4.6线段的垂直平分线 同步练习题 2025-2026学年湘教版八年级数学上册

2025-2026学年湘教版八年级数学上册《4.6线段的垂直平分线》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．如图，有三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　） A．两内角的平分线的交点处 B．两边高线的交点处 C．两边中线的交点处 D．两边垂直平分线的交点处 2．如图，中，，使，那么符合要求的作图痕迹是（  ） A．B．C． D． 3．如图，在四边形中，，，则下列说法正确的是（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．以上说法均不正确 4．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线交于点D，连接．若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 5．如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于D、E，则的周长为（   ）cm． A．8 B．2 C．4 D．1 6．如图中，边，的垂直平分线交于点P，连结，，若，则（　　） A． B． C． D． 7．如图，中，，，的垂直平分线分别交，边于，点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值为时，的面积为（    ） A．30 B．39 C．60 D．78 二、填空题 8．如图，用尺规作的角平分线时，用到三角形全等的判定方法是 ． ①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；③画射线．射线就是的角平分线． 9．如图，在中，，．通过尺规作图的痕迹，可得 度． 10．如图，在中，是的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接，若的周长，，则线段的长度等于 ． 11．在三角形中，，边上的垂直平分线与所在的直线相交所得的锐角为，则底角的度数为 ． 12．如图，线段垂直平分线段，若，，则四边形的周长为 ． 13．如图，在中，边的垂直平分线分别交于点E、F．若，则的周长是 ． 14．如图，在，，点是上一点，、分别是线段、的垂直平分线，则 ． 三、解答题 15．如图，在中，点D在上，，，． (1)尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，求的度数． 16．如图，在中，，平分，于点E，求证：直线是的垂直平分线． 17．如图，在中，，是边上的高．线段的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． (1)试问：线段与的长相等吗？请说明理由； (2)求的度数． 18．如图，在中，垂直平分，平分，，交的延长线于点H． (1)若，求的度数； (2)若，与的周长之差为，且的面积为，求的面积． 19．如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为． (1)线段的长是 ． (2)若，求的度数． (3)连接，，，若的周长为，求线段的长． 20．作图与探究 阅读下列材料，并完成相应的任务． 如题（1）图，在中，．小明用尺规作底边的垂直平分线的过程如下： ①以点A为圆心，小于长为半径作弧，分别交，于点D，E； ②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P； ③作射线，则． (1)根据小明的作图方法在（1）图中作出图形，他得出“”的依据是哪个定理？ ， (2)如（2）图，已知在四边形中，，，求作对角线的垂直平分线，小亮只用直尺作直线，就得到对角线的垂直平分线．请你帮小亮说明理由． (3)如（3）图，已知在四边形中，，．请你只用直尺作出边的垂直平分线．（不写作法，保留作图痕迹） 参考答案 1．D 【分析】本题考查运用线段垂直平分线的性质来确定超市的位置，即线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 根据线段垂直平分线的性质解答即可． 【详解】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴超市应建在两边垂直平分线的交点处， 故选：D． 2．D 【分析】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 由和可得，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点在的垂直平分线上，进而得出结论． 【详解】解：，， ， 点在的垂直平分线上， 即点为的垂直平分线与的交点． 故选：D． 3．A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟知到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．根据线段垂直平分线的判定即可解答． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， 根据现有条件，无法证明垂直平分， 故选A． 4．D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．先根据作图步骤得出是的垂直平分线，得到，进而推出角的关系，再结合已知条件和三角形内角和定理求解的度数． 【详解】解：∵由作图可知，是的垂直平分线， ∴， ∴． 设，则， ∴． ∵， ∴． 在中，，且， ∴， ∴， ∴，即． 故选：． 5．A 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键；由题意易得，然后根据线段的和差关系可进行求解． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交、于D、E， ∴， ∵，， ∴的周长为； 故选A． 6．B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．利用垂直平分线的性质得到线段相等，进而得到角相等，再通过三角形内角和与外角的关系求解． 【详解】解：连接 ∵ 边，的垂直平分线交于点 ∴ ， ∴ ， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故选：B． 7．A 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，求出的长可得结论． 【详解】解：连接，， 是等腰三角形，点是边的中点， ， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 周长的最小值 ， ， ， 故选：A． 8．/边边边 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，全等三角形的判定与性质，由作图可知，，又，则可证，从而可得平分． 【详解】解：由作图可知，， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴这样作角平分线的依据是， 故答案为：． 9．60 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键．由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，再根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．12 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．根据线段垂直平分线性质求出，得出周长即可得出答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， ∵，， ∴． 故答案为：12． 11．或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂直平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，掌握分类讨论思想是解题的关键． 当为锐角三角形时，在中可求得，再由三角形内角和定理可求得；当为钝角三角形时，求得的外角，利用外角的性质求得． 【详解】解：当为锐角三角形时，如图1， 设的垂直平分线交线段于点D，交于点E， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵， ∴； 当为钝角三角形时，如图2， 设的垂直平分线交于点E，交的延长线于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 综上所述，底角的度数为或． 故答案为：或． 12． 【分析】本题考查了垂直平分线的性质和全等三角形的性质与判定，根据性质得到线段相等关系，证明三角形全等得到，进而计算出周长． 【详解】解：设与交于点， 线段垂直平分线段， ， 四边形的周长为：． 故答案为：． 13．10 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 直接根据线段垂直平分线的性质即可得出结论． 【详解】解：边的垂直平分线分别交于点E、F， ，， ， 即的周长是10． 故答案为：10． 14．/度 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．根据、分别是线段、的垂直平分线，得到，，由等腰三角形的性质得到，，根据三角形的内角和得到，根据平角的定义即可得到结论． 【详解】解： 、分别是线段、的垂直平分线， ，， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 15．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作已知线段的垂直平分线、等边对等角、三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，过两弧的交点作直线，分别交，于点E，F，则即为所求； （2）根据等边对等角以及三角形内角和定理得到，根据垂直平分线的性质得到，再利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，的垂直平分线即为所求： （2）解：∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分的判定、全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明． 由于，得，而平分，得，又因为，可证，那么，即得证． 【详解】证明：． 又平分， ． ， 在和中， ， ， ， 平分线段， 即直线是线段的垂直平分线． 17．(1)相等，理由见解析 (2) 【分析】本题考查三线合一，等边对等角，中垂线的性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）连接，三线合一，得到垂直平分，得到，垂直平分，得到，即可得出结论； （2）等边对等角，求出的度数，三线合一结合等边对等角求出的度数，再根据角的和差关系，进行求解即可． 【详解】（1）解：相等，理由如下： 连接， ∵，是边上的高， ∴， ∴垂直平分， ∵线段的垂直平分线交于点E， ∴，， ∴； （2）∵，是边上的高， ∴，， 由（1）知：， ∴， ∴． 18．(1) (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角和三角形外角的性质可得，由角平分线的定义求出的度数，再由三角形内角和定理可得答案； （2）根据三角形面积计算公式可求出，可证明，得到；可证明的周长的周长，得到，据此根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，的面积为， ∴； ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 又∵， ∴， ∴； ∵的周长，的周长， ∴的周长的周长， ∵与的周长之差为， ∴， ∴． 19．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质得出，再根据即可得出结论； （2）先根据三角形的内角和求得，再根据等腰三角形的性质可得，进而计算即可； （3）先根据线段垂直平分线的性质得出，再由的周长为，求出的长，进而得出结论． 【详解】（1）解：∵直线分别是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵的周长为，即， ∴； 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E， ∴， ∵的周长为，即， ∴， ∴， ∴． 20．(1)作图见解析，等腰三角形顶角的平分线与底边上的高和底边上的中线互相重合 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查角平分线的尺规作图，等腰三角形的性质及判定，垂直平分线的判定，掌握垂直平分线的判定定理是解题的关键． （1）依据角平分线的作图方法即可完成作图，根据等腰三角形三线合一即可得依据； （2）分别证明点A和点C在线段的垂直平分线上，即可说明理由； （3）分别延长和相交于点E，连接，相交于点F，则直线为所求． 【详解】（1）解：所求图形，如图所示． 由作图可得是的平分线，又，则根据等腰三角形的“三线合一”可得， 所以，得出“”的依据是：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高和底边上的中线互相重合； 故答案为：等腰三角形顶角的平分线与底边上的高和底边上的中线互相重合； （2）解：∵， ∴点A在线段的垂直平分线上，， ∵， ∴，即， ∴， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴直线是对角线的垂直平分线； （3）解：如图，直线即为所求． 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴点E在的垂直平分线上， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点F在的垂直平分线上， ∴直线是的垂直平分线． 学科网（北京）股份有限公司 $