专题1.3 正方形的性质与判定（专项练习+十九大题型）2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级上册

专题1.3 正方形的性质与判定 题型一 正方形性质理解 1．如图，在正方形中，，分别为边与上一点，连接，，交点为，且，已知，，则正方形的边长为(   ) A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据正方形的性质以及已知条件，根据等角的余角相等，得出，进而根据含度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，在正方形外侧，作等边三角形，与相交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，由正方形、等边三角形的性质可得，，，，则，，再求出，根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵正方形，等边三角形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，为正方形的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，求的度数．（请直接写出的度数） 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图及角的计算，角平分线的性质定理，正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键. （1）由题意先作的垂直平分线，再根据点到的两边距离相等可知点在的角平分线上，据此作图即可. （2）根据正方形的性质和角平分线的定义求得，然后由和，得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，直线，点即为所求. （2）解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∵平分， ∴， ∵直线，即， ∴， ∴． 题型二 根据正方形的性质求角度 4．如图，在正方形的外侧，以为边作等边三角形，连接，交正方形的对角线于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的性质与判定等知识，由四边形是正方形，得，，，然后证明，故有，然后通过等边三角形的性质可得，，从而求得，再根据三角形外角性质求得即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5．如图，四边形是一个正方形，E是延长线上一点，且，则的度数 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．根据正方形的性质，可得，，则，再根据等边对等角，可得，结合，即可求得的度数． 【详解】解：∵四边形是一个正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 6．如图，是正方形的一条对角线，点、分别在对角线、边上，连接、、，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三线合一，中垂线的性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：先由正方形的性质得，再证明是等腰三角形，故得是的垂直平分线，所以证明，结合，得，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型三 根据正方形的性质求线段长 7．如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设、交于点，过点作于点，由正方形的性质可得，，，，由对折可得，，，推出，根据勾股定理求出，则，进而求出，证明，得到，可得，由，可得，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，设、交于点，过点作于点， 四边形是正方形， ，，，， 由折叠可得，，， ， ， ， ， 设， 在中，由勾股定理得，即， 解得（负值已舍去）， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，灵活运用相关知识是解题的关键． 8．如图，已知正方形中，，，垂直于，已知，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 过点作，交的延长线于点，设，则，，证明和全等，得，，则，，在中，由勾股定理可求出，进而得，，然后在中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，如图所示， ， ， 设，则， ． 四边形是正方形， ，． ． 在中，， ， ． ． 在和中， ． ，． ． ． 在中，由勾股定理得：， ． ，． 在中，由勾股定理得：． 故答案为：． 9．如图，是正方形的对角线，过点作于点，过点分别作于点，于点． (1)四边形是正方形吗?请说明理由； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是正方形，理由见解析 (2)4 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由正方形的性质可得，，，再证明四边形是矩形和，得出，即可得证； （2）由正方形的性质可得，，从而可得，进而得出，最后由正方形的面积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：四边形是正方形，理由如下： 四边形是正方形， ，，， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ． 四边形是正方形． （2）解：四边形是正方形， ，， ， ， 四边形是正方形， ， ， ． 题型四 根据正方形的性质求面积 10．如图，有一个边长为的正方形，将一块的三角板直角顶点与正方形对角线交点O重合，两条直角边分别与边交于点E，与边交于点F．则四边形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点．连接，则交于点O，证明，可得，从而得到四边形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接，则交于点O， ∵四边形是正方形，边长为， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 故选：B 11．如图，正方形的边在正方形的边上，边在下方，连接、，若，，则四边形（阴影部分）的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的四边相等是解题的关键．由正方形的性质可得，，由梯形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形和均为正方形， ∴，， 根据题意得：四边形（阴影部分）的面积为． 故答案为：4． 12．如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接． (1)试证明：垂直平分； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）证明，则，再证明，则，得到垂直平分； （2）求出，，由图可知，和等高，设高为，由求出，则． 【详解】（1）证明：为正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 平分， ． ， ． ， ， 垂直平分； （2）为正方形，且边长为4， ， 在中， 由（1）可知，， ， 由图可知，和等高，设高为， ， ， ， ． 题型五 正方形折叠问题 13．如图，在边长为8的正方形纸片中，E、F分别是边、上的两点，将正方形沿折叠，点C恰好落在边上的中点G处，则的长度是（    ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】本题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识．作，交于点，证明四边形是平行四边形，再证明，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作，交于点， ∵正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵将正方形沿折叠，点C恰好落在边上的中点G处， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长度是， 故选：A． 14．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，，沿折叠正方形，折叠后，点落在平面内的点处，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的翻折变换和正方形的性质，要会根据点的坐标求出所需要的线段的长度，灵活运用勾股定理． 过点作，因为，，所以，，根据勾股定理得，故，即点的坐标即可求解． 【详解】解：过点作，如图所示： 四边形是正方形，点的坐标是， ，， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， 即点的坐标为， 故答案为：． 15．已知：如图，在边长为12的正方形中，点在边上，，将沿折叠至，延长交于点，连接． (1)求的度数； (2)求的长度． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据正方形的折叠证明，则得到，而折叠得到，再由即可求解； （2）由已知可得，由，可设，则，，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵正方形的边长为12，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵在中，由勾股定理得 ∴， 解得， ∴． 题型六 求正方形重叠部分面积 16．如图所示：正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长相等，若正方形的边长为4，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．16 B．8 C．4 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．过点作，，和的交点为，和的交点为，根据正方形的性质可证，四边形是正方形，得到，再证明，得到，从而得出两个正方形重叠部分的面积，即可得解． 【详解】解：如图，过点作，，和的交点为，和的交点为， ， 四边形和是正方形， ，，， 四边形是矩形， ，，，， ，， 四边形是正方形， ，， ，即， 又，， ， ， 两个正方形重叠部分的面积， 故选：C． 17．如图，边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，此时阴影部分的面积为 cm2 【答案】13.5// 【分析】将边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，可得阴影部分是矩形，且可求阴影部分的长和宽，则面积能求出． 【详解】∵将边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形， ∴由平移的性质可得阴影部分是矩形， ∵根据题意得：阴影部分的宽为6-3=3（cm），长为6-1.5=4.5（cm）， ∴S阴影部分=3×4.5=13.5 （cm2）， 故答案为13.5cm2． 【点睛】本题考查正方形的性质，平移的性质，关键是理解图形变化的所表达的意义． 18．正方形的对角线相交于点，正方形的顶点与点重合，而且这两个正方形的边长都是1．已知，与正方形的边分别交于，两点． (1)如图1，若，则重叠部分四边形的面积是___________． (2)当正方形绕点O旋转到如图2所示的位置时，四边形的面积是否发生变化？证明你的结论． 【答案】(1) (2)面积不发生变化，理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质； （1）先根据正方形的性质得到，，，再证明得到，所以重叠部分四边形的面积； （2）先根据正方形的性质得到，，，，再证明得到，所以重叠部分四边形的面积，于是判断四边形的面积不发生变化． 【详解】（1）解：如图1，四边形和四边形都为正方形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 重叠部分四边形的面积； 故答案为：； （2）解：四边形的面积不发生变化． 理由如下： 四边形和四边形都为正方形， ，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 重叠部分四边形的面积； 即四边形的面积不发生变化． 题型七 根据正方形的性质证明 19．如图，点P是正方形边上一点（不与A、B重合），连结并将线段绕点P顺时针旋转，得线段，连接，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点E作，交的延长线于点F，结合条件证得，再根据全等三角形的性质得，，并证得，则可证得为等腰直角三角形，则易证． 【详解】解：过点E作，交的延长线于点F，则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 由旋转可得：，， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 又∵， 则． 故选：C． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，以及等腰直角三角形的判定与性质，其中作出相应的辅助线是解本题的关键． 20．如图，在边长为的正方形中，点E，F分别在边上，若，则的周长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质和正方形的性质．先根据正方形的性质得，，根据旋转的定义，把绕点A顺时针旋转可得到，根据旋转的性质得，，，，于是可判断点G在的延长线上，然后利用全等三角形的判定证明出，得到，然后利用三角形周长的定义得到的周长． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴把绕点A顺时针旋转可得到，如图， ∴，，，， ∴点G在的延长线上， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 而， ∴， ∴的周长． 故答案为：8． 21．如图，在与中，，，，相交于点．过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，，相交于点． (1)求证：； (2)满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定、正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定方法进行证明即可； （2）根据平行线的性质得到两组对边互相平行，证得四边形是平行四边形，根据的性质证得平行四边形是菱形，要使菱形是正方形，需要有一个角是，当时，时等腰直角三角形，进而证得，则四边形是正方形． 【详解】（1）证明：在和中， ； （2）解：，理由如下： 证明：， 四边形是平行四边形 平行四边形是菱形 ， 又 菱形是正方形． 题型八 正方形的判定定理理解 22．如图，在菱形中，．要使菱形为正方形，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形的判定，根据“有一个角是直角的菱形是正方形”，再根据正方形对角线平分一组对角即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形，， 当时，则菱形是正方形， ∴，即． 故选：B． 23．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC，BE=BC．当∠CBE：∠BCE= ，求证：四边形ABCD是正方形． 【答案】2：3，证明见解析． 【分析】首先证得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性质可得∠ADE=∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE=∠CBD，可得∠CDB=∠CBD，可得BC=CD，可得AD=BC，利用平行四边形的判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，由AD=CD可得四边形ABCD是菱形； 由BE=BC可得△BEC为等腰三角形，可得∠BCE=∠BEC，利用三角形的内角和定理可得∠CBE =45°，可得∠ABE=45°，可得∠ABC=90°，由正方形的判定定理可得四边形ABCD是正方形． 【详解】证明：当∠CBE：∠BCE=时，四边形ABCD是正方形． 理由如下： 在△ADE与△CDE中， ∴∠ADE=∠CDE， ∵AD∥BC， ∴∠ADE=∠CBD， ∴∠CDE=∠CBD， ∴BC=CD， ∵AD=CD， ∴BC=AD， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AD=CD， ∴四边形ABCD是菱形； ∵BE=BC ∴∠BCE=∠BEC， ∵∠CBE：∠BCE=2：3， ∴∠CBE=180×=45°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABE=45°， ∴∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是正方形． 【点睛】本题主要考查了正方形与菱形的判定及性质定理，熟练掌握定理是解答此题的关键． 24．如图， 是等腰直角三角形， ，点 、分别是 、上的一 动点，且满足 ，是 的中点． (1)求证：； (2)当点运动到什么位置时，四边形是正方形，并说明理由． 【答案】(1)证明见详解； (2)当点运动到的中点时，四边形是正方形 【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的判定，正方形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）连接，根据直角三角形的性质可得，从而证明，得到由，得出，从而求证； （2）若四边形是正方形，则，得到点是的中点． 【详解】（1）证明：连接， 是等腰直角三角形，是的中点， ，，， 又， ， ， ， （2）当点运动到的中点时，四边形是正方形， ， ，， 为等腰直角三角形， 当为的中点时，，即， 又，， 四边形为矩形， 又， 四边形为正方形。 题型九 添一个条件使四边形是正方形 25．在菱形中，对角线与相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质和正方形的判定，熟记判定定理是解题关键．根据有一个角是直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A. ，根据对角线相等的菱形是正方形可知菱形是正方形，故本选项不符合题意； B. ，根据菱形的对角线互相平分可得，根据对角线相等的菱形是正方形可得菱形是正方形，故本选项不符合题意； C. ，不能判定是正方形，故本选项符合题意； D.，则，根据有一个角是直角的菱形是正方形可得菱形是正方形，故本选项不符合题意． 故选：C． 26．如图，在中，对角线相交于点O，，不增添辅助线的情况下，添加一个条件，使得四边形为正方形，你添加的是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了正方形的判定的应用，根据题意得四边形是菱形，再添加即可判断四边形为正方形． 【详解】解：在中，对角线相交于点O，， 所以，四边形是菱形， 添加，则四边形为正方形． 故答案为：（答案不唯一） 27．如图，在中，，点D为的中点，过点D作，交于点E，过点A作，交的延长线于点F，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)当，时，求四边形的面积； (3)当满足什么条件时，四边形是正方形？ 【答案】(1)菱形；理由见解析 (2) (3)（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定、角平分线的性质、正方形的判定等知识，证明是解题的关键． （1）由得，而即可根据“”证明得，则四边形是平行四边形，因为，所以四边形是菱形； （2）先根据菱形的性质、等腰三角形的判定与性质可证，即四边形的面积倍的面积，再求得的面积即可解答； （3）当时，四边形是正方形，由，点C与点E重合，则，所以当时，四边形是正方形，据此即可解得． 【详解】（1）解：四边形是菱形．理由如下： ∵， ． ∵点D为的中点， ． 在和中 ， ， ， ∴四边形是平行四边形． ，交的延长线于点F， ， ∴四边形是菱形． （2）解：，四边形是菱形， ， ， ∵，， ∴, ∵, ∴， ∴四边形的面积倍的面积． ，， 的面积， ∴四边形的面积． （3）解：∵四边形是菱形， ∴当时，四边形是正方形． ， ∴点C与点E重合， ， ∴当满足时，四边形是正方形（答案不唯一）． 题型十 证明四边形是正方形 28．四边形的对角线，相交于点，能判定它为正方形的条件是（   ） A． B． C．，， D．， 【答案】D 【分析】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，有两种方式： 先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等； 先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角． 根据正方形的判定对各个选项进行分析从而得到最后的答案． 【详解】解：A、不能判定为特殊的四边形； B、只能判定为矩形； C、只能判定为菱形； D、能判定为正方形； 故选：D． 29．如图所示，在中，，，，、的平分线交于点，于，于，则四边形的面积是 ．    【答案】1 【分析】过点作于，根据矩形的判定可得四边形为矩形，根据角平分线的性质可得，，根据全等三角形的判定和性质可推得，根据正方形的判定可得四边形为正方形，设，，根据勾股定理求得，推得，即可求得，即可求解． 【详解】解：过点作于，    ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵、的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形为正方形， 设，则， 在中，， ∴， ， ∴， 即， ∴四边形的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，勾股定理，解题关键在于作辅助线，利用角平分线的性质判断线段相等． 30．如图，矩形的对角线交于点，在上取一点，使． (1)当为多少度时，四边形为正方形？ (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查矩形的性质，等边对等角，正方形的判定，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据等边对等角，结合正方形的判定方法，进行求解即可； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，求出和的长，进而得到的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，四边形为正方形，理由如下： ∵矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴四边形为正方形； （2）在中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 题型十一 根据正方形的性质与判定求角度 31．如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质，求得∠BAE=38°，根据正方形的性质，求得∠DBA=45°，∠ABH=135°，利用四边形的内角和定理计算即可． 【详解】根据旋转的性质，得∠BAE=38°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBA=45°，∠ABH=135°， ∵四边形AEFG是正方形， ∴∠E=90°， ∴∠DHE=360°-90°-38°-135°=97°， 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，四边形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质，旋转的性质是解题的关键． 32．如图，在中，，，是射线上一点，将沿折叠，得到，连接．当为直角三角形时，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是分类讨论．分两种情况：当时，当时，根据折叠的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定与性质求解即可． 【详解】解：当时， ， ， 由折叠可得：，， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形， ； 当时， ，， ， 由折叠可知，，， ， 点、、共线， ， 综上所述，的度数为或． 当时， ∵， ∴， ∴， 由折叠可得，； 故答案为：或或． 33．如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 【答案】(1)，，理由见解析 (2) 【分析】（）证明，得，，进而可得，即得到，即可求证； （）过点作于，交的延长线于，可得四边形是矩形，再证明，得，利用三角形面积得，即得，即可得四边形是正方形，即可求解； 本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：，，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：如图，过点作于，交的延长线于， ∵， 则， ∴四边形是矩形， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由（）知， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． 题型十二 根据正方形的性质与判定求线段长 34．如图，正方形的边长为3，为对角线上一点，连接，过点作，交于点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点F作于点M，点F作于点N，延长交于点Q，证明四边形是矩形，得出，，证明四边形是正方形，得出，证明，得出，．证明四边形是矩形，得出，，求出，，根据勾股定理求出． 【详解】解：过点F作于点M，点F作于点N，延长交于点Q， 则， ∵正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 35．如图，长方形纸片中，，．点是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查翻折变换，正方形的判断与性质，勾股定理的应用，解题的关键是分情况讨论，正确理解题意作出图形． 根据题意分两种情况：在上，，四边形是正方形，；在上，，用勾股定理，解，即可得的长． 【详解】解：根据题意分以下两种情况： 如图，在上，， ∵四边形是长方形， ∴， 由翻折的性质，可得，， ∴四边形是正方形， ∴； 如图，在上，， ∵四边形是长方形， ∴， 由翻折的性质，可得，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：或． 36．如图，中，，、为的外角平分线，过点分别作直线的垂线，为垂足． (1)______（直接写出结果不写解答过程）； (2)①求证：四边形是正方形； ②若，求的长． (3)借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若锐角三角形中，，一条高是，它的长度为6，，直接写出的长度． 【答案】(1) (2)①见解析；② (3) 【分析】根据平角的定义得到，根据角平分线的定义得到，，求得，根据三角形的内角和定理即可得到结论； 作于，如图所示：则，先证明四边形是矩形，再由角平分线的性质得出，即可得出四边形是正方形； 设，根据已知条件求出，由得四边形是正方形，求得，根据全等三角形的性质求出，同理，，根据勾股定理列方程即可得到结论； 把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，由得：四边形是正方形，，，，得出，，设，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 平分，平分， ，， ， ． 故答案为； （2）证明：作于，如图所示： ，， ， 四边形是矩形， ，外角平分线交于点， ，， ， 四边形是正方形； 解：设， ， ， 由得四边形是正方形， ， 在与中， ， ， 同理，， 在中，， 即， 解得：， 的长为； （3）解：根据题意作出图形，如图所示：把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点， 由得：四边形是正方形，，，， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的有关计算、正方形的判定及性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识点．构造辅助线，结合垂直关系和角平分线性质证明邻边相等是解题的关键． 题型十三 根据正方形的性质与判定求面积 37．如图，正方形中，在各边上截，连接交于点P，四边形的面积是4，四边形的面积是36，则原来的正方形的面积是（    ） A．64 B．50 C．49 D．56 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，证明四边形是正方形，根据面积求出边长，进而求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 同理， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∵，， ∵， ∴矩形是正方形， ∵四边形的面积是36， ∴， ∴， ∴原来的正方形的面积是， 故选：A． 38．如图，正方形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的面积是 ． 【答案】25 【分析】本题考查正方形的判定与性质． 根据正方形的对角线互相垂直平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利进而可得到四边形为正方形，即可求出其面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ，， ， ， ∴， ， ∴四边形为平行四边形， ，， ∴四边形为正方形， ． 故答案为：25 39．如图所示，为等边三角形，在外部作，且，连接．分别以点C，点F为圆心，线段长为半径画弧，两弧交于点M，连接． (1)求证：四边形为正方形． (2)若，求阴影部分的面积．（面积记为S） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质： （1）由作法得：，再由等边三角形的性质可得，从而得到，，即可求证； （2）过点B作于点D，根据等边三角形的性质以及勾股定理可得，再由，即可求解． 【详解】（1）证明：由作法得：， ∵为等边三角形， ∴， ∵，且， ∴，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形为正方形； （2）解：如图，过点B作于点D， ∵四边形为正方形，， ∴，， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴ ． 题型十四 根据正方形的性质与判定证明 40．如图，已知四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，过点E作，交的延长线于点F，连接，若，，则的长为（　　） A．5 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质等知识，正确作出辅助线是解本题的关键． 过E作于点M，作于N，证明四边形是正方形，根据勾股定理求出，再证明，得即可解答． 【详解】解：过E作于点M，作于N， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵在正方形中，平分， 又， ∴， ∴四边形是正方形， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在正方形中，， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故选：B． 41．如图，在中，，点O为的三条角平分线的交点，，，，垂足分别是D、E、F，且，，，则点O到的距离为 ． 【答案】2 【分析】根据角平分线的性质得出，再根据全等三角形的判定与性质可得，，根据正方形的判定与性质可得，设，，，，再根据，即，求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵点O为的三条角平分线的交点，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证，， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， 设，，，， ∴，即， 解得， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查角平分线的性质、全等直角三角形的判定与性质、正方形的判定与性质，设未知数，并用未知数表示各边是解题的关键． 42．如图，在中，是边上的中线，以为边作，连接分别与相交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等腰三角形的“三线合一”得到，从而是矩形，由直角三角形斜边上中线的性质得到，从而得到矩形是正方形； （2）先由勾股定理求得，进而得到，根据正方形的性质得到，，因此，，证明得到，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，是边上的中线， ∴， ∴是矩形， ∵，是边上的中线， ∴，， ∴， ∴矩形是正方形． （2）解：∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，． ∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握直角三角形的性质及正方形的性质是解题的关键． 题型十五 中点四边形 43．如图， 四边形 为矩形， E， F， G， H 分别为 ， ，， 的中点， 则四边形的形状是（    ） A．等腰梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】B 【分析】连接、，根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据矩形的性质、菱形的判定定理解答． 【详解】解：连接、， ∵在中，G、H为、的中点， ∴，且， 在中，E、F为、的中点， ∴，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， 故选：B． 【点睛】本题考查了中点四边形，三角形中位线定理，矩形的性质，菱形的判定定理，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 44．如图，四边形的两条对角线分别为和，且满足，，那么依次连接它的各边中点得到的四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了中点四边形的性质．学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判定和矩形的判定进行证明，是一道综合题． 由三角形中位线的性质，可判定且，同理，得且．继而可证得四边形为平行四边形，． 再由证明为矩形，即可求出四边形的面积． 【详解】证明：∵分别为的中点， ∴且． ∵分别为的中点， ∴且． ∴且． 同理，得且． ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴． ∴四边形为矩形． ∴ 即四边形的面积为． 故答案为： 45．如图，在正方形中，G、E、F是正方形边上的点，连接、，与交于点M，，． (1)求证：； (2)连接、、、的中点P、Q、R、S，试说明四边形是什么特殊的四边形． 【答案】(1)见解析 (2)正方形，说明见解析 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题关键． （1）过点作于点，根据正方形的性质得到，，再结合已知条件得到，即可利用“”证明全等； （2）由（1）可知，，从而得出，，再根据三角形中位线定理，先证明四边形是平行四边形，再证明正方形即可． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点，则， 四边形是正方形， ，，， ，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）可知，， ，， ， ， ， ， 如图，连接、、、的中点P、Q、R、S， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是正方形． 题型十六 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 46．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，矩形ABCD内的一个动点P落在阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：矩形的对角线将矩形分割成面积相等的四部分，如图，因为△DOF和△EOB是全等三角形，将△DOF切割到△EOB与△AOE合并成△AOB，刚好占了该矩形面积的，所以P落在阴影部分的概率是. 考点：矩形的性质和事件概率 点评：该题主要考查学生对矩形相关性质的掌握，同时考查对事件发生的概率的计算． 47．如图，中，，，将沿方向平移，得到，连接．若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平移的性质，求阴影部分的面积，平行四边形的性质和判定， 根据平移的性质得，可知四边形时平行四边形，再根据面积公式得出答案． 【详解】解：根据平移的性质得， ∴四边形时平行四边形． ∵， ∴． ∵， ∴阴影部分的面积等于． 故答案为：4． 48．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”． 例如：；则、、这三个数都是奇特数． (1)填空：32______奇特数，2018______奇特数．（填“是”或者“不是”） (2)如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形，其边长为403，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是，不是 (2)81608 【分析】本题考查了图形的变化类、新概念以及平方差公式的应用，利用图形正确表示出阴影部分是解题关键． （1）根据奇特数的概念进行判断即可； （2）利用阴影部分面积为，运用平方差进行运算，进而求得答案即可． 【详解】（1）解：∵ ∴是奇特数； ∵8、16、24这三个数都是奇特数，它们都是的倍数，而不是的倍数 ∴不是奇特数； 故答案为：是，不是． （2） 题型十七 （特殊）平行四边形的动点问题 49．如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的判定，利用分类讨论的思想解决问题是关键．由题意可得，分两种情况讨论：当点在上时；当点在延长线上时，表示出，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求解即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， ， 当点在上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：； 当点在延长线上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：， 综上可知，以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为或秒， 故选：C 50．如图在矩形中，，，为的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，若点运动的时间为秒，则当的面积为时，值为 ．    【答案】6或11/11或6 【分析】分在上、在上两种情况，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：①当在上时， 的面积等于， ， 解得：； ②当在上时， 的面积等于， ， ， 解得：； 综上所述，的值为6或11， 故答案为：6或11． 【点睛】本题考查了矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握矩形的性质，分情况讨论是解题的关键． 51．如图所示，在四边形中，，，，点从点向点以的速度运动，到点即停止点从点向点以的速度运动，到点即停止直线将四边形截成两个四边形，分别为四边形和四边形，已知，两点同时出发，则几秒后所截得的两个四边形中，有一个为平行四边形 【答案】或 【分析】本题主要考查了与平行四边形有关的动点问题，结合平行四边形的性质准确分析计算是解题的关键． 若四边形是平行四边形，则，进而求出运动的时间 若四边形是平行四边形，则，进而求出运动的时间． 【详解】解：设后，四边形或四边形是平行四边形， 根据题意可得，，，，若四边形是平行四边形，则， ，解得：， 后四边形是平行四边形． 若四边形是平行四边形，则， ，解得：， 后四边形是平行四边形． 综上所述，或后，两个四边形中有一个是平行四边形． 题型十八 四边形中的线段最值问题 52．如图，正方形的边长为12，点E在AB上，且，点F是上一动点，则的最小值是（    ） A．15 B． C． D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了最短路线问题、勾股定理以及正方形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 连接，依据，可得，当在同一直线上时，的最小值等于的长，再根据勾股定理即可得到的长即为的最小值． 【详解】如图所示，连接， ∵点与点关于对称， ， 当在同一直线上时， 的最小值等于的长， ∴的最小值等于15， 故选：A． 53．如图，在菱形中，，点为对角线上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N．连接，在点P运动过程中，的最小值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理、最小值问题以及三角形面积等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 连接，由三角形面积关系求出，得当最短时，有最小值，则当时，最短，即可得出答案． 【详解】解：在菱形中，， ，， ， 如图，连接，如图所示： ， ， 即， ， 当最短时，有最小值， 由垂线段最短可知：当时，最短， 当点与点重合时，有最小值，最小值， 故答案为：． 54．如图1，正方形的边长为2．E、F分别为边、上的动点，的周长为4，是延长线上的一点，且． (1)求证：； (2)试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)如图2，若为边的中点，过点作，垂足为．求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)的大小是定值，定值为 (3) 【分析】（1）利用正方形的性质证明，得到，再利用角的和差得到，即可证明； （2）由的周长为4，得到，由正方形的边长为2得到，得到，进而利用线段的和差推出，通过证明得到，结合即可得出结论； （3）连接，利用全等三角形的性质得到，利用三角形的面积公式得到，利用勾股定理求出的长，再根据即可求出的最小值． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为4， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴的大小是定值，定值为； （3）解：连接， ∵正方形的边长为2， ∴，， ∴是的高， ∵， ∴是的高， 由（2）得，， ∴， ∴， 由（2）得，， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、三角形的面积公式、线段最值问题，正确找出全等三角形并证明是解题的关键． 题型十九 四边形其他综合问题 55．小明参观完洛阳博物馆后，在出口处购买了博物馆文创产品之一的信封．信封正面可看成如图所示的矩形（虚线为重叠部分四边形的轮廓），其中，，，已知，且，则重叠部分四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形是正方形，由正方形的面积公式可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∴ ∴四边形的面积为． 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，证明四边形是正方形是解题的关键． 56．如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，以BE为边向上作平行四边形BEFG，连接AG、AF、BF，若，的面积是2，则的面积是 ． 【答案】11． 【分析】先构造出与ABG全等的HEF，再利用面积和即可得出的面积． 【详解】 解：如图所示，延长ED至H ，使EH=AB，连接AH，FH， ∵AB∥EH， ∴四边形ABEH是平行四边形， ∴BE∥AH，BE=AH， ∵□BEFG中，BG=EF，GF∥BE，GF=BE， ∴GF∥AH，GF=AH， ∴四边形AHFG是平行四边形， ∴AG=FH， ∴△ABG≌△HEF， 过点F作FN⊥AB于N，交直线CD于M， ∴FM⊥CD， ∴四边形ABMN是矩形， ∴FN+FM=MN=AD= ， ∵S△ABG+ S△AGF+ S△ABF=S△BEF， 即S△HEF+ S△AGF+ S△ABF=S△BEF， ∴S△BEF==+2=11． 故填：11． 【点睛】本题考查正方形的性质及矩形的性质和判定．正确添加辅助线构造出全等三角形是正确解题的关键． 57．已知线段． (1)已知线段垂直于线段．设图1，图2和图3中的四边形的面积分别为和，则__________，__________，__________； (2)如图4，对于线段与线段垂直相交（垂足不与点重合）的任意情形，请你就四边形面积的大小提出猜想，并证明你的猜想； (3)当线段与（或）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点所围成的封闭图形的面积是多少？ 【答案】(1)，， (2)，证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查对角线互相垂直的四边形面积问题，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将四边形面积分为两个三角形面积之和，根据三角形的面积公式进行计算； （2）根据（1）中的计算结果，发现三个图形的面积都是．将四边形面积分为两个三角形面积之和，根据三角形的面积公式进行计算； （3）把四边形的面积分割成两个三角形面积之差，按三角形的面积公式进行计算． 【详解】（1）解：对于图1， ， ，， ， ， ， ， ； 同理可得，图2和图3中的四边形的面积，， 故答案为：，，； （2）解：对于线段与线段垂直相交（垂足不与点，，，重合）的任意情形，四边形的面积为定值． 证明如下： ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：顺次连接点，，，，所围成的封闭图形的面积仍为24． 证明：如图，当线段与的延长线垂直相交时， ， ，， ， ， ， ， ； 如图，当线段与的延长线垂直相交时， ， ，， ， ， ， ， ； 综上所述，当线段与（或）的延长线垂直相交时，顺次连接点所围成的封闭图形的面积是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 正方形的性质与判定 题型一 正方形性质理解 1．如图，在正方形中，，分别为边与上一点，连接，，交点为，且，已知，，则正方形的边长为(   ) A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图，在正方形外侧，作等边三角形，与相交于点，则 ． 3．如图，为正方形的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，求的度数．（请直接写出的度数） 题型二 根据正方形的性质求角度 4．如图，在正方形的外侧，以为边作等边三角形，连接，交正方形的对角线于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，四边形是一个正方形，E是延长线上一点，且，则的度数 ． 6．如图，是正方形的一条对角线，点、分别在对角线、边上，连接、、，且，求的度数． 题型三 根据正方形的性质求线段长 7．如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知正方形中，，，垂直于，已知，则 ． 9．如图，是正方形的对角线，过点作于点，过点分别作于点，于点． (1)四边形是正方形吗?请说明理由； (2)若，求四边形的面积． 题型四 根据正方形的性质求面积 10．如图，有一个边长为的正方形，将一块的三角板直角顶点与正方形对角线交点O重合，两条直角边分别与边交于点E，与边交于点F．则四边形的面积是（　　） A． B． C． D． 11．如图，正方形的边在正方形的边上，边在下方，连接、，若，，则四边形（阴影部分）的面积为 ． 12．如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接． (1)试证明：垂直平分； (2)求的面积． 题型五 正方形折叠问题 13．如图，在边长为8的正方形纸片中，E、F分别是边、上的两点，将正方形沿折叠，点C恰好落在边上的中点G处，则的长度是（    ） A． B． C．10 D． 14．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，，沿折叠正方形，折叠后，点落在平面内的点处，则点的坐标为 ． 15．已知：如图，在边长为12的正方形中，点在边上，，将沿折叠至，延长交于点，连接． (1)求的度数； (2)求的长度． 题型六 求正方形重叠部分面积 16．如图所示：正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长相等，若正方形的边长为4，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．16 B．8 C．4 D．1 17．如图，边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，此时阴影部分的面积为 cm2 18．正方形的对角线相交于点，正方形的顶点与点重合，而且这两个正方形的边长都是1．已知，与正方形的边分别交于，两点． (1)如图1，若，则重叠部分四边形的面积是___________． (2)当正方形绕点O旋转到如图2所示的位置时，四边形的面积是否发生变化？证明你的结论． 题型七 根据正方形的性质证明 19．如图，点P是正方形边上一点（不与A、B重合），连结并将线段绕点P顺时针旋转，得线段，连接，则等于（    ） A． B． C． D． 20．如图，在边长为的正方形中，点E，F分别在边上，若，则的周长为 ． 21．如图，在与中，，，，相交于点．过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，，相交于点． (1)求证：； (2)满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 题型八 正方形的判定定理理解 22．如图，在菱形中，．要使菱形为正方形，则是（   ） A． B． C． D． 23．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC，BE=BC．当∠CBE：∠BCE= ，求证：四边形ABCD是正方形． 24．如图， 是等腰直角三角形， ，点 、分别是 、上的一 动点，且满足 ，是 的中点． (1)求证：； (2)当点运动到什么位置时，四边形是正方形，并说明理由． 题型九 添一个条件使四边形是正方形 25．在菱形中，对角线与相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 26．如图，在中，对角线相交于点O，，不增添辅助线的情况下，添加一个条件，使得四边形为正方形，你添加的是 ．（写出一个即可） 27．如图，在中，，点D为的中点，过点D作，交于点E，过点A作，交的延长线于点F，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)当，时，求四边形的面积； (3)当满足什么条件时，四边形是正方形？ 题型十 证明四边形是正方形 28．四边形的对角线，相交于点，能判定它为正方形的条件是（   ） A． B． C．，， D．， 29．如图所示，在中，，，，、的平分线交于点，于，于，则四边形的面积是 ．    30．如图，矩形的对角线交于点，在上取一点，使． (1)当为多少度时，四边形为正方形？ (2)若，，求的长． 题型十一 根据正方形的性质与判定求角度 31．如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（    ） A． B． C． D． 32．如图，在中，，，是射线上一点，将沿折叠，得到，连接．当为直角三角形时，的度数为 ． 33．如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 题型十二 根据正方形的性质与判定求线段长 34．如图，正方形的边长为3，为对角线上一点，连接，过点作，交于点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 35．如图，长方形纸片中，，．点是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，的长为 ． 36．如图，中，，、为的外角平分线，过点分别作直线的垂线，为垂足． (1)______（直接写出结果不写解答过程）； (2)①求证：四边形是正方形； ②若，求的长． (3)借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若锐角三角形中，，一条高是，它的长度为6，，直接写出的长度． 题型十三 根据正方形的性质与判定求面积 37．如图，正方形中，在各边上截，连接交于点P，四边形的面积是4，四边形的面积是36，则原来的正方形的面积是（    ） A．64 B．50 C．49 D．56 38．如图，正方形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的面积是 ． 39．如图所示，为等边三角形，在外部作，且，连接．分别以点C，点F为圆心，线段长为半径画弧，两弧交于点M，连接． (1)求证：四边形为正方形． (2)若，求阴影部分的面积．（面积记为S） 题型十四 根据正方形的性质与判定证明 40．如图，已知四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，过点E作，交的延长线于点F，连接，若，，则的长为（　　） A．5 B． C．6 D． 41．如图，在中，，点O为的三条角平分线的交点，，，，垂足分别是D、E、F，且，，，则点O到的距离为 ． 42．如图，在中，是边上的中线，以为边作，连接分别与相交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，求的长． 题型十五 中点四边形 43．如图， 四边形 为矩形， E， F， G， H 分别为 ， ，， 的中点， 则四边形的形状是（    ） A．等腰梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 44．如图，四边形的两条对角线分别为和，且满足，，那么依次连接它的各边中点得到的四边形的面积为 ． 45．如图，在正方形中，G、E、F是正方形边上的点，连接、，与交于点M，，． (1)求证：； (2)连接、、、的中点P、Q、R、S，试说明四边形是什么特殊的四边形． 题型十六 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 46．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，矩形ABCD内的一个动点P落在阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 47．如图，中，，，将沿方向平移，得到，连接．若，则阴影部分的面积为 ． 48．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”． 例如：；则、、这三个数都是奇特数． (1)填空：32______奇特数，2018______奇特数．（填“是”或者“不是”） (2)如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形，其边长为403，求阴影部分的面积． 题型十七 （特殊）平行四边形的动点问题 49．如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 50．如图在矩形中，，，为的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，若点运动的时间为秒，则当的面积为时，值为 ．    51．如图所示，在四边形中，，，，点从点向点以的速度运动，到点即停止点从点向点以的速度运动，到点即停止直线将四边形截成两个四边形，分别为四边形和四边形，已知，两点同时出发，则几秒后所截得的两个四边形中，有一个为平行四边形 题型十八 四边形中的线段最值问题 52．如图，正方形的边长为12，点E在AB上，且，点F是上一动点，则的最小值是（    ） A．15 B． C． D．12 53．如图，在菱形中，，点为对角线上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N．连接，在点P运动过程中，的最小值等于 ． 54．如图1，正方形的边长为2．E、F分别为边、上的动点，的周长为4，是延长线上的一点，且． (1)求证：； (2)试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)如图2，若为边的中点，过点作，垂足为．求的最小值． 题型十九 四边形其他综合问题 55．小明参观完洛阳博物馆后，在出口处购买了博物馆文创产品之一的信封．信封正面可看成如图所示的矩形（虚线为重叠部分四边形的轮廓），其中，，，已知，且，则重叠部分四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 56．如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，以BE为边向上作平行四边形BEFG，连接AG、AF、BF，若，的面积是2，则的面积是 ． 57．已知线段． (1)已知线段垂直于线段．设图1，图2和图3中的四边形的面积分别为和，则__________，__________，__________； (2)如图4，对于线段与线段垂直相交（垂足不与点重合）的任意情形，请你就四边形面积的大小提出猜想，并证明你的猜想； (3)当线段与（或）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点所围成的封闭图形的面积是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $