1.3正方形的性质与判定 培优同步练习2025-2026学年北师大版数学九年级上册

1.3正方形的性质与判定 培优同步练习 一．选择题 1．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 2．如图，E是正方形ABCD的边DC上一点，过点A作FA＝AE交CB的延长线于点F，若AB＝4，则四边形AFCE的面积是（　　） A．4 B．8 C．16 D．无法计算 3．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BEA为（　　） A．15° B．30° C．45° D．55° 4．如图，在正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB＝2cm，点P为AB上任意一点，PE⊥OB于点E，PF⊥OA于点F，则PE+PF的值为（　　） A．2cm B．cm C．2cm D．1cm 5．如图，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边在同侧作正方形，若AB＝8，两正方形的面积和为48，则△AFC的面积是（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 6．如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE交对角线AC于点F，连接DF，若∠ABE＝30°，则∠CFD的度数为（　　） A．45° B．70° C．75° D．80° 7．如图为破裂的正方形玻璃，已知裂痕BF，DE，EF分别长3dm，4dm，1dm，∠BFE＝∠DEF＝90°，则该正方形玻璃的边长为（　　） A．5 B． C． D．6 8．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD边中点，正方形ABCD的周长为8，则OH的长为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 9．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，0），点E为对角线的交点，点F与点E关于y轴对称，则点F的坐标为（　　） A．（﹣2，3） B．（3，﹣3） C．（﹣3，2） D．（﹣3，3） 10．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在AB上，点F是AD的中点，连接EF，EC，若点G，H分别是EF，EC的中点，连接GH，则GH的长为（　　） A． B．2 C． D．1 11．如图，正方形ABCD的边长为7，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥OF，分别交AB，BC于点E，F，AE＝4，则EF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．7 12．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为2．其中正确结论的序号为（　　） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 二．填空题 13．正方形的对角线是2，则正方形的面积是 　 　 ． 14．如图，在正方形ABCD中，E是AD上一点，连接CE，交BD于点F，若AB＝BF，则∠AEF＝　 　 °． 15．如图，正方形ABCD的边长为5，E是AB上一点，且BE：AE＝1：4，若P是对角线AC上一动点，则PB+PE的最小值是　 　 ．（结果保留根号） 16．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，DH⊥EF于H，DA＝HD，EH＝2，HF＝3．则正方形ABCD的边长为　 　 ． 17．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为 　 　 ． 18．如图，AC是正方形ABCD的对角线，若以AD为边向正方形内部作等边三角形ADE，边DE交AC于点F，则∠EFC＝　 　 度． 19．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，对角线AC，BD相交于点O．点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF，交AC于点H，将△EFH沿EF翻折，点H的对应点H′恰好落在BD上，得到△EFH′．若点F为CD的中点，则△EGH′的周长是 　 　 ． 三．解答题 20．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，连结AE，在AE上截取AM＝BE，延长AD到F，使AF＝AE，连结MF、EF． （1）求证：△ABE≌△FMA； （2）若AB＝4，BE＝3，求EF的长． 21．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足． （1）∠EAF＝　 　 °（直接写出结果不写解答过程）； （2）①求证：四边形ABCD是正方形． ②若BE＝EC＝3，求DF的长． 22．如图，已知正方形ABCD中，E为CB延长线上一点，且BE＝AB，M、N分别为AE、BC的中点，连DE交AB于O，MN交，ED于H点． （1）求证：AO＝BO； （2）求证：∠HEB＝∠HNB； （3）过A作AP⊥ED于P点，连BP，则的值． 23．如图在正方形ABCD中，点F在CD延长线上，点E在BC边上，且BE＝DF，连接EF交对角线BD与点G，连接AE，AF，AG． （1）求证：AE＝AF． （2）求证：BG﹣DGDF． （3）若DG＝4，DF，直接写出正方形ABCD的边长＝　 　 ． 24．问题引入：如图①，AB∥CD，AB＞CD，∠ABD＝90°，E是线段AC的中点．连结DE并延长交AB于点F，连结BE．则BE与DE之间的数量关系是 　 　 ． 问题延伸：如图②，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，点G在BC上，P是线段DF的中点，连结PC、PG． （1）判断PC与PG之间的数量关系，并说明理由． （2）连结CF，若AB＝3，PC，则CF的长为 　 　 ． 参考答案 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C A B C C A D D C C 题号 12 答案 C 二．填空题 13．2． 14．112.5． 15．． 16．6． 17．． 18．75． 19．5． 三．解答题 20．解：（1）∵ABCD为正方形， ∴∠B＝∠BAD＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠BAE+∠EAF＝90°． ∴∠AEB＝∠EAF， 在△ABE和△FMA中， ， ∴△ABE≌△FMA（SAS）． （2）在Rt△ABE中，AE， ∵△ABE≌△FMA， ∴AM＝BE＝3，FM＝AB＝4，∠AMF＝∠ABC＝90°， ∴ME＝AE﹣AM＝5﹣3＝2． 在Rt△EFM中， EF． 21．（1）解：∵∠C＝90°， ∴∠CFE+∠CEF＝90°， ∴∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°， ∵AF平分∠DFE，AE平分∠BEF， ∴∠AFEDFE，∠AEFBEF， ∴∠AEF+∠AFE（∠DFE+∠BEF）270°＝135°， ∴∠EAF＝180°﹣∠AEF﹣∠AFE＝45°， 故答案为：45； （2）①证明：作AG⊥EF于G，如图1所示： 则∠AGE＝∠AGF＝90°， ∵AB⊥CE，AD⊥CF， ∴∠B＝∠D＝90°＝∠C， ∴四边形ABCD是矩形， ∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A， ∴AB＝AG，AD＝AG， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是正方形； ②解：设DF＝x， ∵BE＝EC＝3， ∴BC＝6， 由①得四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝6， 在Rt△ABE与Rt△AGE中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）， ∴BE＝EG＝6， 同理，GF＝DF＝x， 在Rt△CEF中，EC2+FC2＝EF2， 即32+（6﹣x）2＝（x+3）2， 解得：x＝2， ∴DF的长为2． 22．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，AD∥BC， ∴∠DAB＝∠ABE，∠ADO＝∠BEO， ∵AB＝BE， ∴AD＝BE， ∴△ADO≌△BEO（ASA）， ∴AO＝BO； （2）证明：延长BC至F，且使CF＝BC，连接AF，如图1所示： 则BF＝CE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝DC，AD∥BC，∠BAD＝∠ABC＝∠DCB＝90°， 在△ABF和△DCE中，， ∴△ABF≌△DCE（SAS）， ∴∠DEC＝∠AFB， ∵EB＝CF，BN＝CN， ∴N为EF的中点， ∴MN为△AEF的中位线， ∴MN∥AF， ∴∠HNB＝∠AFB＝∠HEB； （3）解：过点B作BQ⊥BP交DE于Q，如图2所示： 则∠PBQ＝90°， ∵∠ABE＝180°﹣∠ABC＝90°， ∴∠EBQ＝∠ABP， ∵AD∥BC， ∴∠ADP＝∠BEQ， ∵AP⊥DE，∠BAD＝90°， 由角的互余关系得：∠BAP＝∠ADP， ∴∠BEQ＝∠BAP， 在△BEQ和△BAP中，， ∴△BEQ≌△BAP（ASA）， ∴PA＝QE，QB＝PB， ∴△PBQ是等腰直角三角形， ∴PQPB， ∴． 23．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADC＝90°＝∠ADF， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴AE＝AF； （2）过E作EH⊥BC交BD于H，如图： ∵∠DBC＝45°， ∴△BEH是等腰直角三角形， ∴HE＝BE＝DF，BHBE， ∵EH⊥BC， ∴EH∥CD， ∴∠GHE＝∠GDF，∠GEH＝∠GFD， ∴△GHE≌△GDF（ASA）， ∴DG＝HG， ∴BG﹣DG＝BG﹣HG＝BH， ∴BG﹣DGBEDF； （3）由（2）知：BG﹣DGDF， 而DG＝4，DF， ∴BG＝DGDF＝6， ∴BD＝BG+DG＝10， ∵四边形ABCD是正方形， ∴△BCD是等腰直角三角形， ∴BC＝CD5， 故答案为：5． 24．解：问题引入：BE＝DE，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠C， ∵E是AC的中点， ∴AE＝CE， 在△AEF和△CED中， ， ∴△AEF≌△CED（ASA）， ∴EF＝DE， ∵∠ABD＝90°， ∴BE为Rt△BDF斜边上的中线， ∴EF＝DE＝BE， ∴BE＝DE； 故答案为：BE＝DE； 问题延伸：（1）PC＝PG，理由如下： 如图，延长GP交CD于点M， ∵四边形ABCD，BEFG为正方形， ∴CD∥AE∥GF，∠BCD＝90°， ∴∠CDP＝∠PFG， ∵P为DF的中点， ∴DP＝FP， 在△DPM和△FPG中， ， ∴△DPM≌△FPG（ASA）， ∴PM＝PG，GF＝DM， ∵PC为Rt△MCG斜边上的中线， ∴PC＝PG＝PM， ∴PC＝PG； （2）∵四边形ABCD、BEFG为正方形， ∴AB＝BC＝CD＝3，BG＝GF＝DM，∠CGF＝90°， 设BG＝GF＝DM＝x， ∴CM＝CG＝3﹣x， ∵PC＝PG＝PM， ∴MG＝2， ∵MC2+CG2＝MG2， ∴（3﹣x）2+（3﹣x）2＝（2）2， ∴x＝1， ∴GF＝1，CG＝3﹣1＝2， ∴CF． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/23 21:50:49；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $