精品解析：北京市西城区北京师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

北京师大附中2025－2026学年（上）高一期中考试 数学试卷 班级：_____姓名：_____学号：_____ 考生须知 1.本试卷有三道大题，共6页.考试时长120分钟，满分150分. 2.考生务必将答案填写在答题卡上，在试卷上作答无效. 3.考试结束后，考生应将答题卡交回. 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简集合，然后根据交集的定义计算. 【详解】由题意，，， 根据交集的运算可知，. 故选：A 2. 已知集合，，若，则实数的值可以为（ ） A. B. 0 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式化简集合A，根据可得，结合选项分析判断. 【详解】因为集合，， 若，则， 结合选项可知：ABD错误，C正确； 故选：C. 3. 已知命题，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可得到答案. 【详解】根据特称命题的否定为全称命题知： 命题的否定是，. 故选：A. 4. 以下函数中既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义判断奇偶性，根据初等函数的单调性判断单调性. 【详解】对于A，，所以是偶函数，在单调递减，故A错误； 对于B，函数定义域为，所以是非奇非偶函数，在单调递减，故B错误； 对于C，，所以是非奇非偶函数，在单调递减，故C错误； 对于D，，所以是偶函数，在单调递增，故D正确. 故选：D 5. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分和讨论，当时，利用二次函数单调性即可得到不等式组，解出即可. 【详解】当时，，符合题意； 当时，因为其在上单调递增，则二次函数的开口只能向下， 根据二次函数单调性知，解得， 综上所述实数的取值范围是. 故选：C. 6. 已知函数下列区间中包含零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于A：根据零点存在性定理分析判断；对于BCD：根据函数值的符号分析判断. 【详解】函数， 对于选项A：因为，， 所以在内存在零点，故A正确； 对于选项B：因为，则，， 可得，可得，可知在内无零点，故B错误； 对于选项C：因为，则，， 可得，可得，可知在内无零点，故C错误； 对于选项D：因为，则，， 可得，可得，可知在内无零点，故D错误； 故选：A. 7. 设函数的定义域为，开区间，则“，且，都有”是“在上是增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数单调性的定义以及充分必要条件的定义即可判断. 【详解】对于充分性，取，，，无最大值， 则“，且，都有， 但是此时在上不是增函数，故充分性不成立； 对于必要性，若在上是增函数，则，且，都有，故必要性成立. 所以“，且，都有”是“在上是增函数”的必要不充分条件. 故选：B 8. 设，函数，若恰有一个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用函数与方程的思想，可将图象平移，以及对参数进行分类讨论即可得出其取值范围. 【详解】画出函数的图象如下图所示： 函数可由分段平移得到， 易知当时，函数恰有一个零点，满足题意； 当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意； 当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点； 当时，恰有一个零点，满足题意，即； 综上所述：实数的取值范围是. 故选：D. 9. 已知函数，关于函数的性质，有以下四个结论： ①函数是偶函数； ②函数在区间上单调递增； ③函数在区间上单调递增； ④函数的最小值是2 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义可判断①；取特殊值可排除②，利用定义法证明单调性可判断③，利用基本不等式可判断④. 【详解】的定义域为，因为，所以是偶函数，故①正确； 因为，，所以在区间不是单调递增函数，故②错误； 当时，任取， 则 ， 因为，所以，，，故， 所以在区间单调递增，故③正确； 因为为偶函数，所以只需考察的情况即可， 当时，， 当且仅当，即时取得，故④错误. 故选：B 10. 数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记为集合的元素个数，为集合的子集个数，若集合满足：①，；②，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据元素个数得到子集个数，即，分析出，即可求解. 【详解】设， 则，即， 所以, 若,则，即左边为奇数，右边为偶数，不成立， 若，则，即左边为奇数，右边为偶数，不成立， 所以,即， 因为， 且满足， 所以包含了的个元素外， 还包含个属于而不属于的元素， 当时，则, 如，符合题意. 当时，则, 如，符合题意. 所以的最大值为， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查交集与并集的混合运算，及集合的元素个数与集合子集间的关系，解题的关键由已知条件求，再分和讨论，体现了分类讨论的数学思想方法，难度较大. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是______． 【答案】 【解析】 【详解】要使函数有意义， 则，解得且， 所以函数的定义域为. 12. 已知的图象经过点，则_____；若方程有两个不等实数根，满足，则实数的取值范围为_____． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】第一空，代入点的坐标即可求得；第二空，根据方程根满足条件列不等式组，即可解得结果. 【详解】由题知，当时，，解得， 所以，又方程有两个不等实数根， 则，又因为，所以，得到， 由，得到或，所以． 故答案为：1；． 13. 已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，则的零点个数是_____；不等式的解集为_____. 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】根据函数图象结合奇函数的对称性分析的符号性，进而可得函数零点，注意；由不等式可知与同号，进而可得解集. 【详解】由图象可知：当时，；；当时，； 因为是定义在上的奇函数，则， 且当时，；；当时，； 综上所述：的零点为，0，1，共3个； 对于不等式，可知与同号， 可得或，所以不等式的解集为. 故答案为：3；. 14. 设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________． 【答案】 ①. 0（答案不唯一） ②. 1 【解析】 【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或， 解得 . 【详解】解：若时，，∴； 若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求； 若时， 当时，单调递减，， 当时， ∴或， 解得， 综上可得； 故答案为：0（答案不唯一），1 15. 设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为“—单调增函数”. 对于“—单调增函数”，有以下四个结论： ①“—单调增函数”一定在上单调递增； ②“—单调增函数”，一定是“—单调增函数”（其中，且）： ③函数是“—单调增函数”（其中表示不大于的最大整数）； ④函数是“—单调增函数”. 其中，所有正确结论的序号是_____. 【答案】②③ 【解析】 【分析】①④可以举出反例，②③通过该新定义证明即可. 【详解】①例如，定义域为，存在，对于任意，都有， 但在上不单调递增，①错误； ②因为是“—单调增函数”，所以存在实数，使得对于任意，都有， 因为，所以， 故一定是“—单调增函数”；②正确； ③，定义域为，当时， 对于任意，都有，即成立， 所以函数是“—单调增函数”，③正确； ④， 定义域为，取，则，，， 即，与要求矛盾，故不存在这样的，④错误. 故答案为：②③ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知关于的不等式组的解集是，集合. （1）求实数的值； （2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 【答案】（1）2； （2） 选择条件①：实数的取值范围是. 选择条件②：实数的取值范围是. 【解析】 【分析】（1）求出不等式组的解集，结合已知建立方程求解. （2）选择条件①，条件②，利用集合的包含关系列式求解. 【小问1详解】 由不等式组，解得， 因此， 而，则，所以. 【小问2详解】 集合，， 选择条件①：，则， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 选择条件②：，则， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 17. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论； （2）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （3）写出函数在上的单调性（结论不要求证明）. 【答案】（1） 函数为奇函数，证明如下： 因为的定义域为，且， 则， 所以函数为奇函数. （2） 函数在上单调递减，证明如下： 任取，且， 则， 因为，则，，， 可得，即， 所以函数在上单调递减. （3）函数在上单调递增 【解析】 【分析】（1）根据题意结合奇偶性的定义分析证明即可； （2）（3）根据题意结合单调性的定义分析证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 【小问3详解】 函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，则，，， 可得，即， 所以函数在上单调递增. 18. 设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定.生产成本（单位：万元）与生产量（单位：千件）间的函数关系是；销售收入（单位：万元）与生产量间的函数关系是 （1）把商品的利润表示为生产量的函数； （2）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？ 【答案】（1） （2）5千件 【解析】 【分析】（1）利润=销售收入-生产成本，据此列出关系式即可； （2）当时，利用配凑法及均值不等式，即可求出最大值；当时，由一次函数的图象性质即可得到最大值，比较两个最大值即可得到结论. 【小问1详解】 设商品的利润为（万元）， 依题意得 【小问2详解】 当时， ． 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以，当时，有最大值（万元）． 当时，． 综上，当时，取得最大值（万元）． 因此，当生产量确定为5千件时，商品的利润取得最大值万元． 19. 设函数. （1）当时，求的最小值； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）12 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性即可求解 （2）根据一元二次不等式在上能成立的条件即可求解； （3）分离参数转化为函数最值问题. 【小问1详解】 当时，单调递增，所以. 【小问2详解】 不等式即为， 若存在，使得不等式成立，则， 解得或，所以的取值范围为. 【小问3详解】 即为，变形为， 当，不等式即为，满足题意， 当时，则， 设，若对于时， ，只需，， 当且仅当，即时等号成立，故， 所以的取值范围为. 20. 设函数，其中． （1）对于任意，都有，求t的值； （2）若存在，使得关于x的方程有4个不同的实数根，直接写出t的范围： （3）若对于任意，都有，求实数t的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质即可求解； （2）根据图象变换结合题意可得，解不等式即可求解； （3）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则任意，都有，等价于，根据二次函数的性质，分，，和来讨论即可求解. 【小问1详解】 函数的对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，又， 所以. 【小问2详解】 由题意得， 即，解得或， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 设函数在区间上的最大值为，最小值为， 则任意，都有，等价于， ①当时，在上单调递增， 所以， 所以，解得， 所以； ②当，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以， 即，解得， 所以， ③当，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，解得， 所以， ④当时，在上单调递减， 所以， 所以，解得， 所以； 综上：的取值范围是. 21. 已知集合．对集合A中的任意元素，定义，当正整数时，定义（约定）． （1）若，求和； （2）若满足且，求的所有可能结果； （3）是否存在正整数n使得对任意都有？若存在，求出n的所有取值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）、、、； （3） 存在正整数n使且，理由如下： 由，则， 所以， 若，， 所以， 若，则，，， 所以，对都有， 当时，恒成立， 综上，n所有取值为使成立. 【解析】 【分析】（1）根据定义依次写出、即可得结果. （2）由题设有或，再依据定义确定的所有可能结果； （3）由定义得，依次写出直到即可判断存在性，并确定n的所有取值. 【小问1详解】 由题意，，，， ，，，. 【小问2详解】 由且， ①， 当或1时，， 同理，或1时，， 或1时，， 或1时，， 所以①等价于，则，， 当，，则为满足； 当，，则为满足， 当，，则为满足， 当，，则为满足， 综上，的所有可能结果、、、. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第二、三问，根据已知条件及的定义依次写出结果，判断存在性并列举出结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师大附中2025－2026学年（上）高一期中考试 数学试卷 班级：_____姓名：_____学号：_____ 考生须知 1.本试卷有三道大题，共6页.考试时长120分钟，满分150分. 2.考生务必将答案填写在答题卡上，在试卷上作答无效. 3.考试结束后，考生应将答题卡交回. 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，若，则实数的值可以为（ ） A. B. 0 C. D. 5 3. 已知命题，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 以下函数中既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数下列区间中包含零点的是（ ） A. B. C. D. 7. 设函数的定义域为，开区间，则“，且，都有”是“在上是增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 设，函数，若恰有一个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，关于函数的性质，有以下四个结论： ①函数是偶函数； ②函数在区间上单调递增； ③函数在区间上单调递增； ④函数的最小值是2 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记为集合的元素个数，为集合的子集个数，若集合满足：①，；②，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是______． 12. 已知的图象经过点，则_____；若方程有两个不等实数根，满足，则实数的取值范围为_____． 13. 已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，则的零点个数是_____；不等式的解集为_____. 14. 设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________． 15. 设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为“—单调增函数”. 对于“—单调增函数”，有以下四个结论： ①“—单调增函数”一定在上单调递增； ②“—单调增函数”，一定是“—单调增函数”（其中，且）： ③函数是“—单调增函数”（其中表示不大于的最大整数）； ④函数是“—单调增函数”. 其中，所有正确结论的序号是_____. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知关于的不等式组的解集是，集合. （1）求实数的值； （2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 17. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论； （2）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （3）写出函数在上的单调性（结论不要求证明）. 18. 设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定.生产成本（单位：万元）与生产量（单位：千件）间的函数关系是；销售收入（单位：万元）与生产量间的函数关系是 （1）把商品的利润表示为生产量的函数； （2）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？ 19. 设函数. （1）当时，求的最小值； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 20. 设函数，其中． （1）对于任意，都有，求t的值； （2）若存在，使得关于x的方程有4个不同的实数根，直接写出t的范围： （3）若对于任意，都有，求实数t的取值范围． 21. 已知集合．对集合A中的任意元素，定义，当正整数时，定义（约定）． （1）若，求和； （2）若满足且，求的所有可能结果； （3）是否存在正整数n使得对任意都有？若存在，求出n的所有取值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $