500，10500. （2）解：设王大爷当年的住院费为元，则 解得： 答：王大爷当年的住院费为46250元． 【点睛】本题考查一元一次方程的阶段收费问题，理解题意并根据题意建立方程并解出方程是解题的关键. 【题型5 比赛积分问题】 【例5】某次篮球联赛积分榜如下： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 东方 光明 蓝天 雄鹰 远大 卫星 钢铁 (1)通过观察积分表，直接写出负一场积______分； (2)求胜一场的积分： (3)若某队胜场总积分等于它的负场总积分的倍，请直接写出该队队名． 【答案】(1)； (2)分； (3)该队为前进队或东方队． 【分析】（）根据钢铁队即可求解； （）设胜一场积分，根据其中一个球队列出方程即可求解； （）设该队胜场，则负场，根据题意列出方程，求出该队的胜、负场次数即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：由钢铁队可知，负一场积分， 故答案为：； （2）解：设胜一场积分， 由前进队得，， 解得， 答：胜一场的积分； （3）解：设该队胜场，则负场， 由题意得，， 解得， ∴该队胜场，负场， ∴该队为前进队或东方队． 【变式5-1】（2024·吉林长春·一模）2024年10月1日，中华人民共和国将迎来75周岁的生日．为喜迎国庆，某学校举办了一场历史知识竞赛，竞赛共20道题，评分规则为：对于每一道题，答对得5分，答错或不答扣2分，其中九年级代表队最终得分为86分，求九年级代表队答对了多少道题？ 【答案】九年级代表队答对了18道题 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设九年级代表队答对了x到题，则答错或者不答了道题，根据一共得分86分列出方程求解即可． 【详解】解：设九年级代表队答对了x到题，则答错或者不答了道题， 由题意得，， 解得， 答：九年级代表队答对了18道题． 【变式5-2】下表是某次篮球联赛部分球队的积分表： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 16 10 6 36 光明 16 9 7 34 远大 16 12 4 40 卫星 16 6 10 28 备注：积分=胜场积分+负场积分 (1)直接写出胜一场的积分和负一场的积分； (2)某队说他们的总积分为45分，你认为可能吗？为什么？ (3)若某队的负场总积分是胜场总积分的正整数倍，胜一场奖励每个球员5000元，负一场奖励．每个球员1000元，请问这支球队的每个球员所获奖金可能是多少元？ 【答案】(1)3，1 (2) 解：设胜场，则负场， ，解得． 为非负整数， ，不符合题意． 得分不可能为45分． (3)每个球员奖励的金额可能有32000元或20000元 【分析】本题考查了一元一次方程在比赛问题中的应用 （1）设胜一场积x分，则负一场积分，依照光明队的胜负场次及得分情况可列出一元一次方程，求解即可； （2）设胜场数是x，负场数是，结合（1）中结论，根据胜场总积分等于45分，列一元一次方程求解判断即可； （3）设胜场，负场，负场总积分是胜场总积分的倍，列方程，解出m，即可得答案． 【详解】（1）解：设胜一场积x分，则负一场积分， 依题意得：， 解得：， 此时，， ∴胜一场积2分，负一场积1分． （2）略 （3）解：设胜场，负场，负场总积分是胜场总积分的倍， 则， ∴， 均为正整数， 当时，， 此时球员的奖金为32000元； 当时，， 此时球员的奖金为20000元． 答：每个球员奖励的金额可能有32000元或20000元． 【变式5-3】（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）七年级一班的第一组名同学，自行组织知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录的是名同学的得分情况： (1)由表格知，答对一题得______分，答错一题得______分； (2)第名同学得了分，请你帮他算一算，答对了几道题？ 参赛者 答对题数 答错题数 得分 【答案】(1)5， (2)答对了17道题 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和有理数的运算，熟练掌握根据题意列方程求解的方法是解题的关键． （1）先根据全对的得分算出答对一题的分值，再通过其他同学的得分求出答错一题的分值． （2）设第6名同学答对的题数为未知数，根据答对得分+答错得分=总得分列方程求解． 【详解】（1）解：（分）， （分） ∴答对一题得分，答错一题得分； （2）解：设第6名同学答对了道题，则答错了道题． ， ， ， ， 故第6名同学答对了道题． 【题型6 行程问题】 【例6】（25-26七年级下·吉林长春·期末）学校运动队沿校园周边的步道晨跑，甲、乙两队员同时出发，跑完一圈乙比甲多用．已知甲、乙队员跑步的平均速度分别是、．问这一圈步道有多长？ 【答案】这一圈步道长米 【分析】设这一圈步道长米，根据“乙用时甲用时秒” 列方程求解即可． 【详解】解：设这一圈步道长米，根据题意，得   ，   解得，   答：这一圈步道长米． 【变式6-1】（25-26七年级下·吉林长春·期末）某班到离学校的国家森林公园春游，先坐车，速度为．下车后以的速度步行到达目的地，共花了，求他们步行的时间． 【答案】他们步行了 【分析】设他们步行了，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设他们步行了， 由题意，得， 解得， 答：他们步行了． 【变式6-2】（25-26六年级下·山东泰安·期末）小明和爸爸周末同时出发沿相同路线绕西湖骑行和步行，小明骑自行车速度是12千米/小时，爸爸步行，速度是6千米/小时．小明骑行1小时后立即调转车头，仍以12千米/小时的速度往回骑，爸爸仍按原速度步行，直到与爸爸会合，会合时，爸爸总共步行了多长距离？ 【答案】8千米 【分析】根据相向阶段，小明与爸爸的路程和为12千米，设出未知数，列式求解即可． 【详解】解：∵小明骑自行车速度是12千米/小时，骑行1小时后立即调转车头， ∴小明掉头前行驶12千米， 设爸爸总共步行了x小时，则小明掉头后骑行了小时, 则有，解得， 则千米． 答：爸爸总共步行了8千米． 【变式6-3】（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图1是某校根据场地实际，建成的米跑道，共有八条分道．每条分道宽米（分道线宽度忽略不计），由两条直道和两个半径相等的半圆形弯道组成，直道长米．第一分道（最内圈）弯道半径为米，各分道的长度计算算式依次如下（取）： 第一分道米 第二分道米 第三分道米 … (1)如图1，请你计算跑道中第六分道的长度；（计算结果保留位小数） (2)学校还有一个米跑道，共有四条分道，道宽仍为米，直道长为米，其最内圈半径长为米．小海同学在数学课上设计该跑道比赛的起跑线和终点线，所画示意图如图2．为了公平比赛，请你通过计算说明小海的设计是否有误，如果有误请指出错误的数据，并进行修正；（计算结果保留位小数） (3)小海和小沧从米跑道的最内圈同一位置，同时同向出发，小海跑步的平均速度为米/秒，其刚跑完一圈时领先小沧米．假设他们跑步的平均速度不变，若小沧先跑秒后小海才出发，那么从小海起跑到两人第二次相遇前，经过多少秒两人相距米？ 【答案】(1)米 (2)第二分道错误，应为：米 (3)秒或秒或秒 【分析】本题考查了有理数的混合运算、代数式求值、一元一次方程与实际问题，关键是读懂题意列出正确的代数式或方程求解： （1）根据跑道的长度等于一个圆的周长与两个直道长度之和进行计算即可； （2）根据设计数据算出每一赛道与第一赛道的长度差，将它们与图中标示的数据对照即可得出结论； （3）先列方程求出小沧的速度，然后分两种情况列方程讨论即可． 【详解】（1）解：由题意得： （米）； （2）答：第二分道有误，理由如下： ∵小海设计的比赛跑道： 第分道长度：， 第一分道长度：， ∴第分道比第一分道前移：， 当时，前移：， 当时，前移：， 当时，前移：， ∴第二分道错误，应为：米； （3）解：设小沧的速度为米/秒， ， 解得：， 设从小海起跑到两人第二次相遇前，经过秒两人相距米， 若在第一次相遇前：， 解得：； 若在第一次相遇后第二次相遇前，小海在小沧前：， 解得：； ∵， 解得：， ∴第一次相遇的时间为：秒， 若在第一次相遇后第二次相遇前，小海在小沧后： 设第一次相遇后又经过秒，小海在小沧后相距米， ， 解得：，此时； 综上：秒或秒或秒； 答：从小海起跑到两人第二次相遇前，经过秒或秒或秒两人相距米． 【题型7 储蓄问题】 【例7】小希准备在6年后考上大学时，用15000元给父母买一份礼物表示感谢，决定现在把零花钱存入银行下面有两种储蓄方案： ①直接存一个6年期.（6年期年利率为） ②先存一个3年期，3年后本金与利息的和再自动转存一个3年期.（3年期年利率为） 你认为按哪种储蓄方案开始存入的本金比较少？请通过计算说明理由. 【答案】按照方案①开始存入的本金比较少，理由见解析 【分析】设方案①开始存入的本金为元，方案②开始存入的本金为元，根据题意列出方程，根据有理数的大小比较方法即可求解. 【详解】解：设方案①开始存入的本金为元，方案②开始存入的本金为元. 由题意可得，. 因为. 所以. 答：按照方案①开始存入的本金比较少. 【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得到相应的方程进行比较求解. 【变式7-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）去年小张到银行存了一笔年利率为的普通储蓄，今年存满一年后，利息的正好够买一台随身听，已知随身听每台509元，问一年前小张存了多少元钱？（结果保留整数） 【答案】一年前小张存了大约28278元钱 【分析】本题考查利率问题，一元一次方程解决实际问题．设一年前小张存了x元钱，利息的等于随身听的价格，列出方程求解即可． 【详解】解：设一年前小张存了x元钱，由题意得， ， 解得， 答：一年前小张存了大约28278元钱． 【变式7-2】小红爸爸前年存了年利率为的二年期定期储蓄，今年到期后，所得利息正好为小红买了只价格为48.60元的计算机，问小红的爸爸前年存了多少元？ 【答案】小红的爸爸前年存了1000元 【分析】设小红的爸爸前年存了元，然后根据利率和时间求出利息等于计算机的价格，列出方程求解即可． 【详解】解：设小红的爸爸前年存了元， 由题意得，， 解得． 答：小红的爸爸前年存了1000元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，熟悉利息的算法是解题的关键． 【变式7-3】为了准备小颖六年后上大学的学费 元，她的父亲现在就参加了教育储蓄，下面有两种蓄方式： （1）先存一个三年期的，三年后将本息和自动转存一个三年期； （2）直接存一个六年期的． 你认为哪种储蓄方式开始存入的本金比较少？ 期数 教育储蓄年利率 一年 三年 六年 【答案】按第二种储蓄方式开始存入的本金少 【分析】根据存款利率公式：存款=本金（1+利率年数）代入求解即可得到答案． 【详解】解：设开始存入元．如果按照第一种储蓄方式： 有：， 解得：； 如果按第二种储蓄方式： 有：， 解得：； 即第一种储蓄方式存入的本金约需元， 第二种储蓄方式开始存入的本金约需元， 因为， 因此，按第二种储蓄方式开始存入的本金少． 【点睛】本题考查一元一次方程解实际应用题，解题的关键是知道存款=本金（1+利率年数）． 【题型8 年龄问题】 【例8】（26-27七年级·全国·小升初衔接）马丁一家人坐火车回家乡．车上有个很唠叨的人，不停地问这问那，最后问起马丁一家人的年龄．马丁有些不耐烦，就说：“我儿子的年龄是我女儿年龄的5倍，我妻子的年龄是我儿子年龄的5倍，我的年龄是我妻子年龄的倍，把我们的年龄都加起来，正好是祖母的年龄，今天她正要庆祝61岁的生日．”那人想了一会儿想不出来，你知道马丁多少岁吗？ 【答案】30岁 【分析】设马丁的女儿岁，则马丁的儿子 岁，马丁的妻子岁，马丁岁，根据马丁一家四口的年龄之和等于祖母的年龄建立方程求解即可． 【详解】解：设马丁的女儿岁，则马丁的儿子 岁，马丁的妻子岁，马丁岁， 由题意得，， 所以， 所以， 所以， 所以（岁）， 答：马丁30岁． 【变式8-1】小华的年龄是8岁，小青的年龄是9岁，求得他们今年的年龄之和是17岁，像这样的问题就是年龄问题． (1)3年前，小康的年龄是17岁；3年后，小康的年龄是多少岁？ (2)小晨的年龄是5岁，小铃的年龄是7岁，多少年后他们的年龄和是30岁？ (3)小丁对小当说：“我到你这个年纪时，你就25岁了．”小当对小丁说：“我在你这么大时，你才4岁．”小丁今年多少岁？ 【答案】(1)23 (2)9 (3)11 【分析】本题主要考查年龄问题的应用，关键是利用年龄差不变做题 （1），需要明确年龄随时间变化的规律，即时间往前年龄减少，时间往后年龄增加。结合题意分析解答即可； （2）根据两人年龄同时增长，年龄和每年增加的量是两人每年增长年龄之和，利用年龄和的变化规律来解题； （3）通过两人不同表述构建关于年龄差的关系，再利用年龄差不变的性质来求解． 【详解】（1）（岁）， （岁）， 答：3年前，小康的年龄是17岁；3年后，小康的年龄是23岁． （2）（岁）， （年）， 答：小晨的年龄是5岁，小铃的年龄是7岁，9年后他们的年龄和是30岁． （3）设小丁今年岁，则二人年龄差是岁，小当的年龄是岁， 则， 即， ， 解得， 答：小丁今年11岁． 【变式8-2】列方程解应用题： 数学家的故事 古希腊数学家丢番图（约公元250年左右），被人们称为代数学之父．对于他的生平事迹，人们知道得很少，但在一本《希腊诗文选》（公元500年前后的遗物）中，收录了他的墓志铭． 希腊数学家丢番图（公元3−4世纪）的墓碑上记载着：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了．”根据以上信息，请你算出： (1)丢番图的寿命； (2)丢番图开始当爸爸时的年龄； (3)儿子死时丢番图的年龄． 【答案】(1)丢番图的寿命为84岁 (2)丢番图开始当爸爸的年龄为38岁 (3)儿子死时丢番图的年龄为80岁 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出丢番图的年龄的表达式，根据等量关系，列出方程再求解． （1）设丢番图的寿命为岁，则根据题中的描述他的年龄的童年生命的年儿子的年龄年，可列出方程，即可求解； （2）根据计算即可求解； （3）根据“儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了”计算即可求解． 【详解】（1）解：设丢番图的寿命为岁， 由题意得：， 解得：， 答：丢番图的寿命为84岁； （2）解：，即他38岁时有了儿子． 答：丢番图开始当爸爸的年龄为38岁； （3）解：岁． 答：儿子死时丢番图的年龄是80岁． 【变式8-3】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）【项目背景】 干支纪年是我国古代常用的纪年方法，以下是关于干支纪年的素材，请阅读后解决问题． 素材①：干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，即：甲子、乙丑、丙寅、…、壬申、癸酉、甲戌、乙亥、丙子…，每个组合代表一年，年为一个循环，也称年一甲子． 素材②：把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号． 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 天干的计算方法是：年份减，除以后，所得的余数； 地支的计算方法是：年份减，除以后，所得的余数． 以年为例，天干为：；地支为：；对照天干地支表得出，2026年为农历丙午年． 【内容理解】 （1）干支纪年中， “甲丑”年；（填“有”或“没有”） 【问题探究】 （2）安徽合肥以“科创之光”为定位，首次入选年央视春晚分会场，选址骆岗中央公园．年前的年，央视春晚首次设立了除主会场北京外的广东、黑龙江、四川三个分会场，开启春晚多地联动的先河．年用干支纪年法是农历 年； 【知识运用】 （3）假设今年是2026年，小红是七年级学生，她的弟弟比她小岁，今年小红和弟弟的年龄之和刚好是爸爸年龄的一半，年以后，小红和弟弟年龄之和比爸爸的年龄大岁．用干支纪年表示，小红是哪一年出生的？ 【答案】（1）没有；（2）戊辰；（3）小红是甲午年出生的 【分析】本题考查了干支纪年法的规律应用、一元一次方程在年龄问题中的建模与求解，以及年份与干支纪年的对应转换，熟练掌握干支纪年的计算方法和年龄问题的方程建模思路是解答本题的关键． （1）利用天干与地支的序号对应关系，判断“甲丑”年是否存在； （2）根据天干、地支的计算公式，代入年的年份数，依次计算余数并对照天干地支表得出对应年份； （3）通过设未知数建立一元一次方程，求解小红今年的年龄，进而推算其出生年份，再利用干支纪年法确定出生年份对应的干支． 【详解】解：（1）因为与天干中的单数个的字对应的字是地支的单数个字， 而丑是地支中的第个，为双数， 所以不会出现“甲丑”年， 故答案为：没有； （2）由题知， 天干为：； 地支为：； 对照天干地支表得出，年为戊辰年． 故答案为：戊辰； （3）设今年小红的年龄为，则弟弟的年龄为，爸爸的年龄为，根据题意列方程得， 解得：， 所以小红出生于年， 天干为：； 地支为：； 年是甲午年， 小红是甲午年出生的． 【题型9 方案决策问题】 【例9】（25-26七年级上·山东德州·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计购买方案？ 素材1 某校准备开展乒乓球联赛，故计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价150元，乒乓球每盒定价15元． 素材2 由于喜迎“元旦”，某商店推出促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一副乒乓球拍送两盒乒乓球，其余乒乓球按定价付款； 方案二；乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 素材3 该校计划购买乒乓球拍10副，乒乓球盒（，为整数）． 问题解决 任务1 确定当时的不同方案的价格 （1）当时， 若该校按方案一购买，则需付款 元； 若该校按方案二购买，则需付款 元． 任务2 探究的取值变化对方案选择的影响 （2）当为何值时，用两种方案购买所需费用一样？ 任务3 拟定最优方案 （3）若，能否找到一种更为省钱的购买方案？如果能，请你写出购买方案，并计算出此方案所需费用；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） 1800，1890；（2）当的值为100时，用两种方案购买所需费用一样；（3）能找到一种更为省钱的购买方案，先按照方案一购买10副乒乓球拍（获赠20盒乒乓球），再按照方案二购买（盒）乒乓球，所需费用为（元） 【分析】本题主要考查了列代数式及代数式求值问题，一元一次方程的应用，得到两种优惠方案付费的关系式是解题的关键． （1）根据两种方案的收费方式列式，计算时的值即可； （2）根据题意建立方程求解即可； （3）能找到一种更为省钱的购买方案，方案为：购买10副乒乓球拍（利用“买一副球拍送两盒乒乓球”的优惠，获赠20盒乒乓球），再按的折扣购买另外20盒乒乓球． 【详解】解：（1）由题意得，方案一需付款：元， 方案二需付款：元， 当时， 方案一需付款：（元） 方案二需付款：（元）， 故答案为：1800，1890； （2）由题意得，， 解得：， 当时，分别用两种方式购买所需费用一样； （3）能找到一种更为省钱的购买方案，方案为：购买10副乒乓球拍（利用“买一副球拍送两盒乒乓球”的优惠，获赠20盒乒乓球），再按的折扣购买另外20盒乒乓球，所需费用为（元）． ∵， ∴先按方案一购买10副球拍可得20盒乒乓球，再按方案二购买20盒乒乓球更为省钱． 【变式9-1】（25-26八年级上·山东济南·期末）某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案； 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内（含10人）不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式； (2)某单位组织10人以上去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 【答案】(1)；（，为正整数） (2)当人数在10到20人之间时，（不包含与）选择方案一优惠，当人数等于20人时，选择方案一，方案二都可以，当人数在 20人以上时，选择方案二优惠 【分析】本题考查了函数的表达式，方程或不等式的应用． （1）方案一每人打九折，直接计算总费用；方案二前10人原价，超过部分打八折，分段计算后合并． （2）分三种情况：当时， 当 时， 当 时，再建立方程或不等式求解可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，； ； ；（，为正整数）； （2）解：当时，则， 解得：， 当 时，则， 解得：， 当 时，则， 解得：， 所以，当人数在10到20人之间时，（不包含与）选择方案一优惠， 当人数等于20人时，选择方案一，方案二都可以， 当人数在 20人以上时，选择方案二优惠． 【变式9-2】（25-26七年级上·广东广州·期末）某家具厂生产一种办公桌和办公椅，办公桌每张定价为200元，办公椅每把定价为80元，厂家在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： 方案一：每买一张办公桌就赠送一把办公椅； 方案二：办公桌和办公椅都按定价的付款． 某学校计划添置100张办公桌和x把办公椅（x超过100）． (1)当时，求两种方案各自的费用； (2)当x等于多少时，两种方案的费用一样多； (3)如果只能单独享受其中一种优惠方案，请设计一种省钱的方案（直接写出方案）． 【答案】(1)方案一的费用为24000元，方案二的费用为25600元 (2) (3)当时，选择方案一省钱；当时，选择方案一和方案二均可；当时，选择方案二省钱 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值、一元一次方程的应用等知识，正确理解题意是解题关键． （1）根据题意分别用代数式表示方案一和方案二的费用，然后将代入计算即可； （2）根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案； （3）结合（2），分析省钱的方案即可． 【详解】（1）解：根据题意，可知方案一的费用为：， 方案二的费用为：， 当时， 可知方案一的费用为（元）， 方案二的费用为（元）； （2）根据题意，可得， 解得， 即当时，两种方案的费用一样多； （3）如果只能单独享受其中一种优惠方案， 当时，选择方案一省钱； 当时，选择方案一和方案二均可； 当时，选择方案二省钱． 【变式9-3】（25-26七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）为深入贯彻习近平总书记“带动三亿人参与冰雪运动”大力发展、普及冰雪运动的重要指示精神，充分挖掘我旗冬季冰雪资源禀赋和民族文化特色，特设立“雪假”，以丰富学生冬季生活畅游冰雪世界．在“雪假”期间某滑雪装备商店对本店原价滑雪双板900元一副和护目镜200元一副两种商品进行促销活动，并向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一副滑雪双板送一副护目镜； 方案二：滑雪双板和护目镜都按定价的付款． 现有超人滑雪俱乐部要购买滑雪双板20副，护目镜x副（）： (1)按方案一，购买滑雪双板和护目镜共需付款______元；按方案二，购买滑雪双板和护目镜共需付款______元；（用含x的式子表示） (2)计算一下，购买护目镜多少副时，两种优惠方案付款一样？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？若能，请写出该购买方案并计算所需付款数目． 【答案】(1)； (2)购买副护目镜时，两种优惠方案付款一样； (3)能，先按方案一购买滑雪双板副，再按方案二只需购买护目镜副，共需付款21600元． 【分析】本题考查代数式，一元一次方程，方案选择，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键； （1）根据题意列代数式即可； （2）令两个方案中的付款相等，列方程可得到结论； （3）因为两种优惠方案可同时使用，所以可以先按方案一购买滑雪双板副，再按方案二只需购买护目镜副，即可得到结论． 【详解】（1）解：方案一：（元）， 方案二：（元）， 故答案为：；； （2）解：， ， 答：购买副护目镜时，两种优惠方案付款一样； （3）解：当， ①按方案一购买所需费用（元）； ②按方案二购买所需费用（元）， ③按方案一购买副滑雪双板：（元）； 按方案二购买副护目镜：（元）； 总费用：； 则比较省钱的购买方案：可以先按方案一购买滑雪双板副，再按方案二只需购买护目镜副，共需付款21600元． 【题型10 形积问题】 【例10】在数学活动课中，同学们用长为a厘米，宽为30厘米的长方形软纸，制作一个上、下底面为正方形的长方体包装纸盒． (1)当时，小明设计长方体的展开图如图所示，设剪去的小长方形的宽为x厘米．求这个包装纸盒的体积（长方体的体积长宽高）； (2)若长方形软纸的宽不变，当a超过50时，这个包装纸盒的体积能否变大？请举一例说明． 【答案】(1) (2) 不能，理由： 当a超过50时，如时，则这个包装纸盒的长为，宽为，高为， ∴这个包装纸盒的体积， ∵底面为正方形， ∴，解得：， ∴这个包装纸盒的体积 ， ∵， ∴这个包装纸盒的体积不能变大． 【分析】（1）当，设剪去的小长方形的宽为x厘米时，则这个包装纸盒的长为，宽为，高为，再根据底面为正方形，则，求解得，再代入体积公式计算即可； （2）当a超过50时，如时，同（1）求出包装纸盒的体积，再比较即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，得这个包装纸盒的长为，宽为，高为， ∵底面为正方形， ∴，解得：， ∴这个包装纸盒的体积 ， 答：这个包装纸盒的体积为； （2）略 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，根据底面是正方形，列方程，求出剪去的小长方形的宽是解题的关键． 【变式10-1】底面半径为10cm，高为20cm的圆柱形水桶中装满了水．小明先将桶中的水倒满2个底面半径为5cm，高为4cm的圆柱形水杯中，再把剩下的水倒入一个棱长为20cm的正方体容器内，正方体容器内水的高度大约是多少厘米？（π取3，容器的厚度不计；圆柱体体积＝底面积×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长）． 【答案】13.5厘米 【分析】设正方体容器内水的高度大约是x厘米，根据等量关系：2个底面半径为5厘米、高为4厘米的圆柱形杯子内水的体积+棱长为20cm的正方体内水的体积=底面半径为10厘米、高为20厘米的圆柱形水桶的体积，列出方程求解即可． 【详解】解：设正方体容器内水的高度大约是x厘米，依题意有 102×3×20=2×52×3×4+20×20x， 解得x=13.5． 答：长方体容器内水的高度大约是13.5厘米． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 【变式10-2】如图，将一张正方形纸片剪去一个宽为的长方形纸条，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长方形纸条． (1)如果第一次剪下的长方形纸条的周长恰好是第二次剪下的长方形纸条周长的2倍，求原正方形纸片的边长； (2)第一次剪下的长方形纸条的面积能否是第二次剪下的长方形纸条面积的2倍？如果能，请求出正方形纸片的面积；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)原正方形纸片的边长为 (2)第一次剪下的长方形纸条的面积不可能是第二次剪下的长方形纸条面积的2倍， 设原正方形纸片的边长为， 假设第一次剪下的长方形纸条的面积是第二次剪下的长方形纸条面积的2倍，则 解得， 由于x是正整数，所以不符合题意， 所以第一次剪下的长方形纸条的面积可不可能是第二次剪下的长方形纸条面积的2倍． 【分析】（1）设原正方形纸片的边长为，根据第一次剪下的长方形纸条的周长恰好是第二次剪下的长方形纸条周长的2倍，列出方程，即可求解； （2）设原正方形纸片的边长为，假设第一次剪下的长方形纸条的面积是第二次剪下的长方形纸条面积的2倍，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设原正方形纸片的边长为， 根据题意得：， 解得：． 答：原正方形纸片的边长为． （2）略 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，解题关键是要注意：第一次剪完后，剩下的这边为，难度一般． 【变式10-3】小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示，根据图中的数据（单位：），解答下列问题： (1)用含的代数式表示厨房的面积为______，卧室的面积为______． (2)设此经济适用房的总面积为，则______（用含的代数式表示）． (3)已知厨房面积比卫生间面积多，且铺地砖的平均费用为80元，那么铺地砖的总费用为多少元？ 【答案】(1)3x，（6+3x）； (2)26x+6； (3)4640元． 【分析】（1）根据图形可分别得出厨房、卧室的长和宽，相乘即可得出面积； （2）分别表示出每个长方形的面积，再求和即可得出结果； （3）根据题意列出方程，求出x的值，在计算即可． 【详解】（1）解：厨房的面积为：（m2）， 卧室的面积为：（m2）， 故答案为：3x，（6+3x）； （2） （m2）； 故答案为：26x+6 （3）由题意可得：， 解得， 当时，（m2）， （元）， 答：铺地砖的总费用为4640元． 【点睛】本题考查代数式、一元一次方程，正确理解题意，分别表示出各部分的面积是解题的关键． 【题型11 比例问题】 【例11】（24-25七年级上·福建福州·期末）列方程解应用题：洗衣机厂某月计划生产Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型洗衣机共2550台，其中Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机的数量之比为，洗衣机厂该月计划生产这三种洗衣机各多少台？ 【答案】Ⅰ型洗衣机510台，Ⅱ型洗衣机765台，Ⅲ型洗衣机1275台 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系列出方程是解题的关键．根据比例设三种型号的洗衣机分别为台，台，台，再结合题意列出方程求解即可． 【详解】解：设计划生产Ⅰ型洗衣机台，则Ⅱ型洗衣机台，Ⅲ型洗衣机台， 由题意得，， 解得：， 则（台）， （台）， （台）， 答：洗衣机厂该月计划生产Ⅰ型洗衣机510台，Ⅱ型洗衣机765台，Ⅲ型洗衣机1275台． 【变式11-1】六年级和七年级分别有192人和133人，现在需要从两个年级选出133人参加“读书节”活动，并且要使六年级，七年级剩余学生数之比为2：1，问应从六年级，七年级各选出多少人？ 【答案】从六年级抽出64人，从七年级抽出69 【分析】总人数不变，抽出的人数加上为抽出的人数等于总人数，设未知数，由题意列出一元一次方程即可． 【详解】解：设从六年级抽出x人，则应从七年级抽出（133-x）， 由题意得：（192-x）：[133-（133-x）]=2：1， 即（192-x）：x=2：1， 解得：x=64， ∴133-64=69（人）． 答；应从六年级抽出64人，从七年级抽出69人． 【点睛】本题是一元一次方程的应用，考查的是人员调配问题，关键知道调配后的数量关系从而可列方程求解． 【变式11-2】美丽冰城哈尔滨迎来了19年的第一场雪，49中学三个学年共800人参加了清雪劳动．其中九年级清雪的人数占总人数的，并且七年级清雪的人数比八年级清雪的人数少． (1)求九年级参加清雪劳动共有多少人？ (2)求七年级、八年级参加清雪劳动各有多少人？ (3)在清雪过程中，为尽快完成清雪任务，需要从八、九年级调走一部分人去支援七年级，若八、九年级调走的人数比为2∶3，并且九年级调走的人数比调入后七年级总人数的少8人，求从八、九年级各调走多少人？ 【答案】(1)320人 (2)七年级有200人，八年级有280人 (3)从八年级调走32人，从九年级调走48人 【分析】（1）用此次参加清雪劳动的总人数乘以即可得到九年级人数； （2）设八年级清雪的人数是x人，则七年级清雪的人数为人，根据总人数是800人即可列出方程解得即可； （3）设从八年级调走人，从九年级调走人，根据九年级调走的人数比调入后七年级总人数的少8人，列方程解答即可． 【详解】（1）（人）， 答：九年级参加清雪劳动共有320人； （2）设八年级清雪的人数是x人，则七年级清雪的人数为人， 根据题意得：， 解得：， （人）， 答：七年级年级参加清雪劳动各有200人，八年级参加清雪劳动各有280人； （3）设从八年级调走人，从九年级调走人， 则：， 解得，， （人）， （人）， 答：从八年级调走32人，从九年级调走48人． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是找清等量关系列出方程． 【变式11-3】（25-26七年级上·贵州遵义·期末）遵辣1号系贵州遵义虾子镇的特产辣椒品种，因其香辣浓郁、皮薄肉厚、色泽鲜亮、辣味纯正而著称．小温家种植了一片遵辣1号辣椒，每日需对辣椒进行采收并完成分拣装筐工作．据了解，每人每日能够采摘120千克辣椒或分拣装筐280千克辣椒．新鲜辣椒的售价为每千克8元，干辣椒的售价为每千克30元． (1)小温家雇佣了20名工人进行采摘和分拣装筐，每名工人一天只能做一项工作，不计其他因素，要使每天采摘的辣椒全部分拣装筐，应如何分配工人？ (2)一位商贩计划购买100千克的干辣椒和a千克（）新鲜辣椒．小温提供了两种优惠方案： 方案一：每买5千克的干辣椒，赠送3千克的新鲜辣椒； 方案二：每千克干辣椒和新鲜辣椒都按定价打九折付款． ①按购买方案一需支付费用______元；按购买方案二需支付费用______元；（请用含a的代数式表示） ②当a为何值时，两种购买方案的费用一样． 【答案】(1)有14名工人采摘，则有6名工人分拣装筐 (2)①；② 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，找出等量关系是解题的关键． （1）设有名工人采摘，则有名工人分拣装筐，根据采摘的数量等于分拣装筐的数量列方程即可； （2）①根据题意列代数式并化简即可； ②根据两种购买方案的费用一样建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：设有名工人采摘，则有名工人分拣装筐，由题意得 解得， ， 答：有14名工人采摘，则有6名工人分拣装筐； （2）①方案一：（元）， 方案二：（元）； ②由题意得 解得． 【题型12 古文问题】 【例12】（25-26七年级下·吉林长春·期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竿．每人五竿多十二，每人八竿少三竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和多少竹竿．每人5竿，多12竿；每人8竿，少3竿”．甲、乙两位同学分别给出自己的理解和做法： (1)甲：设牧童人数为人，根据题意可列方程_____________________________； 乙：设竹竿数为竿，根据题意可列方程_____________________________； (2)通过解方程可知：牧童的人数是_________人，竹竿的数量是_________竿． 【答案】(1)， (2)5，37 【分析】（1）甲：每人5竿多12竿时总数为，每人8竿少3竿时总数为，根据竹竿总数相等列方程即可；乙：每人5竿多12竿时人数为，每人8竿少3竿时人数为，根据人数相等列方程即可； （2）解（1）中所列方程即可求解． 【详解】（1）解：甲：设牧童人数为人，根据题意可列方程； 乙：设竹竿数为竿，根据题意可列方程； （2）解：解，得， 解，得． 所以牧童有5人，竹竿有37竿． 【变式12-1】（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子余尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺．请你解决这个问题． 【答案】尺 【分析】设木头长x尺，根据“不同测量方法中绳长不变”列方程求解即可． 【详解】解：设木头长x尺， 根据题意，得， 解得， 答：木头长尺． 【变式12-2】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）元朝著名数学家朱世杰的名著《四元玉鉴》中有一问题：“我有一壶酒，携着游春走．遇务（务，即酒肆，卖酒的地方）添一倍，逢店饮斗九（斗九即一斗九，也就是斗），店务经四处，没了壶中酒．借问此壶中，当元多少酒（即问原来应当有多少酒）”，请你用方程的方法，求出原来应当有多少酒？ 【答案】原来有酒斗． 【分析】设原来有酒斗，再根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设原来有酒斗，则 ， 解得：． 答：原来有酒斗． 【变式12-3】（25-26七年级上·新疆·期末）我国明代数学家程大位所著的《算法统宗》中记载了这样一个题目：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两(注：在明代1斤两，故有“半斤八两”这个成语)．求银子共有多少两？ 【答案】银子共有46两 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设银子共有两，根据人数不变列方程求解． 【详解】解：设银子共有两． 根据题意，每人分七两，剩余四两，则人数为． 每人分九两，还差八两，则人数为． 由于人数相等，得方程：． 两边同时乘以63，得：． 展开得：． 移项得：． 即：． 解得：． 答：银子共有46两． 【题型13 动点问题】 【例13】（24-25六年级上·上海青浦·期末）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示10，点表示18，我们称点和点在数轴上相距28个长度单位．动点、同时开始运动，点从点出发，以2单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，直至点处停止运动；点从点出发，以1单位秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，直至点处停止运动．设运动的时间为秒．问： (1)当点运动2秒时，点在数轴上表示的数是___________；当点运动10秒时，点在数轴上表示的数是___________； (2)动点从点运动至点需要多少时间？ (3)、两点何时相遇？相遇时，求出相遇点所对应的数是多少？ (4)在整个运动过程中，当为何值时，、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等．（直接写出结果） 【答案】(1)，6； (2)19秒； (3)、两点秒相遇，相遇点所对应的数是； (4)2、、11、17或21． 【分析】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，利用与的时间相等得出方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）由路程、速度、时间三者关系，数轴上两点之间的距离与有理数的关系求出当点运动2秒时，点在数轴上表示的数是，当点运动10秒时，点在数轴上表示的数是6； （2）根据路程除以速度等于时间，可得答案； （3）根据相遇时，的时间相等，可得方程，根据解方程，可得答案； （4）根据与的长度相等，分5中情况列方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：点从点出发，运动2秒时，点在数轴上表示的数是， 点从点出发，运动10秒时，点在数轴上表示的数是， 故答案为：，6； （2）解：点运动至点时，所需时间为（秒． 故动点从点运动至点需要19秒； （3）解：由题可知，、两点相遇在线段上于处，设． 则， 解得， 则． 故、两点秒相遇，相遇点所对应的数是； （4）解：、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等有5种可能： ①动点在上，动点在上，则：，解得：． ②动点在上，动点在上，则：，解得：． ③动点在上，动点在上，则：，解得：． ④动点在上，动点在上，则：，解得：． ⑤动点在上，动点在点上，则：，解得：． 综上所述：的值为2、、11、17或21． 【变式13-1】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点出发的同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设、两点运动的时间为秒． (1)点表示的数为________，点表示的数为________．（用含的代数式表示） (2)当，时，分别求线段的长． (3)当时，求所有符合条件的的值． (4)若点一直沿数轴的正方向运动，点运动到点时，立即改变运动方向，以原速度沿数轴的负方向运动，到达点时，随即停止运动，在点的整个运动过程中，当时，直接写出的值． 【答案】(1)，； (2)当时，；当时，； (3)或； (4)或． 【分析】本题主要考查了两点间的距离，数轴，一元一次方程的应用，解题的关键是熟记两点间的距离公式，找到等量关系． （1）根据点的运动方向列代数式即可求解； （2）先根据两点间的距离公式求出，再把值代入求解； （3）根据两点间的距离公式列方程求解； （4）根据的取值范围，分类讨论，列方程求解． 【详解】（1）解：点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，； （2）， 当时，， 当时，； （3）由题意得：， 解得：或； （4）当时，， 解得：或（不符合题意，舍去）， 当时，， 解得：或（不符合题意，舍去）， 综上所述，或． 【变式13-2】在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，且、满足，其中为原点，如图： (1)直接写出：＝______，＝______，，两点之间的距离为______． (2)在数轴上有一动点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，求点对应的数． (3)在数轴上有一动点，动点从点出发第一次向左运动1个单位长度；然后在此位置进行第二次运动，向右运动2个单位长度；然后在此位置进行第三次运动，向左运动3个单位长度……；按照如此规律不断地进行左右运动，当运动到2023次时，求此时点所对应的有理数． 【答案】(1) (2)3或19 (3) 【分析】本题考查绝对值非负性，绝对值定义，解一元一次方程，有理数计算． （1）利用绝对值和平方得非负性，两点间距离，即可得到本题答案； （2）根据题意分情况讨论点所处位置并列式即可得到本题答案； （3）根据题意列出关于点运动的算式解出即为本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，两点之间的距离为：； （2）解：设点表示的数为， ①当点在点左侧时，， ，， 由题意得，即， 解得（舍去）， ②当点在AB之间时，， ，， ∴， 解得：， ③当点在点的右侧时，， ，， ∴， 解得： 综上所述：点对应的数为3或19． （3）解：根据题意，设点对应的数为， ， ， ， 故点所对应的有理数为． 【变式13-3】如图，在数轴上点表示数，点表示数，且，我们把数轴上任意两点、之间的距离记作． (1)求和的值，并求点、之间的距离； (2)设动点从数对应的点开始向右运动．速度为每秒2个单位长度．同时点、在数轴上运动，点的速度是每秒3个单位长度，点是每秒4个单位长度，设运动时间为秒． ①若点向右运动，点向左运动，且．求的值： ②若点向左运动，点向右运动，若的值不随时间的变化而改变，求的值． 【答案】(1)，， (2)①或；②15 【分析】（1）根据绝对值的非负性求出和的值，即可解答； （2）①当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，根据，解方程即可求出的值； ②当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，已知点恒在点左侧，点恒在点右侧，得到，，根据的值不随时间的变化而改变，得到，解方程即可求出的值 【详解】（1）∵， ∴，， ∴ （2）①当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∵， ∴， ∴或， 解得：或． ∴的值为或； ②当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 由题意可知点恒在点左侧，点恒在点右侧， ∴，， ∴． ∵的值不随时间的变化而改变， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及多项式的定义，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 一元一次方程的应用（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 配套问题】 3 【题型2 工程问题】 4 【题型3 商品销售问题】 4 【题型4 分段计费问题】 5 【题型5 比赛积分问题】 7 【题型6 行程问题】 9 【题型7 储蓄问题】 10 【题型8 年龄问题】 10 【题型9 方案决策问题】 12 【题型10 形积问题】 14 【题型11 比例问题】 15 【题型12 古文问题】 16 【题型13 动点问题】 17 考点1 用一元一次方程解决问题 知识点1 列方程解应用题的步骤 审：弄清已知什么，求什么及其数量关系； 找：找出能表示题目全部含义的一个数量关系； 设：设未知数，可根据已知和所求选择直接假设或间接假设； 列：根据相等关系列出方程； 解：解方程； 检：检验求得的解是否正确及其是否符合实际意义； 答：写出答案． 知识点2 分析问题中的等量关系 1. 逐步列式法：例如，的2倍比大5．首先写出“的2倍”，即，它比大5，那么“大－小＝5”，即． 2. 列表分析法：用行（或列）表示不同的项目或种类，用列（或行）表示相应的数量． 3. 画图分析法：用图形表示题目中的数量关系．例如，行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系． 知识点3 常见问题中的等量关系 1. 配套问题 相等关系：加工总量成比例，若一件产品需要A，B两种配件配成，A，B两种配件的数量比是，则A种配件总数量×b＝B种配件总数量×a． 2. 工程问题 （1）基本相等关系：工作量＝工作效率×工作时间，工作时间＝，工作效率＝； （2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整体1； （3）常见的相等关系为总工作量＝各部分工作量之和． 3. 商品销售问题 （1）相等关系：①利润＝售价－进价；②；③售价＝进价×（1＋利润率）． （2）打折：n折即标价的，如7折即标价的（或70%），其中n叫折数．实际售价＝标价×． 4. 分段计费问题 常见类型：我国公民个人所得税按分段累进税制计算；社会医疗保险实行分段累进按比例报销制度；为鼓励节约用水、用电、用气，水费、电费、煤气费实行分段价格收费标准；某些运营商的话费、出租车费实 行分段计费；商家为促销商品，实行分段优惠销售等．解决这些分段讨论问题的关键是理顺部分与整体的关系：①各段费用之和=总费用；②每一段的计费标准不同． 5. 比赛积分问题 点相等关系：（1）比赛总场数＝胜场数＋平场数＋负场数； （2）比赛总得分＝胜场总得分＋平场总得分＋负场总得分． 6. 行程问题 基本相等关系：路程＝速度×时间；速度＝路程÷时间；时间＝路程÷速度． （1）直线形相遇问题：甲走的路程＋乙走的路程＝两地之间的路程． （2）直线形追及问题：快者走的路程＝慢者走的路程＋两人初始路程差； 快者走的路程＝慢者先走的路程＋慢者后走的路程． （3）环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了1圈；从出发到相遇所用时间＝；第 n次相遇时，二者合走了n圈． （4）环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走1圈；追及所用时间＝；第n次相遇时，快者比慢者多走n圈． 7. 储蓄问题 （1）本金×利率×期数＝利息（若未特别说明，银行定期存款的利率是指年利率，期数是年数)． （2）本金＋利息＝本息和；本息和＝本金×（1＋利率×期数）． 8. 年龄问题 “年龄问题”的基本规律是不管时间如何变化，两人的年龄差总是不变的，抓住“年龄差”是解答年龄问题的关键． 9. 方案决策问题 方案决策问题是实际生活中常见的问题，用一元一次方程解最佳方案问题的一般步骤：（1）列代数式； （2）列方程；（3）取特殊值试解；（4）决策． 【题型1 配套问题】 【例1】（25-26七年级下·云南玉溪·开学考试）茶具是茶文化历史发展长河中最重要的载体，是茶文化不可分割的一部分．已知每套茶具由1个茶壶和8个茶杯组成．某工厂现有120名工人，每个工人一天能做50个茶壶或200个茶杯．该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套？ 【变式1-1】（25-26七年级下·辽宁盘锦·开学考试）某食品厂元宵节前要生产一批元宵礼袋，每袋中装4颗大元宵和8颗小元宵．生产一颗大元宵要用肉馅，一颗小元宵要用肉馅．现共有肉馅．假设肉馅全部用完，生产两种元宵应各用多少肉馅，才能使生产出的元宵刚好配套装袋？ 【变式1-2】（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）某车间加工生产一种创意式三角桌，已知该车间有45名工人，平均每人每天可以加工桌面5个或桌腿12条，又知1个桌面和3条桌腿配为一套，该车间应如何安排工人使每天加工的桌面与桌腿刚好配套？ 【变式1-3】“爱心暖人间，关爱老人我先行”志愿活动启动，学校假期组织52名同学做礼品盒送给敬老院的老人们．平均每人每天加工大礼品盒14个或小礼品盒10个．已知每个大礼品盒可以装3个小礼品盒，问需要分别安排多少名同学加工大、小礼品盒，才能使每天加工的大、小礼品盒刚好配套？ 【题型2 工程问题】 【例2】（25-26七年级下·山东日照·开学考试）某市实施惠民工程，对老旧小区进行改造，甲、乙两个工程队参与某小区9000平方米路面改造．其中甲队每天完成200平方米，乙队每天完成的工程量是甲队的倍，甲队施工一天需付工程款万元，乙队施工一天需付工程款万元． (1)若甲、乙两队合作若干天后，乙队又单独干5天，最终完成任务，求乙队完成此项工程的天数； (2)若甲、乙两队全程合作，完成该工程需付工程款多少钱？ 【变式2-1】（25-26七年级上·吉林长春·开学考试）一项工程，甲队单独做天可以完成，乙队单独做天可以完成，丙队单独做天可以完成．如果先由三队合作天，剩下的由甲队单独完成，那么甲队还需要多少天才能完成这项工程？ 【变式2-2】甲、乙、丙三人在A，B两块地植树， A地要植树900棵， B地要植树1250棵，已知  甲、乙、丙每天分别植树24，30，32棵，甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地 植树，然后转到B 地植树，两块地同时开始，同时结束，乙应该开始后第几天从A地转到B地？ 【变式2-3】一项工程，甲独做需20天，乙独做需30天．如果两人合作，他们的工作效率就要降低，甲只能完成原来的乙只能完成原来的 现在要16天完成这项工程，且要两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？ 【题型3 商品销售问题】 【例3】某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件元的价格购进了某品牌衬衫件，并以每件元的价格销售了件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下： (1)降价前每件衬衫的利润率为多少？ (2)每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标？ 【变式3-1】某服装店以每件600元的价格购进了某品牌羽绒服500件，并以每件800元的价格销售了400件，服装店计划对剩余的羽绒服降价促销．请你帮助该服装店设计一下，每件羽绒服降价多少元时，销售完这批羽绒服正好能达到盈利的预期目标？ 【变式3-2】为响应国家号召，帮助农副产品走出大山，“村头”电商平台将咸蛋和豆腐乳进行网上销售．咸蛋售价为4元/袋，豆腐乳售价为5元/袋，5月份咸蛋的销量比豆腐乳的销量多1200袋，五月份咸蛋的总销售额为豆腐乳总销售额的两倍． (1)5月份咸蛋和豆腐乳的销售量分别为多少袋？ (2)6月份咸蛋售价比5月份降低了 ，销量比5月份增加了 ．豆腐乳的销量比5月份增加了 ，售价保持不变，结果咸蛋和豆腐乳6月份的总销售额比5月份增加 ，求a的值． 【变式3-3】（24-25七年级上·重庆·期末）列一元一次方程解应用题： 寒潮来袭，各地气温不断创新低，然而来势汹汹的冷空气，却吹不散人们的消费热情．购置御寒衣物、取暖电器，或是品尝一顿热气腾腾的火锅，成为不少人的入冬“仪式”．全国各地立足自身自然资源优势，将“冷资源”转化为“热经济”．某商店的、两种御寒商品也是深受顾客的喜爱，每件商品的售价为元，利润为元；每件商品的进价为元，利润率为： (1)每件商品的进价为__________元，每件商品的售价为________元； (2)若该商店第一次用元购进了、两种商品，其中商品的件数比商品件数的倍少件，求购进、两种商品各多少件； (3)在（2）的条件下，该商店第二次又购进、两种商品进行销售，与第一次相比，购进商品的件数不变，进价提高了，售价不变并且全部售出；购进商品的件数增加了，进价不变，但每件的售价调整为元，销售一段时间后，商店为了回馈消费者进行打折促销，于是将剩下的件商品打九折并全部售出，若第二次购进的两种商品共获得利润元，求的值． 【题型4 分段计费问题】 【例4】某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 第2档 超过240度但不超过400度的部分 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费183元. (1)表中的值为________； (2)求老李家9月份的用电量； (3)若8月份老李家用电的平均电价为元/度，求老李家8月份的用电量. 【变式4-1】为了增强市民的节约用水意识，自来水公司实行阶梯收费，具体情况如表： 每月用水量 收费 不超过吨的部分 水费元/吨 吨以上至吨的部分 水费元/吨 吨以上的部分 水费元/吨 (1)若小刚家月份用水吨，则小刚家月份应缴水费___________元．（直接写出结果） (2)若小刚家月份的平均水费为元/吨，则小刚家月份的用水量为多少吨？ (3)若小刚家月、月共用水吨，月底共缴水费元，其中含元滞纳金（水费为每月底缴纳．因月份的水费未按时缴，所以收取了滞纳金），已知月份用水比月份少，求小刚算、月各用多少吨水？ 【变式4-2】在武汉市乘坐出租车的收费标准是：路程不超过3千米计费10元；路程超过3千米但不超过10千米时，超出3千米部分按每千米1.5元计费加上10元；路程超过10千米时，超出10千米部分按每千米1元计费，3千米到10千米部分按每千米1.5元计费，再加上10元乘坐滴滴专车的收费标准是：基本费用4元加每千米1.2元． (1)李老师从家到学校的距离是15千米，如果乘坐出租车，费用是______元；如果乘坐滴滴专车，费用是______元； (2)周末外出李老师乘坐出租车和滴滴滴专车各一次，且每次乘车路程大于3千米． ①如果李老师两次乘车路程共计50千米，付费71.3元，那么他乘坐出租车和滴滴专车的路程各是多少千米？ ②如果李老师乘坐出租车的路程超过10千米，他两次乘车的费用共36.1元，且两次乘车的路程都是整数千米，那么李老师乘坐出租车和滴滴专车的路程各是多少千米？ 【变式4-3】从锦江区社保局获悉，我区范围内已经实现了全员城乡居民新型社会合作医疗保险制度．享受医保的城乡居民可在规定的医院就医并按规定标准报销部分医疗费用．下表是住院费用报销的标准： 住院费用x(元) 0<x<5000 5000<x≤20000 x>20000 每年报销比例 40% 50% 60% (说明：住院费用的报销采取分段计算方式，如：某人一年住院费用共30000元，则5000元按40%报销，15000元按50%报销，余下的10000元按60%报销；实际支付的住院费=住院费用-按标准报销的金额．) （1）若我区居民张大哥一年住院费用为20000元，则按标准报销的金额为 元，张大哥实际支付了 元的住院费； （2）若我区居民王大爷一年内本人实际支付的住院费用为21000元，则王大爷当年的住院费用为多少元? 【题型5 比赛积分问题】 【例5】某次篮球联赛积分榜如下： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 东方 光明 蓝天 雄鹰 远大 卫星 钢铁 (1)通过观察积分表，直接写出负一场积______分； (2)求胜一场的积分： (3)若某队胜场总积分等于它的负场总积分的倍，请直接写出该队队名． 【变式5-1】（2024·吉林长春·一模）2024年10月1日，中华人民共和国将迎来75周岁的生日．为喜迎国庆，某学校举办了一场历史知识竞赛，竞赛共20道题，评分规则为：对于每一道题，答对得5分，答错或不答扣2分，其中九年级代表队最终得分为86分，求九年级代表队答对了多少道题？ 【变式5-2】下表是某次篮球联赛部分球队的积分表： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 16 10 6 36 光明 16 9 7 34 远大 16 12 4 40 卫星 16 6 10 28 备注：积分=胜场积分+负场积分 (1)直接写出胜一场的积分和负一场的积分； (2)某队说他们的总积分为45分，你认为可能吗？为什么？ (3)若某队的负场总积分是胜场总积分的正整数倍，胜一场奖励每个球员5000元，负一场奖励．每个球员1000元，请问这支球队的每个球员所获奖金可能是多少元？ 【变式5-3】（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）七年级一班的第一组名同学，自行组织知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录的是名同学的得分情况： (1)由表格知，答对一题得______分，答错一题得______分； (2)第名同学得了分，请你帮他算一算，答对了几道题？ 参赛者 答对题数 答错题数 得分 【题型6 行程问题】 【例6】（25-26七年级下·吉林长春·期末）学校运动队沿校园周边的步道晨跑，甲、乙两队员同时出发，跑完一圈乙比甲多用．已知甲、乙队员跑步的平均速度分别是、．问这一圈步道有多长？ 【变式6-1】（25-26七年级下·吉林长春·期末）某班到离学校的国家森林公园春游，先坐车，速度为．下车后以的速度步行到达目的地，共花了，求他们步行的时间． 【变式6-2】（25-26六年级下·山东泰安·期末）小明和爸爸周末同时出发沿相同路线绕西湖骑行和步行，小明骑自行车速度是12千米/小时，爸爸步行，速度是6千米/小时．小明骑行1小时后立即调转车头，仍以12千米/小时的速度往回骑，爸爸仍按原速度步行，直到与爸爸会合，会合时，爸爸总共步行了多长距离？ 【变式6-3】（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图1是某校根据场地实际，建成的米跑道，共有八条分道．每条分道宽米（分道线宽度忽略不计），由两条直道和两个半径相等的半圆形弯道组成，直道长米．第一分道（最内圈）弯道半径为米，各分道的长度计算算式依次如下（取）： 第一分道米 第二分道米 第三分道米 … (1)如图1，请你计算跑道中第六分道的长度；（计算结果保留位小数） (2)学校还有一个米跑道，共有四条分道，道宽仍为米，直道长为米，其最内圈半径长为米．小海同学在数学课上设计该跑道比赛的起跑线和终点线，所画示意图如图2．为了公平比赛，请你通过计算说明小海的设计是否有误，如果有误请指出错误的数据，并进行修正；（计算结果保留位小数） (3)小海和小沧从米跑道的最内圈同一位置，同时同向出发，小海跑步的平均速度为米/秒，其刚跑完一圈时领先小沧米．假设他们跑步的平均速度不变，若小沧先跑秒后小海才出发，那么从小海起跑到两人第二次相遇前，经过多少秒两人相距米？ 【题型7 储蓄问题】 【例7】小希准备在6年后考上大学时，用15000元给父母买一份礼物表示感谢，决定现在把零花钱存入银行下面有两种储蓄方案： ①直接存一个6年期.（6年期年利率为） ②先存一个3年期，3年后本金与利息的和再自动转存一个3年期.（3年期年利率为） 你认为按哪种储蓄方案开始存入的本金比较少？请通过计算说明理由. 【变式7-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）去年小张到银行存了一笔年利率为的普通储蓄，今年存满一年后，利息的正好够买一台随身听，已知随身听每台509元，问一年前小张存了多少元钱？（结果保留整数） 【变式7-2】小红爸爸前年存了年利率为的二年期定期储蓄，今年到期后，所得利息正好为小红买了只价格为48.60元的计算机，问小红的爸爸前年存了多少元？ 【变式7-3】为了准备小颖六年后上大学的学费 元，她的父亲现在就参加了教育储蓄，下面有两种蓄方式： （1）先存一个三年期的，三年后将本息和自动转存一个三年期； （2）直接存一个六年期的． 你认为哪种储蓄方式开始存入的本金比较少？ 期数 教育储蓄年利率 一年 三年 六年 【题型8 年龄问题】 【例8】（26-27七年级·全国·小升初衔接）马丁一家人坐火车回家乡．车上有个很唠叨的人，不停地问这问那，最后问起马丁一家人的年龄．马丁有些不耐烦，就说：“我儿子的年龄是我女儿年龄的5倍，我妻子的年龄是我儿子年龄的5倍，我的年龄是我妻子年龄的倍，把我们的年龄都加起来，正好是祖母的年龄，今天她正要庆祝61岁的生日．”那人想了一会儿想不出来，你知道马丁多少岁吗？ 【变式8-1】小华的年龄是8岁，小青的年龄是9岁，求得他们今年的年龄之和是17岁，像这样的问题就是年龄问题． (1)3年前，小康的年龄是17岁；3年后，小康的年龄是多少岁？ (2)小晨的年龄是5岁，小铃的年龄是7岁，多少年后他们的年龄和是30岁？ (3)小丁对小当说：“我到你这个年纪时，你就25岁了．”小当对小丁说：“我在你这么大时，你才4岁．”小丁今年多少岁？ 【变式8-2】列方程解应用题： 数学家的故事 古希腊数学家丢番图（约公元250年左右），被人们称为代数学之父．对于他的生平事迹，人们知道得很少，但在一本《希腊诗文选》（公元500年前后的遗物）中，收录了他的墓志铭． 希腊数学家丢番图（公元3−4世纪）的墓碑上记载着：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了．”根据以上信息，请你算出： (1)丢番图的寿命； (2)丢番图开始当爸爸时的年龄； (3)儿子死时丢番图的年龄． 【变式8-3】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）【项目背景】 干支纪年是我国古代常用的纪年方法，以下是关于干支纪年的素材，请阅读后解决问题． 素材①：干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，即：甲子、乙丑、丙寅、…、壬申、癸酉、甲戌、乙亥、丙子…，每个组合代表一年，年为一个循环，也称年一甲子． 素材②：把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号． 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 天干的计算方法是：年份减，除以后，所得的余数； 地支的计算方法是：年份减，除以后，所得的余数． 以年为例，天干为：；地支为：；对照天干地支表得出，2026年为农历丙午年． 【内容理解】 （1）干支纪年中， “甲丑”年；（填“有”或“没有”） 【问题探究】 （2）安徽合肥以“科创之光”为定位，首次入选年央视春晚分会场，选址骆岗中央公园．年前的年，央视春晚首次设立了除主会场北京外的广东、黑龙江、四川三个分会场，开启春晚多地联动的先河．年用干支纪年法是农历 年； 【知识运用】 （3）假设今年是2026年，小红是七年级学生，她的弟弟比她小岁，今年小红和弟弟的年龄之和刚好是爸爸年龄的一半，年以后，小红和弟弟年龄之和比爸爸的年龄大岁．用干支纪年表示，小红是哪一年出生的？ 【题型9 方案决策问题】 【例9】（25-26七年级上·山东德州·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计购买方案？ 素材1 某校准备开展乒乓球联赛，故计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价150元，乒乓球每盒定价15元． 素材2 由于喜迎“元旦”，某商店推出促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一副乒乓球拍送两盒乒乓球，其余乒乓球按定价付款； 方案二；乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 素材3 该校计划购买乒乓球拍10副，乒乓球盒（，为整数）． 问题解决 任务1 确定当时的不同方案的价格 （1）当时， 若该校按方案一购买，则需付款 元； 若该校按方案二购买，则需付款 元． 任务2 探究的取值变化对方案选择的影响 （2）当为何值时，用两种方案购买所需费用一样？ 任务3 拟定最优方案 （3）若，能否找到一种更为省钱的购买方案？如果能，请你写出购买方案，并计算出此方案所需费用；如果不能，请说明理由． 【变式9-1】（25-26八年级上·山东济南·期末）某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案； 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内（含10人）不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式； (2)某单位组织10人以上去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 【变式9-2】（25-26七年级上·广东广州·期末）某家具厂生产一种办公桌和办公椅，办公桌每张定价为200元，办公椅每把定价为80元，厂家在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： 方案一：每买一张办公桌就赠送一把办公椅； 方案二：办公桌和办公椅都按定价的付款． 某学校计划添置100张办公桌和x把办公椅（x超过100）． (1)当时，求两种方案各自的费用； (2)当x等于多少时，两种方案的费用一样多； (3)如果只能单独享受其中一种优惠方案，请设计一种省钱的方案（直接写出方案）． 【变式9-3】（25-26七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）为深入贯彻习近平总书记“带动三亿人参与冰雪运动”大力发展、普及冰雪运动的重要指示精神，充分挖掘我旗冬季冰雪资源禀赋和民族文化特色，特设立“雪假”，以丰富学生冬季生活畅游冰雪世界．在“雪假”期间某滑雪装备商店对本店原价滑雪双板900元一副和护目镜200元一副两种商品进行促销活动，并向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一副滑雪双板送一副护目镜； 方案二：滑雪双板和护目镜都按定价的付款． 现有超人滑雪俱乐部要购买滑雪双板20副，护目镜x副（）： (1)按方案一，购买滑雪双板和护目镜共需付款______元；按方案二，购买滑雪双板和护目镜共需付款______元；（用含x的式子表示） (2)计算一下，购买护目镜多少副时，两种优惠方案付款一样？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？若能，请写出该购买方案并计算所需付款数目． 【题型10 形积问题】 【例10】在数学活动课中，同学们用长为a厘米，宽为30厘米的长方形软纸，制作一个上、下底面为正方形的长方体包装纸盒． (1)当时，小明设计长方体的展开图如图所示，设剪去的小长方形的宽为x厘米．求这个包装纸盒的体积（长方体的体积长宽高）； (2)若长方形软纸的宽不变，当a超过50时，这个包装纸盒的体积能否变大？请举一例说明． 【变式10-1】底面半径为10cm，高为20cm的圆柱形水桶中装满了水．小明先将桶中的水倒满2个底面半径为5cm，高为4cm的圆柱形水杯中，再把剩下的水倒入一个棱长为20cm的正方体容器内，正方体容器内水的高度大约是多少厘米？（π取3，容器的厚度不计；圆柱体体积＝底面积×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长）． 【变式10-2】如图，将一张正方形纸片剪去一个宽为的长方形纸条，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长方形纸条． (1)如果第一次剪下的长方形纸条的周长恰好是第二次剪下的长方形纸条周长的2倍，求原正方形纸片的边长； (2)第一次剪下的长方形纸条的面积能否是第二次剪下的长方形纸条面积的2倍？如果能，请求出正方形纸片的面积；如果不能，请说明理由． 【变式10-3】小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示，根据图中的数据（单位：），解答下列问题： (1)用含的代数式表示厨房的面积为______，卧室的面积为______． (2)设此经济适用房的总面积为，则______（用含的代数式表示）． (3)已知厨房面积比卫生间面积多，且铺地砖的平均费用为80元，那么铺地砖的总费用为多少元？ 【题型11 比例问题】 【例11】（24-25七年级上·福建福州·期末）列方程解应用题：洗衣机厂某月计划生产Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型洗衣机共2550台，其中Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机的数量之比为，洗衣机厂该月计划生产这三种洗衣机各多少台？ 【变式11-1】六年级和七年级分别有192人和133人，现在需要从两个年级选出133人参加“读书节”活动，并且要使六年级，七年级剩余学生数之比为2：1，问应从六年级，七年级各选出多少人？ 【变式11-2】美丽冰城哈尔滨迎来了19年的第一场雪，49中学三个学年共800人参加了清雪劳动．其中九年级清雪的人数占总人数的，并且七年级清雪的人数比八年级清雪的人数少． (1)求九年级参加清雪劳动共有多少人？ (2)求七年级、八年级参加清雪劳动各有多少人？ (3)在清雪过程中，为尽快完成清雪任务，需要从八、九年级调走一部分人去支援七年级，若八、九年级调走的人数比为2∶3，并且九年级调走的人数比调入后七年级总人数的少8人，求从八、九年级各调走多少人？ 【变式11-3】（25-26七年级上·贵州遵义·期末）遵辣1号系贵州遵义虾子镇的特产辣椒品种，因其香辣浓郁、皮薄肉厚、色泽鲜亮、辣味纯正而著称．小温家种植了一片遵辣1号辣椒，每日需对辣椒进行采收并完成分拣装筐工作．据了解，每人每日能够采摘120千克辣椒或分拣装筐280千克辣椒．新鲜辣椒的售价为每千克8元，干辣椒的售价为每千克30元． (1)小温家雇佣了20名工人进行采摘和分拣装筐，每名工人一天只能做一项工作，不计其他因素，要使每天采摘的辣椒全部分拣装筐，应如何分配工人？ (2)一位商贩计划购买100千克的干辣椒和a千克（）新鲜辣椒．小温提供了两种优惠方案： 方案一：每买5千克的干辣椒，赠送3千克的新鲜辣椒； 方案二：每千克干辣椒和新鲜辣椒都按定价打九折付款． ①按购买方案一需支付费用______元；按购买方案二需支付费用______元；（请用含a的代数式表示） ②当a为何值时，两种购买方案的费用一样． 【题型12 古文问题】 【例12】（25-26七年级下·吉林长春·期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竿．每人五竿多十二，每人八竿少三竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和多少竹竿．每人5竿，多12竿；每人8竿，少3竿”．甲、乙两位同学分别给出自己的理解和做法： (1)甲：设牧童人数为人，根据题意可列方程_____________________________； 乙：设竹竿数为竿，根据题意可列方程_____________________________； (2)通过解方程可知：牧童的人数是_________人，竹竿的数量是_________竿． 【变式12-1】（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子余尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺．请你解决这个问题． 【变式12-2】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）元朝著名数学家朱世杰的名著《四元玉鉴》中有一问题：“我有一壶酒，携着游春走．遇务（务，即酒肆，卖酒的地方）添一倍，逢店饮斗九（斗九即一斗九，也就是斗），店务经四处，没了壶中酒．借问此壶中，当元多少酒（即问原来应当有多少酒）”，请你用方程的方法，求出原来应当有多少酒？ 【变式12-3】（25-26七年级上·新疆·期末）我国明代数学家程大位所著的《算法统宗》中记载了这样一个题目：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两(注：在明代1斤两，故有“半斤八两”这个成语)．求银子共有多少两？ 【题型13 动点问题】 【例13】（24-25六年级上·上海青浦·期末）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示10，点表示18，我们称点和点在数轴上相距28个长度单位．动点、同时开始运动，点从点出发，以2单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，直至点处停止运动；点从点出发，以1单位秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，直至点处停止运动．设运动的时间为秒．问： (1)当点运动2秒时，点在数轴上表示的数是___________；当点运动10秒时，点在数轴上表示的数是___________； (2)动点从点运动至点需要多少时间？ (3)、两点何时相遇？相遇时，求出相遇点所对应的数是多少？ (4)在整个运动过程中，当为何值时，、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等．（直接写出结果） 【变式13-1】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点出发的同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设、两点运动的时间为秒． (1)点表示的数为________，点表示的数为________．（用含的代数式表示） (2)当，时，分别求线段的长． (3)当时，求所有符合条件的的值． (4)若点一直沿数轴的正方向运动，点运动到点时，立即改变运动方向，以原速度沿数轴的负方向运动，到达点时，随即停止运动，在点的整个运动过程中，当时，直接写出的值． 【变式13-2】在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，且、满足，其中为原点，如图： (1)直接写出：＝______，＝______，，两点之间的距离为______． (2)在数轴上有一动点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，求点对应的数． (3)在数轴上有一动点，动点从点出发第一次向左运动1个单位长度；然后在此位置进行第二次运动，向右运动2个单位长度；然后在此位置进行第三次运动，向左运动3个单位长度……；按照如此规律不断地进行左右运动，当运动到2023次时，求此时点所对应的有理数． 【变式13-3】如图，在数轴上点表示数，点表示数，且，我们把数轴上任意两点、之间的距离记作． (1)求和的值，并求点、之间的距离； (2)设动点从数对应的点开始向右运动．速度为每秒2个单位长度．同时点、在数轴上运动，点的速度是每秒3个单位长度，点是每秒4个单位长度，设运动时间为秒． ①若点向右运动，点向左运动，且．求的值： ②若点向左运动，点向右运动，若的值不随时间的变化而改变，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $