重庆市第一中学校2025-2026学年高二上学期数学周考（五）试题

2025年重庆一中高2027届高二上期数学周考（五) 一、单选题：本答题8个小题，每小题5分，共40分 1.已知抛物线x2-y=0,则抛物线的焦点到准线的距离为（) 2 A B. C.1 D.2 2.已知双曲线C:x2_上=1的右焦点为R,M为C的左支上一点，P为线段MF的中点，O为 5 坐标原点，若OP=4,则MF=（) A.10 B.9 C.7 D.6 3.已知等比数列{a,}的公比g为整数，且4+a,=9,44=8,则5十8+=（) 4+43+ag A.3 B.2 C.2 D.3 4若1，凸，凸，4成等差数列：山，，，6,4成等比数列，则凸等于 A员 B好 c号 D. 5.在数列{an}中，若a2=2,a.=(n+2)(a1-a),则a26=（) A.1013 B.1014 C.2023 D.2024 6已知双曲线C:兰-片=1(a>0,过右焦点F的直线1与双曲线C交于4B两点。且 a12 |AB=16,这样的直线有4条，则实数a的取值范围是() A(品 B.(层6时 c.(o D.(0,64) 7.已知Sn,T分别为等差数列{an},{也}的前n项和， S=2n+2 T7m-5,设点A是直线BC外一 点，点P是直线BC上一点，AP=马+凸B+14C,则元的值为() 9 A. B.19 c. 29 29 D. 璃C话+片的左、右焦点分别为，B,点P,X,M6⅓6， 在椭圆C上，x≠x且P,F,M三点共线，若A=AM=A丽，则 =() PM B. C. D. 试卷第1页，共4页 二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分 9.下列说法错误的是() A.{an}是等比数列，其中a1<a2,则{a}是递增数列 B.非零常数列既是等差数列，又是等比数列 C.等比数列{an},若aman=a。a,则m+n=p+9,其中m,np,q∈N D.若{an}为等比数列，Sn为其前n项和，则Sk,Sw-S,S-S仍为等比数列(k∈N) 10.过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线1交C于A,B两点，其中M是AB的 中点，点M到y轴的距离的最小值为)，O为坐标原点，则下列命题正确的是() A.p=1 B.丽丽2 C.AB=4OM+2 D。点M的轨迹方程是产=x月 11.己知S,是等差数列{a.}的前n项和，满足S2<S<Sa,设b.=a.441a2,数列 的 前n和为T,则下列结论正确的是() A.d2023<0 B.使得Sn<0成立的最大的n值为4044 C.a2023a20m4<a2m1a20m2 D.当n=2022时，T取得最小值 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分 12.等比数列{a,}的前n项和为S,已知S-a+10a,则是= S2 13.已知点P是椭圆兰+上=1上一点，其左、右焦点分别为R,B,若∠RP5为锐角且 164 △FPF外接圆的半径为4，则aFPF的面积是一 14.已知数列{an}的各项均为正数，4=1，a1-4= ，若[)表示不超过x的最大整数， an+a 则[a]+[a2]+…+[ao]= 试卷第2页，共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分 15如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,∠BAC=90°，D,E,.F分别是棱AB, BC,CP的中点，AB=AC=1,PA=2. (I)证明：PB∥平面DEF; (2)求点P到平面DEF的距离. 16.设数列{a}的前n项和为Sn,若S2=4,a1=2Sn+1（neN). 证明：数列5，+ 1】 是等比数列： (2)求数列{a,}的通项公式. 17安图，精圆C:专+后-e>60的离心率是子，短给长为25，满圆的左、右项点 分别为A,、A,过椭圆与抛物线的公共焦点F的直线1与椭圆相交于A,B两点，与抛物线E 相交于P,Q两点，点M为PQ的中点， (1)求椭圆C和抛物线E的方程： (2)记△ABA的面积为S,△MA,0的面积为S2,若S,≥3S2,求直线1在y轴上截距的范围. 试卷第3页，共4页 18.已知数列{a,}的前n项积为Pa,且P,=1-an(neN,0<an<1) (1)证明： 是等差数列： 1-a [2a+a,n为偶数 (2)设bn= 必奇数 1 求数列{b,}的前n项和Sn: (3)若对于任意neN,(a+l)(a2+1)…(an+1)≥k(n+1)恒成立，求实数k的最大值. 19.在平面直角坐标系x0y中，已知双曲线C: x2 y2 a尔=1a>0,b>0)的左、右焦点分别为R, E,M为C上一动点，且当△ME为等腰三角形时，cos∠RM=4 1 (1)求C的离心率； (2)已知41,0)为C的右顶点，M(2,3),直线1过点(-4，)，与C的一支交于A,B两点. ①证明：MA⊥MB: ②“费马点”是十七世纪数学家费马提出并证明的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求 作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答： 当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠A0B=∠BQC=∠C0A=120°的点2即为费马点： 当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.记△MAB的费马点为 记△PMA,△PMB,△PAB的面积分别为S,S,S,试求2的最水2025年重庆一中高2027届高二上期数学周考（五)答案 一、单选题：本答题8个小题，每小题5分，共40分 1.A2.A3.C4A5.B6.B7.A8.D 8.【详解】如下图所示： 易知F(-1,O),设过F的直线PM的方程为x=my-1, y M 「x2.y2 =1 联立直线和椭圆方程43 ,消去x可得(3m2+4)y2-6my-9=0, x=my-1 因为焦点在椭圆内部，则直线PM与椭圆必有两交点， 6m 由韦达定理可得%+为=3m+4W5= 9 3m2+4 12 所以P☑=V1+mV+为}-4y=V+m 6m 9 12m2+1） +4× 3m2+4 3m2+43m2+4 由AP=AM=AW可得，点A在线段PM,MW的垂直平分线上， 又易知M(x2,2),N(x2,-y2)关于x轴对称，即点A是线段PM的垂直平分线和x轴的交点； 23m+4%=4+h=3m 设PM的中点为(e,),易知。=十五=，4 23m2+41 易知线段PM的垂直平分线A?的斜率存在且为-m, 3m 4 所以可得直线40的方程为P3+4-mx+3m+4令y=0,可得x=3m+4即 1_|3m2+33(m2+1) 4〔3m+40所网+43+9 3(m2+1） AF 因此可得 3m2+4 PM 12(m2+1) =年故选：D 3m2+4 二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分 9.ACD 10.ABD 11.BCD 1L.【详解】选项A,由S2m<S23得，am=Sa-Saa>0,故A错误； 选项B,由Sm<Sm1得，a2z02+a223=S23-S01<0，又a2m3>0, 则aa<0,又因为{an}是等差数列，所以公差d=a23-a22>0, 即当n≤2022时，a。<0,当m≥2023时，an>0, 因为S404= 4044a+a2_4044(a+a2<0, 2 2 S4045 4045a+al=4045a,as>0,且n>4045,Sn=Ss+a6+…+a,>0, 2 故使得Sn<0成立的最大的n值为4044，故B正确； 选项C,由等差数列性质知a2m+4om=a21+a2m4<0，则-am>a23>0,且 -a21>4224>0,所以由不等式性质可得a221a2>a223a4,即am3"am4<a2m1a22, 故C正确； 选项D，由bn=aana+2, 数列 的前n和为T,由上已知，当n≤2022时，an<0;当 b n≥2023时，an>0,对于数列 1 b 当n≤2020时，6<0，则有>7>g>>1m 1 1 当n=2021时， >0,则有T20<T221: b2021 a2021a202m02023 1 1 当n=2022时， b202 <0则有Tm21>T0m: a2024202342024 1 当n≥2023时， 。>0,则有T2<Ts<T04<…; 故T,的最小值在T020或T2处取到， 1 1 T7022-12020bbm oo2 20202023204 =a@+ag,由am+a4=am+a<0,且am<0,am<0,am>0,am>0, a2021a20ma20m3420m4 所以。均0，则a-a0,即，所以当=2时工取得最 小值，故D正确故选：BCD. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分 12.1013.43 14.625 3 1 14解：因为风=a-8,a+8所以a-a=l, 所以{a}是以1为首项，1为公差的等差数列，则a所=1+(n-1)x1=n, 因为数列{a}的各项均为正数，所以a,=√n,neN, 当1sn<4时，[=1，当4≤n<9时，[Vm=2, 当9≤n<16附，[V]=3,当16sn<25时，[V=4, 当25≤n<36时，[V=5,当36sn<49时，[m]=6, 当49≤n<64时，[V=7,当64≤n<81时，[V=8, 当81≤n<100时，[Vn]=9,且[W100]=10,则 [a]+[a2]++[a0]=3×1+5×2+7×3+9×4+11×5+13×6+15×7+17×8+19×9+10=625. 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.(1)证明：由题意知E、F分别BC、CP中点，则得PB/EF, 因为EFC平面DEF,PB女平面DEF, 所以PB/I平面DEF. (2)解：由PA⊥平面ABC,∠BAC=90°，则可以A点为坐标原点，以AB,AC,AP所 在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则4〔0oo,t0,o,c0o,Poa,2),D20,E550,F2 所以aP-(a2列，D正-20小，F-(5,0F-(202 设平面DEF的一个法向量为i=(x,y,z), DER-Z=0 2 则 令z=1,则得元=(2,0,1)， DF元=-x+2+z=0 1 22 D才 B 所以点P到平面DEF的距离为d= D2_上1+2.5 园55 16.(1)证明：因为a=2Sn+1,所以n=1时，42=2S,+1,即a2=2a+1①， 又S2=41+42=4②，由①和②得：41=1,42=3， 由a1=2Sn+1得：Sn1-Sn=2Sn+1,即Sn1=3Sn+1, t2=3, 1 所以++》即 S+2 13 又S+2=a+ -2 所以数列，+号}是首项为，公比为3的等比数列 2)解：由得：+x,则5-g-号 当n=1时，a=1,， 3 Γ2 两武相减得：826-3产）=3， 3 n=1时，4=1满足a,=3, 故数列{a,}的通项公式为an=31（neN). [2b=2W5 17.(1)解：根据题意得： e=g-),解得a=2,b=3，c=1, a2=b2+c2 所以，抛物线焦点F(1,0) 所以，椭圆C:兰+上=1，抛物线B:了=4红 43 (2)解：设1：x=y+1(t≠0)，A(x,),B(x2,2),P(s乃)，(x4y4), [x=y+1 联立1与椭圆C:名+上=1 43 整理得：(32+4)y2+6-9=0, 判别式：△=(6)2-432+4)(-9)=1442+1 弦长公式：h=+以-为小F+切 3t2+4 3 点4(-20到直线1的距离为中F 所以8=42-18+ V1+232+4 联立1与抛物线5：P=红 化=+1鉴理得：-物-4=0，判别式：△=（←4-4(-4）=16+刊 弦长公式：Pg=+F以，-y=+严61+， 点420到直线的更离为 所似8-8芳Pe=F, 因为S≥35，即18+产≥3+7，解得：55s6 3t2+4 3 3 所以，直线1在y轴上栽距-5-5或之6， 2 t2 微雅到一哥侣 18,解：(1)当m=1,则a=R=1-4,故a=方，所以 1 1一=2 1 由P=1-ea,放ah==8,可得2-0 P.1-d 1=1 1 由1-a1-1 +1-a,则1-a1-a。 -=1+ 11=1, 2-dn [,1是首项为2，公差为1的等差数列： 所以1-a 2)由（)得2=2+a-1=+1,则a n+,故R 1 n+1 「2，n为偶数 所以b.= n+l,n为奇数 当n为偶数时，Sn=(6+b+…+bn-)+(亿2+b+…+b) =(2+4+…+川+(2+2+…+2”)_40-4)+2.n+2 1-422 =42-+n+2 3 4 当n为奇数时，Sn=(6+b+…+b)+(亿2+b,+…+bn) =2+4+…+n+1)+(22++2)=40-4)n+1n+3 1-422 =42-+n+1n+3) 3 4 [42-)+nn+2,n为偶数 所以Sn= 3 4 42-)++1+3》,m为奇数 3 4 限不等式等价于s孕子x×20告X (3)由(2)得a,+1=2n+1 n+1n+1 令fm)=3x5x2x 234 x2+1x-1 +1家n+'n∈N', 则fa+D）=3x2x2x…x2 .x2n+3、1 234n+2n+2 他n+-m+1M2n+3》1++2>1,即+D>fD f(n) (n+22 所以0在eN上单调道增，故：≤0-子，即实数：的最大值子 19.解：(1)由对称性，不妨设点M在双曲线右支上，则M≠ME. 若ME=|FE,则MF=2c,ME=2c+2a,.∠MEE>∠MEE=∠FM, 叉因为o∠RM=行所以∠R>号， 11 所以∠MEE+∠MFE+∠FME>π，矛盾，舍. 若M=lF,则Ml=2cMl-2c-2a,cos∠FMs-4c2+2e-2aP-4c-是 2.2c.(2c-2a) 41 解得c=2a,∴e=2,所以离心率为2 (2)①油1蜘c:x2-上=1. 3 AB斜率不为0，设：x=y+m,A(x,),B(2,2)因为1过点(-4，)， 则-4=6t+m,m=-6t-4, x-上-1 3 由 ,可得（32-1y2+6tmy+3(m2-1)=0,3t2-1≠0， x=y+机 △=36t2m2-4(3r2-1(m2-1)>0 则 6tm 为+%=3- 3(m2-1 y2= 32-1 ☑M丽=（伍-2(x-2)+(y-3)(%-3)=(+m-2)+m-2)+(-3)(0-3) 6 =(2+1)y2+(m-2t-3)(0y+2)+m2-4m+13 =e,m--警-a =36r2+2m2+18m+4m-16_36t2+72r+96i+32-1082-96i-32=0 3t2-1 3t2-1 综上，所以上B, ②由①可知恒有MM⊥B,所以费马点I在△MAB内部， 且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°， :S+8= 4+P8DMsin120 (PA+IPBDIPMI_IPMI IPMI 4P20 PAI-IPBI PAI PBI 因为MA+|MBP-ABP, PAP+IPMP+PAI-IPM1+IPBP+PM+IPBI-IPMHPAP+IPBP+IPAL-IPBI, 所以2IPMP+|PAl-IPMI+-|PBI-IPM-PAI-IPB, 恩影恩 ◆删-盟y,期2+7=，所-1号 S3 xy 因为2+x+y=y22+2√灯，当且仅当x=y时等号成立， V网≥1+5，y24+25 所以当且仅当x=y=5+1时，S+三的最小值为5-1. S,