4.1.数列的概念(1)课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件围绕数列的概念、分类、与函数的关系及性质展开，通过身高测量、一尺之棰等五个现实实例导入，引导学生观察数的排列规律，从具体实例抽象出数列定义，再结合项数和项的变化趋势分类，建立与函数的联系，形成从感知到应用的学习支架。 其亮点在于以现实情境培养数学眼光，通过实例分析发展数学思维，用表格和函数对应关系强化数学语言表达。题型涵盖概念辨析、通项公式求法等五类，结合规律总结如求最值方法，帮助学生提升抽象与推理能力，也为教师提供系统的教学思路和实用的课堂活动设计。

4.1数列的概念(1) 一、数列的概念与分类 问题1　观察以下几列数： ①王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高得：75，87，96，103，110，116， 120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168. ②战国时期庄周引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭．这句话中隐藏着一列数：1，③从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2027,2027，…，2027； ④小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7,0,2,5,7,0,2,5，…； ⑤ 的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数 实例①中的第五个数的意义是什么？能否和其他的数交换位置？ 你能找到上述例子中的数的共同点和不同点吗？ 共同点：都是按照确定的顺序进行排列的数． 不同点： 1、从项数上来看：①③项数有限(有穷数列)，②④⑤项数无限（无穷数列）； 2、从项的变化上来看： ①从第二项起，每一项都大于它的前一项（递增数列） ②从第二项起，每一项都小于它的前一项（递减数列） ③项没有发生变化， （常数列） ④呈现周期性的变化 （周期数列） ⑤从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.（摆动数列） 一、数列的概念与分类 2、数列的一般形式是 a1，a2，a3，…，an，…. (n∈N*)简记作{an} . 思考 ：{an} 与an的意思一样吗？ {an}表示一个数列：a1，a2，a3，…，an，…. ； an表示数列{an}中的第n项. 1、定义：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示······第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示，其中第1项也叫做首项. 分类标准 名称 定义 按项的个数 有穷数列 项数______的数列 无穷数列 项数______的数列 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都______它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都______它的前一项的数列 常数列 各项都______的数列 有限 无限 大于 小于 相等 一、数列的概念与分类 二、数列与函数的关系 由于数列{an}中的每一项an与它的序号n有下面的对应关系: 序号 1 2 3 ··· n ··· 项 a1 a2 a3 ··· an ··· 所以数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1, 2, ··· , n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an ，记为an = f(n). 也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值f(1)， f(2) , ··· , f(n), ··· 就是数列{an}. 另一方面，对于函数y=f(x)，如果f(n) (n∈N*)有意义，那么f(1)， f(2) , ··· , f(n), ···构成了一个数列{f(n)}. 数列是自变量为离散的数的函数. 三、数列表示方法和性质 1、表示方法：表格、图像、解析式(通项公式) 2、单调性: 递增数列： 递减数列： 对任意n∈N*，总有an+1>an (或an+1-an>0). 对任意n∈N*，总有an+1<an (或an+1-an<0). 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列. 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列. 3、通项公式：表示数列的第n项an与它的序号n之间的对应关系的式子。 即an=f(n)，n∈N+ 题型一、数列的概念与分类 例1　下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？ (1)1,0.84,0.842,0.843，…； (2)2,4,6,8,10，…； (3)7,7,7,7，…； (5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1； (6)0，－1,2，－3,4，－5，…. 变式、 下列叙述正确的是(　　)A.所有数列可分为递增数列和递减数列两类B.数列中的数由它的位置序号唯一确定C.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}D.同一个数在数列中不可能重复出现 题型一、数列的概念与分类 题型二、由数列的前几项求通项公式 例2　写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (3)0,1,0,1； (4)9,99,999,9 999. 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等. (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式. (3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号. (4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等. 题型二、由数列的前几项求通项公式 跟踪训练2　写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (3)7,77,777,7 777. 题型二、由数列的前几项求通项公式 题型三、通项公式的应用 例3、已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. (1) 写出此数列的第4项和第6项； (2) －49是否是该数列中的一项？如果是，应是哪一项？ 68是否是该数列中的一项？如果是，应是哪一项？ (3)数列中的最小项是多少？它是第几项？ 例4、已知数列{an}的通项公式an= ，判断此数列的单调性 题型四、数列的单调性判断与应用 变式1、已知数列{an}的通项公式为an=n²+λn，若数列{an}为递增数列，则λ的取值范围是 。 题型四、数列的单调性判断与应用 变式2、已知数列{an}满足： 且数列{an}是递增数列, 则实数a的取值范围是 。 题型四、数列的单调性判断与应用 题型五、求数列的最大项和最小项 题型五、求数列的最大项和最小项 题型五、求数列的最大项和最小项 1、知识点： 2、题型、方法： 3、易错点与难点： 课堂小结 (4)，，，，…； (1)－1，，－，； (2)，2，，8； (1)－，，，； (2)，，，； $