1.1菱形的性质与判定同步练习-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

1.1菱形的性质与判定 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，是菱形的对角线，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，下列条件中，不能使成为菱形的是（    ）    A． B． C． D． 3．如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点E，若，，则的长为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 4．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为13，点B的坐标是，点D的坐标是，则点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在菱形中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在菱形中，，对角线，交于点，为的中点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，则对角线等于（   ） A． B． C． D． 8．如图，在四边形中，于点O．在以下条件中①；②；③；④，添加一个条件使其成为菱形，则可以是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 二、填空题 9．如图，四边形是菱形，对角线与相交于点O，，，于点E，则的长为 ． 10．如图，在菱形中，于点E，于点F，连接．若，则的度数为 ． 11．如图，四边形是菱形，过点C作，交的延长线于点B，若，，则的长为 ． 12．如图，菱形的周长为16，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，若，则菱形的面积为 ． 三、解答题 13．如图，在菱形中，于点E，于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 14．如图，在等腰中，，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求的长． 15．如图，在菱形中，于点于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：为等边三角形． 16．已知：如图，在菱形中，，点E、F分别在上，是等边三角形，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《1.1菱形的性质与判定》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D B D D B D C 1．B 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的对角线平分每一组对角求解即可． 【详解】解：∵是菱形的对角线，， ∴， 故选：B． 2．D 【分析】本题考查了菱形的判定，运用其判定定理逐一判断是解题的关键． 【详解】解：A、四边形是平行四边形，且， 是菱形，故不符合题意； B、四边形是平行四边形，且， 是菱形，故不符合题意； C、四边形是平行四边形，且， 是菱形，故不符合题意； D、四边形是平行四边形，且， 是矩形，不能判定是菱形，故符合题意， 故选D． 3．B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形为菱形是解决问题的关键． 首先证明四边形是菱形，得出，，，利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】解：连接，设与交于点，如图，   平分， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ∵由作图可得， ∴， 又， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是菱形， ，，， 在中，由勾股定理得：， ． 故选：B． 4．D 【分析】本题考查坐标与图形，菱形的性质，勾股定理．熟练掌握菱形的性质，是解题的关键．连接，可得：与垂直平分，轴，得到轴，利用勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】解：连接，交于点，则：与垂直平分， ∵点，， ∴轴，， ∴轴，， ∴， ∵菱形的边长为13，即， ∴， ∴，即， 故选：D． 5．D 【分析】本题考查菱形性质求角度，涉及菱形邻角互补、菱形对角线平分对角等知识，先由菱形邻角互补求出，再由菱形对角线平分对角求解即可得到答案．熟记菱形性质是解决问题的关键． 【详解】解：在菱形中，，则， 是菱形一条对角线， 平分，则， 故选：D． 6．B 【分析】本题考查菱形的性质，三角形中位线的性质．根据菱形对角线的性质得到，，进而推出是的中位线，根据三角形中位线的性质即可解答． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴． 故选：B． 7．D 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据菱形的判定定理得到是菱形，得到，得到是等边三角形，得出，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， 是菱形， ， 是等边三角形， ． 故选：D． 8．C 【分析】本题考查菱形的判定，根据菱形的判定进行逐一判断即可． 【详解】解：当添加①时，无法证明四边形是菱形； 当添加②时，无法证明四边形是菱形； 当添加③时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； 当添加④时，无法证明四边形是菱形； 故选：C． 9． 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的应用．注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以高．首先利用勾股定理求得菱形的边长，然后由菱形的两个面积计算，求得边上的高的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴在直角三角形中，， ∴． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，根据菱形的性质，等积法得到，等边对等角，求出的度数即可． 【详解】解：∵菱形中，于点E，于点F， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 11． 【分析】本题考查的是菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，先证明，再证明，进一步利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， 故答案为： 12． 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的面积计算，正确的作出辅助线是解题的关键． 根据菱形的性质得到，再根据三角形的面积公式得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 菱形的周长为16， ， ，， ， 故答案为：． 13．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定以及性质，勾股定理． （1）利用菱形的性质结合已知条件用即可证明． （2）利用全等三角形的性质得出，再利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：，， ， 又四边形是菱形， ，， ． （2）， ， ，， ． 14．(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)的长为 【分析】本题考查了菱形的证明、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟记定理内容是解题关键． （1）证得，可得四边形是平行四边形，即可进一步求证； （2）由题意得是等边三角形，根据即可求解. 【详解】（1）解：四边形是菱形， 理由：∵，平分， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵平分， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴4， 15．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）根据菱形的性质和已知条件可推出度数，再根据第一问的三角形全等和直角三角形的性质可求出和度数，从而求出度数，即可证明为等边三角形． 【详解】（1）证明： （1）四边形是菱形， ． 又于点于点， ， 在与中，． ； （2）证明：， ； 四边形是菱形， ∴， ， ∵， ， 又， ， 由（1）知， ， ． 是等边三角形． 【点睛】本题主要考查了三角形全等、菱形的性质、等边三角形的判定，解题的关键在于熟练掌握全等的方法和菱形的性质． 16．见解析 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质．先证明是等边三角形，利用证明即可得到． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，平分，． ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $