1.1 菱形的性质与判定 专项练习 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

专题1.1 菱形的性质与判定 题型一 利用菱形的性质求角度 1．如图，是菱形的对角线，点在边上，过点作交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质． 根据菱形的性质可得，利用等腰三角形的性质求得，最后通过平行的性质可得的度数． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， 故选：C． 2．如图，在菱形中，连接，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质．根据菱形的性质可得，，从而得到，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 3．如图，是菱形的对角线，点E在边上，连接，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据菱形的性质可知，，因为，则可求，进而可求． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型二 利用菱形的性质求线段长 4．如图，菱形的周长为20，对角线，相交于点．若是的中点，连接，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查菱形的性质，掌握菱形的四条边都相等、对角线互相垂直平分是解题的关键．由菱形的性质可先求得菱形的边长，再由三角形中位线定理可求得的长． 【详解】解：∵菱形的周长为20， ∴，且O为的中点， ∵E为的中点， ∴为的中位线， ∴． 故选：B． 5．如图，在边长为5的菱形中，，于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．由菱形的性质可知，则由勾股定理可求，根据可求长． 【详解】解：菱形的边长为5，， ，，； ； ， ． 故答案为：． 6．如图，在菱形中，为边的中点，点在边上，，交的延长线于点，若，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，菱形的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质． 先证明，根据三角形全等的性质得出，求出，得出，求出，根据勾股定理求出． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， ∴， ， 是的中点， ， 即， ， ， ， ， ． 题型三 利用菱形的性质求面积 7．如图，菱形的对角线、交于点O，，过点O作于点E，若，则菱形的面积为（    ） A．32 B． C．64 D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质．熟练掌握菱形的性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解题关键． 根据菱形的性质得，根据，，得，得，即可得到，即可解答． 【详解】解：菱形中，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， 则菱形的面积为， 故选：B． 8．如图，是菱形的对角线，点分别在边上，且，连接，如果菱形的面积为的面积为6，那么的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的面积转换；连接，由菱形的性质得，由即可求解． 【详解】解：连接， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 9．如图，在中，、分别是、的中点．且，延长到点，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质．三角形的中位线，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由、分别是、的中点，，易证得，，即可判定四边形是平行四边形，又由，即可证得四边形是菱形； （2）由，易证得是等边三角形，又由，即可求得菱形的高，继而求得菱形的面积． 【详解】（1）证明：、分别是、的中点， 且， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形； （2）解：，且在菱形中，， ， ∵， 是等边三角形， ，即菱形的边长为4， 过点E作于点H， 则， 由勾股定理得：， 菱形的面积为：． 题型四 利用菱形的性质证明 10．如图，在菱形中，对角线与相交于点，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟记菱形的对角线互相垂直平分、四条边相等的性质，逐一分析选项． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴（菱形对角线互相垂直），（菱形四条边都相等），（菱形对角线互相平分），菱形的对角线不一定相等，即． ∴选项C错误． 故选：C． 11．如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，坐标与图形性质，关键是由勾股定理求出的长． 由菱形的性质得到，推出，由点C的坐标，得到，由勾股定理求出，得到，求出，可得结论． 【详解】解：如图，交y轴于M， 四边形是菱形， ， ， ， 点C的坐标为， ， ， ， ， 点A的坐标为． 故答案为： 12．如图，四边形是菱形，延长至点，使得，连接交边于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查菱形的性质和全等三角形的判定与性质，由菱形的性质可得出，，再证明即可． 【详解】证明：四边形是菱形，， ， ， 在和中，， ， ． 题型五 添一个条件使四边形是菱形 13．如图，的对角线，交于点O，要使成为菱形，则可添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的判定，熟练掌握菱形的判定是解题的关键；因此此题可根据菱形的判定定理进行排除选项． 【详解】解：A、是的性质，不能作为菱形的判定条件，故不符合题意； B、当时，则是矩形，不能判定是菱形，故不符合题意； C、当时，则是菱形，故符合题意； D、当时，则是矩形，不能判定是菱形，故不符合题意； 故选C． 14．如图，的对角线与交于点，要使得为菱形，可添加的一个条件是 ．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定方法，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形解答即可． 【详解】解：添加条件，那么为菱形．理由： ∵四边形是平行四边形，， ∴根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知为菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 15．如图，中，是上任意一点，． (1)判断四边形的形状是_____； (2)连接，当满足什么条件时，四边形为菱形，并说明理由． 【答案】(1)平行四边形， (2)平分时，四边形为菱形，理由见解析 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质与判定． （1）根据，可判断四边形为平行四边形； （2）根据为的平分线，得出，根据平行线的性质得出，即可得出，根据等边对等角可得，即可证明四边形为菱形． 【详解】（1）解：，， 四边形为平行四边形； （2）解：平分时，四边形为菱形，理由如下， 四边形为平行四边形， ∴， 当平分时 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形为菱形． 题型六 证明四边形是菱形 16．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，解题的关键是掌握菱形的判定定理和性质． 对角线互相垂直平分的四边形为菱形，得出四边形为菱形，再根据菱形的性质求解即可． 【详解】解：对角线互相垂直平分的四边形为菱形， ∴四边形为菱形， ∴四边形的周长为， 故选：C． 17．如图，以点A为圆心，长为半径画弧，分别交角的两边于点B，点D；分别点B为圆心，长为半径画弧交于点C得到四边形，那么四边形是菱形的依据是 ． 【答案】四边相等的四边形是菱形 【分析】本题考查的是菱形的判定，作一条线段等于已知线段，根据作图可得，结合菱形的判定可得结论. 【详解】解：由作图可知， ∴四边形是菱形（四边相等的四边形是菱形）． 故答案为：四边相等的四边形是菱形 18．如图，在中，连接，，过点D作的平行线与的延长线相交于点E，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、菱形的判定，掌握知识点是解题的关键． 由题意易得，，则有四边形是平行四边形，即可求证； 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴． ∴是菱形． 题型七 根据菱形的性质与判定求角度 19．如图，小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接，，． 若，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质是解题的关键； 根据作图可得四边形是菱形，根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：由作图可知，， 四边形是菱形， ，． 故选：B． 20．如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大家根据所给的材料在平面内制作一个菱形．小明先用两根木条钉成一个角形框架，然后将橡皮筋两端分别固定在点处，拉动橡皮筋上到处．当四边形是菱形时，小明量得橡皮筋是固定时长的倍，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形性质，熟练掌握菱形的对角相等是关键． 根据题意，可推导出为等边三角形，利用菱形性质得到即可． 【详解】解：四边形为菱形， ， ， ， ， 四边形为菱形， ， 故答案为：． 21．如图，在菱形中，E，F分别是边的中点，连接交于点G．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查菱形的性质、三角形全等的判定与性质．解题关键是利用菱形性质得到边和角的关系． 通过利用中位线定理证明得出对应角相等，再结合菱形角的性质进行等量代换． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵E，F分别是边，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 题型八 根据菱形的性质与判定求线段长 22．如图，在的两边上分别截取、，使；分别以点、为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接、、、．若，四边形的面积为．则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—基本作图、菱形的判定与性质，由作图过程可知，，可得四边形是菱形，则，可得，则可得． 【详解】解：由作图过程可知，， ∴四边形是菱形， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， ∴． 故选：C． 23．如图，在平行四边形中，，顶点O，A的坐标分别为，，点C在x轴的正半轴上，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 先由勾股定理求出，证明平行四边形是菱形得出，，则点B的横坐标等于点A的横坐标加上AB的长度，点B的纵坐标等于点A的纵坐标． 【详解】∵顶点O，A的坐标分别为， ∴ ∵在平行四边形中， ∴平行四边形是菱形 ∴ ∴ 故答案为： 24．如图，在中，点D、E分别是的中点，平分，交于点F，交于点G． (1)求证：四边形菱形； (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查三角形的中位线定理，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）三角形的中位线定理，得到，结合，证明四边形平行四边形，平行结合角平分线，推出，即可得证； （2）根据三角形的中位线定理，得到，结合菱形的性质，线段的和差关系，求出的长，进而求出四边形的周长即可． 【详解】（1）证明：∵在中，点D、E分别是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形菱形； （2）由（1）知：，四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 题型九 根据菱形的性质与判定求面积 25．如图，以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，的长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，，，若，，则四边形的面积是（   ） A．160 B．120 C．96 D．48 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定和性质掌握知识点是解题的关键． 先证明四边形是菱形，可求，利用出勾股定理即可求出，则可得，再根据菱形的面积公式，即可解答． 【详解】解：设与相交于点D，如图： 由题意，有 ， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴ ∴． 故选C． 26．“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形的面积是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了菱形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．过点B作于点E，过点D作于点F，依题意得，则四边形是平行四边形，根据蓝丝带宽为得，再根据等腰直角三角形勾股定理，进而得平行四边形是菱形，然后根据菱形的面积公式即可得出重叠部分图形的面积． 【详解】解：过点B作于点E，过点D作于点F，如图所示： 依题意得：， 四边形是平行四边形， 蓝丝带宽为， ， ， 和都是等腰直角三角形， ，， 在中，由勾股定理得：， 同理：， ， 平行四边形是菱形， 重叠部分图形的面积是：， 故答案为：． 27．如图，在中，，，过的中点作交的平分线于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）如图：连接，根据平行线的性质、角平分线的定义、等角对等边可得，再根据直角三角形的性质证明是等边三角形可得；易证四边形为平行四边形，再结合即可证明结论； （2）先说明，由菱形的性质可得，，进而得到，最后根据菱形的性质求面积即可． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． （2）解：如图：设相交于点O， ∵是的中点， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 菱形的性质与判定 题型一 利用菱形的性质求角度 1．如图，是菱形的对角线，点在边上，过点作交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，连接，．若，则的度数为 ． 3．如图，是菱形的对角线，点E在边上，连接，若，，求的度数． 题型二 利用菱形的性质求线段长 4．如图，菱形的周长为20，对角线，相交于点．若是的中点，连接，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 5．如图，在边长为5的菱形中，，于点，则的长为 ． 6．如图，在菱形中，为边的中点，点在边上，，交的延长线于点，若，求的长． 题型三 利用菱形的性质求面积 7．如图，菱形的对角线、交于点O，，过点O作于点E，若，则菱形的面积为（    ） A．32 B． C．64 D． 8．如图，是菱形的对角线，点分别在边上，且，连接，如果菱形的面积为的面积为6，那么的面积为 ． 9．如图，在中，、分别是、的中点．且，延长到点，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 题型四 利用菱形的性质证明 10．如图，在菱形中，对角线与相交于点，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 11．如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为 ． 12．如图，四边形是菱形，延长至点，使得，连接交边于点．求证：． 题型五 添一个条件使四边形是菱形 13．如图，的对角线，交于点O，要使成为菱形，则可添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 14．如图，的对角线与交于点，要使得为菱形，可添加的一个条件是 ．（写一个即可） 15．如图，中，是上任意一点，． (1)判断四边形的形状是_____； (2)连接，当满足什么条件时，四边形为菱形，并说明理由． 题型六 证明四边形是菱形 16．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 17．如图，以点A为圆心，长为半径画弧，分别交角的两边于点B，点D；分别点B为圆心，长为半径画弧交于点C得到四边形，那么四边形是菱形的依据是 ． 18．如图，在中，连接，，过点D作的平行线与的延长线相交于点E，求证：四边形是菱形． 题型七 根据菱形的性质与判定求角度 19．如图，小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接，，． 若，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 20．如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大家根据所给的材料在平面内制作一个菱形．小明先用两根木条钉成一个角形框架，然后将橡皮筋两端分别固定在点处，拉动橡皮筋上到处．当四边形是菱形时，小明量得橡皮筋是固定时长的倍，则 ． 21．如图，在菱形中，E，F分别是边的中点，连接交于点G．求证：． 题型八 根据菱形的性质与判定求线段长 22．如图，在的两边上分别截取、，使；分别以点、为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接、、、．若，四边形的面积为．则（   ） A． B． C． D． 23．如图，在平行四边形中，，顶点O，A的坐标分别为，，点C在x轴的正半轴上，则点B的坐标为 ． 24．如图，在中，点D、E分别是的中点，平分，交于点F，交于点G． (1)求证：四边形菱形； (2)若，求四边形的周长． 题型九 根据菱形的性质与判定求面积 25．如图，以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，的长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，，，若，，则四边形的面积是（   ） A．160 B．120 C．96 D．48 26．“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形的面积是 ． 27．如图，在中，，，过的中点作交的平分线于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求菱形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $