精品解析：江西省宜春市丰城市第九中学2025-2026学年九年级上学期期中检测数学试题

丰城九中2025-2026学年上学期期中考试九年级数学 总分：120分 时间：120分钟 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数． 根据负数的相反数是正数求解即可． 【详解】解：的相反数是． 故选C． 2. 若一个正方形的面积是12，则它的边长是（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：由题意知：正方形的面积等于边长×边长，设边长为a， 故a²=12， ∴a=±，又边长大于0 ∴边长a=． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的面积公式，开平方运算等，属于基础题． 3. 截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．根据定义求解即可． 【详解】解：亿， 故选：C 4. 如图是小明某一天测得的7次体温情况的折线统计图，下列信息不正确的是（ ） A. 测得的最高体温为37.1℃ B. 前3次测得的体温在下降 C. 这组数据的众数是36.8 D. 这组数据的中位数是36.6 【答案】D 【解析】 【分析】根据折线图判断最高体温以及上升下降情况，根据众数、中位数的性质判断即可． 【详解】解：A、由折线统计图可知，7次最高体温为37.1℃，A选项正确，不符合题意； B、由折线统计图可知，前3次体温在下降，B选项正确，不符合题意； C、由7组数据可知，众数为36.8，C选项正确，不符合题意； D、根据中位数定义可知，中位数为36.8，D选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查折线统计图、众数以及中位数的定义，正确读懂统计图，正确理解众数、中位数定义是解题关键，注意必须从大到小或者从小到大排列后再求中位数． 5. 下图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字．若多面体的底面是面③，则多面体的上面是（ ） A. 面① B. 面② C. 面⑤ D. 面⑥ 【答案】C 【解析】 【分析】根据底面与多面体的上面是相对面，则形状相等，间隔1个长方形，且没有公共顶点，即可求解． 【详解】解：依题意，多面体的底面是面③，则多面体的上面是面⑤， 故选：C． 【点睛】本题考查了长方体的表面展开图，熟练掌握基本几何体的展开图是解题的关键． 6. 如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止．设注水时间为（细实线）表示铁桶中水面高度，（粗实线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水），则随时间变化的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案． 【详解】解：根据图象知，时，铁桶注满了水，，是一条斜线段，，是一条水平线段， 当时，长方体水池开始注入水；当时，长方体水池中的水没过铁桶，水池中水面高度比之开始变得平缓；当时，长方体水池满了水， ∴开始是一段陡线段，后变缓，最后是一条水平线段， 观察函数图象，选项C符合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，熟知几个非负数的和为0，那么这几个非负数都为0是解题的关键． 8. 分解因式：x3-3x=______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式x后，再把剩下的式子写成x2-（）2，符合平方差公式的特点，可以继续分解． 【详解】x3-3x=x（x2-3）， =． 【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止． 9. 在平面直角坐标系中，把点向右平移5个单位得到点，则点的坐标为____． 【答案】 【解析】 【分析】把点向右平移5个单位，纵坐标不变，横坐标增加5，据此解题． 【详解】解：把点向右平移5个单位得到点，则点坐标为，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查平面直角坐标系与点的坐标，涉及平移等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 10. 按规律排列单项式：，，，，，…，则第20个单项式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】观察一列单项式发现偶数个单项式的系数为：奇数个单项式的系数为：而单项式的指数是奇数，从而可得答案． 【详解】解：，，，，，…， 由偶数个单项式的系数为： 所以第20个单项式的系数为 第1个指数为： 第2个指数为： 第3个指数为： 指数为 所以第20个单项式是： 故答案为： 【点睛】本题考查的是单项式的系数与次数的含义，数字的规律探究，掌握“从具体到一般的探究方法”是解本题的关键． 11. 当时，代数式的值为______ ． 【答案】2 【解析】 【分析】先将原式去括号，然后合并同类项可得，再把前两项提取，然后把的值代入可得结果. 【详解】解： 当时，原式， 故答案为：． 【点睛】此题主要是考查了整式的化简求值，能够熟练运用去括号法则，合并同类项法则化简是解题的关键. 12. 定义新运算：例如：，．若，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【详解】解：∵ 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得， 综上所述，x的值是或， 故答案为：或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、实数的运算、零指数幂及特殊角的三角函数值，熟知实数的运算法则及解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）先计算特殊角的三角函数值和零指数幂，再计算绝对值，最后计算加减法即可； （2）先求出每个不等式解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 14. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）任写出一个符合题意的m值，并求出此时方程的两个根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式以及一元二次方程的解法． （1）根据根的判别式即可求出答案． （2）根据一元二次方程的解法即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即． ∴； 【小问2详解】 解：当时（此问答案不唯一）， 可有， ， ，， ∴． 15. 有三部影片在春节档上映，分别是《哪吒2》，《唐探1900》，《熊出没·重启未来》．小西和小哈同学分别从三部电影中随机选择一部观看，将《哪吒2》表示为A，《唐探1900》表示为B．《熊出没·重启未来》表示为C．假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等． （1）请直接写出小西同学选择《哪吒2》观看的概率． （2）请用列表或画树状图法求小西和小哈两名同学恰好选择观看同一部电影的概率． 【答案】（1） （2）， 列表法见解析 【解析】 【分析】本题考查了古典概型的概率计算，解题的关键是明确随机事件所有可能的结果，再根据概率公式（概率=所求情况数与总情况数之比）求解． （1）小西从三部电影中随机选择，每部被选中的可能性相等，总共有3种等可能结果，选择《哪吒2》（A）是其中1种，故概率为；（2）用列表法列出小西和小哈选择电影的所有可能结果（共9种），找出两人选择同一部电影的结果（3种），再用符合条件的结果数除以总结果数得到概率． 【小问1详解】 解：∵共有三部电影，分别是A、B、C，小西随机选择一部，每部被选中的可能性相等， ∴小西选择《哪吒2》（A）的概率为 ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下： A B C A B C 由表格可知，所有等可能的结果共有9种，其中小西和小哈恰好选择观看同一部电影的结果有，共3种． ∴两人恰好选择同一部电影的概率为． 答：小西和小哈两名同学恰好选择观看同一部电影的概率为． 16. 蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流（单位：A）与电阻（单位：）之间的函数关系如图所示． （1）蓄电池的电压是多少？你能写出这个函数的解析式吗？ （2）若以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过，则该用电器的可变电阻应控制在什么范围？ 【答案】（1）蓄电池的电压是，这个函数的解析式为 （2）不小于 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数在实际问题中的应用，通过物理中的电学公式（U为定值），明确电流I与电阻R成反比例关系是解决本题的关键． （1）利用图象上已知点坐标，代入反比例函数表达式，通过待定系数法求出电压U和函数表达式； （2）根据（1）中求出的函数关系，结合电流限制条件求出可变电阻的范围． 【小问1详解】 解：设蓄电池的电压为，由电学知识，得：， 观察图象，可知当时，， 因而， 故这个函数的解析式为； 所以蓄电池的电压是，这个函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）知，，得：． 因为电流I与电阻R成反比例关系，所以， 所以该用电器的可变电阻应控制在不小于的范围内． 17. 如图所示，一轮船由西向东航行，在A处测得小岛P在北偏东75°的方向上，轮船行驶40海里后到达B处，此时测得小岛P在北偏东60°的方向上. （1）求BP的距离； （2）已知小岛周围22海里内有暗礁，若轮船仍向前航行，有无触礁的危险. 【答案】（1）40海里 （2）若轮船仍向前航行有触礁的危险，理由见解析 【解析】 【分析】（1）通过计算得到，得到，从而得解； （2）作于点，解得进而判定即可； 【小问1详解】 ，， 又， ， （海里） 【小问2详解】 作于点. 在直角中，. 答：若轮船仍向前航行有触礁的危险 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方位角问题，掌握直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半是解决本题的关键． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 在，已知，，； （1）在方格中画出，并在图中标上顶点字母和三边长度．（每一小方格的边长为1）； （2）判断是否是直角三角形，并说明理由； （3）的面积是______________． 【答案】（1）见解析 （2）不是直角三角形，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、利用网格求三角形的面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意结合勾股定理作图即可； （2）根据勾股定理逆定理判断即可得解； （3）利用割补法求三角形面积即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所作， 【小问2详解】 解：不是直角三角形，理由如下： ∵， ∴不是直角三角形； 【小问3详解】 解：的面积是． 19. 某班级准备购买一些奖品奖励春季运动会表现突出的同学，奖品分为甲、乙两种，已知，购买一个甲奖品比一个乙奖品多用20元，若用400元购买甲奖品的个数是用160元购买乙奖品个数的一半. （1）求购买一个甲奖品和一个乙奖品各需多少元？ （2）经商谈，商店决定给予该班级每购买甲奖品3个就赠送一个乙奖品的优惠，如果该班级需要乙奖品的个数是甲奖品的2倍还多8个，且该班级购买两种奖项的总费用不超过640元，那么该班级最多可购买多少个甲奖品？ 【答案】（1）购买一个甲奖品需元，买一个乙奖品需要元；（2）该班级最多可购买个甲奖品. 【解析】 【分析】（1）设买一个乙奖品需要x元，购买一个甲奖品需元,根据题意用400元购买甲奖品的个数是用160元购买乙奖品个数的一半，列出分式方程，然后求解即可； （2）设该班级可购买a个甲奖品,根据题意列出一元一次不等式，然后求解即可. 【详解】解：设买一个乙奖品需要元，购买一个甲奖品需元， 由题意得：， 经检验是原方程的解， 则 答：购买一个甲奖品需元，买一个乙奖品需要元； 设该班级可购买个甲奖品， 根据题意得， 解得， 答：该班级最多可购买个甲奖品. 【点睛】分式方程和一元一次不等式在实际生活中的应用是本题的考点，根据题意列出方程是解题的关键. 20. 图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（），支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．(参考数据：，，，) （1）图（2）中，___________°； （2）靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（），杯托处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点）． ①； ②求乘客水杯的最大高度． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，平行线的性质等知识． （1）过点作，由平行线的性质得出，由已知条件得出，进而可求出． （2）①根据题意可知代入计算即可． ②过点作的垂线交于点F，通过解，求出，再加上即可求出答案． 【小问1详解】 解：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【小问2详解】 解：①当靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置， 由（1）知， ∴， 故答案为：． ②如图，过点作的垂线交于点F， 在中， ． 答：乘客水杯的最大高度约为． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某种饮品由浓缩咖啡、牛奶和糖浆三种成分调制而成，不同的配比会带来不同的口味．为了解不同配比对口味的影响，某咖啡店进行了“糖浆加入量对口味影响”的试验：保持浓缩咖啡毫升和牛奶毫升不变，分三个方案改变糖浆的加入量（方案毫升；方案毫升；方案毫升），并从位品尝嘉宾中随机抽取位嘉宾对每种方案的甜度和整体口感评分（以至的整数评分，分值越高对应甜度越高或整体口感越好）． 【数据处理】根据收集到的数据，绘制了下列统计图表． 甜度、整体口感评分统计表 方案 甜度 整体口感 平均数 中位数 平均数 中位数 【数据应用】（1）在表中，___________，___________；根据整体口感评分，说明方案___________最受欢迎． （2）结合图，估计位嘉宾在三个方案中最喜爱方案的人数． （3）调查显示，嘉宾对饮品的甜度和整体口感的关注度占比为，现按照这个占比计算三种方案的综合得分，得分大于分的方案即可推出，请结合数据分析，推断该店将会推出哪种方案． 【答案】，，方案B； 人； 方案． 【解析】 【分析】本题主要考查了折线统计图、条形统计图、平均数、中位数、用样本估计总体． 根据平均数的计算公式和方案的得分即可计算出方案的平均分；把方案的整体口感得分从小到大排列，中间的两个数据的平均数即为方案的中位数； 由折线统计图可知抽查的位嘉宾中最喜欢方案的有位，占抽查总人数的，利用样本估计总体求出位嘉宾在三个方案中最喜爱方案的人数； 分别计算出三个方案的综合得分，根据综合得分判断推出哪一个方案． 【详解】解：方案的整体口感平均数是， 方案的整体口感得分从小到大排列为：、、、、、、、、、， 第五个和第六个数据都是， 方案的整体口感中位数； 由统计表可知：方案的平均数和中位数最高， 方案最受欢迎； 故答案为：，，B； 由图可知，号、号、号嘉宾给方案打分最高， 抽查的位嘉宾中最喜欢方案的有位， 占抽查总人数的， 估计位嘉宾在三个方案中最喜爱方案的人数大约有：人； 解：方案综合得分：， 方案综合得分：， 方案综合得分：， 该店将会推出方案． 22. 如图是一个直角三角形斜坡截面米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡点处安装一个喷水管（高度忽略不计），喷水管喷出的水流呈抛物线形状，建立如图所示的平面直角坐标系，喷水管喷出水流的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如下表： 0 1 2 3 4 ．．． 2 2 ．．． （1）求该抛物线解析式，并写出其顶点坐标； （2）若喷水管喷出水流恰好经过树顶点． ①求小树的最大高度； ②若点到两点距离相等，求点坐标． 【答案】（1）， （2）①的最大值为；②点坐标为 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合问题，涉及了待定系数法求函数解析式、一元二次方程等知识点，熟记相关结论即可． （1）由表格信息可知抛物线顶点为．设抛物线解析式为，将点代入即可求解； （2）①设直线解析式为，将代入可求得即解析式为．设，则,根据，即可求解； ②过作于点，设，则，由可推出，得到，将点坐标代入抛物线解析式即可求解； 【小问1详解】 解：由表格信息可知抛物线顶点为． 设抛物线解析式为 将点代入得：， 解得 故抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：①设直线解析式为 将代入得， 解得 即解析式为． 设，则, ∴ 故当时，的最大值为． ②过作于点，设，则 由得：为中点，即 ∵， ， 即 将点坐标代入抛物线解析式得： 整理方程得：， 解得（舍去）， 故点坐标． 23. 给定一个矩形A，如果存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半，那么称矩形B是矩形A的“对半矩形” （1）填空： 当已知矩形A的边长分别为6和1时，小明是这样研究的，设所求的对半矩形B的一边是x，则另一边为（ -x），由题意得方程：x（ -x）=3，化简得：2x2-7x+6=0 ∵b2-4ac=49-48＞0，∴x1=_______________，x2=_________________ ∴矩形A存在对半矩形B． 小红的做法是：设所求的对半矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：消去y化简后也得到：2x2-7x+6=0，然后通过解该一元二次方程我们可以求出对半矩形B的两边长． （2）如果已知矩形A的边长分别为3和2．请你仿照小明或小红的方法研究矩形A是否存在对边矩形B． （3）方程和函数之间密不可分，我们可以利用函数图象解决方程的相关问题．如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形A的对半矩形B的两边长，请你结合之前的研究，回答下列问题： ①这个图象所研究的矩形A的面积为________________；周长为_______________． ②对半矩形B的两边长为______________和________________ 【答案】（1）2； （2）满足要求的矩形B不存在 （3）①12；24；②； 【解析】 【分析】（1）用解一元二次方程的方法求一元二次方程的根即可； （2）设所求矩形的一条边是x，根据周长表示出另外一条边，根据面积列出方程，解方程即可； （3）①由图可知，一次函数解析式为y＝−x＋4.5，反比例函数解析式为y＝4x，组成方程组，消去y求出方程的根，再根据一元二次方程根与系数的关系求出x1＋x2＝4.5，x1x2＝4，即可． ②利用解二元二次方程，可求出满足条件的矩形B的两边长． 【小问1详解】 解：2x2-7x+6=0 ∵b2-4ac=49-48=1＞0， ∴ ∴x1=2，x2=． 故答案为：2；． 【小问2详解】 设所求矩形的一边是x，则另一边为（−x）， 由题意得方程：x（−x）＝3， 化简得：2x2−5x＋6＝0， ∵b2−4ac＝25−48＜0， ∴原方程无解， ∴满足要求的矩形B不存在． 【小问3详解】 ①设直线的关系式为，把（0，6），（6，0）代入得：， 解得：， ∴一次函数解析式为， 设反比例函数解析式为，把（2，3）代入得：，解得：， ∴反比例函数解析式为， 根据一次函数解析式可得：，根据反比例函数解析式可得：， ∴图形B的两边之和为6，面积为6， ∴图形A的周长为：，面积为； 故答案为：12；24． ②把代入得：， 解得：，， 当时，， 当时，， ∴对半矩形B的两边长为，． 故答案为：；． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程解，利用函数图象得函数解析式等知识，根据图象得出函数解析式，是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中2025-2026学年上学期期中考试九年级数学 总分：120分 时间：120分钟 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 若一个正方形的面积是12，则它的边长是（ ） A. B. 3 C. D. 4 3. 截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是小明某一天测得的7次体温情况的折线统计图，下列信息不正确的是（ ） A. 测得的最高体温为37.1℃ B. 前3次测得体温在下降 C. 这组数据众数是36.8 D. 这组数据的中位数是36.6 5. 下图是一个多面体表面展开图，每个面都标注了数字．若多面体的底面是面③，则多面体的上面是（ ） A. 面① B. 面② C. 面⑤ D. 面⑥ 6. 如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止．设注水时间为（细实线）表示铁桶中水面高度，（粗实线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水），则随时间变化的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若，则_________． 8. 分解因式：x3-3x=______． 9. 在平面直角坐标系中，把点向右平移5个单位得到点，则点的坐标为____． 10. 按规律排列的单项式：，，，，，…，则第20个单项式是_____． 11. 当时，代数式的值为______ ． 12. 定义新运算：例如：，．若，则的值为______． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）解不等式组：． 14. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）任写出一个符合题意的m值，并求出此时方程的两个根． 15. 有三部影片在春节档上映，分别是《哪吒2》，《唐探1900》，《熊出没·重启未来》．小西和小哈同学分别从三部电影中随机选择一部观看，将《哪吒2》表示为A，《唐探1900》表示为B．《熊出没·重启未来》表示为C．假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等． （1）请直接写出小西同学选择《哪吒2》观看的概率． （2）请用列表或画树状图法求小西和小哈两名同学恰好选择观看同一部电影的概率． 16. 蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流（单位：A）与电阻（单位：）之间的函数关系如图所示． （1）蓄电池的电压是多少？你能写出这个函数的解析式吗？ （2）若以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过，则该用电器的可变电阻应控制在什么范围？ 17. 如图所示，一轮船由西向东航行，在A处测得小岛P在北偏东75°的方向上，轮船行驶40海里后到达B处，此时测得小岛P在北偏东60°的方向上. （1）求BP的距离； （2）已知小岛周围22海里内有暗礁，若轮船仍向前航行，有无触礁的危险. 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 在，已知，，； （1）在方格中画出，并在图中标上顶点字母和三边长度．（每一小方格的边长为1）； （2）判断是否是直角三角形，并说明理由； （3）的面积是______________． 19. 某班级准备购买一些奖品奖励春季运动会表现突出的同学，奖品分为甲、乙两种，已知，购买一个甲奖品比一个乙奖品多用20元，若用400元购买甲奖品的个数是用160元购买乙奖品个数的一半. （1）求购买一个甲奖品和一个乙奖品各需多少元？ （2）经商谈，商店决定给予该班级每购买甲奖品3个就赠送一个乙奖品的优惠，如果该班级需要乙奖品的个数是甲奖品的2倍还多8个，且该班级购买两种奖项的总费用不超过640元，那么该班级最多可购买多少个甲奖品？ 20. 图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（），支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．(参考数据：，，，) （1）图（2）中，___________°； （2）靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合位置，如图（），杯托处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点）． ①； ②求乘客水杯的最大高度． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某种饮品由浓缩咖啡、牛奶和糖浆三种成分调制而成，不同的配比会带来不同的口味．为了解不同配比对口味的影响，某咖啡店进行了“糖浆加入量对口味影响”的试验：保持浓缩咖啡毫升和牛奶毫升不变，分三个方案改变糖浆的加入量（方案毫升；方案毫升；方案毫升），并从位品尝嘉宾中随机抽取位嘉宾对每种方案的甜度和整体口感评分（以至的整数评分，分值越高对应甜度越高或整体口感越好）． 【数据处理】根据收集到的数据，绘制了下列统计图表． 甜度、整体口感评分统计表 方案 甜度 整体口感 平均数 中位数 平均数 中位数 【数据应用】（1）在表中，___________，___________；根据整体口感评分，说明方案___________最受欢迎． （2）结合图，估计位嘉宾在三个方案中最喜爱方案的人数． （3）调查显示，嘉宾对饮品甜度和整体口感的关注度占比为，现按照这个占比计算三种方案的综合得分，得分大于分的方案即可推出，请结合数据分析，推断该店将会推出哪种方案． 22. 如图是一个直角三角形斜坡截面米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡点处安装一个喷水管（高度忽略不计），喷水管喷出的水流呈抛物线形状，建立如图所示的平面直角坐标系，喷水管喷出水流的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如下表： 0 1 2 3 4 ．．． 2 2 ．．． （1）求该抛物线解析式，并写出其顶点坐标； （2）若喷水管喷出水流恰好经过树顶点． ①求小树的最大高度； ②若点到两点距离相等，求点坐标． 23. 给定一个矩形A，如果存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半，那么称矩形B是矩形A的“对半矩形” （1）填空： 当已知矩形A的边长分别为6和1时，小明是这样研究的，设所求的对半矩形B的一边是x，则另一边为（ -x），由题意得方程：x（ -x）=3，化简得：2x2-7x+6=0 ∵b2-4ac=49-48＞0，∴x1=_______________，x2=_________________ ∴矩形A存在对半矩形B． 小红的做法是：设所求的对半矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：消去y化简后也得到：2x2-7x+6=0，然后通过解该一元二次方程我们可以求出对半矩形B的两边长． （2）如果已知矩形A的边长分别为3和2．请你仿照小明或小红的方法研究矩形A是否存在对边矩形B． （3）方程和函数之间密不可分，我们可以利用函数图象解决方程的相关问题．如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形A的对半矩形B的两边长，请你结合之前的研究，回答下列问题： ①这个图象所研究的矩形A的面积为________________；周长为_______________． ②对半矩形B的两边长为______________和________________ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $