1.1 菱形的性质与判定第1课时（题型专练）2025-2026学年北师大版九年级数学上册

专题1.1 菱形的性质（第1课时） 【北师大版】 【题型1 利用菱形的性质求角度】 2 【题型2 利用菱形的性质求线段长】 4 【题型3 利用菱形的性质求面积】 8 【题型4 利用菱形的性质求坐标】 12 【题型5 证明四边形是菱形】 16 【题型6 含60°角的菱形】 26 知识点1 菱形的定义 1. 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，平行四边形不一定是菱形。 2. 数学语言描述：如图，在ABCD中，若AB=AD，则ABCD是菱形。 知识点2 菱形的性质 1. 边的性质 四条边都相等（即 AB = BC = CD = DA）； 对边平行（因为是平行四边形）。 2. 角的性质 对角相等； 邻角互补（和为180°）； 对角线平分一组对角（这是菱形特有的性质）。 3. 对角线的性质 两条对角线互相垂直（AC ⊥ BD）； 两条对角线互相平分（交于中点）； 每条对角线平分一组对角（例如，对角线 AC 平分 ∠A 和 ∠C）。 4. 对称性 菱形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线； 菱形也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。 知识点3 菱形面积的计算 菱形有两种常用面积计算方法。其一，和普通平行四边形相同，用底 × 高计算；其二，因对角线互相垂直，还有专属面积公式两条对角线乘积的一半，即若对角线长为 AC 和 BD，面积 S=½×AC×BD。这是因为对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，四个直角三角形的面积和就是菱形的面积。 【题型1 利用菱形的性质求角度】 【例1】（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）在菱形中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．由菱形的性质得到，利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：在菱形中，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式1-1】（24-25八年级下·重庆潼南·期末）如图，在菱形中，，点为对角线上一点，且满足，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由三角形外角的性质可得，于是得解． 【详解】解：四边形是菱形，， ， ， ， ， 故选：A． 【变式1-2】（24-25八年级下·重庆南川·期末）如图，在菱形中，，点为对角线上一点，且满足，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，等边对等角，根据菱形的对角线平分一组对角，结合等边对等角，求出的度数，再根据平角的定义，求出的度数即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：A． 【题型2 利用菱形的性质求线段长】 【例2】（25-26九年级上·甘肃白银·期中）如图，在边长为1的菱形中，，连接对角线，以为边作第2个菱形，使，连接对角线，再以为边作第3个菱形，使按此规律所作的第2025个菱形的边长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质及勾股定理的应用，解题的关键是利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合角构造直角三角形，通过勾股定理求边长，进而归纳规律． 先根据菱形四边相等和内角，判定含角的三角形为等边三角形；再利用菱形对角线互相垂直平分的性质，构造直角三角形，通过勾股定理求出下一个菱形的边长（即前一个菱形的对角线长度）；最后归纳边长的变化规律，代入序号求解． 【详解】解：∵四边形是边长为的菱形，， ∴（菱形四边相等）， ∴是等边三角形（有一个角为的等腰三角形是等边三角形）． 连接，与交于点， ∵菱形对角线互相垂直平分， ∴，，（等边三角形三线合一）． 由勾股定理得， ∴，即第2个菱形的边长为。 同理，四边形是边长为的菱形，， ∴，是等边三角形． 连接，与交于点， ∵菱形对角线互相垂直平分， ∴，，． 由勾股定理得， ∴，即第3个菱形的边长为． 归纳规律：第1个菱形边长为，第2个为，第3个为，第4个为，……，第个菱形的边长为， 当时，边长为． 故答案为：． 【变式2-1】（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，菱形的边长为2，，对角线交于点O．点E为直线上的一个动点，连接，将线段绕点C顺时针旋转的角度后得到对应的线段（即），长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 连接，作，由旋转的性质可得，把求的最小值转化为求的最小值，再根据垂线段最短可得答案． 【详解】解：连接，作交的延长线于H， ∵在菱形中，， ∴． ∵， ∴， ∴， 由旋转可得：， 在和中， ， ∴， ∴， 即求的最小值转化为求的最小值． ∵在中，， ∴， ∵菱形的边长为2， ∴， ∴， ∴， 当E与H重合时，最小值是， ∴的最小值是． 故答案为：． 【变式2-2】（25-26九年级上·甘肃武威·期中）已知菱形的边长为，，对角线相交于点O，则的长为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟记菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． 先判断出是等边三角形，再根据菱形的对角线互相垂直平分和等边三角形的性质求出． 【详解】解：∵菱形的边长为， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选A． 【变式2-3】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是明确长度的最小为．连接，过点作边上的垂线，垂足记为点，由三角形三边关系可得，可得长度的最小为，由折叠性质可得，由菱形性质可得，从而得到，，再利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作边上的垂线，垂足记为点， 在中，， 长度的最小为， ∵点为中点， ， 由折叠性质可得：， ∵四边形为菱形，， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理可得：， ， 故选：D． 【题型3 利用菱形的性质求面积】 【例3】（25-26九年级上·广东茂名·期中）菱形的一条边长为，其中一个内角为，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意画出图形，证明是等边三角形，可得，再由勾股定理求出，然后利用菱形的面积公式解答，即可求解． 【详解】解：如图，四边形是菱形，边长为，，对角线交于点，    四边形是菱形，边长为， ，，，，， 是等边三角形， ， ， ， ， 菱形的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是利用菱形的性质求线段的长度，等边三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握菱形的性质． 【变式3-1】（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）菱形中，，，菱形面积是（     ） A． B． C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了菱形面积和性质，以及勾股定理，利用可知，，连接菱形对角线和，在中利用勾股定理即可求出的长度，． 【详解】解：连接和交于点O，如图， 四边形为菱形，， 又在中，， 为等边三角形，， 在中，，， 由勾股定理可知， ，即， 菱形的面积为． 故选：． 【变式3-2】（2024·湖南·模拟预测）如图，已知菱形的边长为10，，此菱形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 连接交于点，根据菱形的性质得到，，，，然后根据角直角三角形的性质以及勾股定理求解，再由菱形的面积等于对角线乘积的一半求解． 【详解】解：连接交于点， ∵菱形， ∴平分，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此菱形的面积为， 故选：B． 【变式3-3】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）边长为的两个全等的菱形、如图摆放，其中点是、的交点，且，若，则两个菱形重叠部分的面积为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 设与交于点，与交于点，根据菱形的性质得出，，，，确定是等边三角形，再由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 边长为的两个全等的菱形、菱形，， ，，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 两个菱形重叠部分的面积四边形的面积， 故答案为：． 【题型4 利用菱形的性质求坐标】 【例4】（25-26九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在原点处，顶点在轴上，已知点的坐标为，则点的坐标为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，设边长，根据勾股定理构建方程是解题的关键． 过作轴，延长交轴于，设菱形边长为，在，根据勾股定理可得，解方程即可． 【详解】如图，过作轴，延长交轴于， 易知四边形为矩形，设菱形边长为， ， ， 在中， ，则， 解得， ， ． 故选：A． 【变式4-1】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）菱形在直角坐标系中的位置如图所示，其中点的坐标为，点的坐标为，动点从点出发，沿的路径，在菱形的边上以每秒1个单位长度的速度移动，移动到第时，点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，解题的关键是找出点P运动规律．先根据勾股定理求出菱形的边长，再根据点的运动速度求出沿所需的时间，进而可得出结论． 【详解】解：的坐标为，点的坐标为， ， 四边形是菱形， ， 点每运动8秒回到点位置， 点移动到第秒时，落在中点，即点， 故答案为：． 【变式4-2】（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在平面直角坐标系中，是菱形对角线的中点，轴且．将菱形绕点旋转，使点落在轴上，则旋转后点的对应点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分为点C旋转到y轴正半轴和y轴负半轴两种情况分别讨论，结合菱形的性质求解即可． 本题考查了菱形的对称性、坐标与图形的性质、旋转的性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是要分情况讨论． 【详解】解：根据菱形的对称性可得：当点D旋转到x轴正半轴时，A、B、C均在坐标轴上，如图， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴点C的坐标为． 同理：当点D旋转到x轴负半轴时，点C的坐标为． ∴点C的坐标为或． 故选：D． 【变式4-3】（25-26九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，线段平移后得到线段，点A，的对应点分别为点，，若四边形是菱形，且点在轴正半轴上，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、平移的性质、勾股定理、点的坐标，熟练掌握菱形和平移的性质是解题关键．先画出图形（见解析），先求出，，点在轴正半轴上，再利用勾股定理可得，则，由此即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下： ∵，， ∴，，轴， 由平移的性质得：，， ∵四边形是菱形，且点在轴正半轴上， ∴点在轴正半轴上，， 又∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故选：C． 【题型5 证明四边形是菱形】 【例5】（24-25八年级下·贵州遵义·期末）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知，，四边形为矩形，是的中点，动点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒． (1)若，求证：四边形是平行四边形． (2)在线段上是否存在一点，使得以，，，四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出的值，并求此时点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在线段上有一点，且，求四边形周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)秒时，；秒时， (3) 【分析】（1）根据平行四边形的判定与性质，即可解答； （2）分点Q在点P的左侧和右侧两种讨论，利用菱形的判定与性质及勾股定理即可求得答案； （3）证明四边形是平行四边形，可得四边形的周长为，当的值最小时，四边形的周长最小．作点关于的对称点，连接交于点，则，，则，则当，，三点共线时，的值最小，即的值最小，最小为，求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形，， ，， ． 是的中点， ． 当时，由题意，得， 则， ， 四边形是平行四边形． （2）解：在线段上存在一点，使得以，，，四点为顶点的四边形是菱形． 分两种情况讨论： ①如图1，当点在点的右边时， 四边形是菱形， ． 在中，由勾股定理，得， ， ． ， ． ②如图2，当点在点的左边时， 四边形是菱形， ． 在中，， ，， ， ． 综上所述，秒时，；秒时，． （3）解：如图3，由（1）知：． ，． ， 四边形是平行四边形， ． 四边形的周长为， 当的值最小时，四边形的周长最小． 作点关于的对称点，连接交于点，则，， ． 两点之间线段最短， 当，，三点共线时，的值最小，即的值最小． ， 的最小值为， 四边形周长的最小值为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，线段和的最值问题等知识，平移线段是解题的关键． 【变式5-1】（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，将沿过原点的直线折叠，点A落在x轴上的点E处，折痕交边于点D，点B坐标为，四边形的面积为12． (1)点坐标为____________； (2)求直线解析式； (3)四边形的形状为____________，请说明理由； (4)坐标平面内的点使以点、、、为顶点的四边形构成平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)菱形，理由见解析 (4)或或 【分析】（1）延长，交轴于点，先求出，再根据折叠的性质可得，，然后证出四边形是平行四边形，求出，则可得，由此即可得； （2）先利用勾股定理求出的长，从而可得的长，则可得点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （3）先证出四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定即可得； （4）先求出点的坐标，再分三种情况：①当以点、、、为顶点构成的四边形是平行四边形时，②当以点、、、为顶点构成的四边形是平行四边形时，③当以点、、、为顶点构成的四边形是平行四边形时，根据平行四边形的对角线互相平分求解即可得． 【详解】（1）解：如图，延长，交轴于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵点坐标为， ∴， 由折叠的性质得：，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形的面积为12， ∴， 解得， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． （2）解：由（1）已得：， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴， 设直线解析式为， 将点，代入得：，解得， 所以直线解析式为． （3）解：四边形的形状为菱形，理由如下： 由（1）已得：， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． （4）解：由上已得：，，， ∴， ∴，， 设点的坐标为， ①当以点、、、为顶点构成的四边形是平行四边形时， ∴对角线互相平分， ∴，解得， ∴； ②当以点、、、为顶点构成的四边形是平行四边形时， ∴对角线互相平分， ∴，解得， ∴； ③当以点、、、为顶点构成的四边形是平行四边形时， ∴对角线互相平分， ∴，解得， ∴； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、一次函数的几何应用、勾股定理、折叠的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． 【变式5-2】（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的，并直接写出点的坐标； (2)画出将先向左平移11个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的，并直接写出点的坐标； (3)连接，选择两个网格点，利用无刻度的直尺画出线段的垂直平分线．（保留作图痕迹） 【答案】(1)图见解析；点的坐标为； (2)图见解析；的坐标为； (3)见解析 【分析】（1）依据轴对称的性质进行作图，即可得到关于轴对称的，写出点的坐标即可； （2）根据平移的方向和距离，先作出对应点、、，顺次连接，即可得到，写出点的坐标； （3）根据勾股定理得到，则四边形是菱形，则垂直平分，直线即为所求． 【详解】（1）解：依据轴对称的性质找到点A、B、C关于直线l的对称点、、，顺次连接点、、，如图所示，为求作的；点的坐标为； （2）解：根据向左平移11个单位，再向下平移1个单位，先作出对应点、、，顺次连接，即可得到，如图所示；的坐标为； （3）解：如图所示：直线为所求， 【点睛】本题主要考查了轴对称、平移、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握轴对称、平移的性质是解题的关键． 【变式5-3】（24-25八年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，． (1)求的面积； (2)若，求证：四边形是菱形； (3)点P是线段上任意一点，若点P向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的点P在射线上，则线段上是否存在点G，使得为直角三角形？若存在，求点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)6； (2)见解析； (3)或． 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键． （1）过点作轴于点E，则，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）由，得到，，，由于，得到，推出四边形是平行四边形，根据勾股定理得到，于是得到四边形OABC是菱形； （3）由点P是线段上任意一点，得到当点P与点O重合时，所对应的在射线上，设直线的解析式为，得到线段解析式为．求得，若线段上存在点，使得为直角三角形，则可分为下列三种情形进行讨论：①当时，②当时，③当时，于是得到结论． 【详解】（1）解：过点作轴于点E，则， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：若，则，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，，， ∴， ∴四边形是菱形； （3）解：∵点P是线段上任意一点， ∴当点P与点O重合时， 所对应的在射线上， 设直线的解析式为，代入得， ∴， ∴线段解析式为． ∵在直线上， ∴， ∴， 若线段上存在点，使得为等腰三角形，则可分为下列三种情形进行讨论： ①当时，如图，取的中点，连接， ∴，， ∴， 解得：， 点 ②当时，G在y轴上，但G在上，舍去． ③当时， ∴G横坐标为4，代入得， ∴ ． 综上所述，符合条件的点G的坐标为或． 【题型6 含60°角的菱形】 【例6】（25-26九年级上·湖北十堰·期中）如图，在菱形中，，，将菱形绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形，点在上，与交于点，线段的长为 ． 【答案】 【分析】连接交于，由菱形的性质得出，，，，，由直角三角形的性质求出，，得出，由旋转的性质得：，，得出，证出，由直角三角形的性质得出，，即可得出结果． 【详解】解：连接交于，如图所示： 四边形是菱形， ，，，，， ， ， ， 由旋转的性质得：，， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，含角的直角三角形的性质，平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和菱形的性质是解题的关键． 【变式6-1】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在菱形中，，，点，分别在边，上，将沿翻折得到，若恰好为的中点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质． 连接、，根据四边形是菱形，可得，，是等边三角形，又点M恰好为边的中点，得，在中，，设，则，在中，有，即可解得． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∵点M恰好为边的中点， ∴， 在中，， 设，则， ∵沿翻折得到， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， 故选：A． 【变式6-2】（25-26九年级上·甘肃白银·期中）小明准备利用周末时间去种花，如图，在菱形花坛中，，在其中两个正六边形部分种花，若种花部分图形的周长（不含图中虚线）为，则菱形花坛的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质的运用． 根据已知可得到为正三角形，从而可求得正六边形的边长是边长的，根据种花部分图形共有 10 条边和其周长，即可求解． 【详解】解：∵为菱形， ∴， ∴为正三角形， 以的顶点所在的小三角形也是正三角形，所以正六边形的边长是边长的， 则种花部分图形共有 10 条边， 所以菱形花坛的边长为， 故选：C． 【变式6-3】（25-26九年级上·山西晋中·阶段练习）如图，菱形的边长为2，，对角线相交于点．过点作的平行线交的延长线于点，连接．则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，先证明为等边三角形，进而得到，三线合一求出的长，证明四边形为平行四边形，进而得到，推出，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵菱形的边长为2，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴； 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 菱形的性质（第1课时） 【北师大版】 【题型1 利用菱形的性质求角度】 2 【题型2 利用菱形的性质求线段长】 4 【题型3 利用菱形的性质求面积】 8 【题型4 利用菱形的性质求坐标】 12 【题型5 证明四边形是菱形】 16 【题型6 含60°角的菱形】 26 知识点1 菱形的定义 1. 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，平行四边形不一定是菱形。 2. 数学语言描述：如图，在ABCD中，若AB=AD，则ABCD是菱形。 知识点2 菱形的性质 1. 边的性质 四条边都相等（即 AB = BC = CD = DA）； 对边平行（因为是平行四边形）。 2. 角的性质 对角相等； 邻角互补（和为180°）； 对角线平分一组对角（这是菱形特有的性质）。 3. 对角线的性质 两条对角线互相垂直（AC ⊥ BD）； 两条对角线互相平分（交于中点）； 每条对角线平分一组对角（例如，对角线 AC 平分 ∠A 和 ∠C）。 4. 对称性 菱形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线； 菱形也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。 知识点3 菱形面积的计算 菱形有两种常用面积计算方法。其一，和普通平行四边形相同，用底 × 高计算；其二，因对角线互相垂直，还有专属面积公式两条对角线乘积的一半，即若对角线长为 AC 和 BD，面积 S=½×AC×BD。这是因为对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，四个直角三角形的面积和就是菱形的面积。 【题型1 利用菱形的性质求角度】 【例1】（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）在菱形中，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级下·重庆潼南·期末）如图，在菱形中，，点为对角线上一点，且满足，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级下·重庆南川·期末）如图，在菱形中，，点为对角线上一点，且满足，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型2 利用菱形的性质求线段长】 【例2】（25-26九年级上·甘肃白银·期中）如图，在边长为1的菱形中，，连接对角线，以为边作第2个菱形，使，连接对角线，再以为边作第3个菱形，使按此规律所作的第2025个菱形的边长是 ． 【变式2-1】（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，菱形的边长为2，，对角线交于点O．点E为直线上的一个动点，连接，将线段绕点C顺时针旋转的角度后得到对应的线段（即），长度的最小值为 ． 【变式2-2】（25-26九年级上·甘肃武威·期中）已知菱形的边长为，，对角线相交于点O，则的长为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 【变式2-3】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【题型3 利用菱形的性质求面积】 【例3】（25-26九年级上·广东茂名·期中）菱形的一条边长为，其中一个内角为，则菱形的面积为 ． 【变式3-1】（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）菱形中，，，菱形面积是（     ） A． B． C．4 D．3 【变式3-2】（2024·湖南·模拟预测）如图，已知菱形的边长为10，，此菱形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）边长为的两个全等的菱形、如图摆放，其中点是、的交点，且，若，则两个菱形重叠部分的面积为 ． 【题型4 利用菱形的性质求坐标】 【例4】（25-26九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在原点处，顶点在轴上，已知点的坐标为，则点的坐标为（　　）． A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）菱形在直角坐标系中的位置如图所示，其中点的坐标为，点的坐标为，动点从点出发，沿的路径，在菱形的边上以每秒1个单位长度的速度移动，移动到第时，点P的坐标为 ． 【变式4-2】（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在平面直角坐标系中，是菱形对角线的中点，轴且．将菱形绕点旋转，使点落在轴上，则旋转后点的对应点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式4-3】（25-26九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，线段平移后得到线段，点A，的对应点分别为点，，若四边形是菱形，且点在轴正半轴上，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【题型5 证明四边形是菱形】 【例5】（24-25八年级下·贵州遵义·期末）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知，，四边形为矩形，是的中点，动点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒． (1)若，求证：四边形是平行四边形． (2)在线段上是否存在一点，使得以，，，四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出的值，并求此时点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在线段上有一点，且，求四边形周长的最小值． 【变式5-1】（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，将沿过原点的直线折叠，点A落在x轴上的点E处，折痕交边于点D，点B坐标为，四边形的面积为12． (1)点坐标为____________； (2)求直线解析式； (3)四边形的形状为____________，请说明理由； (4)坐标平面内的点使以点、、、为顶点的四边形构成平行四边形，请直接写出点的坐标． 【变式5-2】（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的，并直接写出点的坐标； (2)画出将先向左平移11个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的，并直接写出点的坐标； (3)连接，选择两个网格点，利用无刻度的直尺画出线段的垂直平分线．（保留作图痕迹） 【变式5-3】（24-25八年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，． (1)求的面积； (2)若，求证：四边形是菱形； (3)点P是线段上任意一点，若点P向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的点P在射线上，则线段上是否存在点G，使得为直角三角形？若存在，求点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型6 含60°角的菱形】 【例6】（25-26九年级上·湖北十堰·期中）如图，在菱形中，，，将菱形绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形，点在上，与交于点，线段的长为 ． 【变式6-1】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在菱形中，，，点，分别在边，上，将沿翻折得到，若恰好为的中点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26九年级上·甘肃白银·期中）小明准备利用周末时间去种花，如图，在菱形花坛中，，在其中两个正六边形部分种花，若种花部分图形的周长（不含图中虚线）为，则菱形花坛的边长为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26九年级上·山西晋中·阶段练习）如图，菱形的边长为2，，对角线相交于点．过点作的平行线交的延长线于点，连接．则的长为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $