精品解析：辽宁省鞍山市海城市育才学校2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试题

高三数学 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，选取了人参与问卷调查，将他们的成绩进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，且成绩落在的人数为10，则（ ） A. 60 B. 80 C. 100 D. 120 3. 若函数有极值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 定义在上的函数满足：对任意都有成立，且当时，．若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为（ ） A B. 2 C. 3 D. 4 7. ，的导函数为，则（ ） A B. C. D. 8. 已知函数（），若时，在处取得最大值，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为16 C. 最小值为9 D. 的最小值为2 11. 已知等差数列，前n项和为，，公差，则（ ）． A. B. C. 当或6时，取得最大值为30 D. 数列与数列共有671项互为相反数 三、解答题 12. 如图，已知多面体的底面是边长为3的正方形，底面，，且． （1）证明：平面； （2）求四棱锥的体积． 13. 如图，在正方体中，E为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 14. 某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体名学生中随机抽取了名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图． 年级名次 是否近视 近视 不近视 （1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在以下的人数； （2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在名和名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过的前提下认为视力与学习成绩有关系? 7.879 附： 15. 如图甲，在边长为4等边三角形中，，将沿折起，使点到达点的位置，连接，得到如图乙所示的四棱锥，为线段的中点. （1）求证：； （2）当翻折到平面平面时，求平面与平面的夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用交集运算直接求解. 【详解】集合，，故. 故选：C. 2. 某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，选取了人参与问卷调查，将他们的成绩进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，且成绩落在的人数为10，则（ ） A. 60 B. 80 C. 100 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率之和为计算值，根据成绩落在的人数为10，成绩落在频率为列方程求 【详解】由图可知，，解得，则成绩在的频率为，由，得. 故选：C 3. 若函数有极值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的定义域与导函数，依题意可得在上有变号零点，结合二次函数的性质得到，解得即可. 【详解】函数的定义域为，且， 因为函数有极值，所以在上有变号零点， 即在上有解（若有两个解，则两个解不能相等）， 因为二次函数的对称轴为，开口向上， 所以只需，解得，即实数的取值范围是. 故选：C 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式，结合余弦二倍角公式进行求解即可. 【详解】， 故选：C 5. 定义在上的函数满足：对任意都有成立，且当时，．若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由分析出满足的性质，可用拟合，根据的单调性即可求解. 【详解】定义在上的函数满足： 对任意都有成立， ，可用拟合， 时，，， 为偶函数，且在上单调递增， 对成立， 即对，成立， 对成立， 当时，， ，解得. 故选：B. 6. 正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】若正八面体的棱长为2，根据正八面体的结构特征易得外接球半径，应用等体积法求得内切球半径，最后由面积比为即可得. 【详解】若正八面体棱长为2，令其外接球、内切球半径分别为，且， 由各侧面的面积，且构成八面体的两个正四棱锥的高为， 则正八面体的体积，所以， 所以外接球与内切球的表面积之比为. 故选：C 7. ，的导函数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对两边求导可得，C错误，D正确，举出反例得到AB错误. 【详解】CD选项，两边求导得， 故，，C错误，D正确， AB选项，可令，满足， ，即，可以得到，，AB错误. 故选：D 8. 已知函数（），若时，在处取得最大值，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用多次求导及分类讨论判定函数的单调性及最值即可. 【详解】∵，令， ∴， 当时，此时在上单调递增； 当时，此时在上单调递减. 由，故可大致作出的图象如下， ∴， ∴当时，，，在R上单调递增，不成立； 当时，，在上单调递减，成立； 当时，有两个根（）， 当时，，， 当时，，， 当时，，， ∴在，上单调递增，在上单调递减，显然不成立. 综上. 故选：A． 二、多选题 9. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】先求得关系式，然后对选项逐一分析，从而确定正确答案. 【详解】由于，所以， A选项，由于，所以，所以A选项错误. B选项，当时，，所以B选项错误. C选项，由于，所以，所以C选项正确. D选项，在上递减，，所以，所以D选项正确. 故选：CD 10. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 最小值为16 C. 的最小值为9 D. 的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据选项逐个判断，A选项中由已知条件化为可求，B选项利用基本不等式可求最小值，C选项可求的最小值，再求的最小值，D选项把两个变量化为一个变量求解即可. 【详解】A选项，由已知得，因为，所以.解得或，又，所以，故A正确. B选项，由已知得.故(当且仅当，时等号成立).所以，得，故B正确. C选项，，当且仅当，时等号成立，故C不正确. D选项，由已知得，因为，所以，即，又，所以.又，所以，所以(当且仅当时等号成立)，故D正确. 11. 已知为等差数列，前n项和为，，公差，则（ ）． A. B. C. 当或6时，取得最大值30 D. 数列与数列共有671项互为相反数 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定的等差数列，求出通项公式判断A；利用性质计算判断B；由单调性结合正负数项计算判断C；求出两个数列的互为相反数的项数 判断D作答. 【详解】数列为等差数列，前n项和为，，公差， 则有，A正确； 因为，所以，B正确； 因为，即数列为递减等差数列，且当时，， 因此数列的前5项均为正，第6项为0，从第7项起为负， 所以当或6时，取得最大值，C正确； 令数列的第n项与数列的第m项互为相反数，即， 于是，而，则为偶数，令，有， 因此数列与数列成互为相反数的项构成等差数列，且， 显然，即，又，则， 所以数列与数列共有670项互为相反数，D错误. 故选：ABC 三、解答题 12. 如图，已知多面体的底面是边长为3的正方形，底面，，且． （1）证明：平面； （2）求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定证明； （2）求出直角梯形的面积，以为四棱锥的高求体积. 【小问1详解】 ∵底面，底面， ∴． 又，，平面， ∴平面． 【小问2详解】 由题意易知四边形为直角梯形， ∴． ∴． 13. 如图，在正方体中，E为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）依题意可得，再根据线面垂直的性质得到，即可得证； （2）设，连接，即可得到，从而得证； 【小问1详解】 证明：根据题意，四边形是正方形，则， 又由平面，平面，则， 因为，平面， 所以平面； 【小问2详解】 证明：设，连接，因为是正方形，所以为的中点， 又因为为的中点，则为的中位线， 所以， 又平面，平面， 所以平面. 14. 某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体名学生中随机抽取了名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图． 年级名次 是否近视 近视 不近视 （1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在以下的人数； （2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在名和名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过的前提下认为视力与学习成绩有关系? 7.879 附： 【答案】（1） （2）在犯错误的概率不超过的前提下认为视力与学习成绩有关系． 【解析】 【分析】（1）由题意先求出前三组的人数，再由后四组的频率成等差数列可求出后四组的频数，进而可得视力在5.0以下的频数，再利用频数=频率样本容量可得全年级视力在5.0以下的人数； （2）先算出的值，再与表中的数据比较即可得在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系． 【小问1详解】 设各组的频率为， 由图可知，第一组有3人，第二组有7人，第三组有27人， 依题意，后四组的频率成等差数列，故后四组的频数依次为：，，，. 所以视力在5.0以下的频数为：人， 故全年级视力在5.0以下的人数约为. 【小问2详解】 因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系. 15. 如图甲，在边长为4的等边三角形中，，将沿折起，使点到达点的位置，连接，得到如图乙所示的四棱锥，为线段的中点. （1）求证：； （2）当翻折到平面平面时，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意，根据线面垂直判定定理，结合等边三角形的性质，可得答案； （2）由（1）证明垂直，建立空间直角坐标系，计算平面的法向量，结合夹角公式，可得答案. 【小问1详解】 取中点，连接， 在等边三角形中为线段的中点， 知， 又平面，平面， 所以平面，又面，故. 【小问2详解】 因为平面平面，面面面 所以面，面，则两两垂直， 故可建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则， 于是， 平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为， 由，设，故， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $