4.2.1 等差数列的概念(1)课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

我们知道数列是一种特殊的函数，在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念,了解了函数变化规律的研究内容（如单调性，奇偶性等）后，通过研究基本初等函数不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数，指数函数，对数函数，三角函数等非常有用的函数模型. 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 1.北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为 9,18,27,36,45,54,63,72,81.① 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 仔细观察，看看以上四个数列有什么共同特征？ 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 这些数列有一个共同特点： 从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一常数. 我们把这样的数列叫等差数列，今天我们就来认识这一典型数列 ——等差数列 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 4.2.1 等差数列的概念(1) 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 1.等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示. 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 单击此处编辑母版文本样式 二级 三级 四级 五级 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 【问题3】刚才四个数列的公差分别是什么？ 【问题4】公差大于零、小于零、等于零时等差数列分别有何特点？ 等差数列要么是递增数列、要么是递减数列、要么是常数列.等差数列在生活中应用非常广泛，比如衣服鞋子的尺寸，打的费用等. 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 若一个等差数列的首项和公差确定,那么这个数列中的每一项是否唯一确定？数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？ 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 刚才我们是通过等差数列的前几项归纳出通项公式，后面我们会知道由这种方法得到的结论还需要进行证明才可以用. 【问题】还有没有其他的推导方法？ 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 这种求通项的方法叫累加法，它是数列求通项的常见方法之一. 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 3.等差数列的通项公式 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 2. 在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列． 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 【思考】观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 单击此处编辑母版文本样式 二级 三级 四级 五级 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 1.等差数列定义; 2.等差数列通项公式(两个); 3.等差中项. 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 延时符 谢谢聆听！ 敬请批评指正 延迟符 自强厚德 追求卓越 洛阳一高王玮琪 41 类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前项和公式，并应用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用.下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手. 请看下面几个问题中的数列. 2.型号的女装上对应的尺码分别是 38,40,42,44,46,48. ② 3.测量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大气温度,得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位）依次为 25,24,23,22,21 ③ 4.某人向银行贷款万元，贷款时间为年.如果个人贷款月利率为，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金元，每月支付给银行的利息(单位:元)依次为 ，…， ④ 在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律.例如，在指数函数的学习中，我们通过运算发现了两地旅游人数的变化规律，类似地，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？ 对于①，我们发现，…，， 换一种写法，就是，…，. 如果用表示数列①，那么有 ，…，， 即. 类似地，对于②； 对于③； 对于④. 【问题1】定义中为什么要说从第二项起？能不能将同一个常数改为常数？为什么？ 【问题2】上述定义如何转化为符号语言？ 【练习】判断下列数列是否是等差数列． 如果是，写出它的公差． (1)； (2)； (3)； (4). 【思考】数列是不是等差数列？ 2.等差中项 由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时叫做与的等差中项，用等式表示为. 下列两个数的等差中项分别是什么？ （1）2 ，( ) ，4 （2）-12，( ) ，0 是不是任意两数都存在等差中项？ 存在几个？ 等差数列 中， 与 之间有怎样的关系？为什么？ . 反之亦成立，由此我们可以得到判断等差数列的又一方法. 【练习】 求下列各组数的等差中项： (1)647和895； (2)和. 若一等差数列的首项是，公差是，则据其定义可得 ，即,, 即. ，即,…… 由此归纳等差数列的通项公式可得：. 证明：， 将以上个式子相加得. 从第几项开始归纳的？（第二项，所以） 【问题】时呢？当时， 等式也是成立，因而等差数列的 通项公式为. 【练习】1.已知在等差数列中， ，．求． 【解】设等差数列的公差为，则在等差数列中， ， ， 插入的这3个数为，，． 所以当时， 如图，在平面直角坐标系中画出函数的图象，就得到一条斜率为，截距为的直线.在这条直线上描出点，…，，…，就得到了等差数列的图象.事实上，公差的等差数列的图象是点组成的集合，这些点均匀分布在直线上. 反之，任给一次函数为常数),则，…，， …，构成一个等差数列，其首项为，公差为. 【例1】已知数列的通项公式，其中是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是多少？ 【例2】(1)已知等差数列的通项公式为，求的公差和首项； (2)求等差数列8，5，2…的第20项. (2)由得， . 【例3】是不是等差数列 ,…的项？如果是， 是第几项？ 【例4】已知等差数列 中， ， ,求 的通项公式. 解：成等差数列，， $