精品解析：山东省日照市莒县2025-2026学年八年级上学期11月期中考试数学试题

2025-2026学年度上学期八年级阶段素养测试 数学试题 （时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分．第I卷为选择题，30分；第II卷为非选择题，90分；共120分． 2．答卷前务必将自己的姓名、座号和准考证号按要求填写在答题卡上的相应位置． 3．第I卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案． 4．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写到答题卡题号所指示的答题区域，不得超出预留范围，在草稿纸、试卷上答题均无效． 第I卷（选择题 30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 点关于x轴的对称点是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“型转动钳”按如图方法进行测量，其中，测得，圆形容器的壁厚是（ ）     A. B. C. D. 5. 下列命①若，则；②等边三角形的三个内角相等；③全等三角形的对应角相等；④角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．逆命题正确的有（ ） A. ①②③ B. ②④ C. ②③④ D. ①②③④ 6. 在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（ ） A. B. C. D. 平分 7. 观察下列尺规作图的痕迹，不能判断是等腰三角形的是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上一动点，且，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图，、、三点在一条直线上，和都是等边三角形．下列结论：①；②；③平分；④，⑤．其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 10. 已知，现给出之间的四个关系式：①；②；③；④．其中正确的关系式是（ ） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④ 第II卷（非选择题 90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上． 11. 计算：_____． 12. 如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，可得，这时测得的长就是的长．判定最直接的依据是______． 13. 等腰三角形的一个角是，则它的一个底角的度数是___________． 14. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接．若的周长为9，，则的周长为_____． 15. 如图，已知：，点、、在射线上，点、、在射线上，、、均为等边三角形，若，则的边长为_____． 三、解答题（本大题共8题，满分75分．解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，． 17. 如图，在中，，点D是的中点，点E在上．求证：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，有，，三点． （1）画出格点（顶点均在格点上）关于轴对称的； （2）直接写出的面积为 ； （3）若格点到点、的距离相等，则网格中满足条件的点共有 个． 19. 已知，中，，，D为上一点，的延长线于E，且，求证：． 20. 观察下列各式： …… 请根据你发现的规律完成下列各题． （1）填空：①； ②（其中为正整数）； （2）根据规律计算：； （3）计算：． 21. 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】（1）若，则 ； （2）若满足，则 ； 【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中在一直线上，连接．若，求一块直角三角板的面积． 22. 如图1，平分．易证是等腰三角形． （1）如图2，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个三角形（请将正确的序号填写在横线上）； ①直角三角形；②等边三角形；③等腰三角形 （2）如图3，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． （3）如图4，在四边形中，，为的中点，且平分，连接，试猜想线段、和之间的数量关系，并证明你的猜想． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点B与点C关于x轴对称，点D为x轴上一点，点A为射线上一动点，且 ，过D作于M． （1）求证：； （2）求证：平分； （3）当A点运动时， 的值是否发生变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期八年级阶段素养测试 数学试题 （时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分．第I卷为选择题，30分；第II卷为非选择题，90分；共120分． 2．答卷前务必将自己的姓名、座号和准考证号按要求填写在答题卡上的相应位置． 3．第I卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案． 4．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写到答题卡题号所指示的答题区域，不得超出预留范围，在草稿纸、试卷上答题均无效． 第I卷（选择题 30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，逐项判断即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； D、该图形是轴对称图形，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 点关于x轴的对称点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，掌握知识点是解题的关键． 根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可． 【详解】解：点关于x轴的对称点是． 故选A． 3. 若，则下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，零指数幂以及积的乘方运算，根据各自的运算法则一一计算并判断即可． 【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； 故选：C． 4. 在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“型转动钳”按如图方法进行测量，其中，测得，圆形容器的壁厚是（ ）     A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（）是解题的关键． 先证明三角形全等，得出的长度，再根据与的关系求出壁厚． 【详解】解：在和中， ∵，，， ∴（）， ∴， ∵， ∴壁厚为， 故选：． 5. 下列命①若，则；②等边三角形的三个内角相等；③全等三角形的对应角相等；④角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．逆命题正确的有（ ） A. ①②③ B. ②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了逆命题的书写及真假判断，熟练掌握命题的逆命题定义和相关数学概念是解题的关键．分别写出每个命题的逆命题，再判断其真假． 【详解】解：①逆命题：若，则． ∵时，与可能相等或互为相反数（如，）， ∴逆命题错误． ②逆命题：若三角形的三个内角相等，则它是等边三角形． ∵三角形内角相等则每个角为，是等边三角形， ∴逆命题正确． ③逆命题：若两个三角形的对应角相等，则它们全等． ∵对应角相等的三角形不一定全等（如大小不同的等边三角形）， ∴逆命题错误． ④逆命题：若一个点在角的平分线上，则它到角的两边距离相等． ∵角平分线上的点到角两边距离相等， ∴逆命题正确． 综上，逆命题正确的有②④． 故选：B． 6. 在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三线合一，根据三线合一，进行判断即可． 【详解】解：当时， ∵点在上， ∴， ∴， ∴；故选项A不符合题意； ∵， ∴，不能得到；故选项B符合题意； ∵， ∴当或平分时，；故选项C，D均不符合题意； 故选B 7. 观察下列尺规作图的痕迹，不能判断是等腰三角形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本的作图方法，结合等腰三角形的判定，逐一进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、根据一个角等于已知角的作法可知，是等腰三角形，不符合题意，选项错误； B、根据垂直平分线的作法可知，是等腰三角形，不符合题意，选项错误； C、根据过直线外一点作平行线的作法可知，，， 根据角平分线的作法可知，， ，是等腰三角形，不符合题意，选项错误； D、不能判断是等腰三角形，符合题意，选项正确， 故选D． 【点睛】本题考查了作图—复杂作图，等腰三角形的判定等知识，掌握基本作图方法是解题关键． 8. 如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上一动点，且，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、轴对称-最短路径问题以及三角形面积公式，熟练掌握利用轴对称转化线段求最短路径的方法是解题的关键． 利用角平分线的对称性，将转化为到的距离，再根据垂线段最短和三角形面积公式求解． 【详解】解：过点作的对称点，连接， ∵平分， ∴点关于的对称点在上， ∴， ∴． 当、、共线且时，最小，最小值为的长． ∵，， ∴，即， 解得． ∴的最小值为． 故选：C． 9. 如图，、、三点在一条直线上，和都是等边三角形．下列结论：①；②；③平分；④，⑤．其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 通过等边三角形的性质证明三角形全等，再结合角的关系、全等三角形的性质逐一分析结论． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， , ∴， ∴，故①正确． 由，得， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确． ∵和都是等边三角形， ∴， ∴，故⑤正确． 过作于点，于点， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴平分，故③正确． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④错误． 综上，①②③⑤正确，共个． 故选：C． 10. 已知，现给出之间的四个关系式：①；②；③；④．其中正确的关系式是（ ） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算性质，解题的关键是利用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则，将已知条件转化为、、的数量关系，再逐一验证关系式． 根据已知条件，利用同底数幂乘法法则推导、、的关系：由得；由得，即；将上述关系代入四个关系式，验证等式是否成立． 【详解】解：∵，， ∴． 又∵， ∴． 验证①：，，故，①正确； 验证②：，②错误； 验证③：，③错误； 验证④：，，故，④正确； 正确的关系式为①④， 故选：B． 第II卷（非选择题 90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上． 11. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方法则是解题的关键．根据积的乘方法则，将积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，可得，这时测得的长就是的长．判定最直接的依据是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法． 【详解】解：因为的垂线，的垂线， 所以， 因为，（对顶角相等）， 所以， 故答案为：． 【点睛】此题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：． 13. 等腰三角形的一个角是，则它的一个底角的度数是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论是解题的关键． 分角是顶角和底角两种情况讨论即可． 【详解】解：若底角为，则它的一个底角的度数是； 若顶角为，则它的一个底角的度数是； 综上所述，它的一个底角的度数是或． 故答案为：或 14. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接．若的周长为9，，则的周长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 先根据作图方法判断直线是线段的垂直平分线，利用垂直平分线的性质得到，再结合的周长求出的长，最后加上的长得到的周长． 【详解】解：∵ 由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ∴ ． ∵ 的周长为，即， ∴ ，即． 又∵， ∴ 的周长为． 故答案为：． 15. 如图，已知：，点、、在射线上，点、、在射线上，、、均为等边三角形，若，则的边长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和规律探究，熟练掌握等边三角形的性质以及找出边长的规律是解题的关键． 通过分析等边三角形的性质和角度关系，找出边长的规律进行求解． 【详解】∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，． 同理，是等边三角形， 可得，． 是等边三角形， 可得，． 是等边三角形， 可得，． 是等边三角形， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8题，满分75分．解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的运算、整式的混合运算（完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式等），熟练掌握幂的运算法则和整式运算的各种公式是解题的关键． （1）小题按照幂的运算法则，先分别计算同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法，再进行加减运算． （2）小题先根据完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式法则分别化简各项，再合并同类项，最后代入求值． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当，时，原式． 17. 如图，在中，，点D是的中点，点E在上．求证：． 【答案】 证明：中，，点D是的中点， ，， 垂直平分线段， 点E在上， ． 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一可证，可得垂直平分线段，进而可证． 【详解】略 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是证明垂直平分线段． 18. 如图，在平面直角坐标系中，有，，三点． （1）画出格点（顶点均在格点上）关于轴对称的； （2）直接写出的面积为 ； （3）若格点到点、的距离相等，则网格中满足条件的点共有 个． 【答案】（1） 如图所示， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的绘制、三角形面积的割补法以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征、割补法求面积和线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，即纵坐标不变，横坐标互为相反数，找到、、关于轴对称的点、、，再连接三点即可． （2）利用割补法，用包含的矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，从而求出其面积． （3）到点、距离相等的点在的垂直平分线上，找出网格中在垂直平分线上的格点个数即可． 【小问1详解】 解：点关于轴对称的点； 点关于轴对称的点； 点的坐标可从图中得出为，其关于轴对称的点； 连接、、，即可得到； 【小问2详解】 解：的面积为； 【小问3详解】 解：设， ∵，， ∴，； ∵， ∴； ； ∴； 在网格中作出，如图， 由图可知，格点到点、的距离相等，则网格中满足条件的点共有个． 19. 已知，中，，，D为上一点，的延长线于E，且，求证：． 【答案】 证明：如图，延长，相交于点F． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质．延长，相交于点F，先证明，由全等三角形的性质得出，进而可得出，再证明，据此即可证明． 【详解】略 20. 观察下列各式： …… 请根据你发现的规律完成下列各题． （1）填空：①； ②（其中为正整数）； （2）根据规律计算：； （3）计算：． 【答案】（1）①；②； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法的规律探究，熟练掌握根据已知式子总结规律并应用规律解题是解题的关键． （1）通过观察已知式子的规律，直接写出对应的结果； （2）利用总结的规律，代入计算； （3）根据规律构造乘法形式，再进行计算． 【小问1详解】 解：①∵， ， ， ， ∴， 故答案为：， ②∵， ， ， ， ， …… ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 21. 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】（1）若，则 ； （2）若满足，则 ； 【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中在一直线上，连接．若，求一块直角三角板的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用以及三角形面积公式的应用，熟练掌握完全平方公式的变形和几何图形与代数恒等式的结合是解题的关键． （1）已知和的值，根据完全平方公式，变形后可求出． （2）设，，先求出的值，再根据完全平方公式，变形后求出，即． （3）设，，由得，再根据三角形面积公式和已知条件得出的值，最后根据直角三角形面积公式求出一块直角三角板的面积． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ， ， ， 故答案为：． （2）设，，则． ∵，且， ∴， ， ， ， 即， 故答案为：． （3）设，． ∵， ∴，． 又，，共线， ∴． ，． 由，得，即． ∵， ∴， ， ， ． 一块直角三角板的面积为． 22. 如图1，平分．易证是等腰三角形． （1）如图2，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个三角形（请将正确的序号填写在横线上）； ①直角三角形；②等边三角形；③等腰三角形 （2）如图3，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． （3）如图4，在四边形中，，为的中点，且平分，连接，试猜想线段、和之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）③ （2） 解：，理由如下： ∵平分， ∴． ∵， ∴，，， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∴， ∴． （3） 解：，理由如下： 延长交的延长线于 ∵ 为的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ，， ∴ （）， ∴ ，， ∴ ， ∵ 平分， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【解析】 【分析】（1）根据长方形对边平行的性质，结合折叠的性质，得到角相等，进而推出边相等，判断三角形类型． （2）先利用角平分线和平行线的性质推出角相等，得到等腰三角形，再结合平角定义推出，最后根据等腰三角形和直角三角形的性质得出线段关系． （3）通过作辅助线，利用平行线、角平分线的性质以及等腰三角形的判定，逐步推导线段之间的数量关系． 【小问1详解】 解：∵四边形是长方形， ∴，则． 由折叠可知， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故答案为：③． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性质、平行线的性质以及作合适的辅助线是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点B与点C关于x轴对称，点D为x轴上一点，点A为射线上一动点，且 ，过D作于M． （1）求证：； （2）求证：平分； （3）当A点运动时， 的值是否发生变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】（1）证明：∵B，C关于x轴对称， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． （2）证明：如图：过D点作DN⊥CE， 在与中， ， ∴． ∴． 在与中， ∴． ∴平分． （3）不变；2 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据轴对称的性质可得，再结合可得，根据对顶角性质可得，然后根据三角形内角和定理即可证明结论； （2）如图：过D点作，易证可得．再证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论； （3）如图：作，先证明可得，进而得到，然后代入计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：不变，理由如下： 如图：作， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $